книжечка (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1983 - Аэродинамика летательных аппаратов), страница 10

Динамическая вязкость зависит от температуры. В уравнениях (3.22) закон изменения р в зависимости от температуры считается известным. Представим уравнения (3.22), предполагая, что коэффициент вязкости является постоянной величиной (!г = сопз!), в виде ди дих х + х д! х дк дих 1 др — "=Х вЂ” — — + дг р дк ди„ , д У дг р ду (3.23) х д (д!ч и) 3 ду ди ди ди ди ! др — г-~- их — г+ о — г+о,— ' = г,— — — + д! дх " ду ' дг р дг + х д (6'!ч и) 3 дг 47 + + х д 3 ди„ ди„ У ! и У д! дк дих од — + ог ду (йч и). дк ди„ ии + иг ду (3.24) где ч = р/р — кннематическая вязкость. В векторной форме уравнения (3.23) имеют вид йо/й/ = 7 — (1/р) ягай р 4- юйо+ (т/3) пгай (б(ч о) Здесь Ь вЂ” оператор Лапласа.

В декартовых координатах Ао = дго/дх'+ д'о/ду'+ до/дг'. Уравнения (3.24) по сравнению с уравнениями Эйлера (3.13) имеют два дополнительных члена: первый из них учитывает влияние вяз- Ф кости в несжимаемой среде, когда й(чо = О, а второй — дополнительное влияние вязкости с учетом сжимаемостн (т. е. при й)чо чь О).

У Ы УРЛВНВНИВ ВНИИГНН ДЛЯ ВЯЗКОГО ГЕИЛОПРОВОДНОГО ГАЗА Выведем уравнение энергии для частицы газа в виде прямоугольного параллелепипеда с массой рйхйуйг. Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии частицы равно сумме работы всех снл, приложенных к частице, и количества подводимой извне теплоты вследствие теплопроводности. Приращение энергии частицы за время й/ рйхйуйгй/й/(и + сФ/2), где и — внутренняя энергия частицы, отнесенная к единице массы (и = с,Т).

Составим выражение для работы внешних снл, действующих на частицу. Работа массовых сил при перемещении частицы за время й( р (Хо, + Уог + Яо,) йхйуйгй/. Работа поверхностных снл, действующих в направлении осн х, (д (р„о„)/дх + д (т„„о„)/ду + д (т,„о„)/дг) йхйуйгй/. Аналогично представим выражения работы снл, действующих в направлении осей у и г: (д (т„чоч)/дх,'+ д (р„„оч)/ду+ д (т,„оч)/дг) йхйуйгй/; [д (т„,о,)/дх+ д (т„,о,)/ду + д (р„о,)/дг) йхйуйгй/. В этих выражениях нормальные напряжения равны р„„= — р + + пххэ Руу = Р + пуу~ Рта = Р + нм' Ойределим приток энергии вследствие теплопроводности газа. Обозначим д„йуйгй/ количество теплоты, которое за время й/ протекает через левую грань параллелепипеда. Тогда количество теплоты, втекающей за время й/ через левую и правую грани частицы, г/„йуйгй/ — (д„+ (дд„/дх) йх) йуйгй/ = — (ду„/дх) йхйуйгй/.

Проводя аналогичное рассуждение для граней, перпендикулярных осям у и г, получим выражение для полного количества теплоты, втекающей через все грани параллелепипеда за время Ж: — (дд„lдх+ ддуlду+ дд,lдг) г(хг(уг(гг(г, + д (ЛдТ) (3.25у Преобразуем уравнение (3.25). Для этого умножим уравнение (3.14) и (3.15) соответственно на о„, ир, о,; сложим их и полученное уравнение вычтем нз уравнения (3.25). Тогда (схТ)= Р + У+ ~+~я +гг~р У+ дг ~ дк ду дг ) ~ дх " " ду Используя уравнение неразрывности (3.3) и уравнения состоянии идеального газа р = ЯрТ, получаем / дих дир ди, '1 и др ди дТ х+у+гр ~ дх ду дг ) р <И дг дг Учтем, что ср — с, = гс'. Кроме того, — (Л вЂ” ) + — (Л вЂ” ) + — (Л вЂ” ) = д! р (Л ягаб Т); где, согласно закону Фурье, д, = — ЛдТ(дх, д = — ЛдТ/ду, у, = — ЛдТ/дг; Л вЂ” теплопроводность, Вт/(м ° К).

Приравнивая изменение энергии частицы за время Ш сумме работы всех сил и притока теплоты через все грани параллелепипеда„ после некоторых упрощений получаем уравнение энергии для вязкого теплопроводного газа: р — ~(с,т+ — *) =р(Х „+~Ъ +Ъ) — "— х+ — "+ Г д (Ри ) д (Риу) хг ~ 2 ) " дх ду д д(уи,) 1 д д + ~ + (хххих + тхрир + тхгиг) + (тихих + ггууиу+ дг дг ду д д г дтт д г дт~ + рр,и,) + — (т,хи + т,рор + хгр,) + — (Л вЂ” ) + — (Л вЂ” ) + дох дог —" + — "+ — '=йчо.

