3 (Техническая газодинамика Дейч М.Е)

6П2.2 Дейч Михаил Ефимович Д 27 Техническая газодинамика. Иад. 2-с, переработ. М.— Л. Госзиертоивдет, 1961 с черт. и илл. с(сз1дп раз)1ао)с редактор Б. я, тлрпхчнпл Техн. редактор Л. М. Фрпдннн 6П2.2 ГЛАВА ПЯТАЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 5-1. ТЕМПЕРАТУРА ТОРМОЖЕНИЯ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 197 При рассмотрении движения реальной (вязкой) жидкости необходимо учитывать диссипацию (рассеяние) энергии, вызываемую внутренним трением н теплопроводностью, т. е. термодинамической необратимостью процесса. Движение вязкой жидкости описывается системой уравнений сохранения: расхода, количества движения и энергии.

Уравнение неразрывности (1-12), как уже указывалось, справедливо и для вязкой жидкости, Уравнения количества движения в форме Эйлера (1-16) должны быть дополнены членами, учитывающими влияние вязкости. Следует подчеркнуть, что для необратимых процессов движения интегралы уравнений движения и энергии не- совпадают. При выводе уравнения энергии для струйки (9 2-1) указывалось, что оно справедливо и для адиабатических (необратимых) течений, Однако зто замечание вполне справедливо только в частном случае, когда работа сил трения полностью преобразуется в тепло.

Такой процесс соответствует простейшей схеме одномерного потока или движению газа с равномерным полем скоростей. При рассмотрении движения вязкой жидкости с неравномерным распределением скоростей в потоке условие эквивалентности теплоты трения и работы трения не выполняется. В таком потоке только часть работы трения превращается в теплоту, а другая часть вызывает чисто механический эффект: перестройку поля скоростей, в процессе которой происходит перераспределение кинетической энергии между частицами жидкости. Отсюда вытекает, что различные частицы приобретают разное количество теплоты трения и имеют разный запас полной энергии. Следовательно, условие (е=сопа1 в общем случае не является интегралом уравнения энергии для всей массы »»й л+ а»р з. Г+ — '" Гр. А или — Я+ чс = сопз1.

198 жидкости, так как в потоке образуется местное перераспределение энергии. В качестве примера рассмотрим движение вязкой сжимаемой жидкости между двумя плоскими стенками Рис. 5-1. К выводу уравненая энергии для потока сжимаемой вязкой жидкосп» между двумя плоскими стенками 1безградие»»тиос течение), 1рис. б-1). Верхняя стенка движется в направлении оси х с постоянной скоростью, равной скорости газа с . На нижней стенке скорость равна нулю, так как эта стенка неподвижна'. Полагаем, что давление сохраняется постоянным вдоль осей х и у, т. е.

— Р= ~=О. дх ор Если' скорость движения верхней стенки мала, для адиабатического потока можно считать, что температура постоянна и одинакова для всех точек потока. Если же величина с достаточно велика, то необходимо учитывать, что температура Т является функцией у. В таком течении эффект сжимаемости проявляется только в связи с изменением температуры газа; плотность газа меняется и соответствии с формулой 1для идеального газа) ' Рассматриваемый частныа случай движения газа называют течением Кузтта. Так как в рассматриваемой задаче скорости по оси х не меняются, а давление сохраняется постоянным как по у, так и по х, то закон сохранения энергии формулируется весьма просто: количество теплоты, подведенное к элементу, плюс работа сил трения равны »»улю.

Обозначим: Я вЂ” количество тепла, переданное элементу в единицу времени от соседних частиц; т — напряжение трения. Количество тепла, полученное элементом, определяется как разность 1рис. 5-1): ® г (Я + ЫР)»ггх =- — — г)уД..с» л»',» ) Разность секундных работ сил трения находим по уравнению [(т+ — »»у) (с+ — »1у) — чс~ »1х = — 1чс) »Уу»Ух. Тогда уравнение энергии будет: о — ( — Я+чс) =О, с»р Постоянная в правой части уравнения энергии определяется из граничных условий. Так, при у= О, с = О и Я = Я„ где Я, — удельное количество тепла, передаваемое потоку газа от внешнего источника.

Следовательно, — 1')+ тс = — Я,. Для ламинарного движения ч определяется по формуле 11-4). Вспомним, что где Х вЂ” коэффициент теплопроводности. После несложных преобразований получаем: " Ра змер влемснта в направлении оси г принят за единицу. Величину нс Рг= —" А называют числом Прандтля. Отметим, что входящие в выражение для Рг коэффициенты теплопроводности и вязкости зависят от температуры: А= (Т) и 1е=-р(т), Интеграл уравнения энергии для случая 1е=сопз1 позволяет связать статическую энтальпию в потоке с энтальпией у неподвижной стенки следующим образом; с* Г его 1 — 1„+Р— = — Р Я,~ —, о о с где при линейном распределении скорости ) — = ~ — = —, Г~у 1со и .

