Бакалов В.П. <Цифровое моделирование случайных процессов> МАИ 2001г. (Бакалов В.П. «Цифровое моделирование случайных процессов» МАИ 2001г.)

621.396.6.(075) Б19 УДК: 621.З96,6:519Ю6.5 ~аз,З> ПРБДИСЛОВИЕ 1$6И $-7635 2 И1-5 В.П. Бакалов. Цифравое моделирование случайных процессов: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАЙ, 2001. - $4 с: ил, В пособии рассмотрены методы цифрового моделираваник одномерных сдучайодновременно заданными хоррелационными ~~~йота~~~ и одномерной плотностью версатиостн, Пособие предназначаю щщ студентов старших курав факультета "Раднозлаьтроннка 3ЬГ. О Московский тоаудауснмаяыа аааацюзнмьй аистята (техзичеекиа уиав~усювт), ЗОО! Прн автоматизированном проемнровании возникает необходимость моделированнл случайных процессов,.Содержание учебного пособиа сооижтствует раздаау курса "Основы коапьмлерного проектировании и моделированиа РЭС", Требуемые дкк работы с пособием'теоретические сведении о случайных процесВ пособии прнводатсл методы моделированна случайных процессов с заданной , многомерной плотностью ве1хлпиости. Такал постановка задачи модааврованил случайного процесса имеет ваииое методнческое значение, так как лвдаетск самой облзей, т.а.

к ней может быть сведена заобаа другал задача. В практике моделированна наиболе~ ча~то астре~йетса задача моделированиа процессов, длк которых заданы лишь коррелационные свойства„' в мответствии с зтнм основнаа часть пособикпосмщена моделированию таках процессов. в особенности стационарных. Методы моделирование случайных процессов с заданваащ коррекационными свойствами лвллютсл основой длл поннманнк всего комплекса задачи методза нх решении при цифровом моделщюванни случайных процесс~а, . В пособии крапа рассмотрено моделирование етащкию1жых процессов с одновременно заданными корреляцнонныяи свОйстзами и о,щюмерной пиоткостью Верю- ?4нфровое моделирование случайных процессов предполгает использование независимых случайных величин, Способы построещщ датчиков случайных чисел даа генерации таких величии с лвзбыми требуемыми закоиами распредююнвл рассма'тривыотсл в другой части курса" Основы компыоеерного проектированиа и моделирование РЭС ".

1.МО ЕЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПЛОТНОСТЬЮ ВЕРОЯТНОСТИ Самый общий случай задания случайного процесса х(т) — задание херактеризукяцей его многомерной плотности верояпгости Р$г$>хзт«> $ х$$»*$ х 111 Фз>»> $ $$>«>$ф )1 х$ х($$~ В д$$ш$ийтпем дяя сокращения записи будем использовеж выражение дяя многомерной пяотнасти вероятности в виде р(х„х,„.,х,). Так как моделируемый случайный процесс явлштся функцией хонтинуальиаго аргумента„то для полного описания этого случайного процесса величина и должка была бы быть бесконечно больщой, что невозможно, Практически„чем балыке величина и, тем более детально статистическое описание случайного процесса х($), При цифровом моделировании Величина а представляет число отсчетов моделируемого случайного процесса.

'1'ак как память устройства ограничена> то при цифровом моделировании описание случайного процесса х(1) с помощью многомерной плотности вероятности р(х„хз,...,х,) (где в -требуемое при моделировании числа отсчетов) является полным, Фактически при этом случайный процесс х(1) предс$звлается случайным вектаРом с компонентами х, „хз, „х, и моделиРование СЛУчейнаго пРзцесса можно рассматривать как моделирование совокупности и случайных величин или случайнога Вектора с заданной многомерной плотностью верокп$ости. На рис, 1.1 представлены несколько реая$$заций алуч$$йного процесса х(т); реализация с номером 1 обозначаетсл х( ®„ВРемв моДелиРованнк слУчайнаго пРоцесса обозначена Тм .

На рис. 1.2, показана Одна реализация случайного процесса ХЦ с номером 1 и дискретные атсчиты, которые должны быль Определены при цифровом моделировании. Дзвжретиь$й отсчет реализащ$и с номером 1 дяя момента Времени $„абоз$я$чь ется х,' ~Ф„с Т„,; Зс = 1,3,...,пу, Бели из контекста ясно, что речь идет о реелизации случайного процесса, то индекс 1 может опускаться, Совместнак плотность веРокпюсти Р(х„хз, „х„) УДовлетвоРЯет Условию положительности: р(х„х, .,х„)~ Ю, условию нормировки: Н~' ""- "= (1.1) условию согласованности: р$>„>„...,* 1=Ц...~р(>„>„...,>,)а>„, $>„,...»,; По ттлотности верокптосзи р(х„х„.„,х„) могут быль определены условные плотности вераяп$асти; р( $> 3»". $1> $> $>4» "х>>$ р(х $ . х $ » ' " ' х $~ ~ х $ > х $> $ > ' ° " > х >$>) ъ > (1,3) р~*$>х$+$ ° * ° х / при этом числитель и знаменатель (1,3) опредеяаатся в соответствии с (1.2), Р$$с.

