.Предел функции в точке. Свойства пределов.

§ 1 Пределы.

Uх˳ - это любой (a ; b) которому ͼ х˳ (обычно окрестность симметрична относительно т. х˳ )

Ūх˳ - это окрестность из которой точка х˳ удалена.

х˳ ͼ R – предельная точка множества Е, если любая Uх˳ бесконечно много точек множества Е.

§ 2 Функция.

Если каждому х из D по правилу f ставится в соответствие ед. число из Е то на множестве D задана функция y=f(x).

§ 3 Ограниченность функций.

1. Определение: f(x) задана на Е, называется ограниченной на этом множестве при: ꓱC>0 : ꓯx ͼ E => |f(x)| ≤ C
2. Определение: Пусть f(x) определена в некоторой Uх˳ тогда f(x) называется ограниченной при x -> x˳ если существует такая окрестность ꓱꓦх˳ с Uх˳ и существует положительное число «С» такое, что для всех х из окрестности ꓦ выполняется неравенство ꓯх ͼ ꓦх˳ => |f(x)| ≤ C.

§ 4 Предел функции в точке.

Пусть f(x) определена в некоторой Uх˳ за исключением быть может самой т. х˳.

Определение: Число А называется пределом f(x) в точке х˳ если для ꓯꜪ > 0 ꓱỽ(Ꜫ) > 0 что для любых х для которых выполняется неравенство 0 < |x - x˳| < ỽ => |f(x) – A| < Ꜫ

§ Свойства пределов.

Свойство 1: Если существует предел функции limₓ₋ₓ˳ f(x) = a то в некоторой Uх˳ функция ограничена.

Свойство 2: Если limₓ₋₀ f(x) = А>0 то существует ỽ окрестность т. х˳ ꓱ Ūх˳ в которой для всех х выполняется неравенство f(x)>0/

Свойство 3: Если в Ūх˳ выполняется неравенство f(x)≤h(x) / f(x)<h(x) то имеет место следующее неравенство: limₓ₋ₓ˳ f(x) = limₓ₋ₓ˳ h(x).

Свойство 4: Если в Ūх˳ выполняется неравенство f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) при чем limₓ₋ₓ˳ f(x) = A, limₓ₋ₓ˳ h(x) = A тогда, limₓ₋ₓ˳ g(x) = А.

Свойство 5: Если limₓ₋ₓ˳ f(x) = А и А конечен, то f(x) можно записать в виде f(x) = A + α(x), где limₓ₋ₓ˳ α(x) = 0 – Б.м.ф.

Свойство 6: Если существует limₓ₋ₓ˳ f(x) = А, limₓ₋ₓ˳ h(x) = В то имеют место следующие равенства.

1. limₓ₋ₓ˳ (f(x)±h(x)) = limₓ₋ₓ˳ f(x) ± limₓ₋ₓ˳ h(x)
2. limₓ₋ₓ˳ f(x) * h(x) = limₓ₋ₓ˳ f(x) * limₓ₋ₓ˳ h(x)
3. limₓ₋ₓ˳ f(x)/h(x) = limₓ₋ₓ˳ f(x) / limₓ₋ₓ˳ h(x)

Свойство 7: limₓ₋ₓ˳ С = С; С = const

Свойство 8: Если limₓ₋ₓ˳ f(x) = А существует предел, то он единственный.

2. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.

§ Бесконечно малые функции.

Определение 1: f(x) определенная в некоторой Ūх˳ называется Б.м.ф. при х -> х˳ если предел этой функции равен 0 limₓ₋ₓ˳ f(x) = 0 (1)! ꓯꜪ > 0 ꓱỽ(Ꜫ) > 0; ꓯx : 0 < |x - x˳| < ỽ => |f(x)| ≤ Ꜫ.

Теорема 1: Сумма или разность двух Б.м.ф. есть Б.м.ф.

Ūỽ₁(х˳) ꓵ Ūỽ₂(х˳) = Ūỽ(х˳) если х попадает в эту окрестность то выполняется |α(x) +β(x)| ≤ |α(x)| + |β(x) ≤ 2Ꜫ (2)!

limₓ₋ₓ˳ (α(x) + β(x)) = 0

Замечание: справедлива для любого конечного набора Б.м.ф.

Теорема 2: Если α(х) Б.м.ф. а f(x) ограниченная функция в некоторой Uх˳, то предел произведения Б.м.ф. на ограниченную то получится Б.м.ф.

§ Сравнение Б.м.ф.

Пусть нам даны 2 Б.м.ф. α(х) и β(х) при х -> х˳ Ūх˳

1 limₓ₋ₓ˳ α(x)/β(x) = 0 (3)! α(x)- Б.м.ф. более высокого порядка; β(х)- Б.м.ф. более низкого пордка.

§ Эквивалентные Б.м.ф.

1. Б.м.ф. α(х), β(х), х->х˳ называются сравнимыми если существует предел их отношения.
2. Б.м.ф. α(х) и β(х) называются эквивалентными при х->х˳ если limₓ₋ₓ˳ α(x)/β(x) = 1 и обозначается α(x) ̴ β(x), х->х˳

Первый замечательный предел:

limₓ₋ₓ˳ sinx/x = 1

Таблица экв. Б.м.ф.

1. sin α(x) ̴ α(x) 8. ln (α(x)+1) ̴ α(x)
2. tg α(x) ̴ α(x) 9. logₐ (α(x)+1) ̴ α(x)/ln a
3. arcsin α(x) ̴ α(x) 10. (α(x)+1)ⁿ - 1 ̴ nα(x)
4. arctg α(x) ̴ α(x) 11. ⁿ√(α(x)+1) - 1 ̴ α(x)/n
5. 1 – cos α(x) ̴ (α(x))²/2
6. eᵃˣ - 1 ̴ α(x)
7. aᵃˣ - 1 ̴ α(x) ln a