книжечка (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1983 - Аэродинамика летательных аппаратов), страница 8

2.13). Радиус-векторы гы ги и углы а,, ах, соответствующие точкам А,, Вы а также длину перпендикуляра Ь, опущенного из точки А на ось вихря, считаем заданными (задана также и величина Г). Выделим на участке А,В, вихря бесконечно малый элемент СР = Ж. Из треугольников СКР и САК находим СР = Ы = Ыа/в[па. С другой стороны, из треугольника ОАС имеем и = Ь/в[па. Подставляя значения и и г(/, в формулу (2.32), получаем г(о = [Г/(4аЬ)', з[п хг(х.

Для определения скорости, индупируемой вихрем А,В, в точке А, это выражение надо проинтегоировать в пределах от ах, до а,. Тогда о = [Г/(4аЬ)[ (сое ав — сова,). Г (2.34) Обозначая ОА1 — — х, и ОВ, = х„формуле (2.34) можно придать вид о= [Г/(4иЬ)[[хв( [/ ххх+ Ьв — хт( [I хх1+ Ьи ) .

(2.35) 37 Рассмотрим два частных случая. Пер в ы й ел уч а й: полубесконечный вихрь, простирающийся от точки О до бесконечности. При этом а, = и/2, а, = 0 и, следовательно, и = Г/(4кЬ). (2.36) В т о р о й с л у ч а й: бесконечно длинный вихревой шнур, простирающийся в обе стороны до бесконечности. При этом а, = п, а, = О и формула (2.34) принимает вид о = Г/(2иЬ). (2.37) Формулами (2.36) и (2.37) широко пользуются при рассмотрении теории крыла конечного и бесконечного размаха. ДИНАМИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА В 3.1.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСГИ Н ГАЗА Рассмотрим произвольное пространственное неустановившееся течение газа. В этом случае при заданных массовых силах движение газа можно считать известным, если известны три проекции скорости потока о„', о„о, и параметры состояния газа — давление р, плотность р и температура Т. Для определения шести указанных неизвестных величин нужно составить шесть уравнений. Выведем основные уравнения движения газа. При этом будем пользоваться методом Эйлера, в котором исследуется изменение о, о, о„р, р, Т в зависимости от положения точки (координат х, у, г) и времени. Для установившегося движения эти величины зависят только от координат.

Для того чтобы сформулировать общие законы механики приме. ннтельно к жидкой или газообразной среде, необходимо выделить в этой среде некоторую ее часть и заменить действие окружающей ее среды соответствующими силами. В том случае, когда в результате решения задачи должны быть известны распределенные характеристики (распределение скорости и давления), применяется метод элементарных объемов. При этом из жидкой или газообразной среды выделяется элементарный объем, в пределах которого изменением скорости и плотности можно пренебречь. Применительно к этому объему можно составить соответствующие уравнения механики, относящиеся к динамике точки.

Тогда в результате предельного перехода при стягивании элементарного объема в точку получаются дифФеренциальные уравнения движения. При составлении дифференциальных уравнений искомые функции (скорость, давление, плотность) предполагаются непрерывными дифференцируемыми функциями координат. Как показано в,гл. 5, это не всегда возможно. В некоторых случаях (например, при определении суммарных аэродинамических характеристик тел — аэродинамической подъемной силы, сопротивления и момента аэродинамических сил) можно применять метод конечных объемов. Для этого в жидкой или газообразной среде выделяют конечный объем, в пределах которого необходимо учитывать изменение скорости и плотности. Примеиитель- 38 но ко всей массе, заключенной в этом объеме, можно составить уравнение механики, относящееся к системе материальных точек (например, теореме об изменении количества движения).

При этом для определения сил с необходимой точностью в ряде случаев достаточно знать распределение скорости весьма приближенно. Уравнения, полученные с помощью метода конечных объемов, применимы и к областям с разрывным изменением параметров потока. Рис. ЗЛ. Схема для вывода уравнения неразрывности 3 З.г. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ Уравнение неразрывности представляет собой уравнение сохранения массы применительно к неразрывным течениям жидкости и газа.

Для вывода этого уравнения рассмотрим в потоке газа фиксированный в пространстве объем и' в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами дх, с(у, дг, параллельными осям координат, и с центром в точке С (рис. 3.1). Обозначим о„, о, о„р составляющие скорости потока и плотность газа в точке С в момент времени б Масса газа, вытекающего из объема [У в направлении оси х в единицу времени, (рвов„— рзоги )дус[г, где индексы 1 и 2 — плотность и составляющие скорость о„на левой и правой гранях параллелепипеда. Так как рп, = /(х, у, г, /), то рава„и р,п,„с точностью до малых первого порядка можно представить в следующем виде: р,о,„= /(х+ с/х/2, у, г, Р= оо„+ [д(ро„)/дх] дх/2; рзот, = 1(х — дх/2, у, г, /) =)ров — [д(ро„)/дх] дх/2. Тогда (раааа — ртоза) с(ус/г = [д (роа)/дх] г/хт/ус/г.

