победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 3

е. й~х,= О, (2.14) где А'(о) — работа внешних сил на перемещении о: А'(о) = — ~ Х оА'+ ~,У осЕ. у (2.18) Сформулируем теперь квазистатическую задачу МДТТ в напряжениях. Для этого в уравнениях совместности (2.2) выразим деформации через напряжения, используя соотношения (1.2). Запишем сокращенно полученный результат в виде т)(п) = О. Квазистатическая задача МДТТ в напряжениях в классической постановке (задача В) заключается в решении шести уравнений совместности (2.19) и трех уравнений равновесия (2.6) относительно шести независимых компонент симметричного тензора напряжений о при удовлетворении граничным условиям, например (2.9) или (2.19) о о п1э= 5, (аыпД,= Я;). (2.20) Разумеется, н в этом случае для существования классического решения (обладающего достаточной гладкостью) необходимо наложить ограничения на материальные функции оператора (1.2), на «входные данные»: Х, 5', на гладкость поверхности Х.

Для компазитов можно дать определение обобщенного решения задачи В. А именно: обобщенным решением задачи В называется тензорное поле о, удовлетворяющее уравнениям равновесия (2.6) и статическим граничным условиям (2.9), которое для всякой гладкой тензор-функции т, удовлетворяющей однородным уравнениям равновесия и однородным статическим граничным условиям Р(ч г= О, т п1х,=О, (2.21) !4 подобласти, внутри каждой из которых материальные функции непрерывны (т. е. существует классическое решение). Решим соответствующую задачу внутри каждой подобласти, а на границе контакта этих подобластей удовлетворим условиям сопряжения: е В исо= иаб ~о> ля = — опп~й2ь (2.16) где индексом (1) помечены величины, относящиеся к одной подобласти, а индексом (2) — к другой. Условия (2.16) называются условиями идеального контакта. Упражнение 2.1.

Доказать, что для компознта обе формулировки обобщенного решения задачи МДТТ эквивалентны. Упражнение 2.2. Показать, что тождество (2.15) с использованием определений (1.5) и (1.17) может быть записано в виде Е1Ф(и, о) = А'(о), (2.17) удовлетворяет еще и тождеству (2.22) б(о):тИ= Ах,(т, и'), где А„(т,и') — работа внутренних сил на заданном перемеще- нии и': о)а,~ ет. т (2.23) х, Упражнение 2.3.

Выполнить задание упражнения 2.1 применительно к обобщенному решению задачи В. Упражнение 2.4. Показать, что тождество (2.22) с использованием определений (1.5) н (1.17) может быть записано в виде В~р(о, т) = Ат (т ие) О (2.24) Пусть Я(о) — невырожденный линейный оператор от некоторого вектора а (см, приложение 1). Построим линейный оператор — симметричный тензор второго ранга В по правилу В (о) = 2 Ре1 Р (а) — йч К (а) 3 (2.25) (В;;(и) = — Ргл (а) + Рьс(а) — ~,Ккь (а)), Дадим так называемую «новую» постановку второй краевой квазистатической задачи МДТТ в напряжениях (задачи Б).

Она заключается в решении шести уравнений Н(о) + В(Жг и)+ В(Х) = 0 (2,26) относительно шести независимых компонент тепзора напряжений о при удовлетворении шести граничных условий (Р(чо+ Х]в =0; о п(х= 5'. (2.27) Первое слагаемое в уравнении (2.26) получено подстановкой в уравнения совместности (2.3) выражений деформаций через напряжения по формуле (!.2). Упражнение 2.5. Доказать эквивалентность, задачи Б (2.26), (2.27) и задачи В (2.19), (2.6), (2.20). Упражнение 2.6. Доказать, что решение задачи Б не зависит от выбора оператора Р н тензора-константы $. Упражнение 2.7. Доказать, что уравнения (2.26) можно записать в днвергентном виде Ендь+ Ун= О, 15 где тензор У определяется через объемные силы 'г' = В(Х), (2.29) а тензор третьего ранга Епа выражается через деформации (которые являются оператором от напряжений в виде (1.2)): / ! 1 Ееуь = гпь + 6» ( йл е!гз) + бы ( — ба — апд) + + Вы (еыз + В,з) + В у' (1)1чо) Ю (2.30) Если рассматриваются неизотермическне процессы, то формулировки соответствующих задач термо-механики деформируемого твердого тела (ТМДТТ) могут быть получены нз описанных выше путем использования определяющих соотношений (1.3) вместо (1.1) и (1.2).

В силу появления новой неизвестной — температуры Т вЂ” следует к системе уравнений МДТТ добавить уравнение притока тепла рс Т = Йч(Л агад Т) — Т„[а:;г (е — аб)]'+ рд+ %7, (2.31) где с, — теплоемкость, Л' — тензор теплопроводности (положительно определенный), д — массовый приток тепла, йг* — функция рассеивания, для обратимых сред тождественно равная нулю. Кроме того, следует добавить граничные условия. Например, на части Еа границы тела В задается ам)п.Л Втаб Т+ бм~Т = тн>, (2.32) где ам>, Ььв — некоторые размерные величины, а тов — заданная на Х, функция.

