Решение задач по Физике (Кириллов), страница 2

Дая этого направим ось х вдоль прямой, по которой движется точка и составим дифференциальное уравнение ее движения Решение этого уравнения имеет вид !0 Глава 1 а координата точки остановки определится подстановкой в это выражение времени движения точки до остановки !в вместо текущего времени и Путь к пройденный телом до остановки как раз равен этой координате, так как точка вплоть до остановки все время двигалась в одну и ту же сторону. В результате получим 2 д- За 2 г~ 2э/ив Ответ: к = — э)иб ', !в = —. За а 1.1.4. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы: а) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности; б) радиус кривизны начала его траектории был в !2 = 8,0 раз больше, чем в вершине? Решение Уравнения движения тела, брошенного со скоростью га под углом а к горизонту (см. рис.

1.1), имеют вид: хч ив!сока, у = ивгяп а — р'/2, а соответствующие зависимости от времени проекций скорости тела на горизонтальное и вертикальное У направление таковы Рис.!.! и„= ~!х/й = ив сока г, = Ыу/дх = гв яп а — я! . Условие г„=0 определяет время движения тела до верхней точки траектории таяла й = Я а координата у верхней точки, получаемая при подстановке этого времени в уравнение движения тела, дает высоту подъема (гв яп а) Н= г~ Физическое основы механики а) В вершине траектории нормальное ускорение равно л, а скорость тела равна г = г„= го сов се, поэтому радиус кривизны траектории определяется выражением )!, =(е сока) зя . По условию задачи )г, = Н, з/ откуда з8а=чГ2 и а= 54,8о.

б) Найдем радиус кривизны Яо начала траектории движения тела. Как видно из рис. !.1 нормальное ускорение тела в точке бросания равно а„= е сока, поэтомУ Яо = г'/(8 сова) . ИспользУЯ выРажение длЯ РалиУса кривизны траектории в вершине )1, = (ио соз а) з е и соотношение 2 з й = з)1!ы заданное по условию задачи, получаем соз а = з) = 1!2 и а = 60 . -з о Ответ: а) а =агсз8 Г2=54,8~; б) амагссозз) з =60', 1.1.5. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли.

Скорость его подьема постоянна и равна го. Благодаря ветру, шар приобретает горизонтальную компоненту скорости " пУ, где а- постоянная, у - высота подъема. Найти зависимость от высоты подьема: а) величины сноса шара х!у); б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара. Решение Найдем уравнения движения шара. Так как по оси у шар движется равномерно со скоростью го, то координата шара у зависит от времени подъема г по закону у = гоз. Зависимость координаты шара х от времени з можно определить из дифференциального уравнения з!х пу пззог ° ззз решение которого, с учетом начального условия х = 0 при г = О, имеет вид 2 зхчог х= 2 Учитывая, что ! = у/ио, определим искомую величину сноса шара х в зависимости от высоты подъема у: ау' х= 2го 12 Глава / Компонента ускорения а =О, так как по оси у шар движется У равномерно.

Компоненту ускорения а„найдем дважды дифференцируя координату х по времени /. В результате получим п„= йоо и, Гг г следовательно, полное ускорение шара равно и = па, +а„= аоо. Тангенциальное ускорение шара равно г/о п,= —, о// где и - полная скорость шара определяется выражением =Я",'=Л У'.* дифференцируя которое по времени, получаем г/ а'о,'г пт = Избавляясь от времени с помощью соотношения /= у/ио, получаем зависимость тангенциального ускорения шара от высоты его подъема а'у а ,~ТЙУ Нормальное ускорение шара п„найдем, учитывая взаимную перпендикулярность векторов а, н а„, по теореме Пифагора; й"'о 1+ (йу/о„) Ответ: а) х = —; б)-а = аио, и, = —, а„= йу и'г у йоо 2ио 1+(ау/оо) ! +(йу/ио) 1.1.б.

Точка движется по окружности со скоростью о= аг, где а=0,5 м/с. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет и = 0,1 длины окружности после начала движения. Решение Тангенциальное ускорение частицы равно и, =г/о/г// = /(аг)/г/г =а и остается постоянным. Нормальное ускорение частицы зависит от времени по закону 13 Физические оеооеы механики а„=е /И=а / /Я. Найдем время /о, за которое частица пройдет и - тую часть окружности. Зависимость пройденного частицей пути з от времени определяется дифференциальным уравнением Из/е/г = цг, решение которого имеет вид: э=пг'/2. Поэтому, искомое время /о находится из условия 2/й1и = ево //2, откуда получаем соотношение а / = 4зй1на, подставляя которое в 2 2 выражение для нормального ускорения, получаем а„ы4згаи.

Полное ускорение в этот момент времени равно .=./ г.я 7= /~.и 7. Подставляя численные значения задачи, получим а = 0,8 м/с . О . = /~ Я 7=0.8 к'. 1.1.7. Частица А движешься в одну сторону по траектории (см. рис.1.2) с тангенциальным ускорением а, =ат, где а — постоянный Х вектор, совпадающий по направлению с осью х, а т - единичный вектор, й' связанный с частицей А и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания х дуговой координаты. Найти скорость Рис. !.2 частицы в зависимости от х, если в точке х = 0 ее скорость равна нулю.

