Решение задач по Физике (Кириллов), страница 7

1.29 ./ = лг/г~/2 имеет вид г/аг аерр1 "//~трг /р//Р/гь/Уг) г// или /аг 2/~1!+/) г/! //(1+/р') откуда с учетом начального значения ог = пга прн / = О, получаем решение 2/ря(1+ /1) //(1 + /с') Условие лг = О определяет время вращения цилиндра до остановки 49 Физические основы мехов ики а),/1(1+ /с') 2/ся(1 + /с) Полный угол сз4з поворота цилиндра до прекращения его вращения найдем с помощью закона изменения кинетической энергии вращательного движения цилиндра 0- — =-!/ср ~ + /сР ~)Л!о=-/с//!Ф + М~)/зса, 2а)', откуда а~///(! + /с') /!со = 4/сф! + /с) а разделив это выражение на 2/г - угол соответствующий одному обороту цилиндра, найдем полное число оборотов цилиндра до остановки с.'ссо а),Я(1+/с~) 2/г 8л/ся(1+ /с) а),//!1+/с') а),Щ+/с') 2/с8(1+/с) 8Жс8!1+/с) 1.4.7.

Вертикально расположенный однородный стержень массы М и длины / может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы т, в результате чего стержень отклонился на угол ст. Считая т «М, найти: а) скорость летевшей пули; б) приращение импульса системы «пуля — стержень» за время удара и причину изменения этого импульса; в) на какое расстояние х от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы «пуля — стержень» не изменился в процессе удара.

Решение а) Для определения скорости пули воспользуемся законом сохранения момента импульса системы «пуля — стержень» относительно горизонтальной оси проходящей через точку подвеса стержня О перпендикулярно плоскости рисунка 1.30 ти/ = ./а/, 50 Глава! где У = (1/З)М 1' - момент инерции стержня относительно рассматриваемой оси, аэ - угловая скорость вращения стержня сразу после удара.

При этом,мы предполагаем, что т « М и за время удара стержень отклоняется незначительно, поэтому момент сил тяжести, действующих на стержень и пулю, относительно рассматриваемой )тз Я оси равен нулю в процессе столкновения. После удара стержень отклоняется на угол а . В этом крайнем положении вся кинетическая энергия стержня, приобретенная после удара пули, переходит в его потенциальную энергию, поэтому С 1ш'/2 = Мф1/2)(! — соз а) . Решая полученные уравнения совместно, находим угловую скорость вращения стержня сразу после тг удара Рис.

1.30 =язалв- )= афт)в а> и искомую скорость летевшей пули =(»1 ) Гвялг- )=(м! ) в~я! 3 ~ ( ~2). б) Импульс системы «пуля — стержень» сразу после удара равен р, =(М+т)г =Мш(1/2)=(ЗМ/2),/2ф/Зяп(а/2), где ис — скорость центра масс С сразу после удара и учтено, что т«М . Импульс системы непосредственно перед ударом равен импульсу пули р, =т»=М /2ф/Зяп(а/2), а так как векторы р1 и рз горизонтальны и направлены в одну и ту же сторону, то приращение импульса системы «пуля — стержень» за время удара равно Ьр = р, — р, =М,/ф/бяп(а/2). Причиной изменения импульса системы является импульс горизонтальной составляющей силы реакции Мь действующей на стержень со стороны оси подвеса, в направлении, показанном на рис. 1.3!. Действительно, вертикальная составляющая силы реакции опоры Н; компенсируется силой тяжести стержня Мя, а появляющаяся во время удара горизонтальная составляющая этой силы, будучи внешней по отношению к системе «пуля — стержень», приводит, согласно закону изменения импульса, к приращению импульса системы.

л!лгггтеекгге оеиовы лиехттки откуда угловая скорость вращения стержня сразу после удара Зт вх о!г = — —. М!г' Условие сохранения импульса системы в процессе удара те = (М + иг) г с = М (1/2) огв дает искомое расстояние х = (2/3)! . При попадании пули в эту точку стержень не испытывает в процессе удара отдачи со стороны оси подвеса, то есть в рассматриваемом случае горизонтальная составляющая силы реакции )тг равна нулю. Если пуля попадает ниже этой точки, то при ударе возникает сила Ф~, направленная так, как это показано на рис.

!.30. Если же пуля попадает выше этой точки, то направление силы отдачи Ф, меняется на противоположное. Ответ; а) и = (М/лг),/28!/3 з1п(а/2); б) Ьр = М,/ф/б в)п(а/2); в) х = (2/3)! . 1.4.8. Однородный стержень длины ! может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через один из его концов (рис.

1.31). Систему равномерно вращают с угловой скоростью ог вокруг вертикальной оси. Пренебрегая трением, найти угол д между стержнем н вертикалью. Решение Воспользуемся уравнением моментов относительно неподвижной точки подвеса стержня О. Для этого сначала найдем момент импульса стержня относительно этой точки, Рис. 1.31 в) Найдем на какое расстояние х от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы «пуля — стержень» не изменился в процессе удара.

