2 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 2

При Р = а„) = агсз)ив 1 1 1 ° Р, р, т, (4-17а) (4-1б) Следовательно, Вспоминая, что гкр — тя З 1КФ вЂ” 3)=!+„1„, получим: М, з!па!) — ! ~ М) ~ 2 — з! па 1~ + 1 ~ 12 1 )аж (4-!7) 139 В этом случае косой скачок вырождается в слабую (звуковую) волну уплотнения (слабый скачок) и угол отклонения потока стремится к нулю. Связь между углами Р' и 3 устанавливается по уравнению (4-6), которое можно преобразовать к виду: 2 с„з ь 1 / 2 а) Но на основании формул (4-12) Соз Слг Ст 1а т 1К Я вЂ” 3) с сг с 12р тир тя(У вЂ” з) л — 1/ 2 1 л+1~ На рис. 4-5 представлены графики 3(р) при различных значениях 2, для )с= 1,3.

Отметим, что с увеличением скорости невозмущенного течения увеличивается максимальный угол отклонения потока Ь . Следует подчеркнуть, что в соответствии с двойственным решением уравнения (4-17) одному значению угла отклонения потока 6 соответствуют два различных значения р. Опыт показывает, что плоскому косому скачку отвечает только меньшее значение р. Йь!ше в предположении, что скачок занимает среднее положение между характеристиками невозмущенного и возмущенного потоков, была дана формула 1 = —,(, + „,+3). Сравнение этой формулы с точным выражением (4-17) для нескольких значений 4, приведено также на рис.

4-5. Кривые показывают, что с увеличением скорости перед скачком А, расхождение между результатами расчета по Рис. 4-5. Зависимость между углом отклонения потока и углом скачка при различных скоростях ненозмущенного потока (для )з = 1,3). †точн формула(4.17); — — — нразлажчаная формула 14 17а).

точной и приближенной формулам увеличивается. Величина погрешности зависит также от Ь. Из уравнения (4-17) следует, что 3а 0 прн р=аам и при Р= —. Таким образом, кривая 6=6(Р) имеет )накси- 2 !4-20) Л4 й+1 Р2 2 !4-21) — ь 1 ='! 1+ — М 2 1 140 141 )иум, положение которого определяется обычным спосоомом. Продифференцировав уравнение !4-17) и приравняв производную нулю, после преобразования получим; 1 м+! 2 з)п'й = — — М вЂ” 1+ ьл42 ~ 4 .!.у' Я.Р1)(1-Р': —,'м,'1-'+м',)) М-18) где й — угол косого скачка, соответствующий максимальному углу отклонения потока 4„,. Отсюда следует, что при М,=1 угол й = —, а при /ь+ 1! М,=оо угол р =агсз)п(р — „— ~ . Для промежуточных значений угол й с ростом М, вначале уменьшается, а затем несколько возрастает.

Уравнение !4-11а) позволяет прослвдить изменение скорости потока за косым скачком М, в зависимости от М, и й. С увеличением й !при постоянном М,) М, уменьшается: перепад скоростей в скачке увеличивается. При некотором значении й = й, скорость за скачком становится звуковой !'М,=1). При дальнейшем увеличении й течение за скачком будет дозвуковым. Величину й, можно определить по уравнению (4-11а), подставляя М,= 1. Тогда после преобразований получим: )4+!, з — ь з)п'Я = — — М вЂ” — + гм м!42 ~ 4 ! 4 1 Заметим что при М = 1 УГол я я — ' при М— /ь+ й у!"ол й~=й =агсз1п ( ~~ Последнему значению й, отвечает максимальный угол 6„, определяемый из !4-17)! Для значений м, оо угол р ~ 'р„ н, следовательнд, М ( 1. Это означает, что при максимальном угле отклонения потока скорость за скачком будет дозвуковой.