дх дд дг Тогда, подставляя вместо касательных и нормальных напряжений т„, гх„..., вхх, н „,, гг„выражения из формул (3.17) и (3.18) и предйолагая, что ср — — сопз1, имеем дт др рсг — = — с+йч(ХйгабТ)+ 1х 12 ~~ — ") + ~ — ") + дг дг дг ) ~ де ) + дг + д+д + д+д + ! до„до тг 2 + ~ — "+ — *) — — (б!чо) ) . (3.26) дг ду ) 3 В уравнении (3.26) члены правой части, заключенные в фигурные скобки, представляют собой теплоту, подводнмую к единице объема в единицу времени вследствие трения. Эти члены называются членаии рассеивания или диссипации энергии, а функция ф = 2 дох 1 доо + дох + дох + дог + ! дох до, "' г'до„до '1х 2 — г (3.27) дг дк ) ~ дг ду ) 3 жазывается диссинативной функцией.

Введя функцию Ф, уравнение (3.26) можно представить в виде рсрг/Т/г// = Нр/Ш + йч (Х игаб'Т) + 1хФ. (3.28) Левая часть уравнения (3.28) представляет собой суммарное ко.чичество теплоты, подводимой к единице объема газа в единицу времени. Оно складывается из количества теплоты, подводимой к частице вследствие теплопроводности йч() ягайТ), работы сил давления х(р/Ш и сил трения рФ. Из уравнения (3.26) легко получить уравнение энергии для не- вязкого и нетеплопроводного газа (без учета массовых сил): р (г1/Ж) (с,Т+ о'l2) = — — (д(ро,)/дх + д(роо)/ду+ д(ро,/дг). (3.29) Преобразуем уравнение (3.29) применительно к установившемуся движению.

В этом случае д(ро„)/дх+ д(ро„)/ду+ д(ро,)/дг = с(р/г/1+ рйч о. Здесь рйчо = — г(р/г(1 + ЯХТ/Ш. Подставляя выражения (3.30) в уравнения (3.29), имеем (г(/г(1)(ог/2+ + с,Т) = — МТ/11. Отсюда (ФЖ)(ог/2+ срТ) = 0 или (с//й) (ог/2+ 1) = О, (3.31) во где ю' = с„Т = Щ(Л вЂ” 1)]ДТ = "1»/(я — 1)]р/р — энтальпия газа [см (1. 12)].

В случае установившегося одномерного течения это уравнение можно представить в виде о»/2+ 1 = сопз(. (3.32), Е ЗЕ. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. НАЧАЛБНЫЕ Н ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ С учетом сжимаемости полная система уравнений должна включать шесть независимых уравнений для определения шести неизвестных величин — составляющих скорости о, о», и,, давления р, плотности р и температуры Т. К их числу относятся уравнения движения„ неразрывности и уравнение состояния газа. В качестве шестого уравнения необходимо составить уравнение термодинамического процесса.

Для изэнтропических течений з = с,1пр/р» сопз1 зависимость между давлением и плотностью описывается уравнением р/р» = = сопз1. В дифференциальной форме это уравнение применительно к движению газа имеет вид ,(д/д/) р/р» = О, (д/д/) р/р»+ о (д/дх) р/р» + о„(д/ду) р/р»'+ о, (д/дг) р/р» О илн (д/д/)р/,» + „агаб(р/, ) = О. (3,34) Используя уравнение (3.34), получаем полную систему уравнений для невязкого сжимаемого газа: -+ + до/Ж = / — (1/р) йгадр, др/д/ + б|т (ро) = О, р = Н»Т, (д/д/) (р/р»)+ Орый (р/р») = О. (3.35) В случае вязкой несжимаемой среды полная система уравнений состоит из уравнения Навье — Стокса и уравнения неразрывности: до/й = 7 — (1/р) йгай р + ч/»о, б1ч о = О.

(3.36) Здесь неизвестными являются составляющие скорости и давление. В общем случае вязкой сжимаемой среды необходимо использо- Рассмотрим систему уравнений невязкого газа. В этом случае для несжимаемой среды неизвестными величинами являются три составляющие скорости о„о, о, и давление р, а полная система уравнений состоит из уравнений эйлера и уравнения неразрывности: -+ -+ + г/и/й = / — (1/р) йгад р, б! ч о = О. вать уравнение движения вязкого сжимаемого газа (3.22), уравнение неразрывности (3.4), уравнение энергии для вязкого теплопроводного газа (3.28) и уравнение состояния газа (1.1).

Решения системы уравнений должны удовлетворять начальным и граничным условиям. Начальные условия необходимы при решении задачи для неустановнвшегося движения и определяют значения исномых функций в некоторый заданный момент времени. Граничные условия задаются при решении задачи как установившегося, так и неустановившегося движения газа и должны выполняться в каждый момент времени.

В невозмущенном потоке о = о, р = = р„, р = р„, т = Т„. При рассмотрении задачи обтекания тела потоком невязкого газа должно выполняться условие безотрывностн обтекания (условие не- протекания). Поскольку при этом вектор скорости потока направлен по касательной к поверхности, то нормальная составляющая скорости в каждой точке поверхности равна нулю: (о„)з = О. Если поверхность задана уравнением Ях, у, г) = О, то направление нормали к поверх.ности в любой точке совпадает с направлением вектора: ягаб / = (д//дх+ / д//ду+ Мд//дх.

На основании условия безотрывности обтекания векторы скорости + о и ягаб/ в каждой точке поверхности должны быть ортогональны, т. е. скалярное произведение этих векторов должно быть равным нулю. Тогда условие безотрывности обтекания (о„)з = О можно представить в следующем виде: (опгаЩ = О, или (3.37) о„д//дх + о„д//ду + о,д//дз = О. Следовательно, в случае невязкого газа необходимо задать значение о„о,, о„р, р, Т на бесконечности, а на поверхности задается одно условие — равенство нулю линейной комбинации о„, о, о, с .переменными коэффициентами (3.37).