2 (Техническая газодинамика Дейч М.Е)

6П2.2 Дейч Михаил Ефимович Д 27 Техническая газодннамика. Изд. 2-с, переработ. М.— Л. Госзнергоиздат, 1961 с черт. и илл. г1ез(дп разЬао1с РедактоР Б. Я. Шумхяееей Техн. редактор А, де Фридеом ГЛАВА Ч Е Т В Е Р Т А Я СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 4-1. ОБРАЗОВАНИЕ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ В предыдущих главах были рассмотрены свойства изоэнтропического газового потока, При этом мы изучали механизм распространения в потоке таких возмущений, которые не вызывают изменения его энтропии. Перейдем ~еперь к изучению конечных возмущений, распространение которых сопровождается ростом энтропии газового потока. кк Рис. 4-1.

Сверхзвуковое течение газа в область повышенного давления. С этой целью рассмотрим движение сверхзвукового потока вдоль плоской стенки АВ, вытекающего в среду с повышенным давлением (рис. 4-1). Слева от точки В скорость будет с„давление р, и температура Т,. Правее точки В (за линией ВС) поддерживается давление р„более высокое, чем р,. Если разность давлений р,— р, мала, то в точке В возникает слабая волна сжатия ВтТт.

128 129 с'.сли изменение давления в точке В ста)гет койечнЫм, то, как показывает эксперимент, волна переместится в положение ВК и будет обладать не бесконечно малой, а конечной интенсивностью. По мере увеличения давления рз . линия ВК будет поворачиваться относительно точки В влево (ВК', ВК" и т. д.). При перез(оде через волну ВК газ сжимается и потък отклоняется на некоторый угол 3 вверх от направления невозмущенного потока АВ.

С ростом )г скачка. Можно показать, что при обтекании рассматриваемой стенки непрерывный переход от параметров в области АВК к параметрам в области КВС физически невозможен. действительно, границей возмущения для области АВК, должна быть звуковая волна ВК„угол наклона которой к вектору скорости с, будет а,=асс з(п — '. Вторая граа, ница возмущения ВК, имеет угол наклона аиз=агсз(п — '.

Так как с, (сг и а, ) а„ то а , ) а„г Характеристика ВК, оказывается в иевозмущенной области АВК, и линии тока должны были бы иметь форму, показанную пунктиром, что физически совершенно нереально. Можно предположить, что косой скачок занимает среднее положение между волнами ВК, и ВК,; тогда угол косого скачка р связан простым приближенным соотношением с угчами а, а з и 6. 1= ~ (.ю+ .,+3) Рис.

4-2. Обтекание сверхзвуковым потоком внутрен- нега угла. рз сжатие газа в волне ВК и угол отклонения 6 увеличиваются. Волна ВК называется плоским косым скачком уплотнения или плоской ударной волной. При переходе через такую ударную волну поток испытывает скачкообразные изменения давления, скорости и других параметров. Положение скачка определяется углом р между плоскостью скачка ВК и первоначальным направлением потока АВ (рис. 4-1). Образование косых скачков уплотнения можно проследить также на простейшем примере обтекания стенки АВС, повернутой в точке В на некоторый конечный угол 6 навстречу потоку (рис.4-2). Благодаря такому повороту стенки сечение струйки уменьшается и она суживается.

В сверхзвуковом потоке это приведет к повышению давления (р,) р,). Причем повышение давления происходит скачкообразно при переходе через поверхность' ВК, являющуюся поверхност)гю 130 Мы рассмотрели стадионарный случай образования косого скачка уплотнения, неподвижного относительно очага возмущения. Такой случай соответствует набеганию плоского сверхзвукового потока постоянной скорости иа бесконечный клин или движению плоского клина в среде с постоянной сверхзвуковой скоростью. При нестанионарвоч движении скачки уплотнения могут возникать и при дозвуковых скоростях движения.

В общем случае нестанионарного движения ударная волна, явтяющаяся результатом конечного уплотнения или разрежения потока, может перемещаться относительно твердого телз, которое вызвало ударную волну. Проанзлизируем условия образования такпх движущихся ударных волн. Пусть в трубе постоянного сечения находится поршень (рис. 4-3). Толчок поршня вызывает слева слабую волну разрежения и' — и', а справа слабую волну уплотнения и — а. Продолжая увеличивать скорость поршня толчками, мы создадим ряд слабых волн возмущений (гв| — п1, и,— и, и т. д), перемещающихся в потоке газа в противоположных направлениях от поршня, каждан со своей скоростью, соответствующей скорости звука в данной области.

Нетрудно видеть, что справа каждый толчок повышает давление газа на малую величину, а слева — снижает его. Следовательно, в области П! давление и температура будут выше, чем в областях г! и 1, а следовательно, и скорость звука аг,г ) ац ) аг. Наоборот, в областяк !1', уг!' скорости звука будут меньше, чем в области !' (а г, ( Ф т.агг(а1). следовательно, справа от поригия слабые волны уплотне. иия нагониют друг друга, слева волны разрежения отстают друг от друга. 131 Через некоторый промежуток времени волны справа сольются в одну волну, фронт которой будет границей между невозмущениой и возмущенной областями.

нормальными к плоскости скач«а (с„, и с„,) и касательными к ней (сп и с„) и, таким образом, построить треугольники скоростей до и после скачка. Очевидно, что Рис. 4-3. Распространение слабых возмущений в трубе. 4-2. УРАВНЕНИЯ КОСОГО СКАЧКА Как и ранее, будем рассматривать установившееся течение газа без теплообмена с окружающей средой и без трения. Предположим, что в некоторой точке сверхзвукового потока возник косой скачок уплотнения (рис.

