Решение задач по Физике (Кириллов), страница 5

рис. 1.17). Она равна г =,/2ф яп а . Система «пушка — снаряд» не является замкнутой, так как на нее действуют внешние силы: сила реакции опоры и сила тяжести. Чтобы исключить из рассмотрения силу реакции опоры )л', которая изменяется во время выстрела скачкообразно, запишем закон изменения М импульса системы в проекциях на ось х. Пренебрегая массой вылетевшего снаряда по сравнению с массой пушки, получим р соя а — Мг = гМ8 яп а, откуда для продолжительности выстрела г получаем выражение рсоза-М,~281яп а г= Меяпа Рис.!.17 р соз а -М з) 2ф яп а Ответ: г= М8япа 1.3.3. Небольшое тело начинает скользить с высоты 6 по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса 6/2 (см.

рис. 1.18). Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории после отрыва от желоба. Рис. ! .! 8 Решение В момент отрыва тела сила реакции опоры обращается в ноль и, поэтому, в точке отрыва уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направление к центру окружности, по которой движется тело, имеет вид (см. рис.!.19) 35 Физические основы мехонини г г тоо 2тио тясока= — = й Ь где оо - скорость тела в момент отрыва, /? = /г/2 - радиус окружности. Так как трения нет, то выполняется во закон сохранения полной механической энергии тио тя/з11+ сок а) о+ Рф 2 2 Рассматривая эти соотношения как два Рис.!.19 уравнения с двумя неизвестными ио и сока ,получаем и = я/г 3 и сока=2/3.

После отрыва тела от желоба оно продолжает движение как свободное тело, брошенное со скоростью оо под углом а к горизонту. В полете горизонтальная составляющая скорости тела остается неизменной и равной о,сока, а вертикальная составляющая по мере подъема тела убывает и в высшей точке его траектории становится равной нулю. В итоге, полная скорость тела в высшей точке его траектории равна 2 Гай и=о сока= — ~ —. о 313' 2 ~~,~ Ответ: о= — ~ —. 3'1'3 ' 1.3.4. Система состоит из двух одинаковьзх цилиндров, каждый массы т, между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости «(см.

рис. 1.20). Цилиндры связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. При каких значениях Л! - начальном сжатии пружины - нижний цилиндр подскочит после пережнгания нити? Рис. 1.20 Решение После пережигания нити сжатая пружина начнет распрямляться, пройдет точку, соответствующую собственной длине несжатой пружины и, далее, будет удлиняться, пока скорость верхнего тела не станет равной 36 Глава 1 нулю. Пусть удлинение пружины при этом равно Ьх, тогда закон сохранения полной механической энергии может быть записан в виде к(Л1)' «(Лх)' + нгй(Л1 ь Ьх) . 2 2 Минимальное начальное сжатие Ш пружины, при котором нижний цилиндр оторвется от плоскости, может быть найдено из этого уравнения, если учесть, что наименьшее растяжение пружины Ьх, приводящее к отрыву цилиндра, определяется условием яг3х=тя.

Подстановка ох приводит к квадратному уравнению Р1) нг8Р1)- — =О, к г 3 (нгя) 2 2 к имеющее физический смысл решение которого Л1 = —, Зш к определяет минимально необходимое начальное сжатие пружины. Ответ: гг1 > зулай к 1.3.5. Замкнутая система состоит из двух частиц с массами т~ и тг, которые движутся под прямым углом друг к другу со скоростями г~ и гг. Найти в системе их центра масс: а) импульс каждой частицы; б) суммарную кинетическую энергию обеих частиц. Решение Скорость центра масс системы частиц равна нг~" ~ + нгггг "в гнг поэтому, импульс первой частицы в системе центра масс р„определяется выражением гр, +,р,1 р~в =юг~-таге =гн1 г~- ~ = 1г(гг — аг), где Ф= нгР'г гн~ + гнг 37 Фгггические основы механики приведенная масса системы рассматриваемых частиц.

Аналогично, импульс второй частицы в системе центра масс р,в равен иг!в! + тгтг рю = игггг тгив = тг "2 721~ 2 11) т!+т2 Видно, что рю=-р„, а длины этих векторов одинаковы и определяются выражением (см. рис. 1.21) ~КД=~И24= рй+иг. Суммарная кинетическая энергия частиц в системе 121 1" 1 К2 К2 Рис. 1.21 центра масс равна г г г г Т= — + — = р$О ргО,И(и~ + иг ) 2т, 2а, 2 2 Ответ: ~Р„~=~Ргв~=72,)~~, миг; т= р1и+ ) тт, , где,и = 2 а| +аг решение Быстрота изменения момента импульса М шайбы определяется законом 21М вЂ” = Аг, гг'1 1.3.6. Шайба А массы т, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью и, испьгтала в точке О (см. рис, 1.22) упругое столкновение с гладкой неподвижной стенкой.

Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен а. Найти: а)точки, относительно которых момент импульса М шайбы остается постоянным в этом процессе; б) модуль приращения момента импульса шайбы 1 относительно точки О~, которая находится в Рис. 1.22 плоскости движения шайбы на расстоянии 1 от точки О.

38 Глава ! где )т' - момент сил, действующих на шайбу. Сила тяжести шайбы компенсируется силой реакции со стороны поверхности, по которой она скользит. Момент силы, действующей на шайбу со стороны стены в момент удара, будет равен нулю для всех точек на оси перпендикулярной поверхности стены и проходящей через точку удара О !показана на рисунке 1.22 пунктиром), так как для этих точек радиус-вектор шайбы в момент удара и сила реакции со стороны стены параллельны друг другу. Поэтому, для всех этих точек в!М/~!! =О, то есть вектор М остается постоянным. Момент импульса шайбы относительно точки О~ непосредственно перед ударом о стену равен 1М,1= 1[ООх р]1= ти! з)п(а+ее(2) = ти)сова и направлен перпендикулярно плоскости скольжения шайбы вниз.

Сразу после удара момент импульса шайбы меняет направление на противоположное, не изменяясь по величине и, поэтому, модуль приращения момента импульса будет равен 1ЬМ~ = 2шг1 сов а. Ответ: а) момент импульса М шайбы остается постоянным относительно всех точек на оси перпендикулярной поверхности стены и проходящей через точку удара О; б) 1ЛМ~ = 2ти! соз а . 1.3.7. Гладкий однородный стержень АВ массы М и длины свободно вращается с угловой скоростью шв в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его конец А.

Из точки А начинает скользить по стержню небольшая муфта массы ль Найти скорость и~ муфты относительно стержня в тот момент, когда она достигнет его конца В. Решение Проекции на ось вращения моментов всех внешних сил, действующих на стержень и муфту равны нулю. Следовательно, в проекциях на ось вращения выполняется закон сохранения момента импульса системы «стержень — муфта». Обозначив через и угловую скорость вращения стержня в тот момент, когда муфта достигнет его конца В, запишем условие закона сохранения момента импульса в виде 39 Физические основы механики 1щ, =1ш+т1'и, где ! =(!/3)М1 — момент инерции стержня относительно оси вращения, проходящей через его конец, т1г - момент инерции муфты в точке В.

Так как стержень гладкий и трения нет, то для системы «стержень— муфта» выполняется также закон сохранения механической энергии 1а,' Уш' те' + 2 2 2 где и - полная скорость муфты в точке В. Решая эти уравнения совместно, получаем п)г !еЗт/М Зт . 2+ —. 1+Зт/М г( М Полная скорость муфты в точке В складывается из вращательной скорости и,р = лг! вместе со стержнем и скорости ее продольного движения вдоль стержня иг. Так как направления этих скоростей взаимно перпендикулярны, то искомая скорость иг определяется по теореме Пифапгра , =1е:г- г'и — "' /1+ Зт/М Ответ: иг = о1,1 1еЗт/М 1.3.8.

Небольшую шайбу поместили на внутреннюю гладкую поверхность неподвижного круглого конуса !рис. 1.23) на высоте 1гг от его вершины и сообщили ей в горизонтальном направлении по касательной к поверхности конуса скорость и, . На какую высоту 1гг от вершины конуса поднимется шайба? Решение Силы, действующие на шайбу в процессе движения, не создают вращающего момента относительно осн конуса. Поэтому относительно этой оси выполняется закон сохранения момента импульса шайбы. Глава 1 40 Принимая во внимание, что в верхней точке траектории скорость шайбы тз направлена горизонтально, получаем тт,й,гйвг=юле л ~увг, где сг- угол полураствора конуса. Так как трения нет, то выполняется также и закон сохранения полной механической энергии ию, шкз ! +шл1, 2+ 2 2 Исключая из этих уравнений скорость шайбы ез, приходим к уравнению для определения высоты подъема лз 2К(й, — й,) — (й,' — й,'),' =0 Рис.

1.23 или 2 уй,' - е,' л, - е,' л, = О. Имеющий физический смысл корень этого квадратного уравнения ь = в ' Гчн /,') ' /ч . и определяет искомую высоту подъема шайбы. 0: ь=0+ в 8уьЯ),'/4у 1.3.9. Из пушки массы М, находящейся на наклонной плоскости, в момент, когда пушка покоится, производится выстрел и вылетает снаряд массы ш с начальной скоростью вв относительно земли.