Решение задачи №12203
Условие задачи №12203:
Найти сумму ряда:Решение
Описание отсутствуетПриведём ряд в более привычный вид, аналогично, как это делалось для нахождения пределов при стремлении к бесконечности:
\[\sum_{n=1}^{\infty } \tfrac{3}{9n^2+3n-20} = \sum_{n=1}^{\infty } \tfrac{1}{3(n-\tfrac{4}{3})(n+\tfrac{5}{3})}\]
Домножим числитель и знаменатель на 3:
\[\sum_{n=1}^{\infty } \tfrac{3}{(3n-4)(3n+5)} \]
Подставляем числа 1, 2, 3...:
\[\tfrac{3}{-1\cdot 8}+ \tfrac{3}{2\cdot 11} + \tfrac{3}{5\cdot 14}+...\]
Выносим за скобку одну третью:
\[\tfrac{1}{3}(-1-\tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{11}+ \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{14}+\tfrac{1}{8}- \tfrac{1}{17} + \tfrac{1}{11} - \tfrac{1}{20} +\tfrac{1}{14} - \tfrac{1}{23}+ ...)\]
Приводим к окончательному виду и находим ответ:
\[\tfrac{-10+5+2}{30} = - \tfrac{1}{10} = -0,1\]
Ответ: -0,1.