Для студентов по предмету Математический анализРешённый вариант 19Решённый вариант 19 2013-09-09СтудИзба

Задача: Решённый вариант 19

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики решённой задачи

Просмотров
341
Скачиваний
50
Размер
2,21 Mb

Список файлов

Изображение 000

Распознанный текст из изображения:

Задача 1

Найти все значения корня:1!)дй

П гРКП' э002

1

Дапззый материал подготовлен на принципах информационно- ':!',.з консультапионного материала с целью закрепления у школьников и ',,:*,:,;, стулешов навыков практической реализации знаний, приобретенных в объеме курса по теме «Теория фун)азий комплексного переменного». Настояший матернал предусматривает широкую вариативность приемов и методов закрепления полного курса в обьеме семестра по разделу «Теория фупкпий комплексного персменно!оа в «Высшей магемшикея. Рекомендуется изучение лаппо)о материала в сопоставлении всего объема предложенных решений. Зада !н. не представляющие особого интереса. были исключены из предложенных решений.

В серии представлен:ы консультационные пособия по

следующим темам;

° Интегральное исчисление

° Днфференпиальные уравнения

° Кратные интегралы

° Ряды

° Теория верояп!остей

° Пределы

° ТгрКП

«Анш!итическая геометрия

° )!ннейная алгебра

° Векторный анкчиз (злементы теории поля)

14ореиь и-й степени нз комплексного числа и имсез и

Разных зяачений. которые находятся по формуле:

/ , !э«2и(с .. о«2хй')

Ь = (а ' соз — +(з(ив

п и

Ш = азя(к): (г = 0.!,...,п — 1; х «О

Подставляя в зту формулу разлнчиыс значения (. найдем

все значения корня (11,!8:

— 1

!!1!8 =—

— .с3

зп)!8 = — — +1:

4 4

Г

(!г) 18 = — — — !

4 4

1 !1 1 .з3 1

Отве!::, - = з — — — «1 — -- — — — !

з!8 12 4 4 4 41

Задача 2

Представить в алгебраической форме;зш(г,гб — 31)

Используем формулу синуса разности:

з(п(х!6 — 3!) = з)п(п!6)соз(э() — соз(я!6)з(п(3!)

1!Редставим тригонометрические функции с мнимыми

аргуме!шами в виде показазельных:

1 е' +е'

в(п(л!*6 сов 3! — соз кгб з(п 3! = ——

(1 е !~-е') .(з!3 е ' — е'

Ответ: яп(к !6-31) =

Изображение 001

Распознанный текст из изображения:

Лгс сов( — 5)

Лгс сов т = — Вп(х чк — 1)

в !т!

о

не(хз

'х = Олй!.чз...

ю

Задача 3

!!редставить в алгебраической форме:

Функция Лгссоз является многозначной и в общем виде

пире!делается следующим образом:

Подставим вместо х значение ( — 5):

Агссов(-5)=- — !Гп~ — 5 ь 1]( — 5)! — 1)= — )Гп( — 5 ' 2>!6)

Логарифмическая функция 1.п(к). где хеО. определяется как

функция. обрап!вя показательной. причем:

!.п т =. !и'т.' ь !Агр и = )п'2! . !(агй2 ч 2л)г) к = Оь61,+2„..

Подставн а зго выражение в полученное выше:

— !Гп ~ — 5 ч 206 ) = — 1()п,'— 5 ч 2чГ6~ ь

!(аг ( — 5 2.!6)+2лй)]=--!1п(5 — 2з(6) .

е агй( — 5, 2<'б ) + 2 л)г = ! 2,292 + л + 2л)г

О!нег: Лгссов( — 5) = ! 2292-> л + 2л)1,1! = Ое61 Ю...

Задача 4

Вычертить область. заданную неравенствами: 1 !

Задача 5

Опрсдегщть ввд кривой:

! 1

г = 2с - — - = 2 с05 1 !2зш ! — со! ! — — яп !

