Ответы: Задачи к экзамену

Распознанный текст из изображения:

Задачи по курсу аКознплексиыи аиалип, часть Би

группы 301 — 300, мппмат, 2003/2004 уч. год.

Раздел 1. Применение теоремы Коши о вычетах.

Задача 1. Вычвглить ввтеграгы:

е

+~о

е е

5) (чр),/ з*(эг 4) ) (чр) ( (*+ 2)(* — 3)

о

3

аэ

8)

7) ( Р) у- 8) Г

е е

+~а г

9) (чр) ~ — 10) / 1/зг(1 — г) бэ

е

-ЮО

О

ОО

еаа ля

11)

г — г»аз

12) —, 0<а<В;

/ 1+еяг

СО

Еаа

13) В( — ) 14) Р( — ), О« д.

я'+ 1

Задача 2. Провервть все утверждения теоремы Сохоцкого.Племеля для области Р = ((г) < 2» и функций р~(Ь) = ьг и уг~(~) = 1/~ на дР. Разрешимы

лв задачи 11яльберта-Дирихле для уг, и ыг з Р ч

1

Задача 3. Вмчпслвть значения рядов: 1) ~~ —; ) ~л~ —;

2) ч

а=1 а=г

(-1)"

« !

Раздел 2. Приближение голоморфпых функций. Емкость и

устранимость.

Задача 1. Пусть 7 б С~(С), првчем Баррду - компакт.

1 гну(Ь)бш(~)

. Доказать, что у — Р— целая функция,

я,/ г — ~

причем у и Го=э )пну(г) = О.

3~60

аю(Ь)

Задача 2. Вычислить бу — арв всех г б С.

н[елу

Задача 3. Пусть Х вЂ” проаззольный компакт з С, а Ʉ— его компоненты дополнения. Фиксируем ау в каждой вэ Й.. Доказать, что для любой у б А(Х) в произвольного е > О, навдется В(.) -рациовагьнак функция с полюсами, принадлежащими мнаиеству (а,)у>е такая, что ((У вЂ” В((л < с

Задача 4. Пусть К, — замкнуто, а Кг — компакт в С, причем Кг П Кг — — й. Если У б ВС(С) у1 А(С 1 (К~ 11 Кг)), то существуют такие Д и Л класса ВС(С), голоморфиые вве Ку в Кг соответственно, что у = Д + уг. Этн Л в Уг определены однозначно с точностью до аддвтиаиых постоянных.

Задача 5. Пусть К - компакт, С1К вЂ” связно, » б А(К). Тогда найдется (р„» вЂ” последовательность полиномоа таких, что для всех Ь б Х+ выполнено и(, ~ .=у ~1г~ при а -+ оо (разномерно) на К.

Задача 6. Доказать следуннций вариант теоремы Рунге: еглв область Р одвосвяэна в С и у б А(Р), то навдется последовательность полвномоз, разномерно сходящаяся к у внутри Р.

Задача У. Доказать теорему Хартогса-Розенталя: если нг(К) = О, то С(К) = Я(К).

Задача 3. Привести пример компакта К с углозвями К' = 6 в С(К) г И(К).

Задача О. Пусть р б С'(С). Доказать, что оператор Вктушкина чч: » -> ~„~ (действуннцвй по стандартной формуле) непрерывен е пространствах Ь (С,йв), ВС(С) в Пр (С) (г б (0,1)).

Задача 10. Доказать, что оператор Ввтушкпна Уч, уч б Сег(С), непрерывен а пространстве ВС'(С).

Задача 11. Доказать существоианве функции Альфорса для любого компакта в С

Задача 12. Пусть Кы Кг — компакты в Йы Йг — их соответствующие неогранвченвые компоненты дополнения. Если Ь вЂ” конформный вэоморфвзм Й~ ва Йг с условиюг Ь(г) = йг+ е(г) при г -+ оо, Ь б С 1 (О», то 7(Кг) = »Ч«(К~).

Задача 13. Нанта 7((гг/а + у~/Ьг = 1)), где 0 < Ь < а.

Задача 14. Пусть К вЂ” компакт в Кг — замыкание его б-окрестности. Доказать, что у(Кг) -+ у(К) при б -> О.

Задача 15. Доказать, что у-емиость контвнуума сравнима с его диаметром. Задача 16. Доказать, что для любого компакта К нерпа оценка пз(К) <

4яаг(К).

Задача 1«. Компакт К анагвтическв устраним в классе непрерывных функцвв если и только ссгв а(К) = О.

Задача 13. Компакт К анагвтическв устраним з классе огреввченных фуякавй еслв и только есгв «(К) = О.

