книжечка (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1983 - Аэродинамика летательных аппаратов), страница 9

ч 5 Для вывода дифференциальных ураву пений движения невязкого газа воспользуемся методом элементарных объемов и ф В, с. выделим в потоке малую частицу в форме прямоугольного параллелепипеда с центром в заданной точке пространства С и Р о" ~5 сдлинами ребер Ых, Ну, Нг (рис. 3.2). Масса частицы рс[хЫус[г. Применяя принцип Даламбера, рассмотрим равновесие сил, г действующих на выделенную частицу. СиРас. 3.2. Поверхностные лы действующие в жидкости, можно пред- силы, действующие ва час- ставить в виде массовых и поверхностных твцу идеальной всалаоств сил.

Следует отметить, что поверхностные силы при изучении движения газа являются основными. Массовые силы распределены по всему объему жидкости и пропор- + циональны массе рассматриваемой частицы. Обозначим / вектор массовой силы, отнесенной к единице массы, а Х, У, Я вЂ” его проекции на оси координат. Примером массовой силы является сила тяжести.

При этом Х = О, У = — д, Л = О. Проекции массовой силы, действующей на данную частицу, в общем случае можно представить в виде рХсЫудг, РУдхс[ус[г, РЖхдус[г. Со стороны окружаю:цей среды на частицу действуют поверхностные силы, распределенные по граням параллелепипеда. В случае невязкой среды вектор поверхностной силы — силы давления— направлен по внутренней нормали к поверхности. Обозначим р,, р, давления по граням, перпендикулярным оси х, рм рь и ра, Ров давления по граням, перпендикулярным осям у и г.

Тогда проекция поверхностных сил, действующих на частицу, в направлении оси х будет равна (р, — ра)с[удг, в точке С давление р = /(х, у, г, /). Давления на левой и правой гранях параллелепипеда с точностью до малых первого порядка могут быть представлены в следующем виде: р, = /(х — с[х/2, у, г, /) = р — (др/дх)(с[х/2); ра =/(х+ с/х/2, у, г, /) = р + (др/дх) (Ых/2), а суммарная проекция сил давления в направлении оси х будет †(др/дх)с[хдус[г. Аналогично получим проекции сил давления на направления осей у и г, т.

е. †(др/ду)дхс[удг, †(др/дг)дхс[ус[г. Суммарные проекции всех сил, действующих на частицу, в направлении осей х, у, г: г„= [Х вЂ” (1/р) (др/дх)[ рс/хс[уЫг; Р„= [У вЂ” (1/р) (др/ду)[ ос[хс/ус[г; Р, = [Я вЂ” (1/р) (др/дг)[ рс[хНус[г. Согласно принципу Даламбера, действую:цие на частицу поверх- 42 постные и массовые силы в каждый момент времени должны уравновешиваться силами инерции. Проекции инерционной силы: — (йи„/й/) рйхйуйг, — (йо„/й/)сйхйуйг, — (йи,/й/) рйхйуйг. Тогда, приравнивая проекции сил инерции проекциям суммарной силы, действующей на частицу, получим уравнения движения невязкой среды (идеальной жидкости) в форме Эйлера: йо„/й/ = Х,' — (1/р) др/дх; йо„/й/ = У вЂ” (1/р) др/ду; (3.12) йо,/й/ = 2 — (1/р) др/дг.

Уравнения (3.12) применимы для исследования движения как сжимаемой, так и несжимаемой среды. Каждый член уравнений представляет собой ускорение; йо„/й/, йог/й/, йо,/й/ — проекции полного ускорения движения; Х, г, 2 — проекции ускорения частицы газа, вызываемого массовыми силами, а — (1/р) др/дх, — (1/р)др/ду, — (1/р)др/дг — проекции ускорения частицы от сил давления. Полное ускорение движения частицы складывается из ускорений, вызываемых массовыми и поверхностными силами (силами давления).

Учитывая, что составляющие скорости потока и„, ию о, являются функциями координат х, у, г и времени /, уравнения (3.12) представим в следующем виде: до„/д/ + о„до„/дх+ игдо„/ду+'о,оо„/дг = Х вЂ” (1/р) др/дх; дог/д/+ о„дог/дх+ огдиг/ду+ и дог/дг = У вЂ” (1/р) др/ду; (3.12 ) до,/д/+ о„до,/дх + о„до,/ду + о,ди,/дг = 2 — (1/р) др/дг. Уравнения Эйлера приведем также в векторной форме: йо1/й/ = 7 — (1/р) агайр. а 8.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛБНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА.

