Решение задач по Физике (Кириллов), страница 3

о о ш о Используя численные данные задачи, получаем л = 4,0 м. двумя Ответ: а) а„=о /)1=2,0 м/с', вектор а„направлен все время к центру колеса; б) з = 8)г = 4,0 м. 1.1.12. Шар радиуса И = )0 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр (точка С на рнс. !.5) движется с постоянным ускорением а = 2,5 см/с . 2 Через 2 = 2,0 с после начала движения его положение соответствует рисунку. Найти: а) скорости точек А и В; б) ускорения точек А и О. О Рис.

!.5 Реи2е22ие Скорость центра шара (точки С) через время 2 после начала движения равна о = аг и О кв в во КС ово определяет скорость поступательного движения шара в этот момент времени. Каждая точка на поверхности шара участвует одновременно в двух движениях— ос поступательном со скоростью о и и В ос вращательном со скоростью о,р. В частности, точка шара О тоже участвует в двух движениях с направлением соответствующих скоростей, показанных на рис. !.6.

Так как полная скорость точки О равна Ри нулю (шар не проскальзывает), то о,р= ос. Скорость точки А будет равна сумме ов = о,р+ = 2аг, а скорость точки В найдем по теореме Пифагора 19 Физические Основы лзезаники и =з/и +~„=ч2а/. Используя численные условия задачи, получаем Гг г г и„ы 1О см/с и га = 7 см/с. Полное ускорение точки А шара равно векторной сумме трех векторов: вектора ускорения поступательного движения а, вектора тангенциального ускорения вращательного движения а, (оба этих вектора направлены по касательной к шару) и вектора аи ------- - ал центростремительного ускорения вращательного пп движения а„(см, рис.!.7). По определению а, = г/ ч/с/г и, следовательно, а, = а. Поэтому, пз а о полное касательное ускорение точки А равно 2а.

Рнс. !.7 Нормальное ускорение вращательного движения точки А равно а„= (гм) И = (а/) И. Полное ускорение точки А найдем по теореме Пифаго ра а„= (2о) + — =2а !+в Для точки шара О направление векторов ускорения поступательного движения а, тангенциального ускорения вращательного движения а, и вектора центростремительного ускорения вращательного движения а„ показано на рисунке 1.7. Так как а, = а, то полное касательное ускорение точки О равно нулю и, следовательно, полное ускорение точки О равно нормальному ускорению этой точки, то есть а =а„=(а/)~//1.

Используя численные условия задачи, находим а„= 5,6 см/с и ао= 2,5 см/с'. ~г Ответ: а) ив=2а/=10 ем/с; иа =./2а/= 7 ем/с; б) а„=2а 1+ — ! (а/ (2/! ! = 5,6см/с; а = — = 2,5 см/с . г, (ог) г о 1.1.13. Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра равен г. Найти радиусы кривизны траекторий точек А н В /см. рис. 1.5). го Глава 1 Решеиие Полная скорость точки А цилиндра в некоторый момент времени равна удвоенной мгновенной скорости центра цилиндра С в этот момент, то есть т„= 2тс (смотри решение предыдущей задачи).

Полная скорость точки А направлена по касательной к траектории движения этой точки. Найдем нормальное ускорение точки А для этой траектории, то есть компоненту полного ускорения точки А перпендикулярную направлению полной скорости точки А цилиндра. Полное ускорение точки А равно векторной сумме трех векторов; вектора мгновенного ускорения поступательного движения а, вектора тангенциального ускорения вращательного движения а, (оба этих вектора направлены по касательной к цилиндру) и вектора центростремительного ускорения вращательного движения а„ (см. рис. 1.7). Из этих трех векторов только а„ дает отличную от нуля проекцию на нужное направление.

Эта проекция равна длине вектора а„, то есть а„= (тс)'lг. С другой стороны, полная скорость точки А и нормальное ускорение к траектории точки А связаны известным соотношением а„= (тв) Ял, где Яв - радиус кривизны траектории, откуда )1 = в = с =4г. (2к )' в а„ Аналогично, полная скорость точки В равна тв = ч'2т и направлена под углом 45 к направлению вектора г (см. решение предыдущей задачи). Полное ускорение точки В равно сумме В трех векторов: вектора ускорения поступательного движения а, вектора тангенциального ускорения вращательного движения а, и вектора центростремительного тв ускорения вращательного движения а„(см. Рис. 1.8 рис. 1.8).

Найдем проекцию этих векторов на направление перпендикулярное вектору скорости точки В. Так как длины векторов а и а, равны друг другу (см. решение предыдущей задачи), то проекции этих векторов равны и противоположны по знаку. Следовательно проекция полного ускорения точки В на нужное 21 Физические основы механики направление равна а„соз45 =а„~./2. Зто и есть ускорение точки В о нормальное к траектории ее движения (перпендикулярное вектору гв).

Поэтому, радиус кривизны траектории точки В равен 2 2г2 а„,/~/2 гс/ГгГ2) Ответ: Кд = 4г; Кв = 2г Г2. 1.1.14. Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных взаимно перпендикулярных пересекающихся осей с постоянными угловыми скоростями в, =3,0рад/с и еэ, =4,0 рад/с. Найти угловую скорость и угловое ускорение одного тела относительно другого. Решение Перейдем во вращающуюся систему отсчета, связанную с первым телом. В этой системе отсчета второе тело участвует одновременно в двух движениях: вращении с вектором угловой скорости — ш, относительно первой оси и вращении с вектором угловой скорости га, относительно второй оси. Так как оси вращения перпендикулярны друг другу, то векторы -аэ, и га,, будучи направленными по соответствующим осям вращения, взаимно перпендикулярны.

