Решение задачи №2877
Условие задачи №2877:
Доказать, что любое уравнение первой степени в пространстве является плоскостью. Дать определение нормального вектора плоскости.Решение
Описание отсутствуетВсякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Прямая в пространстве может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0; (3.2)
2) двумя своими точками M1 (x1, y1, z1 ) и M2 (x2, y2, z2 ), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями (3.3):
\[\tfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\tfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\tfrac{z-z_1}{z_2-z_1}\]
3) точкой M1 (x1, y1, z1 ), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями (3.4):
\[\tfrac{x-x_1}{m}=\tfrac{y-y_1}{n}=\tfrac{z-z_1}{p}\]
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x1 + mt , y = y1 + nt , z = z1 + рt . (3.5)
Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой :
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
\[\tfrac{x-a}{m}+\tfrac{y-b}{n}=\tfrac{z}{1}\]
От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1 (A1, B1, C1 ) и n2 (A2, B2, C2 ) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
\[\tfrac{x-x_1}{0}=\tfrac{y-y_1}{n}=\tfrac{z-z_1}{p}\]
равносильна системе:
\[x=x_1, \tfrac{y-y_1}{n}=\tfrac{z-z_1}{p}\]
такая прямая перпендикулярна к оси Ох.
\[\tfrac{x-x_1}{0}=\tfrac{y-y_1}{0}=\tfrac{z-z_1}{p}, (3.7)\]
Система (3.7) равносильна системе x = x1, y = y1 ; прямая параллельна оси Oz.
