Решение задач по Физике (Кириллов), страница 10

Термодинамика и молекулярная физика 2.1. Уравнение состояния газа. Процессы Основные формулы (2.1.2) Примеры решения задач 2.1.1. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону Т = Т„+ ат', где Т и а положительные постоянные, У вЂ” объем одного моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах р и К ° Уравнение состояния идеального газа: рУ = — Йт или р=л/Т, (2.1.1) М где р, У, Т вЂ” давление, объем и температура газа, соогветс геенно, гав масса газа, М - молярная масса газа, и - концентрация молекул газа, /1=/сЫ„=8,31 Дж/(моль К) — газовая постоянная, /г =1,38х10 Дж/К— постоянная Больцмана, А/„=6,02х10 моль' — постоянная Авогадро.

зз ° Барометрическая формула; р = рв ехр(-МЯ/гт), где рв - давление на высоте Ь=О. ° Уравнение состояния ван-дер-ваальсовского газа (для одного моля): р+ — ', Ъ -ь) = йт, (2.1.3) где Р - молярный объем газа, а и Ь вЂ” постоянные, различные для разных газов. ° Критическая температура, критическое давление и критический молярный объем ван-дер-ваальсовского газа; т„= —, р„= —,, У„=ЗЬ 8а а (2.1.4) 27ЬЯ 27Ь 69 Термодинамика и молекулярная физика Решение.

Комбинируя уравнение процесса Т = То + аУ с уравнением состояния идеального газа для одного моля РУ = КТ, получаем уравнение процесса в координатах р и У КТ, р = — о+сгКУ Исследуем это выражение на минимум, для чего вычислим производную за/за и прнравняем ее к нулю: гр КТ, — = —,' +сгК=О, АУ откуда объем Ил при котором давление минимально равен Уо =,~Тра, а наименьшее возможное давление ро идеального газа в рассматриваемом процессе определяется выражением р, = — о+ггКУ,=2К,~Ы,. КТ, о Ответ: ро =2Кз/Ыо.

2.1.2. Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно К. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры йТ~г11з. Решение. Изменение давления связано с изменением высоты известным соотношением др=-рйгй, где р - плотность газа. С другой стороны, уравнение состояния идеального газа виде п КТ рКТ р= У М М дает рКг1Т М Поэтому, градиент температуры может быть определен из соотношения рКдТ = -рйей М или 70 Глава 2 Итог)н = — Ма~К.

Ответ: (П(йй = — МИ~Я. 2.1.3. Идеальный газ с малярной массой М находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно я. Найти давление газа как функцию высоты л, если при л=О давление р=ро, а температура изменяется с высотой как а) Т =ТоН вЂ” ан); б) Т =ТоН+ай), где а - положительная постоянная.

Решение. Комбинируя соотношение Ир = — ррах с уравнением состояния идеального газа ш лт рот р= 'в' М М получаем дифференциальное уравнение для определения зависимости давления р от высоты л Ыр Мрй р ит' Его решение с учетом начального условия р=ро при л=О дает для случая а) следующую зависимость ив р= р,(1-ал) а для случая б) получаем соотношение ив р = ро(! + ай) ив ив Ответ: а) р= ро(1-ан)~™; б) р= ро!!+ай) вг'".

2.2. Первое начало термодинамики. Теплоемкоеть Основные формулы ° Первое начало термодинамики: 42=А/+ 1А, 12.2.1) Термодинамика и молекулярная физика 71 где 1 = и„+и,р+2и„,„— сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы молекул газа. ° Малярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении: с, =с„+!! (2,2.4) ° Малярные теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и при постоянном давлении: с„= — и е, = —, ж (2.2.5) где у = с„/с„- отношение малярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (показатель адиабаты газа). ° Работа, совершаемая газом при изменении его объема: кз А= ~):нЛз ° Внутренняя энергия идеального газа: ш ш !!Т р)з (7= — с,т= — = —, (2.2.7) И ' Му-1 где у = с,/с„- отношение малярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (показатель адиабаты газа).