е ее о о че — напРЯжение тРениЯ на стенке; 1, = с ҄— энтальпиЯ тоР- можения на стенке. Следовательно, с' 1 — 1 + Рг — = — Рг — 'с. о 2 (5-1) С помощью (5-1) и (5-1а) после несложных преобразований находим: с+Рг 2 + — ' с =с,.+Рг 2 + — ' с... (5-1б) ее ( е или г с — 11с сее1 2 — = — =1+Рг — (1 — — 1И + + ( ) с еес, 1 с,е е (5-1в) 200 Для верхней стенки, движущейся вместе с потоком со скоростью с , нетрудно получить: с — 1о+ Рг — = — Рг — с .

с' (5-1а) 'е Найдем для случая адиабатического течения Я, = О) отношение температур торможения на движущейся стенке и в произвольном сечении потока (на расстоянии у), учитывая, что температура торможения и термодинамическая температура связаны соотношением т,'=т+—," . 2с (5-1г) Имея в виду, что рассматривается случай с =сопз1, следовательно Е=с Т, а для адиабатического течения и 1'„1, =О, нз (5-1) и (5-1г) получим; Т = Т +(1 — Рг) †.

2ср Для движущейся стенки с помощью уравнений (5-1а) и (5-1г) будем иметь: со Т,=-Т +(1 — Рг) 2~ . 2с Следовательно, т,' с, — с' 2 — = 1 — (1 — Рг) — . = 1 — (1 — Рг) (Е~ — Е'), (5-2) 2срГ, где Е ==;Е= — ' У 21е У 21е 201 Формула (5-2) показывает, что для Рг 4. 1 в вязком газе температура торможения, т. е. полная энергия не сохраняется постоянной по сечению. При Рг=1 теьшература торможения Т = Т,=сопз1 для всех точек потока. Число Рг характеризует соотношение между теплом, выделившимся вследствие трения, и теплом, отведенным от элемента теплопроводностью. При Ргс' 1, что имеет место для всех газов, отвод тепла совершается более интенсивно, чем его выделение.

В этом случае Т, <. Т,. При Рг ) 1 выделение теплоты трения происходит более интенсивно, чем ее отвод, и Т„ ~ Т,, Для совершенного газа число Рг является физической константой, не зависимой от состояния газа. Для более общего случая плоского потока газз, когда скорости зависят от х н у, дифференциальное уравнение энергии может быть предстзвлено в таком виде': д'Г (1 +Рг — М') смТ (! + Рг — М') а дх' + дд дт (1+)' — --'-Мз) дг(!+ ' М) =и — — — - + о — — .

(5-3) Уравнения количества движения с добавлением членов, учитывающих влияние вязкости (уравнения Навье — Стокса), записываются в следующей форме: ди дп ди 1 др Г И'и д'иь дс + "дх + "др ' р дх + (~ д.х' дрз) 3 дх (дх ор ))' (5.4) до до до 1 др — + и — + о — —. у — — ' — + дг дх др р др Эти уравнения дополняются уравнением неразрывности (1-12) для плоского потока: — + — + — =0; др д (ри) д(ро) дг дх ду (5-4а) ' Вывод дифференциальных уравнений энергии и количества движения можно найти в книге Л.

Г. Лойцянского и др. (см список литературы). 202 уравнением состояния (1-!) и уравнением трепи, например для ламнйарного течения законом Ньютона (1-4). При исследовании движения газа в трубах и каналах с учетом вязкости, а также при изучении обтекания тел газовым потоком задача сводится к определению потерь энергии и аэродинамических сил, декствующих на обтекаемую поверхность С этой целью необходимо решить совместно замкнутую систему шести уравнений (5-3), (5-4),(5-4а), (1-1), (1-4), определяя неизвестные функции координат: р, р, и, о, Т и с (для установившегося потока).

5-2. УСЛОВИЯ ГАЗОДИИАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ В связи с весьма большими трудностями решения системы уравнений движения в общем случае (такие решения удается получить только для простейших частнь!х случаев) в практике коэффициенты сопротивления и коэффициенты потерь энергии часто определяются экспериментально путем испытания моделей в лабораторных условиях. При этом необходимо соблюдать такие условия испытания моделей, которые обеспечивают надежность получаемых результатов и позволя!от распространить эти результаты на натурные объекты. 1 П лг лл Рис, 5-2.

Схема подобных потоков. Широко применяемый в механике метод подобия позволяет сформулировать указанные условия модельных испытаний и устанавливает приемы переноса результатов лабораторных исследований на натурные объекты. Аэродинамические силы, действующие на обтекаемое тело или на стенки канала (в том числе и силы сопротивления), выражаются через безразмерные коэффициенты. Установим, от каких параметров в общем случае зависят коэффициенты сопротивления.