Ответы: Алгебра 1.1
Описание
Характеристики ответов (шпаргалок)
Список файлов
- Алгебра 1.1.jpg 1,76 Mb
Распознанный текст из изображения:
Чвсть '4
ство. Линейная зависим азмерность и бозио лин
ость и независимость
еииого пространство
Рвзмерцасть
и базис линейного
пространства
Пусть системэ векторае
линеино-независима,а пю
бак система ) векторов
— линеина-зависима,тогда
~испо называют размер.
ностью пространства
сн, г, Существует единственныи нулевой элемент,для каждого зле мента существует единственный противапслажныи
Линейная зависимость
и независимость сис-
темы ввитврав
Пуст~ имеется л векто-
ров х, ««.,.',
Составим линеиную ком-
бинацию
фш)«
Система этих я линвино независимых векторов на зывается базисам липеи нага пространства Рассмотрим систему -( векторов
л',чг.х,г 'и х =
у=.о если э, а, -а — О
система векторов— линеино-зависима Если среди векторов какие го Ь линейно-зависимы, то вся система векторов является линелно-заенснман
Ешш система л векгорое лнненно-неэавнснмэ,го любая час«ъ нэ этих векторов будет ыже лннен- на-незавнснмон
Такое представление называется разложение г' па базису а числа (и . ., и ) называют ко ардннатамн вектора Раз поженив любого вектора в выбранном базисе— единственно
4. Скддяриоо дрвиэрейецие Ввктоййв и ого свойотвд
ненУлевык вектоРов наэываатсЯ и Ь =-(й чб( саыр ив = (и). нр. Ь = (Ь .нрг и
числа Равное произведению этих 1 ~„-( тьч (Л (,
векторов на ысинус угла между
ними 3. и(Ь«-').= ВЬ;-и" г; 4. и =(й(
В. Векторное произведение векторов и ега своистев Три некомпланарных вектора образуют правую
тройку если с конца третьего поворот от первого
вектора ка второму совершается против часовои 1 (й"Ь)= -(Ь"и), стрелки Если почасовой †то лев 2 К(й. Ь) =()Д. Ь'='". ЕЛЬ)« Векторнымпроизведеннемвектора и навектор Ь в,ь Г.„ь) называется вектор ,который
1. Перпендикулярен векторам и и Ь
2. Имеет длину, численно равную площади параллей
лограмма,образованного на векторах и и Ь а>Ь=. и, и, и (гх= иШЬ( юлю, Гдв Р. (и,ь)
3. Векторы и, Ь и образуют правую гранку векторов
В базисе ' вектор « имеет каардина
гы « = х г,- х.г
Е(ьх В«)=),Е>(«)«ВГ(«г)
Рассмотрим я-мерное линеинае про
сгранство
(й):, г'.. г'„
й.; В. Смешанное произведен
Смешанное произведение записывают ут . в виде [а'=Я~С) Е~
-'-'::а
,.":"-' Смысл смещенного произведения сна) :. чала две вектора векторно перемнсжа )ж~П; ют а затем полученный скапярна пере«)Т мнажэют с третьим вектором Смешан 'ОейР нос произведение представляет собой ,"х;, число †чис Результат смешаннага ) -' произведения в объем параллелепипе- Т'~' дэ обраэаваннога векторами
. Своиатва
1.Смешанное произведение не меняется
при циклическан перестановке сампо ;" ", 2.Смешанное произведение не изменится при перемене местами вектор-
« =Дх)=у(хи «хи г лжг„)=
«=хи ««.и,л
— ги, л
Для того,чтобм задать линейные пре образования вэтом пространстве достаточно задать эта преобразование для базисных векторов
'',=Е(И), =ЕТД);;-Е(и)
г*)
. ° .,г +и .«
— — (у у=Ау()
,) )) х,ж)
)«=Е(Е).-Е(» ',+ «Е«г +,Л)=
=л Е(е)чх«Е(г()- г«,, (и',)=
— ,г, г «, г(—
Пннеиное преобразование — матрица лннеиного оператора Каждому линейному преобразованию соответствует одна ма трица лннеинага оператора н наоборот Если имеется квадратная матрица зна чит задано пинеиное преобразование пространства
Матрица лннеииага
преобразования
Пусть Š— линеинае преобразование
пикейного пространства переводящая
1. Ливеияые прострои
системы векторов. Р Рассмотрим непустое множества элементов,ка тарые будем обозначать через « «,х, и мнаже ство действительных чисел На этом множестве введем две операции (сложение и умнаже»ие) Пусщ этн две операции подчиняются аксиомам 1. «-«
2.(«-«)." «-(«х) 3. «-О.
