победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 4

по+ "ссисЪ,= с'с ). (о) (3.16), В частности, граничные условия (2.9) запишутся в виде ~~,= и', С: р®и а)~, =,У о о (ис ~з, ис Сыосидспс ~е~ = Зс). (3.19). В уравнениях (3.16) — (3.19) ввиду симметрии тензора С, возникающей из сушествоваиия упругого потенциала, выражение Ре(и заменено на ~Эи. Для композитов решение динамической и статической задач теории упругости нужно понимать в обобщенном смысле. Упражнение 3.6. Дать определение обобщенного решения статической (квазистатической) задачи теории упругости (3.17),. (3.19).

Упражнение 3.7. Дать определение обобщенного решения динамической задачи теории упругости (3,16), (3.19), (2.13). Тензор упругих податливостей также можно представить в виде матрицы [У), Например, для ортотропного упругого тела эта матрица в так называемых технических постоянных имеет вид 0 1 1 0 0 Е~ Ев 1 Ез 0 0 0 0 0 0 Ез 1 Ез И= (3.20) 0 2См 1 2См 1 2См ( 1 Е Е 1 Е 0 0 0 О 0 0 О 0 0 Е' 1 Е' (3.21) 1 2С О 0 — 0 1 2С' 1 2С' Наконец, для Е 2(1+у) Е' =. Е„т' = т, б' = бю иэотропного случая имеем поэтому 20 где Еь Ез, Ез — модули Юнга в трех главных направлениях ортотропии, т. е.

направлениях, ортогональных к плоскостям симметрии материала; ть тм т, — коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение в плоскостях, ортогональных к направлению растяжения; боь бм, бмз — модули сдвига, характеризующие искажение углов плоскостей симметрии. Для трансверсально изотропного материала в [3.20) следует положить т~=т, тз=тз=т, Е~=Е~=Е, Е,=Е, б„= бж 2(1+ т) 6„= бм= 6'. Поэтому для трансверсально нзотропного материала матрица Щ имеет вид о о о о о о о о 1 1 т Е Е 1 Š— о Е о Е о Е 1 га (3.22) 1 26 ! 26 Заметим, что матрицы (3.20) — (3.22) можно записать и в компо- нентах Учао Для этого нужно в соответствующих матрицах (3.!0), (3.!2) и (3.!5) заменить букву С на букву л„причем вместо (3.!4) будем иметь Ю г 1 )Ь = (ыяя~ р = ()ыш — "гнея).

2 (3.23) '(1+ т) е — т Упж(! + п)(Хсц+ ХЬ1— Ха,аб ), 1 — т м Заметим, что если убрать двойки в трех последних строках всех шести упомянутых матриц (как вто иногда делается, в литературе), то взаимно-обрат- ность матрац (С) и Щ нарушается. 2! Упражнение 3.8. Доказать, что матрицы [С! и Щ, описывающие один и тот же вид анизотропии (т. е.

матрицы (3.!О) и (3.20); (3.)2) и (3.2!); (3.)5) и (3.22)), являются взаимно-обратными'1: '[С! [у1 =Р)[С)= [)'), (3,24) где [1) — единичная матрица. Упражнение 3. 9. Доказать, что условия (3.24) и (3.3) равносильны. й) Статическая (квазистатическая) задача теории упругости в напряжениях (задача Б) заключается в решении шести обобщенных уравнений совместности (2.28) или (2.26) (куда следует подставить выражение деформаций через напряжения по формуле (3.2)) относительно шести независимых компонент симметричного тензора напряжений о при удовлетворении граничным условиям (2.27).

Для изотропного однородного упругого тела уравнения (2.28) или (2.26) приобретают вид 1 Ла,)+ — В,П вЂ” еЮц + а (сиа,а) + а(а,м)— 1+я а ((1 + т) г — т! пм„нйп + Уы — — О, (3,25) 1 — т где а н е — некоторые произвольные постоянные, от выбора которых не зависит решение задачи (3.25), (2.27), а 9=3о 1го=а»». (3.26) Упражнение 3.10. Доказать, что уравнения (3.25) можно записать в операторном виде Е!!«!о«! + 1'О = О. (3.27) где 1, ! Е!!«! еж — (бг»ЬО + Ьцб;«) д д + — Ьыд!д;— и — бцд«д, — еб!!Ь«!дтдт + а Я! + т) е — т] + (Ь!»д!д! + Ь!!д!д«+ Ь!«д!д» + Ь «д!д!). (3 28) Упражнение 3.11.

