Решение задач по Физике (Кириллов), страница 30

е. )еТ' = сопи. (5) Ответ: )ЗТ =сопи. 7.10. Элементы квантовой статистики. Кристаллы Основные ерормулы ° Среднее значение энергии квантового гармонического осциллятора, приходящейся на одну степень свободы, выражается формулой + ьдг (7.10.1) где га - круговая частота колебаний осциллятора, а - постоянная Планка, к - постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура. и=ар= ~ (1) с где и — плотность энергии излучения, )з - объем полости, Т термодинамическая температура стенок этой полости, се †постоянн Стефана-Больцмана, с - скорость света.

Для адиабатического процесса ви+ р)) =о, (2) где Р— давление излучения, е()'-приращение объема полости. По условию задачи 242 Глава 7 ° Число нормальных колебаний одной поляризации в расчете на единицу объема кристалла в интервале частот от га до аз+ в(га определяется выражением оэ'поз 2язвз где и - скорость звуковой волны в кристалле. ° Молярная колебательная энергия кристалла: (7.10.2) (7 =9Яд — +— (7.10.3) где В = йаз /1 — дебаевская температура, аз - максимальная частота, ограничиваюьцая спектр колебаний, )1 - газовая постоянная. Примеры решения задач Решение Собственные поперечные колебания струны представляют собой стоячие волны, длины волн которых удовлетворяют требованию 21 — =н, (1) Л где 1-длина струны, Ль -длина волны, и = 1, 2, 3,... Формула (1) представляет собой условие того, что на длине струны 1 должно уместиться полуцелое число длин волн.

Учитывая, что 2=— 2хт (2) «'в где и- скорость распространения поперечных колебаний вдоль струны, находим (3) 7.10.1. Определить число собственных поперечных колебаний струны длины 1 в интервале частот аь га+йо, если скорость распространения колебаний равна т. Считать, что колебания происходят в одной плоскости. 243 Киантоеая физика Из формулы (3) видно, что число собственных колебаний струны в интервале частот от ш до со+дел определяется выражением йл„= — г1аз. ли Ответ: е1л = — айаг. л'и 7.10.2.

Имеется прямоугольная мембрана площадью 5. Найти число собственных колебаний, перпендикулярных к ее плоскости, в интервале частот ш, иг+е)ги, если скорость распространения колебаний равна з . Решение Направим одну из сторон прямоугольной мембраны вдоль оси х, а другую - вдоль оси у.

Вдоль осей х и у могут возбуждаться колебания, волновые векторы которых удовлетворяют условиям (см. предыдущую задачу) Й„= — и„, /е„= — и„, Х Л' (1) а где л„,и =1,2,3,, а и Ь - размеры мембраны вдоль осей х и у соответственно. Заметим, что каждому колебанию можно сопоставить волновой вектор к с компонентами Й„,Йз, Как следует из формул (1), число колебаний, для которых компонента 1„находится в пределах от й„ до 1е„+г))е„, а компонента Й„находится в пределах от А„до Й„+ЙЕ, определяется выражением з)иМ г'~хз ~ 5 (2) где 5=аЬ. Произведение зй„ей„представляет собой элемент площади зйг в пространстве волнового вектора )г. Этот элемент площади можно записать в полярной системе координат Ьт = ИИ1е, (3) где гР-полярный угол, меняющийся в пределах от О до т/2 (поскольку )е„, А > О ).

Таким образом, формулу (2) можно представить в виде г ~'т 5 5 л т 244 Глава 7 Интегрируя выражение (4) по Ир в пределах от О доге/2, найдем число колебаний, для которых модуль волнового вектора находится в пределах от й до 1+ей НМь = — /<~й. 5 (5) 2х Наконец, учитывая, что 1 =щlщ где га - круговая частота, а ескорость распространения колебаний, находим число колебаний, частоты которых находятся в пределах от га до и+в(га "~а — г ~'(~ 5 (6) 2вге~ Ответ: ИФИ = — зал(щ. 5 2хи~ 7.10.3. Получить выражение, определяющее зависимость молярной теплоемкости одномерного кристалла - цепочки одинаковых атомов - от температуры Т, если дебаевская температура цепочки равна В. Упростить полученное выражение для случая Т» д. Решение Для одномерной цепочки атомов число колебаний в интервале частот от ш до ге+Ив можно вычислить точно так же, как для струны (см. задачу 7.!0.1) где 1 - длина цепочки, и - скорость распространения колебаний вдоль цепочки.

Предположим, что число атомов в цепочке равно числу Авогадро Мд. Тогда общее число нормальных колебаний в системе должно равняться Мд. С другой стороны, общее число колебаний можно получить, интегрируя выражение (1) по в(га от О до еэ . Приравнивая эти величины, находим Фд (2) ли в С учетом формул (1), (2) энергия колебаний в интервале частот от га до га+Йа определяется выражением 245 Квантовая физика 14) Ответ: У =Ю вЂ” +— См = Н вЂ” 1 — —; См и Я при Т» и. вс 1 Т ввсг Л) =(Е) — '1аз, (з) щ~вас где (Е) - среднее значение энергии квантового гармонического осциллятора, приходящееся на одну степень свободы 17.10.1).

Выражение тЗ) можно представить в форме й)У, ~1 ги = — '~-+ азс1аз, аз 2 1 где л - постоянная Планка, 1с - постоянная Больцмана, Т термодинамическая температура. Полную энергию колебаний цепочки получим путем интегрирования выражения 14) по с1со в пределах от 0 до аз В результате приходим к формуле и=и — + — ~ '„, 15) где а=лаз,/зг - дебаевская температура, )с =зги - газовая постоянная. Дифференцируя выражение (5) по температуре Т, находим малярную теплоемкость одномерной цепочки атомов взг с„=в[ — 1 * — „,' ].

(с) о в При Т» а, выражение 15) принимает вид У = Уо + ЯТ, где Со = Яд/4. Поэтому в этом пределе См н Е. Литература 1. ИродовИ. Е. Задачи по общей физике. — Мз ЗАО «Издательство БИНОМ», Научно-технический центр «Владис», ! 988. 2. Чертов А. Г., ВоробьевА. А. Задачник по физике. — М.: Интеграл- Пресс, 1997. 3. Трофииова Т. И., Павлова 3. Г. Сборник задач по курсу физики с решениями. — Мх Высшая школа, 1999.

4. Савельев И. В. Сборник вопросов и задач по общей физике— М.: Наука,!988 5. СекаЛ.А. Сборник вопросов и задач по физике. - Мх Высшая школа, 1986. 6. Козел С. М Рашба Э. О. Славатинский С. А. Сборник задач по физике. - М.: Наука, 1987. 7. Савельево. В. Курс общей физики (учебное пособие для вузов в 5 книгах, 4-е издание, переработанное).-Мз Наука, 1998. 8. Сивухил Д. В. Общий курс физики (учебное пособие для физических специальностей вузов в 5 томах, 3-е издание, исправленное и дополненное).-М.: Наука, 1989. .