Вектор полной угловой скорости второго тела относительно первого равен ги =ш, -ш,, а длина этого вектора может быть найдена по теореме Пифагора: в = э~в,' + в,' . Используя численные условия задачи, получаем в = 5,0 рад/с. Угловое ускорение второго тела относительно первого по определению равно Ига Ига, йа, /1 // // ' В рассматриваемой системе отсчета вектор га, остается неизменным как по величине, так и по направлению и, следовательно, с/ш,/с//=О. Вектор в, в этой системе отсчета вращается с угловой скоростью и, относительно оси, проходящей через вектор еао и направлен перпендикулярно этой оси. Рассматривая аэ, как радиус-вектор некоторой точки, расположенной на его конце, приходим к тому, что йаз/Й имеет смысл линейной скорое~и вращения этой точки по окружности с Глава ! 22 "радиусом" «/з, то есть |г/ш, (О/~ = ш,ш,, В результате, угловое ускорение ф одного тела относительно другого определяешься выражением г/ш г/ш, /) ш!ш2 ' /г й Используя численные условия задачи, получаем //=12,0 рад/с'.

Ответ: ш = зГш,' + ш,' = 5,0 рад/с; /! = ш ш, = 12,0 рад/с'. 1.1.15. Круглый конус с углом полурасгвора а=30 и радиусом основания /! = 5,0 см катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как показано на рис. 1.9. Вершина конуса закреплена шарнирно в ~очке О, которая находится на одном уровне с точкой С вЂ” центром основания конуса. Скорость точки С равна г = 10,0 см/с.

Найти модули: а) угловой скорости конуса; б) углового ускорения конуса. Решение Конус участвует одновременно в двух лвижеииях: вращении вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью «~ и вращении вокруг оси ОС с угловой скоростью «ь . Щ Направление соответствующих векторов показано на рис.1.9. При этом, точка С движется по окружности радиуса /!/15 а с постоянной скоростью ж поэтому «! г я1даф.

Так как конус катится по Рис. 1.9 горизонтальной плоскости без скольжения, то скорость вращения вокруг оси ОС тех ~очек основания конуса, которые соприкасаются с плоскостью, равна ж Радиус окружности по которой вращаются эти точки равен /1, поэтому угловая скорость вращения конуса вокруг оси ОС равна «х = а//1. а) Принимая во внимание, что векторы «~ и «ь взаимно перпендикулярны, получаем для модуля вектора полной угловой скорости конуса «/= «л+«ь выражение ш=~д'+~ = —,Я'а+! = /! /! соя а 23 Физические основы механики /з=а)оз, =(и/к)'зла, откуда /1= 2,3 рад/с'.

Ответ: а) аз= и/(йсоза) =23 рад/с; б) ф=(и/й)'!да=23 рад/с'. 1.2. Основное уравнение динамики Основные Формулы °, Основное уравнение динамики гвторой закон Ньютона): о~ — =Г, 0у (1.2.1) зй где т -масса частицы (материальной точки), е — вектор ее скорости, ррезультирующая всех сил, действующих на частицу. ° Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории движения частицы: еЬ зл — =Р;, т — =г'„. е)г ' И где )1 в радиус кривизны траектории в данной точке. Уравнение движения центра масс С системы частиц; е1'с т — =Г, з)г 11.2.2) (1.2.3) Используя численные значения задачи, получаем оз= 2,3 рад/с. б) Вектор углового ускорения конуса равен по определению ~М ~абаз /) г+ з е11 з)г е)г причем первое слагаемое в этой сумме равно нулю, так как вектор «я остается неизменным, как по длине, так и по направлению.

Вектор же оэз, оставаясь неизменным по длине, вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью гц н направлен перпендикулярно этой оси. Рассматривая воз как радиус-вектор некоторой точки, расположенной на его конце, приходим к выводу, что аеоз/з)г имеет смысл линейной скорости вращения этой точки по окружности с "радиусом" озз, то есть 'Р)еоз/й~ = оз,гоз.

В результате, угловое ускорение /з' конуса определяется выражением Глава ! 24 где Š— сумма всех внешних сил, действующих на частицы, ш - масса системы частиц. Примеры решения задач 1.2.1. Частица движется вдоль оси х по закону х = аг —,Вг, где а э и ф - положительные постоянные. В момент времени г = 0 сила, действующая на частицу, равна Ро . Найти значения Рх силы в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке х = О.

Реиэеиие. По второму закону Ньютона сила, действующая на частицу равна Рх = ' =2 (а-3)У!), д .х хэ'ээ где масса частицы ш может быть найдена из начального условия при э = 0 Р„(0) = Ро =2та. В результате, зависимость силы от времени принимает следующий вид Рх Рох) г) ' 3,0 Момент времени!„, соответствующий точке поворота, находится из условия о= — =2аг — 3,0э =О, хэх Й откуда г„= 2а/Зф (момент времени э= 0 соответствует началу движения точки, а не повороту). Момент времени го, когда частица опять окажется в точке х=О, находится из уравнения х=аэ'-фгэ =О, один корень которого э=О соответствует началу движения, а второй корень эо = а/,'э' искомому моменту возвращения в начальную точку.

Подставляя полученные времена в выражение для силы, находим значения Рх в точке поворота Р хОх) Ро и в тот момент, когда частица опять окажется в точке х=О Р„Оо) = -2Ро 25 Физические основы лзеланики Ответ: Р.Нч) =-Ро', Р.Оо) =-2Ро. 1.2.2. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющий угол а = 15 с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в д = 2,0 раза меньше еремею: спуска. Реизение Силы, действующие на тело прн его движении вверх, показаны на рисунке 1.10.