Решение задач по Физике (Кириллов), страница 9

Остальные точки цилиндра в этом углублении проскальзывают, поэтому на них действуют силы трения скольжения. Момент сил трения относительно оси цилиндра приводит к замедлению его вращения. Однако, наличием только сил трения нельзя объяснить прекращение движения цилиндра, так как результирующая всех сил трения направлена в сторону его перемещения. На точки цилиндра, попадающие в углубление, действует нормальная сила реакции опоры со стороны деформированной плоскости. Из-за неоднородности этой деформации, возникающей вследствие движения цилиндра, результирующая всех сил реакции опоры имеет компоненту направленную навстречу направлению его перемещения.

Будучи больше результирующей всех сил трения скольжения, действующих в углублении, эта сила приводит к замедлению поступательного движения цилиндра. При этом, момент сил реакции опоры относительно оси цилиндра равен нулю и не влияет на скорость его вращения. Таким образом, в случае реального качения происходит уменьшение, как поступательной, так и вращательной скорости движения цилиндра и в конце концов движение цилиндра прекращается. Ответ: а) в=а,)1/3;б) !=ив)!/318; в) А= — игл',Ф/6. 1.4.17.

Сплошному однородному шару радиусом )!, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщили скорость кв без вращения. Найти угловую скорость шара, когда его движение перейдет в чистое качение. Решение Сила трения, направленная так, как это показано на рисунке !.38, приводит к замедлению движения центра масс шара О в горизонтальном направлении, а момент этой силы относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, ускоряет вращение шара.

Соответствующие уравнения движения бЗ Физические основы ззеханики т з?и/й = — Р' и 1 с?со/с?г = Г й приводят, после исключения из них силы трения, к соотношению Нш = -лйЫи, интегрирование которого определяет связь между мгновенной угловой скоростью вращения шара и мгновенной скоростью его поступательного движения воз+ тий = сопя! . Принимая во внимание, что в отсутствии скольжения и=шй, получаем тиой=уш+тий=(у+тй )и, откуда, с учетом момента инерции шара з = 2тй'/5, находим установившуюся угловую скорость его вращения . 5 ио аз = — —.

7 й Ответ: ш=5и /7й. 1.4.18. Как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы он после удара двигался по поверхности стола а) замедленно, б) ускоренно, в)равномерно? Предполагается, что удар наносится горизонтально в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара и точку касания его с плоскостью бильярдного стола. Решение Под действием силы Р, с которой на шар действует кий во время удара, происходит изменение скорости центра масс шара С в соответствии с уравнением Р = сиз?и/з?г . Одновременно, момент этой силы относительно оси, проходящей через центр масс шара, приводит к изменению угловой скорости его вращения.

Уравнение вращательного движения имеет вид из?лз/з?г = Рх, где х — расс~олине от центра шара до места удара, з' = 2зий'/5 - момент инерции шара с радиусом й и массой ш. При записи этих уравнений мы предполагали, что сила трения шара о плоскость стола пренебрежимо мала по сравнению с силой удара Р. Исключая из этих уравнений силу Р, получаем соотношение Жлз=изхз?и, которое после интегрирования принимает вид зш=тхи и связывает поступательную скорость шара с угловой скоростью его вращения сразу после удара.

64 Глава 7 Последующее движение шара по поверхности стола определяется силой трения. Если сила трения противодействует движению шара, то он движется замедленно. Если сила трения направлена в сторону перемещения шара, то он движется ускоренно. Наконец, если сила трения равна нулю, то качение шара происходит равномерно. Направление силы трения скольжения противоположно направлению скорости движения точки касания шара с плоскостью стола. Если вращательная скорость ~очки касания направлена в ту же сторону, что и поступательная (это имеет место при ударах ниже центра шара) или вращательная скорость направлена навстречу поступательной (зто имеет место при ударах выше центра шара), но оказывается меньше ее по величине, то движение шара после удара будет замедленным. Последнее возможно при условии пггг< г или агйх<.г, откуда х<2К/5. Таким, образом, при «низких» ударах, когда высота й места удара над плоскостью стола меньше 7ф5, движение шара после удара будет замедленным.

При «высоких» ударах, когда й>7Ю/5, вращательная скорость точки касания будет больше ее поступательной скорости. Результирующая скорость точки касания шара будет направлена навстречу его перемещению, поэтому сила трения, действующая на шар будет ускорять его поступательное движение. Наконец, если точка удара лежит на высоте й = 7ф5, то шар будет двигаться равномерно. Такие удары называются «нормальными» и после них шар движется по поверхности стола без проскальзывания. При этом, сила трения покоя в месте касания должна быть равна нулю, так как в противном случае ее действие приводило бы к ускорению (замедлению) поступательного движения и, одновременно, к замедлению (ускорению) вращательного движения, что невозможно, так как при чистом качении шара соответствующие скорости связаны соотношением г= пгй.

