Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика)

оси.~ю вл. днмнюеи кмис нкон ~1%~- ~9ВЯ УДК 531,36 534.1 629.7.0 15: 533. 6 Научные исследования Георгия Владимировича Каменкова посвящены решению фундаментальных проблем механики, В книге содержатся работы Г. В. Каменкова, которые имели значение яля развития теории устойчивости движения и теории нелинейных колебаний, а также статьи ученого по азродинамике, связанные с после. дованиями обтекания крыла.

В конде книги помещены библиографические данные, а также обзор научных работ. КОМИССИЯ ПО-ИЗДАНИЮ ТРУДОВ Г. В. КАМЕНКОВА: А. А. БОГОЯВЛЕНСКИЙ, В. Г. ВЕРЕТЕННИКОВ (уч. секретарь), А, С. ГАЛИУЛЛИН, С. А. ГОРБАТЕНКО, В. Т, ДУБАСОВ, Н. Н. КРАСОВСКИЙ (председагель). А. Л. КУНИЦЫН, И. Ф.

ОБРАЗЦОВ, И. В. ОСТОСЛАВСКИЙ, Г. К, ПОД(АРИЦКИЙ В, В, РУМЯНЦЕВ (зам. председателя), ! Н. А. ТАЛИЦКИХ ! Ответстнннныи РеддктОР академик Н. Н. КРАСОВСКИЙ РЕДАКТОР Н. А. ТАЛИЦКИХ ! 3-3-13; 2-4 611 — 71( 1) ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ОСОБЕННОГО, ПО ЛЯПУНОВУ, СЛУЧАЯ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ х й 1. Если характеристическое уравнение системы дифференциальных урав- нений возмущенного движения — =Х,(х„..., х„) (1=1, ..., п) ах~ Ю имеет нулевые или чисто мнимые корни, то по первому приближению об устойчивости движения сказать ничего нельзя.

Случаи такого рода Ляпунов называет особенными. Из особенных случаев для установившихся движений Ляпуновым рассмотрены один нулевой корень, два чисто мнимых (Ч и два нулевых с одной группой решений (в). В последнем случае Ляпунов решает плоскую задачу, которая приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений вида бр — =у, — У(х,у) щ ш В настоящей статье решается задача двух нулевых корней с двумя группами решений, которая приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений — Х (х, у), — = )' (х, у) бх Ыр б1 ' б1 где Х(х, у) и У(х, у) — данные вещественные функции вещественных переменных х, у, уничтожающиеся при х = у = О.

При величинах х, у достаточно малых Х (х, у) и У (х, у) разлагаются в сходящиеся степенные ряды Х=Х1 >+Х1т+ 1+ ..., ) У1в1+Учв+ >+ ... где Х1в1, У1е1 — формы й-й степени. Случаи, когда одно из чисел т или п равно единице, с точки зрения густойчивости полностью разобраны в работах Пуанкаре (в) и Ляпунова ( ). В дальнейшем будем предполагать т ) 2 и и: 2.

Не уменьшая общности задачи, можно положить и = л и рассматривать систему уравнений ор утт1 ( у1ы+11 б1 бх = Х(ы> +,'Х1'в+'1, ен (1.1) в Работа впервые опубликована в сб. етр. Квввиси. авива. ин-тв», 193б, № 3. где Хрв1 и г'1"'1 — формы т-й степени, а Х<"'+11, У1'"+'1 объединяют члены высшего порядка.

й 2. Относительно уравнений (1.1) можно установить следующие пред ложения. Теорема 1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения вида (1.1) удовлетворяют условиям: 1) функция Ро = ХУох> — уХох> — знакопеременная в смысле Ляпунова, 2) функция Хоо>/х может быть сделана величиной положительной при условии Ро = О, то невозмущенное движение неустойчиво. Линейной подстановкой с постоянными действительными коэффициен- тами у=>о +>гор Х = >чхг + > орм уравнения (1.1) можно преобразовать к виду — = — (Аох,~+А,у,х>~->+ -+Атуг"')+Хо'~+» — "'= — (Вохг'о-(-В1у,х, — '+...+В дг'")+У <"'+» (2.1) Коэффициенты Ао, В„В, имеют значения В = ХУОо> — УХ<"'>, А р Хэх> )„Уоо> ври х >>г у >>д, При условиях теоремы ), н рг всегда можно выбрать так, чтобы Во = О. Предполагая, что ь, и рг выбраны таким образом, рассмотрим уравнение оУ> Вгхго' > У>+ ...

+Во,У>о'+У,со+'> ох, Аохго'+Агу>хо~ >+ ... +А,„уго'+ Х,>'"" >> Заменой у, = гх, это уравнение преобразуется к виду »г х, — =аг+Ьх,+ >р(хмг) »хг Если а = — 1 + В,/Ао и неравно целому положительному числу, то уравнение (2.2) имеет голоморфный интеграл, обращающийся в нуль при х, = О,вида г =с,х,+с,х,'+ ... а следовательно, уг =с,х,'+с,х,'+... Первое из уравнений (2.1) с помощью этого интеграла преобразуется к виду ох> ~о Хг,х ( У Х о,+> е> а Коэффициент Ао/А при выбранных Х, и р, из условия В, = О равен значению функции Х>м>/х, если вней положить х = ).„у=>о,, Последнее по условию теоремы может быть сделано положительным, чего вполне достаточно для неустойчивости невозмущенного движения.

8 Если в (2.2) а равна целому положительному числу для всех возможных значений Х, и )а„то на основании исследований Пуанкаре ['1 можно заключить, что уравнение (2.2) имеет интеграл а=ар (х„х, 1п ха), голоморфный относительно ха и х,1п х„, следовательно, у,= х,ф(ха, х, 1п х,).