УРАВНЕНИЯ НАВБŠ†СТОК Вязкость приводит не только к появлению касательных напряжений, но и к изменению нормальных напряжений по сравнению с их значениями в невязкой среде (в идеальной жидкости). Это значительно усложняет дифференциальные уравнения движения вязкого газа по сравнению с уравнениями Эйлера. Рассмотрим движение частицы газа в виде элементарного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат е центром в точке С (рис. 3.3). Различие в поверхностных силах по сравнению с невязкой средой состоит в том, что в этом случае на грани частицы действуют не только нормальные напряжения, но и касательные, так как поверхностные силы в вязком газе не ортогональны к рассматриваемой поверхности.

Это означает, что направление поверхностной силы, действующей на 43 каждую грань параллелепипеда, не совпадает с нормалью к грани и, следовательно, каждая такая сила (напряжение) имеет три проекции на координатные оси. Введем следующие обозначения. Для каждой проекции вектора напряжения, действующего на рассматриваемую грань, примемдва индекса: первый указывает направление нормали к рассматг риваемой грани, а второй — ось, на которую проецируется поверхностная сила (напряжение), действующая на эту эгггоя жалгоств грань. В этих обозначениях составляющие поверхностного напряжения, действующего на левую грань, перпендикулярную оси х, можно представить в виде р, т4ю т„„составляющие, действующие на грань, перпендикулярйую оси у, — в виде т„„, ру„, тю, а составляющие поверхностного напряжения, действующие на грань, перпендикулярную оси г, — в виде т,„, т,„, Р„, где Р,, Ргю Є— ноРмальные напРЯжениЯ, действУющие йа грани рассматриваемого элементарного параллелепипеда; т„„, т тт, тд„т„, т,„— касательные напряжения.

За положительные направления нормальных составляющих примем направления вдоль внешних нормалей к граням. На трех гранях, проходящих через точку М, за положительные направления касательных составляюцих примем отрицательные направления осей координат, а на остальных трех гранях — в сторону положительного направления координатных осей. Рассмотрим проекции на ось х поверхностных сил, действующих на выделенную частицу газа. Проекции на ось х дают нормальные напряжения, действующие на левую и правую грани: — р„„г[удг; [р,„+ (др„ /дх) с1х[ г/хг/у; касательные напряжения, действую:цие на заднюю и переднюю грани. — т,„дхг[у; [т,„+ (дт,„/дг) Ыг[ дхду, а также касательные напряжения, приложенные к нижней и верхней граням: — т„,г/хг/г; [тг„+ (дт„„/ду) ду[ г/хдг.

Суммарная проекция на ось хповерхностныхсил, действую:цих на все грани параллелепипеда, (др„„/дх + дтг„/ду + дт,„/дг) дхдуИг. Проекции массовых сил, отнесенных к единице массы, по-прежнему обозначим Х, г, Я. Тогда проекция на ось х всех сил Р„= [Х + (1/р) (др„„/дх+ дт„„/ду+ дт,„/дг)] рдхдудг. 44 Используя принцип Даламбера, получаем: — (до„/й) удхдуг[г + [Х + (1/р) (дрхх(дх + дтух/ду + + дтхх/дг)][у/хг/уг/г хх О; (3.14) г/о„(с// = Х+ (1/у) (дрх /дх + дтух/ду+ дт,х/дг). Аналогично можно получить еще два уравнения: г/оу(сИ = У + (1/р) (дт,у/дх + друг(ду + дт,уlдг); г/о,/пг = г, + (1/у) (дтх./дх+ дту,(ду+ др„/дг).

Покажем, что из шести касательных напряжений независимыми являются лишь три, причем тху = тух, ту, = т,у, тх, = т,х. Составим уравнения моментов, действующйх на частицу сил, относительно осей, проходящих через центр частицы и параллельных осям координат. Моменты массовой силы и нормальных составляющих поверхностных сил относительно указанных осей равны нулю. Поэтому при составлении уравнений моментов необходимо учитывать только моменты от сил, определяемых касательными напряжениями. Например, уравнениемоментов относительно оси, параллельной оси г, имеет вид — ту„г/хдгду/2 — [тух + (дтух/ду) ду] ЙЫгду(2 + + т,уг[удЫх(2+ [тху+ (дтху/дх) дх] 4(уг(гдх!2 = О.

