Решение задачи №11043
Условие задачи №11043:
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых все корни уравнения не больше -1:Решение
Подробное решение с ответомРешение:
Для начала перенесём все члены уравнения, в которых присутствует х в левую часть, а в правую часть перенесём все остальные члены уравнения:
\[a^2x-ax-6x=3a-2a^2+12+3\]
В левой части вынесем икс, а в правой - приведём подобные слагаемые:
\[x(a^2-a-6)=-2a^2+3a+15\]
С левой части оставим только икс, с помощью переноса скобки из левой части уравнения в правую:
\[x=\tfrac{-2a^2+3a+15}{a^2-a-6}\]
Обратите внимание, что на данном этапе мы ничего не сокращаем. Вспомним, что по условию х ≤ -1, а икс равен так же дробе в правой части уравнения, по-этому можно записать так:
\[x=\tfrac{-2a^2+3a+15}{a^2-a-6} \leq -1\]
Решим неравенство:
\[\tfrac{-2a^2+3a+15}{a^2-a-6} \leq -1\]
Представим единицу как дробь со знаменателем из уже имеющейся дроби
\[\tfrac{-2a^2+3a+15}{a^2-a-6}+\tfrac{a^2-a-6}{a^2-a-6} \leq 0\]
Сложим дроби. Это будет не сложно, так как они меют одинаковые знаменатели и приведём подобные слагаемые:
\[\tfrac{-a^2+2a+9}{a^2-a-6}\leq 0\]
Найдём корни знаменателя со знаком "не равно", так как на ноль делить нельзя: а ≠ 2 и а ≠ -3. Затем найдём корни числителя:
\[a_1=1-\sqrt{10} ; \ \ a_2=1+\sqrt{10}\]
Вспомним, что квадратный корень десяти примерно чуть больше трух (я к тому, что считать вданной ситуации лучше без калькулятора), расставим все корни по порядку:
\[-3; \ 1 - \sqrt{10}; \ 2; \ 1 + \sqrt{10}\]
Теперь как при решении обычного неравенства найдём в каких промежутках неравенство верно и в каких нет:
\[a ∈ (-\infty ; \ -3) \ U \ [1-\sqrt{10}; \ 2) \ U \ [1+\sqrt{10}; \infty )\]
Это и есть ответ. Круглые скобки показывают то, что число не входит в итоговый интервал. Эти числа не входят в интервал, так как это корни знаменателя.