Показать, что оператор (3.28) становится симметричным Ец«!=Емц при условии 1 — т а= (1 + т) (т — е (1 + т)] (3.29) Упражнение 3.!2. Показать, что при а=е=О (3.30) уравнения (3:25), а значит н (3.27), превращаются в уравнения Бельтрами — Мнчелла. й) Для плоской задачи теории упругости в напряжениях более удобной является формулировка задачи В. Она заключается в решении уравнения совместности е!меиА(Л!л а (х) ора1.мл = 0 (3.31) н двух уравнений равновесия о, =-ф,, ф,— = — Х (3.32) В уравнении (3.31) Хыра — компоненты плоского тензора упругих податливостей, которые различны прн плоской деформации н плоском напряженном состоянии.

Упражнение 3.13. Показать, что если ввести функцню напряжений Эрн «р: ан = е!ке~Л,кь + Фби (3.34) при удовлетворении на замкнутом контуре Г двух граничных условий абаз]г = о!. (3.33) то задача В заключается в решении одного уравнения относительно Ч' егмеюеркеоь (1 иго Чгкь),мк = е!мат(7иггГй).мк (3 33) прн выполнении двух граничных условий Ч'!г = а!к ~ !)лк~ 3!!(Г, Ч',кпк!г = еюкпк~3ФГ г (3,36) )го 0 РГ]= Х,' 0 (3.42) )г 23 Упражнение 3.14. Показать, что для изотропной упругой среды закон Гука можно записать в виде двух скалярных соотношений, связывающих отдельно шаровые части тензоров напряжений и деформаций (а и О) и отдельно девиаторы (з и е): =ге, (3.37) з=26е, (3.38) при этом модуль сжатия К и модуль сдвига б выражаются через введенные выше упругие постоянные следующим образом: К=)!+ — р=, б=р= .

й), (3.39) 3 3(! — 2т) 2 (! -1- т) Прп рассмотрении задач термоупругости пользуются обычно гипотезой Дюамеля — Неймана (1.24). Соотношения (3.1), (3.2) в этом случае могут быть записаны в виде о= С: (е — аб) (о!! = С!ьц(ец — ацб)), (3.40) е = аб + Л: о (ец = ацб + 7цыоы). (3.41) Упругая среда является обратимой. Поэтому в уравнении притока тепла (2.31) следует положить 97*=0. При сохранении второго слагаемого правой части уравнения (2.31) задача термоупругости будет связанной.

Наличие этого члена позволяет качественно описать некоторые наблюдаемые явления, например затухание упругих волн. Однако чаще всего этим членом пренебрегают, и задача термоупругости становится несвязанной: можно отдельно решить задачу теплопроводности (2.31), (2.32), (2.33), а затем задачу теории упругости, в которой температура считается известной. Упражнение 3.13. Показать, что тензоры теплопроводности )!г и теплового расширения и в главных осях ортотропии могут быть представлены симметричйыми матрицами: '<2 )о! аа <ьь (3.44) Упражнение 3.17.

Показать, что для изотропного тела матрицы (342) и (3.43) имеют диагональный вид Х = )о)!', а= а7, (3.45) где Лг — коэффициент теплопроводности, а — коэффициент теплового расширения. Упражнение 3.18. Доказать, что закон Гука (3.1) для анизотропного тела можно записать отдельно для шаровой части тензора напряжений о и отдельно для его девиатора з в виде и= — а0+ — е о (3 46) 3 3 1 о о 8 <а) !2 (Ы з = — ай -(- — (ЗЬ вЂ” а) е — — е + — е + п: е„(3.47) 3- 8 7 7 где дополнительно к обозначениям, введенным в приложении П, введены тензоры е(а) = — (а.е+ е а), е ж — (Ь е+ е.Ь), ! — — <Ы 1 2 -- - - 2 (3.48) е(а>= ! е<аЧ+ е<'>, е<а>ж(ге<а>= а:е, 3 е<ь> е<ь>7 ! е<ь> е<ь> — 1г е(ь) Ь : е.