Если не учитывать деформацию, то такое качение шара не может прекратиться. Деформация шара и плоскости стола приводит к появлению силы трения качения(см. комментарий к задаче 1.4.16) и к остановке движения шара. 1.4.19. Однородный шар радиуса г скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса гг . Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.

65 Физические основы механики Реизение В месте отрыва шара от сферы сила реакции опоры, действующая на шар при его скатывании, обращается в ноль. Поэтому, уравнение движения центра масс шара по окружности радиуса з!+г принимает в точке отрыва вид тя за= '/(Я+г). Так как при чистом качении сила трения, действующая на шар, работы не совершает, то выполняется закон сохранения полной механической энергии т~(й+ г)(1 — сова) = тз з/2+ ушз/2. Принимая во внимание, что при скатывании без скольжения угловая скорость вращения шара ш и скорость его поступательного движения и связаны соотношением и = пзг, получаем два е 1 Рис. ! .39 уравнения с двумя неизвестными: косинусом центрального угла а и угловой скоростью ш в месте отрыва. Совместное решение этих уравнений дает 1О~(г+ г) 17гз Ответ: и= 17г' 1.4.20.Сплошной однородный цилиндр радиуса )! катится без скольжения по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, идущую под уклон и составляюзцую угол а с горизонтом.

Найти максимальное значение скорости ив цилиндра, при котором он перейдет на наклонную плоскость еще без скачка. Решение При переходе на наклонную плоскость без скачка центр масс цилиндра С движется по окружности радиуса )! с центром в точке касания О (см. рнс.! .40).

Скорость цилиндра при этом возрастает от первоначального значения ив до некоторой величины и . Максимально 66 Глава! скорость центра масс С, в тот момент, когда цилиндр поворот и начинает движение по наклонной плоскости, определяется требованием обращения в \ этот момент силы реакции опоры в точке О в ноль. В таком случае, уравнение движения центра масс в проекции на направление к центру окружности О имеет вид возможная завершает л / / 1 \ 1.4.21.На полу кабины лифта, которая начинает подниматься с постоянным ускорением а = 2,0 м/с, установлен гироскоп - однородный диск радиуса /! = 5,0 см на конце стержня длины / = !О см.

Другой конец стержня укреплен в шарнире О (см. рис. !.4!). Гироскоп прецессирует с угловой скоростью и = 0,5 об/с. Пренебрегая трением и массой стержня, найти собственную угловую скорость диска. тясока= та ///!. 2/ Так как цилиндр катится без скольжения, то в процессе движения Рис. !.40 выполняется закон сохранения полной механической энергии тта тг ./и/з — '+ — + тя/!!! — сока) = — + —, 2 2 2 2 где ./ = т/к'/'2 -момент инерции цилиндра. Принимая во внимание, что прн движении без проскальзывания гв = щ,К и т= шй, получаем, после исключения с помощью этих соотношений угловых скоростей вращения цилиндра щ/ и ш, два уравнения с двумя неизвестными гв и и Совместное решение этих уравнений дает максимальное значение горизонтальной скорости цилиндра, при которой он перейдет на наклонную плоскость без скачка ; -,/// — //~~л 3.

При достаточно крутом наклоне, когда сока <4/7, переход цилиндра на наклонную плоскость будет всегда происходить со скачком. 67 Физические основы лзеханики Решение Перейдем в неннерцнальную систему отсчета, связанную с лифтом. В этой системе на гироскоп действует, кроме силы тяжести тя и силы реакции опоры в точке О, сила инерции та, направленная вертикально вниз.

Угловая скорость аз,прецессии гироскопа связана с его моментом импульса М, равным 1ш, н моментом Ю внешних снл известным соотношением [Ф,М1= Ж, откуда, с учетом направления соответствующих векторов, показанных на рисунке ! .41, получаем 2лл1аз = (зля + та)1, Рнс. 1.41 (а е я)1 ллз1 Ответ: шы 1а+ я)1 где принято во внимание, что момент силы реакции опоры относительно точки О равен нулю. Так как момент инерции з гироскопа в виде однородного диска равен тЛ 12, то искомая угловая скорость вращения гироскопа з определяется выражением 2.