Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ξ ∈ Ñmâåêòîð ν = ξ + Ãξïðèíàäëåæèò ïîäïðîñòðàíñòâó Nm . Ñîãëàñíî ôîðìóëå (37),11Q̃(η, ξ) = ω 2 (Ãη, (I − Ã2 )ξ) = ω 2 (Ãη, (I − Ã)ν) =2211 2ω (η, Ã−1 (I − Ã)ν) = ω 2 (η, Ã−1 ν − ν).22◦Ñîãëàñíî (40), ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ äëÿ η ∈ Tm Λ̃, ξ ∈ Ñm. Ýòî◦è çíà÷èò îðòîãîíàëüíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâ Tm Λ̃ è Ñm îòíîñèòåëüíî ôîðìûQ̃.◦Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî Ñm= (à + I)−1 Nm áëèçêî êïîäïðîñòðàíñòâó Ni◦−1 (m) = (A + I)−1 Ni−1 (m) . Êðîìå òîãî, ïîäïðîñòðàíñòâîNi◦−1 (m) òðàíñâåðñàëüíî ê Ti−1 (m) Λ, òàê êàê èíà÷å ñóùåñòâîâàë áû íåíóëåâîé âåêòîð η ∈ Ti−1 (m) Λ, äëÿ êîòîðîãî âåêòîð Aη + η = 2η ïðèíàäëåæèò◦Ni−1 (m) . Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìà Q íåâûðîæäåíà íà Nm, îòêóäà ôîðìà Q̃◦íåâûðîæäåíà íà Ñm è èìååò òàêîé æå èíäåêñ:ind Q̃|Ñm◦ = ind Q|Nm◦ = ind Q.(41)Äàëåå, â ñèëó (36) è (37), â ëþáîé íåïîäâèæíîé òî÷êå m îòîáðàæåíèÿ à îãðàíè÷åíèÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì d2 Ψ̃(m) è Q̃ íà ïîäïðîñòðàíñòâîTm Λ̃ áëèçêè â ñëåäóþùåì ñìûñëå. Ðàññìîòðèì îïåðàòîð B = (à − I)|Tm Λ̃ :Tm Λ̃ → Tm θm .
Ââèäó (36) ôîðìà d2 Ψ̃(m)|Tm Λ̃ èìååò âèäd2 Ψ̃(m)η1 η = ω̃0 (Bη1 , η),η1 , η ∈ Tm Λ̃,ãäå ω̃0 íåêîòîðàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè ïîäïðîñòðàíñòâ Tm θm è Tm Λ̃, áëèçêàÿ ê ôîðìå ω 2 |(Tm θm )×(Tm Λ̃) . Èç (37) ïîëó÷àåì,÷òî ñèììåòðè÷íàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà Q̃|Tm Λ̃ èìååò òàêîé æå âèä:Q̃η1 η = ω̃1 (Bη1 , η),η1 , η ∈ Tm Λ̃,0 ≤ t ≤ 1,ãäå ω̃1 (ξ, η) = 21 ω 2 (ξ, Ãη + η) òîæå áëèçêà ê ôîðìå ω 2 |(Tm θm )×(Tm Λ̃) . Ïðè ëþáîì t, 0 ≤ t ≤ 1, ðàññìîòðèì áèëèíåéíóþ ôîðìó ω̃t íà (Tm θm ) × (Tm Λ̃) èáèëèíåéíóþ ôîðìó Qt íà Tm Λ̃ âèäàω̃t = (1 − t)ω̃0 + tω̃1 ,63Qt η1 η = ω̃t (Bη1 , η).Èç íåâûðîæäåííîñòè ñïàðèâàíèÿ âåêòîðîâ ïîäïðîñòðàíñòâ Tm Λ̃ è Tm θmïðè ïîìîùè ôîðì ω̃t ñëåäóåò, ÷òî ÿäðî áèëèíåéíîé ôîðìû Qt ñîâïàäàåò ñÿäðîì îïåðàòîðà B (ïðè ëþáîì t, 0 ≤ t ≤ 1). Îòñþäà, ââèäó ñèììåòðè÷íîñòè áèëèíåéíûõ ôîðì Qt , èõ èíäåêñû ñîâïàäàþò, 0 ≤ t ≤ 1.