3 (3.49) Упражнение 3.19. Доказать, что закон Гука (3.2) для анизотропного тела можно записать в виде 0= Зри+ з<а> (3. 50) е= ро+ — (Зд — р)з — — з + — з' + Х:з, (3.51) о о 8 3 7 7 где дополнительно к обозначениям, введенным в приложении П, введены тензоры з<а) = — (р з+ з р), Фа) ю — (а з+ 3 <1), (3.52) 24 Упражнение 3.18. Показать, что для трансверсально изотропной среды с осью симметрии ль тензоры теплопроводности и теплового расширения записываются в виде матриц (3.42) и (3.43), причем Ф) = — з"'1+зев, з~~= — 1гзоо= р:з, з Фм = — Р>1 + Ъ>, зм> =— 1г зао = д: з.

з (3.53) Упражнение 3.20. Доказать, что для изотропного упругого тела «касательиый модуль» будет положительным (т. е. будет удовлетворяться условие (1.10)), если б>0, — 1<т с1/2. (3.54) Упражнение 3.21. Доказать, что для трансверсально изотропного упругого тела «касательный модуль» будет положительным, если (3,55) (см. приложение 11). Упражнение 3.22. Доказать, что для упругого тела из положительности «касатсльного модуля» следует положительность «касательной податливости» и обратно, из положительности «касательной податливости» следует положительность «касательного модулях $4. Вязкаупругость Всякое деформируемое твердое тело, проявляющее реономные свойства, называется вязкоупругим.

В зависимости от того, линейны или нелинейны операторы (1.1) и (1.2), различают соответственно линейную и нелинейную вязкоупругость. Запишем для простоты одномерные соотношения между напряженнем а и деформацией е (обобщение на трехмерный анизотропный случай не составит труда): о о==- ~ Г(1, т)е(т) Ит= — Ге, (4.1) о Г (1, т) — — Еб (à — т) — Г (Г, т), К(1, т) = — 6 (г — т) + К (1, т); Я (4.3) Š— модуль Юнга. В интегралах (4.1) и (4.2) нижний предел интегрирования понимается как предел слева на прямой времени. 25 о е= ) К(1, т)п(т) с(т=Ка, (4.2) о где в ядрах Г(Г, т) и К(1, т), характеризующих операторы Г и К, можно выделить аддитивную составляющую в виде дельта-функций Дирака: Кроме того, напряжение, деформация и все их производные считаются равными нулю в отрицательные моменты времени. Поэтому записи интегралов с с г и= ~Д(/ — т)Ж(т)жДе, о (4.5)~ .

е= ~П(/ — т)~Ь(т)=Па. (4.6) При этом (4.7) Величины Г(г,т) и Я(г) называются соответственно ядром и функцией релаксации, ибо они отражают свойство вязкоупругого материала уменьшать напряжения при постоянной деформации. Величины К(/, т) и П (/) называются соответственно ядром и функцией ползучести, и онн отражают свойство вязкоупругого материала увеличивать деформацию под действием постоянной нагрузки. 26 эквивалентны между собой. Сокращенная запись интегральных операторов (4.1) и (4.2) позволяет обращаться с операторами Г, К как с числами. Например, из (4.1) и (4.2) следует, что К = 1/Г, Г = 1/К, (4.4) имея в виду, что 1/Км†а-'. Это обстоятельство используется при решении квазистатических задач линейной теории вязкоупругости (принцип Вольтерры).

Решаются соответствующие задачи теории упругости, причем на величины Г, К смотрят как на модули упругости, а после решения расшифровываются функции от операторов. Умножение операторов Г и К не коммутативно (что учитывается при решении упругих задач). Если же свойства материала инвариантны относительно сдвига по времени, т. е. отсутствует старение, то ядра Г(/,т) и К(/,т) являются ядрами разностного типа Г(/ — т), К(/ — т), и соотношения (4.1) и (4.2) могут быть' записаны в эквивалентном виде с помощью интегралов Стильтьеса: Характерные графики функции релаксации )с(1) и функции ползучести П(г) показаны на рис. 1 и 2.