2

Уравнение вида х = х(1) = х(В ч !2(1) опредслясг на

комплексной плоскости кривую. параметрические уравнения

которой имеют вид х = х(1), у =- у(1). В нашем случае:

5 3

х(1) = — соз ц у'(1) = — 51п !

2

Выразим параметр !через х н у:

х — — — соз1> соя! = — х ~ 1 = агссоз,' — х '

5 '15 !

. г2

у = .: яп1 ~ яп ! = — у .=.! 1 =- агсяп; — у !

'! 3 '13

Г!слупим уравнение кривой в виде Р(х,у) = 0:

.Гг] (2',

агссоз ! — х ! = агсяп, — у ' ея агссоз ! †.. ! — агсяп, — у, := О

(5 ! (3'] (5 2 13']

Ответ: агссоз! — х ! — агсяп] — у) = О

(5 2 <З

Изображение 002

Распознанный текст из изображения:

У(0) = 0

я

-1т

стя . гт

Г(т) =

г)т сх

ш

Отяет: )т((т)г(т= (1-е )

(1 -'; !)

4

Ответ: Г(к) = яз т 2гя

Задача 6

Проверить. что ч является мнимой частью аналитической

функции. Восстановить аначитнческчо в окрестности

то ~ки ас функцию 1(т) по известной мнимой части т(х,у) и

значению 1(тм):

т = Зху + 2х

Зная действительную часть аналитической функции, можно знать производную аналитической функции по слелуюшей формуле:

11айлем производную аналитической функции:

Г(я) = П(х тйу) =-2х + 2!у т 2! = 2т . 2!

Т.к. пронзволная сушествует, то я является мнимой частью аналитической функции. Теперь, зная производную аналитической функции г(г), можно найти саму функцию с точностью до константы:

П.!.= ~(2.+2!)0т=взч2!х+С

Определим констант) 02

((0)=0 +ЗПО,С=0= С=о

Итак. аналитическая функция ((я) выглядит следуюшим

образом:

Т(я) =- аз е 2!я

Задача 7

Вычяс:шть интеграл от функпии комплексног"

переменного по данной кривой:

е' )~птйт: А — отрезок прямой: я„= ! +Ктв = 0

хв

Покажем прямую. по которой должно проходить

интегрирование:

т)

я' Проверим нсхолнтдо функшно на

аналигичность. Для зтого

у

перенаем от фуякцин 1(гО функции у(х.у), где к = х !у: ((т) = е' " (ш(х т!у)= )е' ' Проверим, выполняются

условия Коши-Римана:

Ж:: ст г.н ся

сч ду Вх гу

Условия Коши-Римана не выполняются. следовательно. функция не является аналкгнческой. Тогда предстания кривую. по ко.юрой илет ипгегрнровагше. в параметрическом виде:

т(!) = х(Г) е !у(О: х(1) =1! уП) = Г; т, = т(!).та = а(0)

Тогда найти исходный интеграл несложно:

з

)г!(т)ох = ~Г[т(!)!т(г)й! = ~ге (1ь !))г =

хя !

(1 + 1) з,: ~' (1 - !)

= (1 . !) ((е ' 01 = ея ! = (1 — е )

4 !, 4

Изображение 003

Распознанный текст из изображения:

Задача 8

Найти все лорановские разложения данной функции по

степеням г..

Зг 18

Г(г) =

9г . Зг — 2г'

Преобразуем функцию:

Зге18 з(г . 6) 3 г+6

9г, Згз — 2г* — г(2г+3)(г — 3) 2г (ге1.5)(г — 3)

Представим один из множителей, как сумму двух простых

ела! аемых:

А В Аг - ЗЛ ~- Вг +!.5В

(г е 1.5)(г — 3) г е 1,5 г — 3 (г ь1,5)(г — 3)

.=> (Л = — 1; В = 2,' =гг+6 -1 2

(ге!,5)(г — 3) ге1,5 г — 3

Отсюда Г(г) примет след)тощий внд:

2

2г ',г-ь1.5 г — 3,(

Особые точки: г = Гд г = — 1.5!г = 3

Рассмотри ч область!г| < 1,5:

Г(г)

2) 1( ! 1

Зг (~ 1.5 г-3! г (! (:) !

