Решение задачи №4454
Условие задачи №4454:
Задача 1:Два одинаковых пластилиновых шарика при помощи пружинного пистолета подбрасывают из одной точки вертикально вверх вдоль одной прямой с промежутком в τ = 2 с. Начальные скорости первого и второго шариков равны V1 = 30 м/с и V2 = 50 м/с соответственно. Через какое время t после момента бросания первого шарика они столкнутся? На какой высоте это произойдёт? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Решение
Подробнейшее решение задачиРешение:
Составим таблицу:
V, м/с (скорость) | t, с (время) | |
Первый шарик | 30 | t |
Второй шарик | 50 | t - 2 |
Составим систему уравнений:
\[\begin{cases}h_1 = V_1t - g\tfrac{t^2}{2}
\\
h_2 = V_2(t +2)- g\tfrac{(t+2)^2}{2}
\end{cases}\]
\\
h_2 = V_2(t +2)- g\tfrac{(t+2)^2}{2}
\end{cases}\]
С учётом того, что они столкнутся на одной высоте (h1 = h2), приравняем два уравнения:
\[V_1 t - g\tfrac{t^2}{2} = V_2(t-2) - g\tfrac{(t-2)^2}{2}\]
Подставим числовые значения:
\[30 t - 10\tfrac{t^2}{2} = 50(t-2) - 10\tfrac{(t-2)^2}{2}\]
С помощью математических действий найдём t (через какое время они столкнутся):
\[0 = -30t +5t^2 + 50t - 100 - 5(t^2 - 4t + 4)\]
\[5t^2 - 5t^2 - 30t + 50t +20t - 100 -20 = 0\]
Приводим подобные слагаемые и получаем простейшее уравнение:
\[40t - 120 = 0\]
Откуда находим t = 3 с. Теперь подставляем t в любое уравнение изначальной системы (лучше в оба, чтобы проверить правильно ли мы решили задачу и не ошиблись ли в вычислениях) и находим h (если подставляем t в оба уравнения, то найденные h1 и h2 должны быть равны):
\[h_1 = 30\cdot 3-10 \tfrac{3^2}{2} = 45 \ м\]
\[h_2 = 50\cdot (3-2)-10 \tfrac{(3-2)^2}{2} = 45 \ м \]
Таким образом мы убедились, что h1 = h2 (не могут же они столкнуться на разных высотах), теперь можем записать ответ.
Ответ: пластилиновые шарики столкнуться через 3 секунды на высоте 45 метров.