Распознанный текст из изображения:

Задача 19. Пусть К вЂ” график аепрерызной функции па отрезке [О, Ц с ограначенвоа яарвацвей. Тогда К вЂ” анзлитачески устраним з классе непрерывных фуикцна.

+с~

Задача 20. Доказать, что фувкцвл Г(л) = ~ е гр ' й определена н голое

морфпа з правов полуплоскости (по определеишо Р ' = еб 0"), Со.

Г(л+ 1)

отношенвем Г(л) = (докювть его пра Ве(л) > О) функция Г(л) продолжается до мероморфвой функции з С Найти гш, „Г прп а=0,1,2, ...

Задача 21. Доказать, что Г(л)Г(1 — л) = —.. В честности Г(л) ф 0 з

в!аел

С'1(0,— 1, ...).

Задача 33. Нанта вепостоянвую целую фувкцаю ~, удозлетяоряюпбоо соотпошевшо 7(л + 1) = л,/(л).

Раздел 3. Однолистные функции. Принцип симметрии. 2е~ремы

Римана и Клратеодори о коиформиом отобрюкении.

Задача 1. Довезет~ что целая одволистная фувкцая — лвненна.

Задача 2. Останется ли верным обратный прквцвп соответствия границ, если соотзетстзующае области — жордаиозы а С, а функция — непрерывна а топологвв С7

Задача 3. Доказать, что фувкцвл ле ' однолистиь з круге ([л[ < 1) и вв з каком болыием круге с центром а пуле.

Задача 4. Найти зсе кольца с центром а О, конформно эквивалентные кольцу (г < [л[ < В), где 0 < г < В < оо.

Задача б. Паата группу ковформвмх азтоморфвзмоз кольца (1/2 < [л[ < 2) .

Задача 6. Доказать, что если существуег ковформаый взоморфвзм одного прлмоугольнвка ва другов прямоугольник, перезодяпща зсе четыре вершины з вершины, то ов ливеев.

Задача 7. Пусть 1 — конформвое отображение круга В иа некоторую жордавозу область. Доказать, что найдется последовательность полииомоз, одвояиствых з В, рашюмерво ва В сходюцаяся к 1.

Задача 6. Найти аналитическую емкость множества [-1, Ц 0 [-з, 1).

Задача 9. Пусть Р С С (Р ф С) — ограниченная одвосзяэнэя область, а Е Р. Если / гоюморфиа в Р, 1(Р) С Р, 1(а) = а, Е'(е) = 1, то 1— тождественное отображение.

Задача 10. Установить теоремы единственности для конформкых отобрл; женнй жордавозых облзсгев з С.

Раздел 4. Многозначные анааитические функции. 'Георемы

Пикара.

Задача 1. Прозеста исследование укаэанных виже полных аналитических

фувкцив (ПАФ) по Вейерштрассу (начальаый элемент, вдоль каких путей он продолжаем, для таках путей выписать семейство канонических

элементов, осущестзляклцвх продолжение; сколько элементов с центром

з данной точке и как опв друг от друга отличаются; вэолироаанныс осо.

бые точки и вх характериствка):

1) ГД 2) Ьн л 3) ~~- л~ 4) Ьп(1 + лл)

1

5) Агсьбл 6) Атсип г 7) — 8) ф + ~~я

1+тл

О) —, 10) сов~4 11) — 12) Ьп(1+~Д) .

1 1

яш ~Д Ьпл

Задача 2. Доказать, что зсяквй замкнутый путь 7 з Р = С 1(0) (1ало(7) =

а Е Х) гомотопев з Р рашюмериому о-кратному обходу едввичной

окружности.

Задача 3. Докюать, что если й Е (О, 1), то функция

ю~)=~ (~ ее'* ю 'уэ,О

(1 — Фл1 — Й'Р)

о

фщ,е ~ ~,п, р~р

угольник П (ваагн какой). Прв этом выбирается такая ветвь корня з П+, которая ва ивтерзале (О, 1) змцестзеввой оси принвмзет положительные предельные эвачыи со стороны областв Пе. Показать, что обратное отображение гь1 . 'П -+ П+ продолжается до мероморфвой функции а С, имеющей зещестзеввый и манный периоды. Доказать, что совокупность всех периодов злой функции (включал 0) обрюует подгруппу з С, пэоморф ую Хл.

Задача 4, Доказать одаолиствость функции г(л) ж )р 1 эц(1 — 1) эд41

на верхней полуплоскости Пь в паата Р(П+) (ытаь подантегральной функции положительна ва (О, 1) со стороны П+). Используя эту функцию, построить какое-,либо ковформное отображение круга ва квадрат.

