Решение задачи №226

Условие задачи №226:

Ранг и базисный минор матрицы. Доказательство теоремы о базисном миноре.

Решение

Описание отсутствует
Ранг матрицы А называют число равное порядку базисного минора. бм-минор максимального порядка != 0.1. Ранг матрицы не изменяется при транспонировании и эл-х преобразованиях. Минором матрицы А типа mxn порядка к называют определитель составленный из элементов этой матрицы, состоящих на пересечении произвольно выбранных к строк и к столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов.

Минор матрицы А отличный от 0 называется базисным если все миноры более высокого порядка равны 0. Строки и столбцы на которых находиться баз минор тоже наз базисными. Теор. Базисные столбцы(строки) явл. Линейно независимыми, все остальные явл их линейными комбинациями.

Док-во, Опираясь на св-ва опр, не нарушая общности доказательства будем считать что минор М=|a₁₁…a_1r/…/a_r1…a_rr| является базисным Докажем независимость базисных столбцов от противного, пусть баз столбцы лин зависимы тогда можно утверждать что один из базисных столбцов есть лин комбинация оставшихся, следовательно этот минор равен нулю что противоречит опред баз минора.Докажем что остальные столбцы есть лин комбинация базисных. Добавим еще одну строку и столбец, столбец не базисный а строку любую, этот минор будет равен нулю, разложим его по последней строке и получим линейную зависимость аиж эл-та от остальных и следовательно столбцы будут тоже лин зависимыми.