 ÷àñòíîñòè,ind Q0 = ind Q1 , ò.å.ind d2 Ψ̃(m)|Tm Λ̃ = ind Q̃|Tm Λ̃ . èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî èíäåêñ ôîðìû Q̃ ðàâåí ñóììå èíäåêñîâ å¼ îãðàíè◦÷åíèé íà âçàèìíîîðòîãîíàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà Tm Λ̃ è Ñm(îòíîñèòåëüíî◦ýòîé ôîðìû), Tm M = Tm Λ̃ ⊕ Ñm . Îòñþäà, ñ ó÷¼òîì (41),ind Q̃ = ind Q̃|Tm Λ̃ + ind Q̃|Ñm◦ = ind d2 Ψ̃(m)|Tm Λ̃ + ind Q.Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïîëó÷åííîé ñóììå ñîâïàäàåò ñ èíäåêñîì ãåññèàíà ôóíêöèè S = 1ε Ψ̃ ◦ i â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå i−1 (m).Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 4.Çàìåòèì, ÷òî ïðè çàìåíå ïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ̃ íà ïîäìíîãîîáðàçèå âèäà Λ̃◦ èç (12) óòâåðæäåíèå ëåììû 4 îñòàíåòñÿ ñïðàâåäëèâûì.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà íóæíî çàìåíèòü â ïðèâåä¼ííîì ðàññóæäåíèè ïîäïðî◦ñòðàíñòâî Nm(îðòîãîíàëüíîå ê ïîäïðîñòðàíñòâó Tm Λ̃ îòíîñèòåëüíî ôîðìû Q̃) íà èñõîäíîå ïîäïðîñòðàíñòâî Nm (îðòîãîíàëüíîå ê ïîäïðîñòðàíñòâó Tm Λ̃◦ îòíîñèòåëüíî ôîðìû Q̃).  ÷àñòíîñòè, ëåììà 4 ñïðàâåäëèâà äëÿïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âèäà Ψ̃◦ (â êà÷åñòâå ôóíêöèè Ψ̃).Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâ ôóíêöèè Ψ◦ , ïåðå÷èñëåííûõ âçàìå÷àíèè 8.Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 7. Ïóñòü m ìîðñîâñêàÿ êðèòè÷åñêàÿòî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè S = 1ε Ψ̃ ◦ i. Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 6,òî÷êà i(m) ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ Ã.Íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà ìîíîäðîìèèà = dÃ(i(m)) ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà.Ëåììà 6.
Ïóñòü A ëèíåéíûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå IRN , è ïóñòüK , L èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ýòîãî îïåðàòîðà, K + L = IRN ,dim K + dim L = N . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïåêòðû îïåðàòîðîâ A|K è A|Líå ïåðåñåêàþòñÿ. Ðàññìîòðèì ëþáîé ëèíåéíûé îïåðàòîð à : IRN → IRN ,εáëèçêèé ê A. Òîãäà ñóùåñòâóþò (åäèíñòâåííûå) èíâàðèàíòíûå äëÿ Ãïîäïðîñòðàíñòâà K̃ , L̃ ⊂ IRN , εáëèçêèå ê K è L ñîîòâåòñòâåííî.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì A = A0 , à = Aε . Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òîñóùåñòâóåò εáëèçêèé ê òîæäåñòâåííîìó ëèíåéíûé îïåðàòîð T = Tε â IRN ,64òàêîé, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà K è L èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðàT ÃT −1 = Tε Aε Tε−1 .Ïðè ðàññìàòðèâàåìîì ïðåäñòàâëåíèèIR!N = K + L ïðåîáðàçîâàíèå AεÃaε εbεçàäà¼òñÿ ìàòðèöåé âèäà Aε =, ãäå aε , bε , cε è dε îãðàíè÷åεcε dεÃ!I εXεíû. Ïðåîáðàçîâàíèå Tε áóäåì èñêàòü â âèäå ìàòðèöû Tε =,εYε Iãäå Xε , Yε îãðàíè÷åíû, òîãäà ïðåîáðàçîâàíèåTε−1 ñ!òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èíÃI−εXεïîðÿäêà ε2 çàäà¼òñÿ ìàòðèöåé âèäà.
Èíâàðèàíòíîñòü ïîä−εYεIïðîñòðàíñòâ K è L îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðàÃTε Aε Tε−1=Ãaεε(bε + Xε dε )ε(Yε aε + cε )dε!ÃI−εXε−εYεIaεε(bε − aε Xε + Xε dε )ε(Yε aε − dε Yε + cε )dε!+ O(ε2 ) =!+ O(ε2 )ýêâèâàëåíòíà (ñ òî÷íîñòüþ äî O(ε)) âûïîëíåíèþ óñëîâèéa0 X0 − X0 d0 = b0 ,d 0 Y0 − Y0 a 0 = c 0 .Ïîêàæåì, ÷òî îòñþäà îäíîçíà÷íî íàõîäÿòñÿ ìàòðèöû X0 è Y0 . Äëÿ ýòîãîíóæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ìàòðèö âèäàX 7→ a0 X − Xd0(42)èìååò íóëåâîå ÿäðî.
Ïðèâåä¼ì îïåðàòîð a0 ê æîðäàíîâîé ôîðìå, ò.å. ïåðåéä¼ì ê (êîìïëåêñíîìó) áàçèñó â KCl , â êîòîðîì îïåðàòîð a0 çàäà¼òñÿ áëî÷íîäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé, íà äèàãîíàëüíûõ áëîêàõ êîòîðîé ñòîÿò æîðäàíîâû êëåòêè. (Íàì âàæíî ëèøü, ÷òîáû ìàòðèöà a0 áûëà âåðõíåòðåóãîëüíîé.)Ïóñòü ìàòðèöà X ïðèíàäëåæèò ÿäðó îïåðàòîðà (42), ò.å.
a0 X = Xd0 . Ïîêàæåì, ÷òî X = 0. Åñëè ïîñëåäíèé áëîê ìàòðèöû a0 ÿâëÿåòñÿ æîðäàíîâîéêëåòêîé ñ ÷èñëîì λ íà äèàãîíàëè, òî ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû a0 X ñîâïàäàåò ñ λx, ãäå x ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû X .  ñèëó Xd0 = a0 X ñòðîêàx ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû d0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λ.Íî ïî óñëîâèþ ëåììû λ 6∈ spec d0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñòðîêà x ðàâíà íóëþ.Ðàâåíñòâî íóëþ îñòàëüíûõ ñòðîê ìàòðèöû X äîêàçûâàåòñÿ ïî èíäóêöèè.Òàêèì îáðàçîì, ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå (42) äåéñòâèòåëüíî íåâûðîæäåíî.Ïîñêîëüêó ìàòðèöû X0 è Y0 íàõîäÿòñÿ îäíîçíà÷íî, òî ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè ìàòðèöû Xε è Yε òàêæå íàõîäÿòñÿ îäíîçíà÷íî, åñëè ε äîñòàòî÷íî ìàëî.
Ëåììà 6 äîêàçàíà.65Äîêàæåì òåïåðü óòâåðæäåíèå 7.Øàã 1. Âîçüìåì â êà÷åñòâå îïåðàòîðîâ A è à îïåðàòîðû ìîíîäðîìèèdA(m) è dÃ(m). Ïðè ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâà Tm M è Ti(m) M , â êîòîðûõ äåéñòâóþò ýòè îïåðàòîðû, ìû áóäåì îòîæäåñòâëÿòü ñ IR2n ïðè ïîìîùè êàêèõëèáî ôèêñèðîâàííûõ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò â îêðåñòíîñòè òî÷êè m â M . Âêà÷åñòâå èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ îïåðàòîðà A ðàññìîòðèì åãî êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâîK = R1 (A) ⊂ Tm M,îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, è êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèåL = K⊥ê K â Tm M .Çàìåòèì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà K è L ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòíûìè ñèìïëåêòè÷åñêèìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè îïåðàòîðà A, ïðè÷¼ì ñïåêòð îãðàíè÷åíèÿ ýòîãî îïåðàòîðà íà ïîäïðîñòðàíñòâî K ñîñòîèò èç 1, à ñïåêòð åãî îãðàíè÷åíèÿ íà L íå ñîäåðæèò 1.  ÷àñòíîñòè, ýòè ñïåêòðû íå ïåðåñåêàþòñÿ.Ñîãëàñíî ëåììå 6 ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíîå äëÿ à ñèìïëåêòè÷åñêîå ïîäïðîñòðàíñòâî K̃ , áëèçêîå ê K .
 ñèëó ñèìïëåêòè÷íîñòè îïåðàòîðà Ã, åãîêîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå L̃ = K̃ ⊥ òîæå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî Ã.ßñíî, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà L̃ è L òîæå áëèçêè.Øàã 2. Òàê êàê îïåðàòîð Ã|L̃ áëèçîê ê A|L è (ïî óñëîâèþ 1 îïðåäåëåíèÿ ñèëüíîé óñòîé÷èâîñòè Λ) âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà A|Lÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè, òî æå âåðíî äëÿ îïåðàòîðà Ã|L . Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà Ã, îòäåë¼ííûå îò 1, ÿâëÿþòñÿýëëèïòè÷åñêèìè (êàê è äëÿ îïåðàòîðà A).Øàã 3. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Q̃ îïåðàòîðà à ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà íà ïîäïðîñòðàíñòâå K̃ .
Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü ýëëèïòè÷íîñòü âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà Ã|K̃ , à çíà÷èò, ñ ó÷¼òîìïðåäûäóùèõ øàãîâ, ýëëèïòè÷íîñòü âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðàÃ.Çàìåòèì, ÷òî ìîðñîâîñòü êðèòè÷åñêîé òî÷êè m ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè S âëå÷¼ò íåâûðîæäåííîñòü íåïîäâèæíîé òî÷êè i(m) îòîáðàæåíèÿ Ã(ñîãëàñíî ñâîéñòâó 2◦ óòâåðæäåíèÿ 6).
Ïîñëåäíåå âëå÷¼ò íåâûðîæäåííîñòüôîðìû Q̃|K̃ (â ñèëó òîãî, ÷òî spec à 63 −1). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåë¼ííîñòè ôîðìû Q̃|K̃ íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü,÷òî å¼ èíäåêñ ðàâåí íóëþ.Òàê êàê êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q|L íåâûðîæäåíà (â ñèëó óñëîâèÿ 1 ñèëüíîé óñòîé÷èâîñòè Λ), òî áëèçêàÿ ê íåé êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q̃|L̃ òîæå íåâûðîæäåíà è èìååò òàêîé æå èíäåêñ:ind Q̃|L̃ = ind Q|L .66Êðîìå òîãî, â ñèëó ëåììû 4, ñ ó÷¼òîì ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåë¼ííîñòè ãåññèàíà d2 S(m) (òàê êàê m ìîðñîâñêàÿ òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè S ) è íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåë¼ííîñòè ôîðìû Q|K (â ñèëó óñëîâèÿ 2ñèëüíîé óñòîé÷èâîñòè Λ), èìååì:ind Q̃ = ind Q + ind d2 S(m) = ind Q = ind Q|L + ind Q|K = ind Q|L .Òàêèì îáðàçîì,ind Q̃ = ind Q|L = ind Q̃|L̃ .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ind Q̃ = ind Q̃|L̃ + ind Q̃|K̃ .
Ñëåäîâàòåëüíî, ñëàãàåìîåind Q̃|K̃ â ïîñëåäíåé ñóììå ðàâíî íóëþ, ò.å. ôîðìà Q̃|K̃ íåîòðèöàòåëüíîîïðåäåëåíà.Îòñþäà ñëåäóåò ýëëèïòè÷íîñòü âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà Ãè, òåì ñàìûì, ñòðóêòóðíàÿ óñòîé÷èâîñòü íåïîäâèæíîé òî÷êè i(m) îòîáðàæåíèÿ Ã, ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 1.
Ñâîéñòâî 6◦ èç óòâåðæäåíèÿ 7 ïîëíîñòüþ äîêàçàíî.Óòâåðæäåíèå 7 äîêàçàíî.Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî èç ëåììû 4 âûâîäèòñÿ ñâîéñòâî 6◦ äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Ψ̃◦ . Ýòî äîêàçûâàåò ñâîéñòâà 1◦ 8◦ ôóíêöèè Ψ̃◦ , ñôîðìóëèðîâàííûå â ï. 1.4.4.1.6 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì î çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõÏåðåéä¼ì ê äîêàçàòåëüñòâó óòâåðæäåíèé î çàìêíóòûõ òðàåêòîðèÿõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì.Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ñèòóàöèè òåîðåìû 1: êîãäà ðàññëîåíèå pïîäìíîãîîáðàçèÿ Λ íà çàìêíóòûå òðàåêòîðèè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû òðèâèàëüíî.Êàê ìû çàìåòèëè â ï. 1.4.2 (ñì.
çàìå÷àíèå 7), â ýòîé ñèòóàöèè ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå 9, âûòåêàþùåå èç óòâåðæäåíèé 6, 7 è ëåììû 3 î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ îòîáðàæåíèé, ñ ó÷¼òîì óòâåðæäåíèÿ 8 î ìåòîäå óñðåäíåíèÿ.Íàïîìíèì, ÷òî óòâåðæäåíèå 9 ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì âàðèàíòîì óòâåðæäåíèé 3, 4, è èç íåãî ñðàçó ñëåäóþò óòâåðæäåíèÿ òåîðåì 1, 2, 3 î ÷èñëå, ëîêàëèçàöèè è óñòîé÷èâîñòè çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, âóêàçàííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå.Ðàññìîòðèì òåïåðü îáùèé ñëó÷àé êîãäà ðàññëîåíèå Λ íà çàìêíóòûåòðàåêòîðèè íå ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, òðèâèàëüíûì.Êàê ìû óæå îòìå÷àëè (ñì. ï. 1.4.3), äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 1 (îöåíêà ÷èñëà çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé), 2 (ëîêàëèçàöèÿ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé) èóòâåðæäåíèé 1, 2 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 3. Äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
