Ответы: Контрольные и задачи Максимова

43b - sgn - не непрерыная функция. Следует построить последовательность

f_n -> sgn, тогда значения на f_n сойдутся к норме.

45 - корректность решения зависит от включения в аксиомы гильбертова

пространства условия полноты. В решении доказано все кроме полноты,

но такие пространства обычно называются предгильбертовыми. А гильбертовы

должны быть еще и полными, и вот ровно этого на самом деле у C[-1,1] и

нет (на самом деле, при данной норме это подпространство в L_2[-1,1],

причем его замыкание в норме L_2 как раз L_2 и есть. Отсюда уже

следует неполнота. Можно поступить и проще, взяв например f_n -> sgn

в L_2, в C с этой нормой это будет несходящаяся фунд. посл-ть).

50 - здесь находится только множество собственных значений, а спектр

не всегда с ним совпадает. На самом деле, в данном случае это так,

потому что оператор компактен, но последнее надо доказать. Кроме того,

из-за комп-ти оператора в спектр войдет еще и 0.

53 - этот функционал не корректен на L_2, поскольку значение функции в точке

не определено в L_2 (напомним, что элементы L_2 - классы функций с

точностью до равенства на множестве меры 0, а одна точка - мн-во меры 0,

и на одноточечном множестве функцию можно варьировать). Можно взять

пространство из примера 45 (непр. ф-й с метрикой L_2) и слегка

скорректировать пример, сделав функции непрерывной.