131771 (721240), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

6-й столбец показывает построчные разности между значениями х 2-го столбца и средним арифметическим "х.

7-й столбец — квадрат этих разностей.

8-й столбец показывает построчные произведения значений 4-го и 7-го столбцов. Суммирование величин этого столбца дает итог, не­обходимый для вычисления среднеквадратического отклонения.

Включение буквы f, означающей, насколько часто встречалась та или другая величина, ничего не изменяет в формулах среднего ариф­метического и среднеквадратического отклонения. Поэтому формулы

" х = ∑х/ n = ∑f *х/ n

Как и формулы вполне тождественны.

σ = √∑ (х - " х )² / n = √∑f * (х - " х )² / n

Остается показать, как вычисляются по формулам среднее арифме­тическое и среднеквадратическое отклонение. Обратимся к величи­нам, полученным в табл. 1:

" х = 6150/50 = 123

При составлении табл. 1 это число было заранее вычислено, без него нельзя было бы получить числовые значения 6, 7 и 8-го столбцов таблицы.

σ = √10368/50 = √207,3 = 14,4

При обработке изучаемого ряда оказалось возможным применение параметрического метода; визуально можно заметить, что распределе­ние численностей приближается к нормальному.

Нормальное распределение обладает некоторыми весьма полезны­ми для исследователя свойствами. Так, в границах "х ± σ находится примерно 68 % всего ряда или всей выборки. В границах "х ± 2σ нахо­дится примерно 95 %, а в границах "х ± 3σ - 99,7 % выборки. В практи­ке исследований часто берут границы "х ± 2/3σ. В этих границах при нормальном распределении будут находиться 50 % выборки; распре­деление это симметрично, поэтому 25 % окажутся ниже, а 25 % выше гра­ниц "х ± 2/3σ. Все эти расчеты не требуют никакой дополнительной проверки при условии, что изучаемый ряд имеет нормальное распре­деление, а число элементов в нем велико, порядка нескольких сотен или тысяч.

Для рассматриваемого примера необходимо также вычислить ко­эффициент вариации по формуле:

V = σ/ "х ·100 %.

В примере, который был рассмотрен выше,

V = 14,4/123 ·100% = 11,7%.

Выполнив все эти вычисления, психолог может представить инфор­мацию об изучении двигательной скорости с помощью примененной методики в шестых классах. Согласно результатам изучения в шестых классах, получены:

• среднее арифметическое — 123;

• среднеквадратическое отклонение — 14,4;

• коэффициент вариации — 11,7 %.

Если значения изучаемого признака измерены в порядковой шкале, то в качестве меры центральной тенденции выступает медиана, а ха­рактеристикой диапазона варьирования выступает среднее кварталь­ное отклонение.

Вот пример.

После проведения диагностических испытаний уровня умственного развития учеников шестого класса все полученные данные были упоря­дочены, т. е. расположены в последовательности от меньшей величины к большей. Испытания проходили 18 учащихся. Буквами обозначены уча­щиеся, числами — полученные ими баллы по тесту, столбцы под буква­ми R — ранги (табл. 2).

Процедура ранжирования состоит в следующем. Все числа ряда в их последовательности получают по своим порядковым местам присва­иваемые им ранги. Если какие-нибудь числа повторяются, то всем по­вторяющимся числам присваивается один и тот же ранг — средний из общей суммы занятых этими числами мест. Так, числу «28» в изучаемом ряду присвоен ранг «2». Затем следуют трижды повторяющиеся числа «39». На них приходятся занятые ими ранговые места «3», «4», «5». По­этому этим числам присваивается один и тот же средний ранг, в данном случае — «4». Поскольку места до 5 включительно заняты, то следующее число получает ранг «6» и т. д.

Таблица 2

Ранжирование результатов

При обработке ряда, не имеющего признаков нормального распре­деления, иначе — непараметрического ряда, — для величины, которая выражала бы его центральную тенденцию, более всего пригодна меди­ана, т. е. величина, расположенная в середине ряда. Ее определяют по срединному рангу по формуле.

Медиана ряда определяется по ранговой медиане:

MeR = (n +1)/2

где n — число членов ряда.

Возьмем, к примеру, ряд в семь членов: 3-5-6-7-9-10-11.

Проранжировав этот ряд, имеем:

1-2-3-4-5-6-7.

Ранговая медиана

MeR = (7 + 1)/2 = 4 ,

дает медиану рассматриваемого ряда Me = 7.

Возьмем ряд в восемь членов: 3-5-6-7-9-10-11-12.

Проранжировав этот ряд, имеем:

1-2-3-4-5-6-7-8.

Ранговая медиана в этом ряду равна:

MeR = (8+1)/2 = 4,5

Этому рангу соответствует середина между двумя величинами, име­ющими ранг 4 и ранг 5, т. е. между 7 и 9. Медиана этого ряда равна:

Me = (7 + 9)/2 =8

Следует обратить внимание на то, что величины 8 в составе ряда пет, но таково значение медианы этого ряда.

Вернемся к изучаемому ряду. Он состоит из 18 членов. Его ранго­вая медиана равна:

MeR = (18+1)/2= 9,5.

Она расположится между 9-й и 10-й величиной ряда. 9-я величина ряда - 52, 10-я величина ряда - 68. Медиана занимает срединное ме­сто между этими величинами, следовательно:

Me = (52 + 68)/2 = 60

По обе стороны от этой величины находится по 50% величин ряда. Характеристику распределения численностей в непараметрическом ряду можно получить из отношения его квартилей. Квартилью назы­вается величина, отграничивающая 1/4 всех величин ряда. Квартиль первая - ее обозначение Q1- вычисляется по формуле:

Q1 = R1 + Rn/2(лев) / 2

Это полусумма первого и последнего рангов первой, левой от меди­аны половины ряда; квартиль третья, обозначаемая Q3, вычисляется, по формуле:

Q3 = Rn/2 + Rn/2(прав) / 2

т. е. как полусумма первого и последнего рангов второй, правой от ме­дианы половины ряда. Берутся порядковые значения рангов по их пос­ледовательности в ряду. В обрабатываемом ряду

Q1 = (1+9)/2 = 5, Q3 = (10+18)/2 = 14

Рангу 5 в этом ряду соответствует величина 39, а рангу 14 - вели­чина 70.

Для характеристики распределения в непараметрическом ряду вы­числяется среднее квартальное отклонение, обозначаемое Q.

Формула для Q такова:

Q = (Q3 - Q1)/2

В обрабатываемом ряду Q3 = 70, a Q1 = 39, следовательно:

Q = (70 – 39)/2 =15,5.

Были рассмотрены статистическая обработка параметрического ряда ("х и σ) и статистическая обработка непараметрического ряда (Me и Q). Параметрический ряд относится к шкале интервалов, непараметричес­кий — к шкале порядка. Но встречаются также ряды, относящиеся к шкале наименований. Наиболее краткая, но малоинформативная ха­рактеристика такого ряда может быть получена с помощью моды — величины в ряду, имеющей наибольшую численность из числа п — чле­нов ряда. Следует заметить, что моду можно лишь условно считать вы­ражением центральной тенденции в ряду, относящемуся к шкале наи­менований. Она выражает наиболее типичную величину ряда.

Рассмотрим пример, где речь идет об участниках некой конференции; в их числе 3 англичанина, 2 датчанина, 5 немцев, 1 русский и 2 фран­цуза. Мода в данном ряду приходится на участников конференции — немцев. Число членов ряда — 13, а мода Мо = 5.

Характеристики

Список файлов реферата