2г 4г' 8г' З ( г

9 27 ! '( 3 9 27

,! 2 4г 8г

|г 3 9 27 ~ (г 3 9 27

Рассчотрим область!.5 < !г| < 3:

3,' 1 "1, 1! 3

з(г) =- —.'

2г тг 1,5 г — 3, г (2г(! -( —,*,1)

1;. 3 9 27 8! ' г г г'

г 12г зг 8г' !бг ); 3 9 27

3 9 27 81 ! '! 1 , 2г 4г' хг' 1бг' 7:. г 3 9 27

Рассмо!рим область|к' > 3:

3 ~ ! 2, ! ! 3 3

Г(г) .=—

Зг г 1,5 г — 3, г !,2г(! -(- В г(! —;),

! !! 3 9 27 8! ) ГЗ 9 27, 8!

1',2г 4г' 8г' 1бг',! (,г г г' г'

3 9 27 8! ) Г 3 9 27 8!

,, 2г-' 4: ' хг' )бг' ,! ( г- г' г' г' )

Ответ:

(1 2 4г 8г' ) (1 ! г г;г| < 1,5: Г(г) =! — — — ' — — —.3-, 191 — '- — + — ь—

(г 3 9 27 7' (г 3 9 27

3 9, 27 81 ) (1 ! г

,2г 4г' 8г (бг 1 (г 3 9 27

3 9 27 81 ) ( т 9 27 81 !г' ,> 3: Г(г) = ! —, — —, +: —; — —, -;- ... , '— ~:Р -'; — — 4 — - ь

(2г 4г 8г' 1бг' 7 ~г г' г'

Изображение 004

Распознанный текст из изображения:

Преобразуем данную функцию: Пя) = 4. — - —- (7 — 1)(7. и- 3) 2 + и 2 — 1

Используетг разложения в ряд Тейлора в окрестности точки

74,!

! 1 7 7. 7' ч ( — !) 7.

2-'а а а а а" „, а"'

3 „1 . 1 „~ ч( 1)(7 — 7)п

(2-ха)-! .-С (-1)пи

' (2 — а,)'

„с 1

1 ! ч. (-1)" (7 — 74)" "' (7 — 2,)п

7 — 1 (2 — 7п) — 4 — 1,.4 ( 4 — 1) ' ..=1(4+1)

Таким образо511

Г( )= ' -.— -=-3 У

3 1 —" (2 — 24)

753 2 — 1

яс)

„,с! !"' (4 и- !)"' !

--(7-24)"

.м (4+!)" '

1

Ответ: Г(2) = — чг * 4 (.7 2 )'

— Ь "о (4+ 1)"

Задача 9

Найти все лораиовские разложения данной функнни по

степеням хсд1.

2'2

Г(7)=4. 7 = — 3 — !

(7 — 1)(7. ! 3)

Задача 10

Данную функнию разложить в ряд Лорана в окрестности

ТОЧКИ 24.

2 — 47

Г(7) = 5!п;.7, ="

(к — 2)с

Перейдем к новой переменной 2':-2-741.

— 45 . 7"-,4 à 4 ', 4 . 4

7= 7 — 2 Ип- — —,' = Ип —, —.Нг 1- — — ' —..чп1сгв-стсппи1п- „= Па!

21 тп г 7' 1 тс

Теперь нам остается найти разложение получившейся

функппи гм 7 в окрестности точки 2'11=-0. Для этого с:мдгет

псполюоваи табличные разложения в ряд Тейлора:

4 . 4 , 4 4' 4'

П 2 ) .= 5(п!соз — 4- сов!5!и — =' ! — — — „— -- —, ь ...~5!и! ч

1, 2! 7' 4! 7'" 6! 7"

,' 4 4' 4 4' ! ! 41 ми! 4 5(п!