Так как, однако, для всех М, углы 5„ и р, весьма близки, то в первом приближении можно считать, что максимальный угол отклонения для каждого значения скорости невозмущенного потока достигается при звуковой скорости за скачком !М, =1). Мы установили, что параметры течения за косым скачком зависят от угла косого скачка р. При увеличении 5 давление, температура и плотность газа за скачком увеличиваются !параметры потока до скачка предполагаются неизменными), а безразмерная скорость уменьшается.

Угол отклонения потока, как было показано, вначале увеличивается !прн й <" й„), а затем уменьшается !при й ) й,). В частном случае й = — изменения параметров в скачке г оказываются максимальными, а угол отклонения 3 = О. Такой скачок расположен нормально к направлению скорости невозму щенного потока и называется п р я м ы м скачком. Прямой скачок является частным случаем косого скачка; основные уравнения прямого скачка получаются из формул 14-11) — !4-15) после подстановки 2 = — ' 2 Изменения давлений и плотностей в прямом скачке найдем из формул (4-13) и (4-14): Ь вЂ” 1 Р2 Й вЂ” 1! 2Ь 2 Х ' Ь-!-! Р а+!~4 — ! ) 1 — — !2 м+1 ! отношение температур — из формулы (4-15): ;-=(~)'(,— ", М! — 1)(, ',~.!.1).

М22! или по формуле (4-11б) Рл Лмаас ! 3!па 1 1 2 (4-!за Л вЂ” — 1 алака 21 Рл макс (4-24) Л,Л,=1, т. е. (4-24а) С,са =а. 12 макс (4-14а Рл 1 — с 2 + 2 ,па 1 (4-1 !б) где 1 — — сова() 12 1 а макс 1пп — = —, ра ь+! р, й — 1' Х2-,— ач-1 ! а — 1 1(сл )) = шп' р га 1 — 22 т, Угол скаЧка 143 142 Везразмерная скорость за прямым скачком Может быть получена по формуле (4-11а): Л4 +— 2 й — 1 2' 2л (4-23) й — 1 1 М~ — 1 Мы видим, что произведение скоростей до и после прямого скачка равно квадрату критической скорости. Отсюда прежде всего следует„что скорость газа за прямым скачком всегда меньше критической скорости (с,( а ) Формулы (4-20) — (4-23) показывают, что интенсивность прямого скачка увеличивается с ростом скорости иевозмущенного потока М, (или Х,).

Отношение плотностей при максимальной скорости стремится к конечному пределу а отношения давлений и температур возрастают безгранично. Необходимо иметь в виду, однако, что при больших сверхзвуковых скоростях, когда в результате скачков температура н давление газа повышаются весьма сильно, полученные формулы являются приближенными, так как они не учитывают развивающейся зависимости теплоемкости от температуры, диссоциации молекул и отклонения свойств реальных газов от свойств совершенного газа, состояние которого описывается уравнением (1-1). Формулы косого скачка могут быть преобразованы к виду, удобному для анализа влияник физических свойств газа (показателя )а). с С этой целью введем безразмерную скорость 1= — и выразим Смакс показатель взоэнтропнческого процесса через максимальную скорость й + 1 Лз макс — !а — 1 А= макс — ! Заменив й в уравнениях (4-13] н (4-14) его значением, получим: Скорость за скачком выражается уравнением [формула (4-11б)] Л2 32 соз 1+)д, 1), Л2 2 л 1 )хак видно, каждая из прнведеивых формул содержит два сомно- жителЯ, один из котоРых ззвисит только от ел и Р и не зависит от й, а второй является функцяей только й, Такая структура формул скачка позволнет приближенно оценить влияние изменения физических свойств газа и производить расчет параметров косого скачка при различных постоянных значениях й'.

Для определенна других параметров скачка можно пользоваться очевидными соотношениями. Отношение температур 1 — 11, (яр= 1+ 2 ' !п 3 !м(я г)Лз 1 макс э формулы даны 1'ь В. Поляковским. Дли расчета скачков при различных А могут быть построены графики рз)р, в зависимости от с„у )или 6) и я (рис. 4-6).