Решение Дифференциальное уравнение, определяющее зависимость скорости частицы и от времени й имеет вид Ии — =И е// Учитывая, что Й с/г с/х Ни Й вЂ” = — — = — г„= — и соя В, Й Ых с// дх Их 14 Глава / где В - угол между векторами а и т, получаем г/и — )1созд = )а1т)со50 0х или (/ и — = Й', Ох Решение этого дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, с учетом начального условия х = 0 при г = О, дает искомую зависимость скорости частицы от ее координаты и=~/2ах. Ответ: и = ~/2ах. 1.1.8. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол 4) его поворота зависит от времени как 1а=)0/', где )0=0,20 рал/с'.

Найти полное ускорение а точки А на ободе колеса в момент г = 2,5 с, если скорость точки А в этот момент и = 0,65 м/с. Решение. Угловая скорость вращения колеса и в момент времени / равна и= — = 2,0/. )/1)) й Так как линейная скорость и точки А в этот момент времени связана с угловой скоростью и соотношением и = ий, то радиус колеса /1 равен /1 = 2)0 г а нормальное ускорение этой точки определяется выражением 2 а = — =2,0ш. и Тангенциальное ускорение точки А в момент времени г равно Й )/и а, = — =/1 — = — 20=— 0/ )/г 2,0/ г и, следовательно, полное ускорение в этот момент времени имеет вид =Д .

/()) (2л ) =())~~ (2~0/. Используя численные условия задачи, получаем а = 0,7 м/с . 2 !5 Физические основы лзеханики 0: =ил)/~ $2л ~=вз к'. 1.1.9. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением В = аз, где а=2 0х10' рал/с'. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол 1о = 60 с ее вектором скорости? о Решение Вектор скорости и некоторой точки тела, вращающейся по окружности радиуса л, направлен по касательной к этой окружности и, следовательно, коллинеарен вектору тангенцнального ускорения а, этой точки (см.

рис, 1.3). Поэтому, тангенс угла 4з между вектором скорости и и полным ускорением а вращающейся точки равен а„ 1вчз = а, Тангенциальное ускорение а, связано с угловым ускорением 13 известным соотношением а, = /И = цгзг. Рнс. 1.3 С другой стороны й а,=— й и, поэтому, для определения зависимости скорости и от времени получаем дифференциальное уравнение й — = цгй, с1г решение которого имеет вид айг' 2 и позволяет определить нормальное ускорение а„вращающейся точки и айг П Я 4 !6 Глава! Искомое выражение для тангенса угла гр между вектором скорости т и полным ускорением а вращающейся точки имеет вид ап !яге = —" = —, а, 4 откуда , 4!яоо 1 в Используя численные условия задачи, получаем г = 7 с.

Ответ; ! =э~ — = 7 с. 4!кге а 1.1.10. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его УгловаЯ скоРость зависит от Угла повоРота гр по законУ ш = що -а!а, где азо и а — положительные постоянные. В момент времени г = О угол го = О. Найти зависимость от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости.

Решение По определению угловой скорости вращения е!(О аэ =— г!г и, поэтому, зависимость угла поворота тела гр определится из дифференциального уравнения дге — = шо — аге. Й которое, с целью разделения переменных интегрирования, перепишем в виде шо Ю Взяв неопределенный интеграл от левой и правой частей этого уравнения, получаем !п(аэ, -а!е) = г+С а или -г иве~ У= и 17 Физические основы .иеканики где С- константа интегрирования. Так как при г = 0 угол р = О, то -ас е '=щв и, следовательно, искомая зависимость угла поворота тела г)з от времени г имеет вид 1о= — (1-е ) а а зависимость угловой скорости пз от времени г определяется дифференцированием последнего выражения Ф -ы — щае й Ответ: а) рО) = — в(1 — е "'); б) аз(г) = азве "'.

а 1.1.11. Точка А находится на ободе колеса радиуса Я=0,50м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью и = 1,0 м/с. Найти: а) модуль и направление ускорения точки А; б) полный путь з, проходимый точкой А между двумя последовательными моментами ее касания поверхности. Решение Точка колеса А участвует одновременно в двух движениях поступательном со скоростью и и вращательном со скоростью и,р. Так как колесо катится без проскальзывания, то скорость вращения точки А равна скорости С поступательного движения колеса, то есть г,р — — ч. Перемещение колеса происходит с постоянной скоростью, поэтому ускорение точки А определяется центростремительным ускорением Рис.!.4 вращательного движения а„= и гй = 2,0 м/с .

Направление векторов и и и,р для некоторого положения точки А, определяемого центральным углом гг, показано на рис. 1.4. Проекции скорости точки А на горизонтальное и вертикальное направление равны и„„= и — и сова гк г кз)па, нз 18 Глава ! а полная скорость определяется выражением = Я„+ о2„= 2ф(п(аД)), где а = п22 и ц2- у~ловая скорость вращения колеса. Полный путь, проходимый точкой А между последовательными моментами ее касания поверхности равен 2л2'а 2л2'а 2л з = ) г,,(г)222 = 2о ~~яп(а/22(!г = — $з(п(а2'2(г(а = 8)г.