Отсюда, отбрасывая малые члены четвертого порядка, получаем тх, = т,х. Аналогично, из уравнений моментов относительно осей х и у имеем т„, = т,„, тх, = т, . Система трех уравнений (3.14) и (3.15) содержйт шесть йапряжений — три нормальных р,х, р,, р„и три касательных тх = т„х, т, = т,„, тхх = у,х. Представим нормальные напряжения в следующей виде: (3.16) Рхх = Р+ Уххх~ Руу = Р+ хуу~ Рхх = Р+ ххх~ где п„х, и„, и„— дополнительные нормальные напряжения, зависящие от вязкости. В невязкой среде и в покоящейся вязкой среде и =и =и =О. хх уу хх Воспользуемся гипотезой пропорциональности напряжений соответствующим скоростям деформационного движения. Согласно этой гипотезе, касательные напряжения пропорциональны скоростям деформации скашивания угла, а нормальные напряжения пхх, и и„, зависящие от вязкости, пропорциональны соответствующим скоростям линейной деформации (в случае несжимаемой среды), скоростям линейной и объемной деформации (в случае сжимаемой среды): т„„= тух = р, (дох/ду + доу(дх); тх, = т,х = 1х (дох/дг + до,/дх); гу, = т,у = [х (доу/дг + до,/ду); 45 1 „„= 2рй~„/дх + 1г йч о; хгг = 2рЮг/ду + р.

йч о; г„= 21гдо,/да+ И йч о, (3.18) где (г — динамическая вязкость, а (г — величина, зависящая от коэффициента р. В частности, из уравнений (3.17) можно получить известный закон Ньютона для одномерного течения жидкости параллельными слоями. Действительно, полагая, что жидкость движется вдоль осн х(о = о, = О), из первого выражения (3.17) получаем т = т,„= = (г<Ъ„/ду или т = рдо/дп, т. е. соотношения (3.17) являются обобщением закона трения Ньютона. Из формул (3.18) следует, что в общем случае гг„„+ пг чь и„, т. е. нормальные напряжения р„„, р„„, р по трем взаимноперпендикулярным площадкам, проведенным через точку й(, различны. Примем за давление в данной точке вязкой среды величину' Р = (Рхх+Руу+Раг)/3 (3.19) Подставляя в равенство (3.19) выражения (3.16) и (3.18), получаем, что в несжимаемой среде оно выполняется тождественно, так как при этом йчо = О, а для его выполнения в сжимаемой среде необходимо, чтобы 2р,+ 31г = О, И = — (2/3)1г. В результате, используя (3.16), (3.18) и (3.20), имеем (3.20) Р А= — Р+ 21гдо„/дх — (2/3) 1гйчо; Рии = р+ 2рдог/ду — (2/3) 1хйчо; Р„= — р+ 2рдо,/дг — (2/3) 1х б!ч о.

ди ди„ ди ди„ + о — + о„— +~~о — г дх * дх ду дг диг ди ди„ ди„ вЂ” +о, — '+о„— "+о, — ~* дг дх ду * дг — +о„— +о„— '+и,— * ди диг ди ди, дг "дх "ду * дг Тогда получаем уравнения движения вязкой среды: Подставим выражения (3.21) и (3.17) в уравнения (3.14) и (3.15) и представим в них проекции полного ускорения оо„/г(1, г(о /Ж, йо,/Ж в развернутом виде: ! дих дих дих дих ! др и +и +о„+о, рХ + ! д! дк "ду * дг~ дк р. 2 —" — — йчо + [-'; "%1'-'.[" [-"'--.)1 / ди„ ди„ ди„ ди„ ~ др —" + о —" + о —" + о —" = р)' — — + д! дк "ду * дг ) ду + — !г 2 —" — — йчо + — !г —" + д д д (3.22) / ди ди, ди ди, ! др р — '+ох — '+о„— '+и,— '~ =рЛ вЂ” — + [др "дг "ду'дг~дг 2 — ' — — йчи + х Дифференциальные уравнения (3.22) называются уравнениями Нодье — Стокса. В этих уравнениях шесть неизвестных величин: ох, о„о„р, р, 7.