Если рассматривается нестационариая задача (в уравнении (2.31) левая часть отлична от нуля), то нужна задать еще и начальные данные, например: при 1=0: Т=Р(х). (2.33) Внд функции рассеивания Ю'" конкретизируется при выборе модели ТМДТТ. Вопрос о единственности решения задач А, Б и В будет обсуждаться в следующей главе. $3. Упругое тело Наиболее простой моделью МДТТ является модель линейного упругого тела.

Почти все деформируемые твердые тела (а иногда даже и жидкости) в той или иной степени обладают упругими. свойствами, хотя бы при кратковременных нагрузках. 16 Определяющие соотношения (1.1) для упругого тела записываются в виде а=С: а (а11=СПиеи), (3.1) где тензор 4-го ранга С вЂ” тензор модулей упругости — для композита является разрывной функцией координат. Определяющие соотношения (1.2) для упругой среды имеют- вид (3.2) (3.4). 1, . ! ! а1 = — о'1 .1: а 1! п1 = — 11гз1а1газ1) . 2-' '- '! 2 Упражнение 3.1. Доказать, что из соотношений (3.4) вытекает, что в самом общем случае тензоры С и Л имеют 21 независимую компоненту.

В случае анизотропии общего вида тензор С можно изобразить в виде симметричной матрицы 6Х6, составленной из его независимых компонент: ' С„, 1 С„„См, )/2 С „, )Г2 С, 1з (/2 С Сзззз Сзззз У2 Сзззз )l 2 Сзззз ~2 С Сз„з )/2 Сзззз ) ~2 С,з,з )/2 С 2С1з1з )/2 Сзмз У2 С 11ЗЗ ызз 2сзззз у'2 С„„ 2Сзззз 1 1С] = (3.5) Из-за симметрии матрицы (3.5) ее элементы ниже главной диагонали не выписываются. Упражнение 3.2.

Показать, что для упругого тела, обладающего симметрией относительно плоскости х1хм после преобразования координат Х1 = Х1, Хз — Хзу Хз — — Хз (3,6) !7 е=л: а (во=71!иаи) где тензор 4-го ранга Я вЂ” тензор упругих податливостей — для композита также является разрывной функцией, причем тензоры С и М взаимно-обратны С: Л = ') ' С = А (С !зг(з1 = (1!11Сз! = —,(61 б' '+ 61 б! )). (3.3). 1 Соотношения (3.!) и (3.2) описывают так называемый обобщенный закон Гука для анизотропного упругого тела. Операторы (3.1) н (3.2) являются потенциальными, т.

е. выполняются условия (1.4), причем функции Ф'(а) и а1(а) для линейной упругой среды имеют вид 1 .. ! ! %Г = — е: С: е ~ ~~ = — С1гие1!ез! )~. 2 2 компоненты тензора деформаций преобразуются так: зп = зи ззг= ззй ззз = заэ (3.7) Р зы = зы з~з = — зы зм = — зж и позтому тензор С имеет 13 независимых компонент (3.8) 2С,~„ Упражнение 3.3. Используя преобразования координат х1 хь хз хь хз хз (39) показать, что для ортотропного упругого тела, обладающего симметрией относительно плоскостей х>хм х>хз (а значит, и хзхз). тензор С имеет 9 независимых компонент >С 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2С„„ 0 0 2с,д~, 0 2С„„> (3.10), (С! = Уиражиеиие 3.4. Показать, что для трансверсально изотропного упругого тела, пе изменяющего своих свойств при преобразовании координат вида х, '= х,озза+ х,з>ая, х',—.— — х,з>па+ х,сова, х,'= х,, (3.!1) где а — произвольный угол, тензор С имеет 5 независимых ком- понент С„„фф„О О Сьш С „ О О С,, О О 2С„„ О 2С,жз (3.12) [С! = причем в матрице (3.12) следует положить 1 Сшз = (С~ш Сма ).

(3.13) Смм С„„см„$~2 Сш, Смж С„ж У2 С„„ С„„~'2 Сжж 2С„„ 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 2 С,ззз 2Сизы > 0 0 0 0 0 2сзз„ Упражнение 3.6. Показать, что для изотропной упругой среды тензор С имеет только две независимые компоненты (постоянные Ламе) 1 Л= С„„, р= — (С„„— С„„); 2 (3.14)- сЛ+2р Л Л О 00 Л+2р Л 0 00 Л+2р 0 00 21с О О (3.15) (С) = 2р 0 2р Для анизотропной неоднородной упругой среды уравнения дви- жения (2.10) имеют вид (см. приложение 1) Р!ч(С: ~®и) + Х= ри- (3.16): ЯСссосиьс1 с+ Хс — — ри,"), а уравнения равновесия — вид Рсч(С: р®и)+Х=О ((СссисидЯ,а+Х,=О). (3.17) Граничные условия (2.12) имеют в данном случае следующий вид: (инс.С: 17®и.п+ Ьм' и1т = )с)со~' ((асс См ис.