победря (Победря Б.Е., 1984 - Механика композиционных материалов), страница 2

приложение 1) и= У(з). (1.1) Это означает, что в некоторый фиксированный момент времени 1 тензор напряжений однозначно определяется значениями тензора деформаций з, известными во все времена т, предшествующие моменту 8:т~й Если для определения тензора напряжений и достаточно знание тензора деформаций з только в момент времени 1, то будем говорить, что оператор У является функцией У . Если операторные соотношения (1.1) однозначно разрешимы относительно деформаций з= 3(п), (1.2) т. е. операторы У и З являются взаимно-обратными, то будем говорить, что задана модель МДТТ. Если операторных — линейный, то такая модель называется линейной, а соответствующая среда — физически линейной средой. Упражнение 1 1.

Доказать, что если один из операторов К или в' является линейным, то и второй также линейный. Ю Функции (или константы), по которым можно полностью восстановить оператор К (или 3) определяющих соотношений, описывающих данную модель МДТТ, называются материальными функциями (или константами). Этн материальные функции определяются экспериментально и показывают, чем в рамках одной модели МДТТ один материал отличается от другого.

Теорию, основанную на выбранной модели МДТТ, будем называть «серьезной», если описан полный набор экспериментов для определения всех материальных функций, определяющих операторы бе н 3. В противном случае теорию будем называть «несерьезнойз. В этой главе мы рассмотрим некоторые конкретные классические серьезные теории. Если материальные функции определяющих соотношений зависят явным образом от координат х, то описываемая ими среда называется неоднородной. Если этн функции являются разрывными функциями координат, то неоднородная среда называется композитом (иван композиционным материалом).

Соотношения (1.1) и (1.2) в случае их явной зависимости от температуры Т и = бе(е, Т); е = 3 (и, Т) (1.3) определяют модель термомеханики деформируемого твердого тела. Операторы Я;и .'э' называются потенциальными, если существуют такие скалярные операторы )е' и ей соответственно, что д%' (е) - дее (~~ '~(е) = д —, ~(п) = (1.4) причем функциональные производные, например — , опреде- д(е (е) де ляются следующим образом: дзг (е) д Р(е'(е, й) ш=: Ь иж — 1((у(з+ $6))1=о, (1 5) где Р(р(е, л) — функциональный дифференциал оператора й(е, линейный по Ь вЂ” произвольному тензору второго ранга, $ — числовой параметр. Упражнение 1.2. Доказать, что (ет+й — и: е=О, (1.5) если )Р(0) =0 и й(0) =О.

Назовем тензор 4-го ранга - - «касательным модулем», да% (е) а тензор 4-го ранга '- — — «касательной податливостью». «Ка- дЗ(е) де сательный модуль» называется неотрицательным, если Ь: д 'Ь)0 дР(е) (1.7) глЬ:Ь'<Ь: - —: Ь, де» (е) (1.10) где гл — некоторое положительное число, имеющее размерность напряжений. Будем говорить„ что «касательная податливость» — положительна, если для любого симметричного тензора второго ранга Ь выполняется неравенство пЬ:Ь<Ь: — —:Ь, д3 (и) (1.11) где л — некоторое положительное число, имеющее размерность, обратную к размерности напряжений.

Упражнение !.3. Доказать, что «касательный модуль» н «касательная податливость» являются взаимно-обратнымн тензорамн: дР (е) дф (е) дф (е) дР (е) де ' де де ' де где А — единичный тензор 4-го ранга (см. приложение 1). Упражнение 1.4. Доказать, что «касательный модуль» н «касательная податливость» одновременно либо неотрнцательны, либо неположительны. Упражнение 1.5.

Доказать, что если «касательный модуль» положителен, то «касательная податливость» ограничена, и наоборот, если «касательная податливость» положительна, то «касательный модуль> ограничен. 4) «Касательный модуль» называется неположительным, если де»(е) Ь:= —: Ь< 0. «Касательный модуль» называется ограниченным, если существует такое число М)0, что Ь: =: Ь<МЬ: Ь.

дГ (1.9) Будем говорить, что «касательный модуль» — положительный, если для любого симметричного тензора второго ранга Ь выполняется неравенство В дальнейшем неравенства типа (1.10) будем записывать в условном виде: де» (е) де (1.10') (1 14) (1.16) (1.19) Упражнение 1.6. Доказать, что если «касательный модуль» положителен и «касательная податливость» положительна, причем в (1.10) и (1.11) т<1/л, то справедливы неравенства дХ (е) 0 ( тб ~( -д ~( — Ь, (1.13) дУ (е) 0 ( лб ~~ < — А. Ю де т Если выполнены условия (1.13) и, кроме того, деК (е) дЮ (О) д Р' (О) дУ (е) ~( д; =ы-=3= — ° (1.15) то говорят, что материал обладает мягкой характеристикой.

Если же дополнительно к (1.13) дГ (О) д«Г (е) де де то материал обладает жесткой характеристикой. Упражнение 1.7. Доказать, что если среда одновременно обла- дает жесткой и мягкой характеристикой, то она физически ли- нейна. Среда является аннзотропной некоторого класса, если опреде- ляюшне соотношения (1.1) и (1.2) инвариантны относительно пре- образований, связанных с этим классом аиизотропии. В частно- сти, если определяющие соотношения инвариантны относительно полной группы вращения в трехмерном евклидовом пространстве, то среда называется изотропной.