(7* 3!7" 5!7" 7!7" 7 ' 1.7" 4!7'

4 згп1 ! Гдсо51 4 со51 4 со51 4 соя!

6!2" 7 ( 7' 3!2" 5!7" 7!2"

4со51 4 5(п! 4' соь1 4' зш) 4' со51

=5!П!ч-

2' 2!2' 3!2'* 4!7н 5!2'

Произведем обратную замену переменной и, таким

образом, пояучнм разложение исходной функпии в ряд

Лорана в окрестности точки 74=2:

4со51 4 5!п) 4'сов! 4'5!и!

Г(7) = 51п !

2 — 2 21(7-2) 3!(7 — 2)5 4!(7 — 2)'

4 со51

5!(2 — 2)"

О!нет:

4соз! 4 5!и! 4'соь! 4'5!и!

Г(7.) = 51п ! .1.

2 — 2 2!(2 — 2) 3!(г — 2)1 4!(7 — 2)"

4 со5!

5!(7 — 2)'

Изображение 005

Распознанный текст из изображения:

Задача 11

Определить тип особой точки х = 0 для данной функции:

е' — 1 — г

разложим числитель и знаменатель в р т Л

ряды прана в

окрестности точки к = О.

г"

Г( ) = ' 3'

яп х — г

е' — 1 — г гз г' г'

— 1 — гь!+к+

2! 3! 4!

э! 7! 31 5! 7!

г' и гт 1 г г

2! 3! 4! 2! 3! 4!

Л ):

Представим эту ф)нкцию, как отношение функц " (.)

(г):

ии й(х) и

.з ~3

г г'

о н

Г(.)= 3- . Я . 3! 5! - 71

— „(,) й(г) = - — - — — — э..л

! г гз Л(г)' ! т

!з(г] = — + — ч—

2! 3! 4! 2! 3! 4!

Для каэкдои из функций найдем порядок производной. не

обращающейся в ноль при г = О. Поскольк.

оскольку

рассматриваемые функции представляют собой обычные

степенные многочлены, то несложно увидеть, что й (0)аО

и Л(0)аО.

Т

ак как порядок производной, не обращающейся в ноль

при г = 0 выше для функции, находящейся в знаменателе,

то точка х =- 0 является полюсом функции. Порядок этого

полюса нахолится, как разница между порядками

производных. не обращающихся в ноль при г = 0

для

функций й(и) и Л(х). В данном случае. это 7 — 0 '= 7.

Ответ: Точка к = О является полюсом 7-го порядка лля

заданной функции.

Задача 12

Для данной функции найти изолированные особые точки и

определить их тип.

е'*

Г(г) = ——

(с" — 1)(1 — г) '

Изолированной осооой точкой являются г — 0 и г = 1.

Запишем данную ф) нюзикз в виде отношения й(г) и Л(г):

Г(г) =.-- с' ' й(к) = е ':

(е' — !)(1-г) 1цг) =(с' — 1)(1 — г]';

Для каждой из функций найдем порядок производных. нс

обращающихся в ноль при г = 0 и г = 1:

и(0) = ее а 0; я(Ц е 0

]з(0) = 0:1з(1) = 0:

!з (г) = е'(1 — к) — ЗГс' — 1)(1 — г)': Л (О) е 0!з (1) = О

Л" (г) = е'(1 — г)з — Гзе'(! — г)' ьб(е' -1й) — х);1з" (1] = 0:

Л"'(г] = е'(1 — г) * — 9е'(! — х) э!8е'(! — к) — бе' э б Л*"(1) е 0:

В сл) чаях г = 0 порядок ненулевой производной выше для функции. стоящей в знаменателе. т.е. точка г = 0 является полюсом функции. Поскольку в данном сяучае разность порядков ненулевых производных й(г) и Л(к! равна единице, то точка т = 0 является полюсом 1-го порядка.

Исходя их тех же соображений, точка г = 1 является полюсом 3-го порядка

Ответ:] очка г = 0 для данной функции является полюсом ! -го порядка, Точка г = 0 для данной функции является полюсом 3-го порядка.