1.1, Реелиза$1и$$ случай$$агв $тра$(асса Р$$с. 1.2. Отсчеты реел$$ееч$$$$ случе$$$$ага $$ра$$ессе цифровое моделирование случайного пр ц х(т) „заданно~о помощью мно гомерной плотности верояпгости р(х„х,.„, х ), на пракптке встречается редко, Однако важно, что такое Описа$$ие случайного процесса является самь$м полным, н поэтому шобой случайный процесс может быть описан таким образом, а значит, если существует метод моделирования гтри ОПИС$Фии случвйнОГО прОцесса с пОмОщью многамеРной плотности веРОЯтности Р(х „хз,..., х „), та этот метод может быть использован для моделирования любых случайных процессов.

Конечно, такое моделирование не всегда целесообразно, так как для часта встречающихся случайных процессов, например нормальных, разрабатаны более эффекп$вные в смысле экономии машниных ресурсов методы. Моделирование случайных процессов должно быть сведено к моделированию случайных независимых величин. Моделирование независимых случайных величин с лвзбыьти законами распределения осуществляется с помощью датчиков случайных чисел. Способы настроения датчиков случайных чисел рассматриваются в другом курсе. Извесхны два метода цифрового моделирования случайных процессов х(4) с мданной многомерной плот$$остью вероятности р(х„х„,х,).

1.2. мятод неймАИА <метод отвод) Метод Неймана слабни н от недостатков метода условных распре еннй вызванных болыпим объемом подготовительной работы и сложиостыо нил, .'-Вот' метод отюситса к т®к называемым мат~дам Отбора. Идея метода заклточй» ется в след)ющем. На первом лзаге моделнруатсн реализация случайюгО щххцесса с равиомерай паяиостью вероятности в Области определиниа савместюй плоззюсти веролтюсти р(х„хз,...,х,), а ив втором шаге производится отбор, закщочавщнйсл в том, что валдая реализапнл, сформированивя иа перв~жтавге, либо прааимаетсл в хачест®е'конечного результата, либо отбрасываетсл, Отбов иа ®тором шаге осусНествллетсл с веРсмтностыо, ПРОПО1щионалыазй Р(х„хз,.,х„~.

Оба инга достаточно просто реалифютсл при щФфрсвюм моделировании с ииюльэованием стандартных датчиков слуийных чисел с разюмарным законом распределениж. рассмотрим подробности реализапни мнтода Неймана длл случая и ~ 3, т.е. когда моделируются лнаь два отсчета случайного процесса х($). на рнс.

1,4 представлена совместная плотность вероятности р(х,,х,) в вида пирамиды АВС0. Область сктРедвленли ф(хз,хз) по Оси х~ есть Х1„,'а +х1,'по Оси хз область опРеделенна ° М ~~псальи с В Р(х,х ) (и пщ м д )р Ь. На щОИащИж опредевлетск случайнал точка (ф,, 4, ), которак с одннахо- М (а) (х, — х, ) и (х, — х„), расположенного в плоскости хеу, Этот ваг мож.

ио вышннпь с помощью датчиков независимых равиомерю распределенных сщвелнчнн 11 и ФФ срасцределеннлми, равными: н ЩПФ Е~» «в х~ '~а ~ Ц~ > х1 1 ари хь (ь ~х3 х Фени хйаив © при Фз залам. е Фз > хз 1 ЩЙ$ Х~ а, <~з М»нз~,, х -х где. В(н, Ь) —. равюмернал плотюсть вероятности на интервале (а+ Ь): 9 при х~а,х>Ь й,,(х) = И(а,'Ь) = 1 .

Слуяацые равномерно распределенные — при н«Х~Ь Ь-» велнчвиы легко мотуг быть сформированы из спучайних величин н со стандартным законом распределения Р„(н) = К(0,1), т.е. равномерно распределенных иа интерва- ле (Оф Датчики случнйных чисел н с таким законом распределения обычно виаочены в состав математического обеспечения современных компьютеров. Величины ф, н 42 Формируются из н по аледувлпнм Формулам: .8 КОРРЕ СВОИСТВА~ 2.1.

МОДЕЛИРОВАНИЕ нестАциОнАРных пРОцессОВ С ЗАДАННЫМИ КОРР ОННЬПМИ сВОйстВАми Ба практике часто возникает необходНмОсть моделщюеания сеаучайных проце~ сов с швестньуми, т,е. задщщцми„коррееяционными свОйствами. щ~и этом другие сщтистичесжие характериспеи процесса не заданы рак, напРимер. м~®ет быль неиэ вестна такая важная характеристика сщ'чайного процесса, как одиомернйж плотность вероятности, Неизвестны при этом совмеспше плотности вероятности отсчетов случайного ороцесса, моменты более высокого порядка, чем второй, и другие характеристики, Такая ситуация распространена по следующим причины 1. Если моделируется нормальный ~гауссов) случайный процесс„то для юо описания, как известно, достаточно знать корреляционную функцикк Так как в приложениях нормальные случайные процессы используются чаще, чем какие-либо другие случайные процессы„то методы моделирования слу ойных процессов по заданным корреляционным функциям находят очень шщюиж применение.