В этом случае закон сохранения момента импульса системы относительно горизонтальной оси проходящей через точку подвеса стержня О принимает, с учетом того, что игк<М, вид тих = (1/3)М1~а~,, 52 Глава! Рассмотрим бесконечно маленький кусочек стержня длиной Ых, находящийся на расстоянии х от точки О. Его масса равна Нт = (т/1)гй, где т — масса всего стержня. Этот кусочек движется по окружности радиуса г = хяп В со скоростью» = шг = вхяп В в направлении от нас перпендикулярно плоскости рисунка. Поэтому момент импульса этого кусочка стержня относительно точки О равен НМ =(т/1)шх япВЫх.

Вектор НМ в рассматриваемый момент времени лежит в плоскости рисунка и направлен перпендикулярно стержню, как показано на рис, 1.31. Полный момент импульса стержня относительно точки О найдем с помощью интегрирования: М = (т/1)ияп В ~х'Их = — тяп В. 2 3 Вектор М направлен перпендикулярно стержню, лежит в плоскости, проходящей через вертикальную ось и стержень, и вращается вместе с этой плоскостью вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ш , оставаясь неизменным по длине. Найдем скорость изменения момента импульса стержня. Рассматривая вектор М как радиус-вектор некоторой точки, расположенной на его конце, приходим к выводу, что дМ/й имеет смысл линейной скорости вращения этой точки по окружности с "радиусом" МсозВ, тоесть |/1М/Я=гаМсозВ. Уравнение моментов относительно точки подвеса стержня О может быть записано в виде ~рМ/г11~ = шМ соз В = т8 Я 2) яп В, откуда, после подстановки выражения для момента импульса стержня относительно точки О, получаем искомый угол отклонения стержня от вертикали созВ = — —.

3 г 2 аэ21 Если правая часть полученного выражения больше единицы, то угол В между стержнем и вертикалью равен нулю. Ответ: соя В = Зй/(2в'1); если правая часть больше единицы, то угол В=О. 53 Фнэнческие основы механнки 1.4.9. Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения й, при котором скольжения не будет. Решение Силы, действующие на шар массой т, показаны на рис.1.32. Уравнение динамики движения центра масс шара в проекции на ось х Х имеет вид темпа — Р' =та а основное уравнение динамики вращательного движения шара с радиусом й относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости рисунка, Рис.

1.32 определяется выражением с1аЗ 1 — ыР К, с1г где э'=(2/5)тй' - момент инерции шара. Следует отметить, что сила трения, действующая на шар, это сила трения покоя (шар не проскальзывает) и поэтому она может, вообще говоря, принимать любое значение в диапазоне от О до йМ=Ьиясоза. Конкретное значение Рр должно быть определено в результате решения приведенных выше уравнений. Другим неизвестным в рассматриваемых уравнениях является ускорение центра масс шара а. Принимая во внимание, что при отсутствии проскальзывания скорость центра масс шара т связана с угловой скоростью вращения ш соотношением о = аЖ, которое после дифференцирования по времени принимает вид а =(с1ш/й)й, приходим к системе из двух уравнений таяла-Р =та э(а/11) =Р„й.

Решая эти уравнения относительно а и Рчн получаем тяяпа 5 а =, = — яяпа, 11/Я~) + т 7 Р„= (2/7)ту яп а. Глава 1 Условие отсутствия проскальзывания шара это требование того, чтобы сила трения не превышала максимальную силу трения покоя, то есть (2/7)траяна </анисова, откуда й >(2/7)1да. Ответ: а = (5/7) е яп а, й > (2/7) 1яа. 1.4.10. Однородный шар массы т = 5,0 кг скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол а=30 с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через г=1,бе после начала движения.

Решение Как следует из предыдущей задачи, ускорение центра масс шара определяется выражением а = (5/7)я яп а и, следовательно, через время г скорость центра шара будет равна г=аг=(5/7)й~япа, а его угловая скорость вращения к этому моменту времени есть 5яг . оз= — = — — япа. 11 7Я Кинетическая энергия шара в момент времени в будет равна ти Уо 5 2 2 Т = —.~.— = — те 1 51п а. 2 2 14 Используя численные данные задачи, получаем Т =О,11 кДж.

Ответ: Т = — те 1 яп а =0,11 кДж. 5 зз !4 1.4.11. На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска массы т, и на ней однородный шар массы т> Коэффициент трения скольжения между шаром и поверхностью доски равен 1. К доске приложили постоянную горизонтальную силу Е С какими ускорениями будут двигаться доска и центр шара в отсутствие скольжения между ними? При каких значениях силы Р скольжение отсутствует? Физические основы механики 55 Решение Силы взаимодействия доски и шара показаны на рис. 1.ЗЗ.