10

Изображение 006

Распознанный текст из изображения:

Задача 13

Вычислить интеграл:

к — эх е57. 3 5 х х х

1 г — б

= — !лн(12х — б! = — = — 3 "\

~Г(я)г)х = 2л1~ геьГ(х)

ыпг х — 3 я)н х — 3

йк = г[ г)х „, хг+2лх ',,в(а+2л)

и.) и )

Найдем особые то лги фз нхпии 1(х);

Точка х = — 2т нс входит в область. ограниченную данным

контуром. поэтому не рассматривается.

Точка х) = О является простым полюсом. Найдем вычет в

этой точке:

гея, Г(х) = 1)ш[Г(к)(х т О)] =1ип = Нш — — =

х(и ч 2л) - ' х+ 2л

— 3 3

Отсюда следунзщий результат:

1-

5)л т. †.) .. 3

г

— — г(и = 2л(~~) гея, Г(х) = 2)п' ~ —:~! = — Зг

..,х(я ' 2л),, ' ( 2л)

3!и х э

Ответ: 3, г)х = — 3)

, а 2ггх

Задача 14

Вычислить интеграл)

х — Зя' ч5х

дк

У этой функпни одна особая гочка: к = О. Определим тип

этой особой точки:

С штая получившийся результат рядом Лорана по степеням д т.е. в окрестносзи к =. О. мы приходим к выводу. что гочка я =- О являеюя полюсом 3-го порядка. В соответствии с этим. аайдсм вычет в данной точке:

1 дг э ! . г) [т' — Зг 5~! гсз Г(х) = — 1пн —,[Г(к)к' [ = — !нн — —,)

— "° сйх 2 сйх [

По основной теореме Коши о вычетах:

В данном случае:

1 -,

х -Згэ ' 5х

— ))х = 2лг (-3) = — бл!

г х' — эх +5г.

Оз вет: )[ — — — — г(т = -бл!

Изображение 007

Распознанный текст из изображения:

Задача 15

Вычислить интеграл(

5837 — 5(п 37

— С(7

г 5Ь( — 17)

2с05, 2

— ()х

, (7 — 1 — 5В (х — 3 — 51)

Таким образом:

15

14

Особые гочки этой функции 7 =- йсл'2. Однако в контур нападает только 7 = О. Определим тип этан особой точки:

5Ь17 — 5(П 37. 8(7) 8(7) .= 5837 — 51П37.

Т(7) =

7 5Ь( — 17) и!7) и!х! = 7 зп! — !7) Определим порядки производных, ненулевых при х = О. Ыы ъже неоднократно использовали этот прием. поэтому на сей раз мы опустим детальное и громоздкое вычисление производных и скажем только, по в результате этих действий мы определили. что х = 0 представляет собой простой полюс. Тогда можно рассчитать вьшет а этой точке следующим образом:

5Ь37-5(п37) (испбльзуеипра-) гезГ(71= !Ьп(Т(7)7) = !!

° ( ' с ° " 7 5Ь( — ьх) вилоЛопиталя

ЗсЬ37- Зсо537 1 используем пра(,— 2175(пг — гхзсозх) вилоЛопиталя

95ЬЗхе9ып37 ~ (используем пра )

=(й.ц

' г! — ЭЛ5(лг — 417еазхч(г 5)лг) (ВИЛОЛОПнтапя

27СЬ37+ 27со537 '~ 54 9 = 1(ги

5( — б!сокгеб(75)пг+(х созх) — б! 1!о основной теореме Каши о вычетах:

г 5Ьэг — 5Ь137

()х = 2л(~~1 ген:(7) = 2л( 9! = — 18л

7(5Ь( — ьх)

г 5Ьэх — 51п37

Ответ: (1, ((х = -18л

г'5Ы вЂ” гх)

Задача 16

Вычислить интеграл:

гб 2 соз;."П

, „1(е' — 1 (7 — 1 — 51)1(7 — 3 — 51) '

Разобьем этот инте( рал на сумму двух интегралов:

2СО5,'г

Л(

. (.,(С- -1гг( -(-5(

Используем вычез ы для взятия первого интеграла:

У подынтеграгьнай функнии есть две особые гочки: 7=1 —:51

и 7=.3 — 51. При этом точка 7=3-51 не охвачена контурам. по

которому проходит инте(рпрованис. н не рассматривается.