Задача б. Наати зсе цвые фувкциа, удовлетворяющие уравнению едб +

елбй ш 1

Задача 6. Доказать, что целая фуикцвя у(г) = ле' не вмеет исключительных пвкарозсквх значений.

Задача 7. Сколько исключвтельвых пикаровсквх значений имеют функции 19(*) в л+ 19(л)

Задача 6. Пусть а > 2 — натуральное чкгло. Найти зсе целые функции 1 а 9 такие, что уь(л)+9"(л) ш1.

Задача 9. Доказать, что модулярвзз фувкцвл определена н голоморфна з единичном круге, причем не продолжлетсл голоморфно эз его пределы.

Распознанный текст из изображения:

Раздел б. Гармонические фуккцнн.

0 л(л,у) — з г !у +вя

Задача 1. При каком ! б И фУккцвл 2) Л(з,у) = 2лг+ 3! уг Яалаетса

гармонвческой з Иг. При этом ! вавти целую функцию 1 с условием

Не(1) = Л.

Задача 2. Решать задачи Дврвхге:

!ЛЛ=О (**+у <рз)

Л(л,у) = 1 — (егу(л+гу))г (*г+уг =16)

лгл = 0 (ля+ уг < 9)

Л(л, у) = Зяг — 2у* (лг + уг = 9) .

Задача 3. Решить (расширенную) задачу Дирихге з П+.

( АЛ=О (вП+)

Л(!г0) = г 4 (! б Й)

( гзл=о (зП+)

] Л(1,0) = соя! (Ф б Й)

(пользуясь витеграгом Пуассона в методом вычетов).

Зянечзкве. В неограниченных областях, а также дэя кусочно непрерывных грзакчных дашплх на решение расширенной задача Двркхле дополнительно накладывается условие ограниченности. Так, я пункте 2 этой

задачи неограниченная гармоническая функция Л(г) = !!е(сов г) также

удовлетворяет условгпо Л(1, 0) = соэ !.

Задача 4. Решать следующее расширенные задача Дярихле, используя метод ковформвмх отображений! нанти ленив уровня (Л = !).

!ЛЛ ю О ((л) < 2,!пь(л) > 0)

л[),!., = з л[,„о = -з

2)

!Лл = 0 ()л — 21~< 2,)л — !) > 1)

л[н и,= 6 л[н О=,= -1

3) +У 1=( 0 0)

Л]!епоп = 1 Л[!эо1г1 = О

Задача $. Пусть 1(л) = в(л) + ге(л), где и и е — гармонические в области Р.

Если Щ постоянна в Р, то 1 — тоже постоянна з Р.

Задача О. Найти фувкцюо 1)гика для уравиеюш Лапласа в (л( < !.

Задача 7. Доккгать теорему о среднем по плошлда для гармонических функций.

Задача О. Если ряд из неотрицательных гармонических з области Р функций сходвтся хотя бы в одной точке из Р, то ов сходится равномерно

звутрв Р.

Задача О. Доказать, что нзоявроазцвая особая точка дла огранвченной гармонической функции устранима.

Планы семинарских заннтий по курсу "Комплексный анализ, часть Пгг

группы 301 — 306, мехмат, 2003/2004 уч, год.

Заиитии 1 и 2. Вычисление интегралов н сумм рлдов. Теорема Сохоцкого-Племелк ([1), 228 — 30; [2], Раздел 1.)

Заиитин 3 и 4. Приближение голоморфных функций. Устранимость н емкость. Г-функции Эйлера. ([2), Раздел 2; [3), Лекции 7-10.) Заиитии Ь и 6. Однолистные функции. Обратный принцип соответствии границ. Теоремы Римана н Каратеодори. Принцип Симметрии. ([1], 232, 34, 36; [2), Раздел 3; [3), Лекции 11-14.)

Заиитие 7. Контрольнаи работа.

Заиитии 8 — 10. Многозначные аналитические функции. Интеграл Кристоффелк-Шварца. Теоремы Пикара. ([1], 215 — 17, 24, 37; [2), Раздел 4.)

Заиитии 11 и 12. Гармонические функции ([2], Раздел 5.) Заинтие 13. Обзор.

Заинтие 14. Контрольнан работа.

ЛИТЕРАТУРА.

[1) М.А. Евграфов и др. Сборник задач по тпеории аналипзических функций. М."НаукГ, 1969.

[2] П.В. Парамонов. Задачи по курсу яКомплексныб анализ, часть 1Г, 3003/3004 уч.год.

[3) П.В. Парамонов. Избранные главы комплексного анализа. Учебное пособие. Изд-во мех;матем. ф-та МГУ, 2000 г., 95 с.

Файл скачан с сайта StudIzba.com

При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник