Chang_t3_1973ru (1014104), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Метод Мордухова и Грзйпа расчета положения точки отрыва ламинарного пограничного слоя газа от стенки с заданной постоянной температурой. Мордухов и Грэйп 1441 распространили методы Либби [421, а также Мордухова и Кларке (431 расчета положения точки отрыва ламинарного пограничного слоя газа на случай теплообмена при заданной постоянной температуре, Число Прандтля принято равным единице, а коэффициент вязкости — пропорциональным температуре. Основные уравнения следующие: уравнение неразрывности — (р )+ — (ро) =-О, 112 ГЛАВА Х1 и интегрируя уравнение количества движения и уравнение (5) по 1 в пределах толщины пограничного слоя от 1 = О до 1 = 6« (6« — толщина пограничного слоя в плоскости х — г), причем о (Р /2) Л + Л ГР'+ Р' (1п р,)'+ (1п и,) ' х х ~Р,+(1+ — М,) Р,Ц =С(р /р,)(и /и,)(Т,/Т ) ( а (и/и')Ь.
(9) (Ре/2) Л + Л [Ре+ Ро(()яре) + ()в ие) )) = =С (р-/ре) (и-/и,) (Т,/Т.) ( —,г ) ( — ае (Н/Н.)) „, (10) где Л = Ве (6«/Ь)', 1 Р; = ~ (и/и,) ((1 — и/и,)) «(т, о Р,= ~ ((Н/Н,) — (и/и,)') «(т, Ъ 1 Ро = (и/ие) (1 — (Н/Не)) Ж, (11) Я вЂ” постоянная Сазерленда, индекс и«означает стенку. Штрих означает дифференцирование по $ = х/А., где Ь вЂ” характерная длина, а т = 1/61. Критерий отрыва имеет вид (12) н справедлив как при наличии, так и при отсутствии теплообмена.
Рассмотрены следующие полиномы седьмой степени для профилей скорости н полной энтальпии, удовлетворяющие граничным усло- с использованием граничных условий и = и = О прн 1 = О,полу- чаем следующие дифференциальные уравнения: ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЯХ виям (включая точку отрыва) и пригодные для случая теплообмена: и 87 21 5 — = ( — т — — т'+7т' — 2 т') + ие 14 +аз ( — — т+т — — т +Зт — т )+ 1 8 5 8 В 2 2 +аз ( — — т+т — Зт + — тв — т ) 1 8 в 16 7Ъ 5 5 (13) и (17) что является хорошим приближением, за исключением случая сильного охлаждения (Св близко к нулю).
Применяя уравнение (17), можно существенно упростить расчет без заметных потерь точности. Из уравнений (13) и (16) при (ди/дт)„=0 получаем 3,5Св азв а -р(в/, )в, ' (18) Индекс Я оаначает точку отрыва. Из уравнений (15) и (18) определяем величину 2в„р при отрыве (19) ввр— 1 в, 2 (и'/и ) (1+ — (7 — 1)М.) а~и- (=) Ь| Подставлян (17) в (19), получаем 28, = — 1056 (19а) Подставляя (13) в совокупности с (16) в интегро-дифференциальное уравнение количества движения (9) и допуская, что ав и Ь, в 17в 8-8888 — = 6, + (1 — 6,) (35тв — 84тв+ 70т' — 20т') + Не + Ь, (т — 20т'+ 45т' — Збт'+ 10т'), (14) где а,= — ( — С) (Т,/Т )' ~лт ')(и.'/и ) х ХСв ) 1 + (у 1)Ме) е (15) ав = (ав/Ь!)/ЗСН (16) Св=Н,„/Не при Рг=1 — такжеотношение действительной температуры стенки к равновесной температуре стенки при нулевом тепловом потоке, Ьв — козф$ициент при т в нолиноме для полной витал ьпии Ь1 2 (1 — Св), ГЛАВА Хг И <ее МОЖНО ПРИНЯтъ ПОСТОЯННЫМИ, ПОЛУЧаЕМ СЛЕДУЮЩЕЕ УРаВНЕНИЕ: У</2) )< + )< Ж (Ре/ре) + (ие/ие) (<(>< + + 2/2 (у — 1) М,' (<р, — Р<))1 = 2С (р, (р,) (Те(Т„) (и /и,).
(20) Величины те< и <О< в точке отрыва равны соответственно Кд = 0 1159 + 0,002525азд — 0 001454а>д — 0,0000572 х Х (Ь<азд(6<)2 — 0,000574 (Ь<азд/6>) + 0,000887 (Ь,а,д(6,), <р<д — — 0,256< + 0,0437 + 0,0738Ь< + 0,0348а>д — (20а) — 0,00291а,'д + 0,00773 (Ь<азд/6<) — 0,001147 (Ь<а',д/6<)— — 0,0001145 (Ъ<азд/6<)2. Решением уравнения (20) является >ед (ь) = —.— Х 7 2)>>д <2ЯЧ д>т>д->,,«22-<>нт-<В-<т,д! '<В> (,,(,„) « т,(т„> Х С, (21) Л2>"<д>О<д т (т «24<»<т '» <т>д>в>д> (де/д е) ;т,(т; причем Ь, и аед — простые Функции 6„как зто следует из уравнений (15) и (18), а е'<д и <р<д — функции 6< (фиг.
25). При заданных положительном градиенте давления, числе Маха М„и постоянном отношении температур 6, положение точки отрыва определяется приравниванием правых частей уравнений (19а) и (21). Для отыскания точки пересечения этих двух кривых строится график зависимости )< от <р вблизи предполагаемой точки отрыва по уравнениям (19а) и (21). Так как положение точки отрыва не зависит В~2 от С, можно принять С = 1.
ол о,п е~е а> о,> Влияние теплообл<ена на поло- жение точки отрыва Ф иг. 25. Е>д и й,д в даввсямости от бе (41). о а4 ов >2 >в Так как положение точки отрыва не зависит от С, то влияние температуры стенки на отрыв может проявиться только через обмен импульсами или градиент давления и 6,. При фиксированных распределении скорости внешнего течения и,/и (е) и М ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЯХ ого Охб гевр огг Ц 04 О Ое Об сг р,б г.о т 7т Ф и г. 26. Положение точка отрыва в еаеисимости от температуры стенки (весжимеемая среда), и /и„= 1 — $, М = О (41). Для иллюстрации рассмотрим простой пример положительного градиента давления, соответствующего (22) Рассмотрим случай М = О, Т,~Т„=1, но С, ожет изменяться.
Если приравняем правые части уравнений (19а', р (21), то получим Еебж '1 "рз~гегв 110р-Р-4 р (22а) являющуюся функпией С„так как руре и 7~б — функпии С, [уравнения (200), (17), (18) илн фиг. 25). Координата точки отрыва, определяемая уравнением (22а), представлена на фиг. 26 для интервала значений 0,3 < Т /Т < ( 2,0. Из фиг. 26 видно, что при охлаждении стенки происходит затягивание отрыва потока неся;имаемой среды. Теперь проведем расчет для сжимаемой среды до чисел М я; (5,31 при фиксированном значении Т„~Т =2 и 0,3<С,<2. При М = 0 и С, =2 стенка нагрета, при М =5,31 иС,= 0,3 ее величина А р растет с ростом С„как зто видно из приведенных ранее уравнений, в частности из уравнения (19а).
Можно сказать, что при охлаждении стенки точка отрыва смещается вниз по потоку, и отрыв затягивается вследствие уменьшения влияния градиента давления. 116 ГЛАВА Х! стенка охлаждена. Подставляя т,/т =1+ 1 (у — 1)М' (1 — (н,/ ) ) и м',=(м,/ )зм' (т,/т ) ', перепишем уравнение (19а) в виде )с,,!, — — — 105С (Т /Т )-о,з (4+ 11 (Тм/Те,) + 0,8М ~) (и'/и ) (22б) Для упрощения определения точки отрыва при заданной величине Т„/Т величину Х р можно вычислить в функции $ для любого М путем численного интегрирования уравнений (21) н (20а) или кривых о.ы О,!4 о,!т $ т о,ю ЦО4 О 1 2 3 4 Б 6 М Ф и г.
27. Положение точки отрыва в зависимости от числа Маха, и,/и 1 — $ [41). т,с/т. З; — — — От = ! (тенлонзолнрованная стенка>. на фиг. 25. Тогда координата точки отрыва определяется величиной $, при которой )се = ).з, Результаты такого расчета для положительного градиента давления, определяемого уравнением (22), представлены на фиг.
27. Для сравнения на етой же фигуре приведена зависимость координаты точки отрыва от числа М при отсутствии теплообмена. Влияние М„на координату точки отрыва при фиксированномТм/Т благоприятно в отличие отнеблагоприятного влияния М при отсутствии теплообмена. 117 ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЯХ 8.1.2. Метод Илхингворта Иллингворт (441 предложил приближенное аналитическое решение для отрыва ламипарного пограничного слоя газа с учетом теплообмена н переменных скорости внешнего течения и температуры стенки, но в примерах, к которым приложим излагаемый здесь метод, рассматривается только случай постоянной температуры стенки.
Градиент давления вызывает отрыв, а также уменьшение или увеличение толщины пограничного слоя в основном путем воздействия на газ вблизи стенки. Его действие усиливается, только если температура газа выше и, следовательно, он легче, чем в основном потоке. Этот эффект соответственно ослабляется, если отношение температуры в потоке к температуре стенки больше единицы. В методе Иллингворта для плоского ламинарного течения применяются те же допущения и основные уравнения, что и в методе Мордухова и Грэйпа(411. Единственное отличие состоит в том, что в уравнении энергии вместо со Т используется удельная энтальпия. В соответствии с результатами Иллингворта при повышении температуры стенки расстояние до точки отрыва уменьшается или отрыв наступает раньше, что согласуется с расчетами Мордухова и Грэйпа. Так как Хоуарт 1451 и Стюартсон (461 уже вычислили положение точки отрыва для линейного закона изменения скорости основного течения как несжимаемой, так и сжимаемой среды, Иллингворт численно исследовал теплообмен для этого частного случая, а также для случая симметричного обтекания цилиндра с тупой носовой частью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