Введем понятие операторов потенциальной энергии деформа- ций Ф и напряжений ~р по формулам: Фж~ Я7й~; фж~ак(У. (1.17) У Упражнение 1.8. Доказать справедливость сдедуюших формул: РФ(е, бе) = ) а: бее(У, (1.18) т Рщ (о, ба) = ~ е: бот(У, Ф+ Ч = ~ а: еЛ'. 6) (1.20) Если соотношения (1.1) и (1.2) являются инвариантными относительно преобразования времени 1'"И() (1.21) то они называются склерономными. В противном случае определяющие соотношения называются реономными. При рассмотрении неизотермических процессов в МДТТ обычно принимают гипотезу Дюамеля — Неймана, которая заключается в том, что соотношения (1.3) записываются в виде и ='я(ег Т) гт й (и, Т), (1.22) где ег=е — аб, б — Т вЂ” То.

(1.23) Здесь а — тензор теплового расширения, б — так называемый перепад температуры, Тз — температура недеформированного (актуального) состояния. Введение гипотезы Дюамеля — Неймана оправдывается тем, что для материалов, свойства которых не зависят от температуры, определяющие уравнения имеют вид и яг(зг).

ег у (и) (1.24) т. е. отличаются от соотношений (1.1) и (1.2) формальной заменой з-+ зг. $2. Постановка задачи МДТТ т 2 к е = Ое1 и ( з, . = —.(иц + изх) ) . (2.1) На соотношения (2.1) можно смотреть как на систему дифференциальных уравнений относительно вектора перемещения, если компоненты тензора деформаций считаются заданнымн.

Для одно- связного тела необходимым и достаточным условием интегрируемости этой системы будет обращение в нуль симметричного тензора второго ранга Ч, называемого тензором несовместности (1пкошра(1Ы11(е): т1ем 1п(ге=О (ип — з,ме;,~еь~х =О). (2.2) Уравнения (2.2) называются также уравнениями совместности (Сен-Венана). Считаем деформации малыми ((бгаби(«1), так что тензор деформации е выражается через вектор перемещения и соотношениями Коши: Упражнение 2.1.

Доказать, что, для того чтобы выполнялись условия (2,2), необходимо и достаточно, чтобы (2.3) где использовано разложение тензора и на шаровую часть т) и девиатор ц: о о чжао+ — т11; т1ж 1г ц, (2.4) (ан~ и й+Ькч и]х'= У"'. ч где аи), 6и) — некоторые положительно определенные тензоры 2-го ранга, и — единичный вектор нормали, Ллю — вектор контактных усилий. В частности, если поверхность У. состоит только из двух частей Х~ и 2ь причем (2.7) (2,8) а!2)=7, И2)=0, Я™=~У, где й — размерная постоянная, ие — заданный на границе вектор перемещения, а 5з — заданная поверхностная нагрузка, то из (2.7) имеем и(х,=и', а п~х,= У. (2.9) Если в соотношения (1.1) вместо деформаций подставить перемещения по формулам (2,1), а полученный результат — в урав- 12 причем / — единичный тензор 2 ранга.

В предположении, что объемные и поверхностные распределения моментов отсутствуют, тензор напряжений о будет симметричным. Три уравнения движения сплошной средй имеют вид Р(чв+ Х= ри (ппп +Х~ = ри)), (2.5) где Х вЂ” вектор объемных сил, р — плотность вещества. Если рассматривается равновесие среды, то силами инерции можно пренебречь, и мы имеем 111чо+ Х= 0 (оц,~+Х, = 0). (2.6) Пусть заданы граничные условия контактного типа на части Х, границы Х: пения (2.5) или (2.6), то получим три уравнения движения в перемещениях, которые в сокращенном виде запишем так: Р1ч й (й) + Х = ри" (Уц,; (и) + Х, = ри~" ), (2.10) где стоящее в скобках (и) означает, что проделана описанная выше процедура использования (1.1) и (2.1). Аналогично, уравнения равновесия имеют вид Р(ч У (и) + Х = 0 (Упл (й) + Х, = 0).

(2.11) Динамическая задача МДТТ в перемещениях заключается в отыскании поля перемещений и из решения трех уравнений с тремя неизвестными (2.10) при удовлетворении граничных условий: (ам я (и) п+ Ьм1 и)х =ТР' ° (2.12) О и начальных данных: выполняется тождество ~ У (й): е (й) й' = ~ Х тлЛ/ + ~,У оИЕ.

(2.15) У У х1 Для композиционного материала можно дать другое определение обобщенного решения. Разобьем область, занимаемую телом, на 13 при 1=0:и=У, й=$', (2:13) Ф где У и г' — заданные в начальный момент времени векторы перемещений и скорости соответственно. Квазистатическая задача МДТТ заключается в решении трех уравнений равновесия (2.11) относительно трех компонент вектора перемещения и при удовлетворении граничным условиям (2.12) (задача А).

В обоих случаях при разыскании «классического> решения его «гладкость» зависит от вида оператора У, гладкости «входных данныхя, т. е. векторов Х, Ф(«>, У, У, а также гладкости поверхности Х. При решении упомянутых выше задач МДТТ для композитов, в силу разрывности материальных функций, описывающих оператор 9, необходимо разыскивать обобщенное решение соответствующих задач. Рассмотрим, например, квазистатическую задачу МДТТ с граничными условиями (2.9) при условии и'=О. Обобщенным решением втой задачи называется такое непрерывное векторное поле и, что для произвольного достаточно гладкого вектора о, удовлетворяющего однородным кинематическим граничным условиям, т.