Первое из уравнений (2.1) при этом принимает вид дха Ао — = — х '"+ х '" ф (ха, ха 1п ха) д/ Га При х, = О, ф = О и, следовательно, при х, достаточно малом ф можно сделать сколь угодно малой. В силу того, что Ао/Л:~ О при условии Р, = О, можно заключить о неустойчивости невозмущенного движения. Следсгнеие 1. Если нг — число четное и Хою = О, Уч'"> = О не имеют общих ветвей, проходящих через начало координат, то невозмущенное движение неустойчиво.

Следствие 2. Если при гл четном Хвю и Уч > имеют указанные ветви, т. е. Хвю = РХ<а>, У<"ч = РУ<'>, где Р(х, у) = О, в нашем случае представляет систему прямых, проходящих через начало координат, но хотя бы одно из решений уравнения хна~ — уХмч = О не обращает в нуль Р(х, у), то невозмущенное движение неустойчиво. Теорема 1!. Если днфференцйальные уравнения (!.1) таковы, что 1) Ро = хг их> — уХню — функция знакопеременная, 2) Хвю/х ~ О, У<"о/у < О при условии Р, = О, 3) по крайней мере, одно из равенств ду~~~ дХОЮ дХОЮ дублон х — — д — =оХм, д — х — = о)гих> ду ду дх дх не имеет места при условии Р, = О для всех о - 1, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Выберем 1»а и р, таким образом, чтобы Во = О при А, чь О, что при условиях теоремы всегда сделать возможно, и рассмотрим уравнение дю ваха 'Ш+" + Лыуа +У»' дха А»ха~+ ... +Амром+Х ~~+ Полагая опять у, = хх„получим уравнение х, — =ах+ Ьха+ ф(хао а) ~а= — 1+ — '~ дг Ва т (2.3) Нха Ао где ф(х„х) — голоморфная функция вблизи начала координат. Условие 3) теоремы позволяет выбрать )о и р, таким образом, чтобы коэффициент а был больше нуля и при этом )ог )аа — )аа ~"а Ф О Предполагая, что а неравно целому положительному числу, из уравнения (2.3) на основании теоремы Пуанкаре выводим интеграл х = ф (ха, х,", с) голоморфный относительно х, и х,' для всех х ( е, следовательно, уа =х, ор (х„хао, с) Полученный интеграл дает уравнение всех интегральных кривых в секторе х~о — /г у~о)О при й ФО а а а Интегральные кривые, определяемые начальнымн условиями х„= О„ уго Ф О, из этого интеграла получить вообще нельзя, так как при этом произвольная постоянная с принимает бесконечно большое значение.

9 Докажем, что внутри сектора х„о — йоу„' О движение аснмптотически устойчиво. Первое из уравнений (2.1) с помощью полученного интеграла преобразуется к виду — ' = — ' х„л+ 0 (х, х,", с) Ж Ь наинизший член в разложении 0 (х„х,', с) имеет порядок выше и, В силу условия 2) теоремы величина АоИ при выбранных Х, и р, будет величиной отрицательной, чего достаточно для асимптотической устойчивости дан>кения в указанном секторе (и — нечетное). Рассмотрим поведение интегральных кривых, определяемых начальными значениями х>о = О, ухо чь О Оставляя выбранные значения для о, и рм подберем >.о и ро, согласно условию Ро = О в предположении х = Х„ у = »„ что дает А = О, и рассмотрим уравнение >Гх> Ал >у, 'х,+...+Аох, +Хо~~+'> »у> Вл>у>~+...+В,у,х,"»+х' >л+>> из которого, заменяя х, = гу„аналогичными вычислениями получаем х,=у,г(у, у,л с) Этот интеграл может дать уравнения интегральных кривых для начальных значений х,о = О> у>оФО Лналогично убеждаемся в устойчивости движения по этим интегральным кривым, Условие: а неравно целому положительному числу — не существенно.

В случае а равного целому положительному числу, интегралы будут голоморфными относительнох, и х,1п х„что на характер движения поинтегральным кривым влиять не будет. Теорема 1П. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения (1.1) таковы, что функция Ро х)хол> УХ~ — знакоопределенная и при этом выражение тл ( Х сох О+ х о>пО (0~0 У<"'> .0 — Хал>о>пб о — = Х~"> соз О+)'<"'> япО+>т(г, О) й г — = Усе» соз 8 — Х< "> з1 и 0 + Я (г.

О) еО е> (2А) 10 то невозмущенное движение неустойчиво, Если 1 ( Π— асимптотически устойчиво, Если У = О, то по и-му приближению об устойчивости сказать ничего нельзя. Предполагается, что под знаком интеграла в функциях Х>о» и )х>"'> х заменен на соз О, а у — на з(п 8. Уравнения (1.1) заменой х= гсоз О, у = гз(п О преобразуются к виду Не уменьшая общности задачи, можно предположить, что функция Ра определенно-положительная'. Из второго уравнения (2.4) заключаем, что переменная 0 будет возрастать одновременно с 1, по крайней мере для всех г ( г,. Следовательно, в вопросе устойчивости движения 0 может играть роль й Из уравнений (2.4) выводим — = Юд+ г Рз + ... (' .5) ле где Х(~) (соз О, Мп 8) соз 0+ 1'(зч (соз О, з1 п 8) з(п 8 Рд— У'~1 (соз 8, з(п 8] соз 0 — Х(~> (соз 8, з1п 8) з1п 8,' Из условия знакоопределенностн функции Ро заключаем, что )(,— непрерывная периодическая функция с периодом 2зз для всех вещественных значений 8.