4-4). Параметры газа до скачка обозначены индексом 1, а за скачком — соответственно индексом 2. Рассмотрим движение газа по линии тока АВС, пересекающей плоскость косого скачка в точке В. Как указывалось, при переходе через косой скачок линия тока деформируется, отклоняясь на некоторый угол 5. Скорость до и после косого скачка можно представить составляющими, 132 з 2 2 сз — с, +с„. Для решения основной задачи о косом скачке, которая сводится к установлению связи между параметрами до и после скачка и к опреде- и ленив потерь, возникающих при переходе через с скачок, используем основ- еза ные законы механики. Закон сохранения мас- л я' .- Сы — уравнение не- а„ р а з р ы в н о с т и — для двух сечений трубки тока до и после скачка может быть записано в следующем к виде: Рис.

4-4. К выводу основных уран (4 1) пений косого скачка. р,га, = рс„з, Закон сохранения импульсов — у р а в н е н и е и 3 м е н ения количества движения — в проекции на нормаль к плоскости косого скачка дает: Р, — Р, = Р,с„, 1с„з — с„,), или (4-2) 2 2 Р1+ РгС 1 = рз+ рзепз. В проекции на плоскость скачка получим: р,с ,(с,з — с, ) = О, так как давление вдоль всех поверхностей, параллельизякповерхности скачка, остается постоянным. Следовательно, 14-3) с„= с„= си 133 =,+1(с„,+с',) + —,а,'' тогда илн (4-6) а2 и ! ! с! 2п' — 1 2 (4-ба) (4-4) (4-2а) (4-4а) и заменив р~=я — ' и р =й '!' а 2 а а2 а2 получим: (4-8) 2 а — 1 2 с с =а„— — с л! С2 " Ь + ! (4-5) 134 Таким образом, касательные составляющие скоростей до и после плоского косого скачка уплотнения одинаковы.

Закон сохранения энергии — у р а в н е н и е Б е р н у лл и — может быть использовано в любой известной нам форме. Рассматриваемое течение происходит без теплообмена с окружающей средой и, следовательно, полная энергия потока сохраняется неизменной: с! А Р С2 и Ра * !а+1 2 2 2 + $ + й 2 2 сл, Ь Р, сп2 ! а Р, — + — — ' = — 1- 2 !а — 1 Ра 2 а — 1 Ра Найдем связь между скоростями, до и после скачка. Преобразуем уравнение (4-2); с учетом формулы (4-1) получим: Из уравнения энергии (4-4) выразим отношение давления к плотности: Р и — 17 2Й+! 2 2! — '= —,-~а. — — — с — с !.

(4-4б) р 2а < с — ! л2 С!' Подставив (4-4а) и (4-4б) в уравнение (4-2а), получим: 2 аа ! 2 2 2 сл! 'а 1 сп! 2 После простых преобразований приходим к уравнению Формула (4-5) устанавливает связь между нормальными составляющими скоростей при переходе через косой Скачок н ивляется исходной для получения зависимостей между другими параметрами течении до и после скачка. Заменим в формуле (4-5) а'„ по уравнению 2 л 1/см 2 2 а! 2 !а — 1! сла 2 с„сл, = — — л+ — а л л С+! 2 1, ! 2а или, выражая скорость звука через давление и плотность а*= й Р, получим; Р— — ",' + — = Р' "2 + — .

(427) Воспользуемся уравнением неразрывности (4-1); возведя в квадрат обе части этого уравнения: 2 2 2 2 р, сл, =р,СС с2 и! Сла Р Ра — 2 =РСРа — 2 а2 я последовательно из уравнения (4.7) с помощью Ра " Р и Р„приходим к выраже уравнения (4-8) н нлн < с2 2 2 и! 2 1 сл! 2 сп2 2 с2 а+1 Рг г:! Р! 2 1 — Мг5!п51 + +1 — (4-14) г — 1 1 — — л, сом 1 — 2+1 ,2 55! 2 — +: 2 г — 1 ! Т~ РаР~ т, Р,Р, 2 Ссг (4-11) 2 2 22 сса — — — 1 2 — 1 ! с„, =с,зшр; с52 = сг з!п.(; с, = с, соз р =- с, соз Т (4-12) где илн А — 1 2+1 ! 1 — — Л со551 Х =Л, соз' р л! 5!а! 1 (4-11б) и, следовательно, г 55 )1 ,2 ! (4-13) !ЗБ 1+: г г = 1+: г г . (4-10) Из уравнений (4-6) и (4-ба) можно получить: Из треугольников скоростей на скачке следуют оче видные соотношения: Тогда из уравнения (4-11) совместно с формулами (4-12) можно получить: М'+— 2 й — 1 М! 505 а ! ! — М 51251 — 1 — М 55551+! 2 1 уравнения (459) и (4-10) совместно с уравнениями (4-11) и (4-12) после несложных преобразований дают искомые зависимости: р !г — 1/22 5 — '= — !Л вЂ” М з(игр — 1)= р, г+!!г — 1 Из уравнения состояния легко найти отношение абсолютных температур до и после скачка: После подстановки — и — получаем: Р! Рю Р! Рг Тг а — 15 22 5., / 2 1 ! (4-15) Формулы (4-5), (4-11) — (4-! 5) выражают изм енения параметров газа при переходе через косой скачок уплотнения в зависимости от показателя (г, скорости потока до скачка М, и угла косого скачка р.

Эти формулы вместе с тем вскрывают основные физические свойства косого скачка. Так, из формулы (4-13) можно заключить, что нормальная составляющая скорости до скачка больше критической скорости. Действительно, так как Р')1 и р! г Сс! М,з(пгр'= 2, заключаем, что а! ,Нормальная составляющая скорости за скачком меньше крнтической скорое ш с52 <" а„. Нз формулы (4-13) следует, кроме того, что угол й!всего скачка больше угла характеристики а ,.