4. -( — )-О.
5 ) х —...
б. О(Т) «)-.Н(г«х)
Т.и( ".«) а О«.
3.(а ЬЛ .а -В«, !..,ц СК
Множество г с двумя апе рациями.удовлетворяющее аксиомам называетсн лммйным пространствам Элементы линейного пространстве называются век тарами абазначают-
ие векторов и его своиства
ного и скалярного прОизведения
(и Ь) и =и (Ь
3. Смешанное произведение меняетзнак Ьгт=-и ть'
пРи пеРемене мест и Ь вЂ” -Ь
любых двух вектоРов-сомнажителен
4.Смешанное произведение трех ненулевых еектарое равно нулю тогда и галька тогда,когда они компг~анэрны
и, и
. ь = ь, ь, ь
Трл зэыорэ ызыеэются камппэнэрны.
мн если реэулыэт гмешаннога произведения Лавен нулю
2. Матрица перекадв от бвзисв к базису. Преобразование координат вектора при переводе к новому базису
г — мерное прострэкстэо, (ии, г и г г' г г «' (х'=О,и(«а,«Сь га г'
ГС вЂ” базис, состаящии из
л векторов В прастранст. )и =гя «« г««Е«. эг.„г,' х=а и','аи', аг'„
ве есп, базисы и> г'„г,',
Введем матрицу перехода (и., ='., ' « гие«ч +г.„«',
3. Евклидова пространство. Длина вектора. Угол между векторами
Рассмотрим линейное пространства ); в катаром уже есть 2 операции(сложение и .л умножение) Вэтом пространстве введем еще одну операцию 0»а будет удовлетворять следующим аксиомам 1. (Ду)=(дл) 2 (хьэЕ х)=( ',))г()ГЕ)
3 (Кху)=)( У) 4. (Лх)=(Е )>0 Указанная операция называется скзлярныл«
произведением векторов
Ш вЂ” мерное линеинае пространства с введенной операциеи скалярного произведения,называется Евклндовым пространством Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного карня и скэлярнога квадрата П = Щ ' ) Длина
вектора удовлетворяет следующим условиям ( . .)«
1.,й>с,если'х(=О х=-О
т, 2 ,'Ххы'Л !.*(
, х', э'
. '- К ) Д ул
— саго=
3. )(,)С~К' ,'(у — неравенства Коши-Буняковского
.г, у
4. )«г)))с х)+ у~ — неравенство треугольника "(Л )у,'
Т. Линеииые преобразовании нростронствв. Матрице линейного
преобразования. Связь между каординетвми образо и прообразе
РассмотРим пинеинае пРостРанства ) базис ( " в базис (Е )
в катарам каждому элементу «, в силу
некоторого закона поставлен элемент Т к (г') — бэзис,та верны саыношения
этого же пространства
° Е
х'-лг' г=дх).где х' — прообраз,
*,=и«,г,ги,.г,г
« — образ
Каждому прообразу саатветствуег
° динстеенныи образ Каждыи образ
имеет единственныи прообраз ( †являет ма
Пинеиное преобразование пространст- трицеи пнненно. ! "' Щ " )
ва при катаром существует взаимноад га преобразава
нозначные соответствия ния или линеиБиективнае преобразование ('-.Т(х) ным операторам называется линеиным,еслн еыпалня- пространства
ются 2 условия Связь между координатами 1. Е(хч) )=Е( ') «Е(«) обреза и прообразе 2 Ей )=) Етй )Е «-Т(У)
Начать зарабатывать