° Малярная теплоемкость газа при политропическом процессе с показателем политропы и: й 1! (и — у)г с= — — — = у-! и — 1 (и — 1)(у-!) ° Уравнение политропического процесса для идеального газа с использованием различных параметров: (2.2.6) (2.2.8) где 0Д вЂ” количество тепла, переданное системе, Л/ - изменение внутренней энергии системы, е(А — работа, совершаемая системой. ° Количество тепла и малярная теплоемкостга ИЦ = — сг(Т, (2.2.2) М где с — малярная теплоемкость тела, 42 — количество тепла, сообщение которого изменяет температуру тела с массой т и малярной массой М на з(Т. ° Малярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме: с„= — Я, (2.2.3) 2 Глава 2 72 р-л РУ" =сонм, 7У" ' =сопя, Тр " = сопя! (2.2.9) где п = (с — с„)/(с -с„) - показатель политропы.

° Уравнение Пуассона адиабатического процесса для идеального газа с использованием различных параметров: ~-у РУ" =сопя!, ТУ" ' =сопя!, Тр " =сопя! (2.2.10) Примеры решения задач 2.2.1. Какое количество тепла надо сообщить азоту при изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу А=2,0 Дж? Решение. Количество тепла, получаемое газом при изобарическом нагревании на АТ, определяется выражением ш Я= — с ЬТ, и а работа, совершаемая газом при изобарном процессе равна А = АУ = — КЬТ. М Отсюда получаем сл АТ (е = — ~А = —.

?7 Т-! Для двухатомного газа, которым является азот, Т= 7/5 (без учета колебательных степеней свободы молекул), поэтому искомое количество тепла, которое надо сообщить газу, равно Я=7 Дж. Ответ: Д = — = 7 Дж. Ау Т-1 2.2.2. Найти малярную массу газа, если при нагревании уп=0,5 кг этого газа на ЬТ=10 К изобарически требуется на АД=1,48 кДж тепла больше, чем при изохорическом нагревании.

73 Термодинамика и молекулярная физика Решение. Количество тепла Дь требуемое при изобарическом нагревании на йТ, равно т = — с ЬТ. М нагревания газа на ЬТ потребуется При изохорическом процессе количество тепла Дз = — с„ЬТ. П1 По условию задачи !71 !7з (ср сз !д Т йд Т ЛЯ откуда искомая малярная масса газа равна тйЬТ ЛД Используя численные условия задачи, получаем И=28 гlмоль (азот).

Ответ: М = =28 гlмоль. тянет ЛД 2.2.3. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на ЬТ =72 К, сообщив ему количество тепла Я=1,6 кДж. Найти приращение его внутренней знергии и показатель адиабаты у = с /с„. Решение. Количество тепла Ц, требуемое при изобарическом нагревании одного моля газа, равно О =с дзТ= ЯЬТ Р откуда 0 Ц вЂ” йзлТ а приращение его внутренней энергии определяется выражением Ли =с„ЬТ= — =Ц-кает. РЬТ Т вЂ” 1 Используя численные условия задачи, получаем ЬУ =1 кДж, у =1,6. 74 Глпвп 2 Ответ: 2!У =Π— К!зТ=! кДж, у= 0 =1,6. Ц вЂ” КЬТ 2.2.4.

Найти молярную теплоемкость идеального газа при политропическом процессе РУ" =сопя, если показатель адиабаты газа равен у. При каких значениях показателя полнтропы л теплоемкость газа будет отрицательной? Ре1пелее. Показатель политропы определяется уравнением с-с л= с-с„ решая которое относительно теплоемкости газа с, получаем лс„— с л — у с= '= — с. л — 1 и — 1 Молярная теплоем кость с„при постоянном обьеме равна )( с„= у-1' поэтому искомая молярная теплоемкость газа имеет вид (л- у)й с= (и-!)(у-!)' Так как у всегда больше единицы, то условие с<0 сводится к неравенству — <О, л — у и — 1 решение которого имеет вид 1< и < у и определяет значения показателя политропы и, при которых теплоемкость газа будет отрицательной.

(и — у) !! Ответ: с =; 1 < л < у . (л — 1)(у-1) 2.2.5. Один моль аргона расширили по политропе с показателем л=1,5. При этом температура газа испытала приращение ?зТ=-26 К. Найти: 75 Термодинамика и молекулярная физика а) количество полученного газом тепла; б) работу, совершенную газом, Решение. Молярная теплоемкость газа при политропическом процессе равна (и — у) К с= (и — 1)(у-1) Для одноатомного газа, каким является инертный газ аргон, малярная теплоемкость при постоянном объеме равна с„= ЗК/2, а малярная теплоемкость при постоянном давлении определяется выражением с, =с„+К=5К/2 и, поэтому, у=с /с„=5/3.