Влияние )г можно онеиить при одинаковых р илн 6. Сравнение при одинаковых р показывает, что с уменьшением А интенсивность скачка возрастает. 4-3. УДАРПАЯ ПОЛЯРА чг Ю ез ег ег еь В~ 'ь й о о о о о ы ь ь о о х й И 'е ь е ь Я о о Ю Л Ю г Зависимость между параметрами на скачке можно в весьма удобной форме представить графически, С этой целью рассмотрим треугольники скоростей на скачке (рис. 4-7). Расположим вектор скорости до скачка с, по оси х (отрезок О)'.)).

Отрезки ОР и РР представляют собой соответственно касательную с, и нормальную с„, составляющие скорости до скачка. Зная угол отклонения потока о, Рис. 4-7. Треугольники скоростей на скачке проведем линию вектора скорости за скачком с, до пересечения с отрезком Ро. Точка пересечения (точка Е)определяет величину вектора с„ а отрезок ЕР выражает нормальную составляющую скорости за скачком. Вектор скорости с, можно представить двумя другими составляющими: и, и и,. Компоненты и, и и, являютсяпроекциями с, на направление скорости потока перед скачком н на нормаль к этому направлению. Найдем уравнение кривой, описываемой концом вектора скорости за скачком с„ при постоянном значении вектора скорости перед скачком с, и переменных значениях угла поворота потока за скачком о.

Выражая это уравнение в форме связи между и, и о„ мы получим кривую скорости за скачком в плосности гоцографа скорости. с =-с "а п2 о! соа р Отсюда, имея в виду, что соз' р = —,—, и получим: (4-26) 2 а и = — с+ — ' !с+1 ' с, и,=с, а и,с, =а, Для получения искомой зависимости используем основное уравнение косого скачка (4-5).

Подставив в зто уравнение значения с„, и с, из формул (4-)2), получим: с з!пр' с,з!и'р — — '~!=а — — с сгж*р (4-25) соа) ! так как (рис, 4-5) Преобразуем уравнение (4-25) к следующему виду: с, соз' р !ц' р — с,о, !ц р = а —, +, с, соз" р. с, (с* — и,)' — с, (с, — и,) [о,'+ (с, — и,)'[ = а а я — ! а а =-а [о +(с, — и,)'[ — —, с!о . Окончательно о2 3 пг с, оа (с и ) 2 и — '+ — с — и Ь+1 ! а Кривая, отвечающая уравнению (4-26), представленная на рис. 4-8, называется ударной полярой.

Кривая при надлежит к классу гипоцнссоид. Ударная поляра может быть широко использована для расчета косых скачков графоаналитическнм методом и для выяснения некоторых особенностей таких скачков. Обратимся прежде всего к предельным значениям о„ даваемым уравнением (4-26), Легко видеть, что о,=О при Первый случай (и, = с,) отвечает бесскачковому процессу; косой скачок уплотнения переходит в волну слабого возмущения (характеристику).

Касательные к гипо- 1 циссонде в точкеРрасположены под углом а !=агсз!и— т! а Рнс 4-8. Ударная поляра а плоскости годографа. к вектору с,. Заметим, что зта точка является одновременно точкой диаграммы характеристик и ударная поляра здесь переходит к эпициклоиду. Второй случай (и,с, =а ) характеризует переход косого скачка в прямой скачок, угол которого р = †. Этому случаю на гипоциссоиде отвечает точка Л. Из уравнении (4-26) следует, что о, может обратиться в бесконечность при Очевидно, что ветви гипоциссоиды асимптотически приближаются к прямой, проведенной параллельно оси о на — о 2 расстоянии ОН= — "+ — с, от начала координат.

Эти ст 1+1 ветви не имеют физического смысла, так как они дают значения скорости за скачком (точка Е, на рис.4-8), ббльшие, чем до скачка. Таким условиям отвечал бы скачок 149 1чз разрежения, но скачков разрежения существовать ие мо)кет. Отбрасывая внешние ветви гипоциссоиды как физически нереальные 1см. ниже), мы замечаем, что ударная поляра в пределах между крайними точками А и 0 дает два значения для вектора скорости за скачком.