Аналогичные выражения можно привести для массы газа, вытекающего из параллелепипеда в направлении осей у и г: д(рси)/ду] г/хг/уг/г, [д(ро )/дг] г/хг/уг/г. Если эти выражения сложить, то получим суммарную массу газа, вытекающего из параллелепипеда в единицу времени: [д (ро„)/дх + д (рои)/ду + д (ро,)/дг] с(хс(удг. (3.1) Согласно закону сохранения массы для неразрывных течений, вы. ражение (3.1) должно быть равно изменению массы газа в объеме ]Г за единицу времени. Масса газа в объеме ]/ в момент времени / равна рс(хс(ус[г, а в момент времени /+ с(1 будет [р + (др/д/)с(/]с[хе(ус(г. Следовательно, в единицу времени масса газа объема У изменяется на величину 39 (др/д/) ахдудг, (3.2) причем при положительном знаке выражения (3.1) масса газа в объеме У уменьшается, т.

е. прн этом др/д/( О. Приравнивая выражения (3.1) и (3.2) с учетом их знака, получаем д(ро,)/дх+ д(рог)/ду+ д(ро,)/дг = — др/д/ или др/д/+ д(ро„)/дх+ д(рог)/ду+ д(ро,)/дг = О. (3.3) Уравнение (3.3) представляет собой уравнение неразрывности. Его можно представить в виде др/д/+ б)ч(ро) = О, (3.4) (1/р)Ыр/д/ +б(ч о = О. (3.4') В частном случае установившегося движения др/д/ = О. Тогда уравнение неразрывности приобретет внд д(ро„)/дх+ д(ро,)/ду+ д(ро,)/дг ='„.О; (3.5) д(ч(ро) =О. (3.5) Для несжимаемой среды (р = сопз1) до„/дх + до„/ду + до,/дг = О; -ь бгуо = О.

(3.У) ,'(3.8) Выведем уравнения неразрывности применительно к плоскому потоку. В этом случае, принимая за плоскость потока плоскость х, у, будем иметь о,(х, у, 1), о,(х, у, /), о, = О, р(х, у, /). Тогда вместо уравнений (3.3), (3.5) и (3.7) получим др/д/+ д(ро„)/дх+ д (ро„)/ду = О; д (ро,)/дх+ д (ро„)/ду = О; (3.9) до„/дх + доа/ду = О. 40 Чтобы составить уравнения неразрывности в цилиндрических и сферических координатах, достаточно воспользоваться формулами для вычисления дивергенции в соответствующих системах координат. Приведем уравнение неразрывности для потока, обладающего осевой симметрией (осесимметричного потока), для которого во всех меридиональных плоскостях течения газа одинаковы. Рассмотрим сначала сферическую систему координат и воспользуемся выражением дивергенции в сферических координатах: б1ч(ро) ' ~ ' (,в,о„)1+ ' '(Ров)+ гв 1 дг 1 гипВ дт — — (з!и Вров )~'.

(3.10) г в! и В дВ где г — длина радиус-вектора; 8 — полярный угол; вр — долгота. В случае осесимметричного потока овр = О, а о„ов и плотность р зависят только от г, В и /. Тогда из выражения (3.10) б)ч (р о ) = д (ро„)/дг + (1/г) д (ро ) /дВ + (2/г) ро„+ (1/г) ро с1я В. Подставляя это выражение в уравнения (3.4) и (3.6), получаем уравнения неразрывности для неустановившегося и установившегося осесимметричного потока в следующем виде: др/д/+д(ро„)/дг+(1/г) д(ро,)/дВ+(2/г) ро„+(1/г) ро с1я 6=0; гд(ро„)/дг+ д(ров)/д8+ 2ро, + ров с(я 6',= О.

(3.1 1) Аналогично, используя соответствующее выражение б(ч(ро), можно составить уравнение неразрывности в цилиндрических координатах. Для осесимметричного потока уравнение неразрывности в цилиндрических координатах имеет вид гдр/д/+ д(гро„)/дх+ д(гро„) /дг = О. Здесь о„о„— составляющие скорости по осям цилиндрической системы координат. В случае установившегося одномерного движения газа можно пользоваться также уравнением неразрывности в форме массового расхода: роР = сопз(, где Р— площадь поперечного сечения трубки тока. Для несжимаемой среды (р = сопз1) это уравнение можно представить в форме объемного расхода: оР = сопз1. 8 ЗХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЬТЕ РРАВиениЯ ДВижениЯ неВЯВКОГО ГАЭА (ИДЕАЛЬНОЕ ЖИДКОСТИ) В ФОРМЕ ВИЛЕРА Уравнения движения невязкого газа можно получить как частный случай из уравнений движения вязкой среды.

Рассмотрим вывод этих уравнений в другой последовательности — сначала дадим вывод уравнений движения невязкого газа, а затем подробно изучим течение вязкого газа. Это позволит прежде всего четко представить влияние вязкости на поверхностные силы и отметить сложности, возникающие при решении задачи движения вязкой жидкости по сравнению с идеальной.