Точка 7=1-51 является полюсам второго порядка. Найдем

вычет в этой точке:

г) ! 2СО5 — ' — (7 — 1 — 51) ~ . 11 ( СО5, (,

— ( -" г(7((7 — ! — 51)1(7 — 3 — 51)3 ' ( 5 г)х! (х — 3 — 5!) !

(51 — !)л . (1 — 51)",!х 2 (! — 5!)лх~! 1

= 1пп 5(П

"'1 ! 3(7 — 3 — 51) 26 (7 — 3 — 51)' 26 ~ 2

2СО5 '1)

(37 = 2л! . гез Т, (7) = 2л! ~ — ) = л( , „1(7 — 1 — 51)1(г — 3 — 51) '='--' 1,2)

Изображение 008

Распознанный текст из изображения:

Рассмотрим второй интеграл:

—,— С)2

„е'

Чтобы найти осооьш точки подынтегральной функции,

следует репсить уравнение:

е"' — ! = О =-ь с"" = ! =э ла/2 = !и(!) = и!(2 =-э

:> у. = 4!!! !- !. )с е а

Из этих точек только одна охвачена контуром ,'2 — 56=2 и

должна принпьшться ио внимание. Это точка 2=5!,

являкицаяся простьля полюсом. Найдем вычет в этой

точке:

сп(2 — 5!) (используем правило)

гезГз(х) = йш —,—,,

— *' е — ! (Лопиталя

!и' л! 2! 2!

'1'аким образом:

1

П

—,— с(2 = 2:п.гезГз(2) = 2 и' 2 =4ш'

,е — !

Найдем исходный интеграл как сумму интегралов,

составляющих е! о:

2 соа,"',г

сп

— б+ ~ —,

, „(2 — 1 — 5!)с(2-3 — 5!), „, е' '

= л! +4ш' =5л!

л! 2 соя,-",'н

, ь э(е' — ! (2 — 1 — 5!) (2 — 3 — 5!) 1

Задача 17

Вычислить интеграл:

Й

,, 2чб з!и! -5

Интеграл такого вида может быль преобразовав в

контурный„использ)я следующие выршкения:

!! !.. !г 1) Ф

! = с . соз ! = — ' с .! —,:; ма ! = — ! а — — !: Ф = — —:

2! !) 2!!, г) и

) К!ссз !.ма !)4! = с!Н(7)д!

Воспользуемся этими данными и перейдем к контурному

интегралу:

;, 2чбэ!и !-5,, ',а(2 — ' ) — 5 ьч э(6(2! — !) — 5га

,, ~6(т — ! «6 !3)(а — !46 с2)

Подыптегральная функция имеет две особые точки:

2 = !ч!6 с3: 2 =)х!6(2;

Точка !ъгб!2 не попадает в область. ограниченную

контуром интегрирования.

г

Точка ! кб 73 является простьш полюсом, Вычислим в этой

то'гке вычет:

гсз Г(2) = ВШ [Г(2)(2 — !э(6/3)]=

=,Ь,

! !

' ""'хб(2 — !э!672) Сб(!э(623 — !э!6(2)

!1о основной теореме Коши о вычетах:

си

— = 2л!2 геэг(2) = 2л!

,, 26(я — 1;(6 (3)(2 — !э!'6 72)

Ответ: ~ = — 2л

с)!

,2чбзш! — 5

Изображение 009

Распознанный текст из изображения:

Задача 18

Вычисли гь интеграл:

гй

„(3 саь О'

Интеграл такого вида может быть преобразован в контурный,

используя следуюпзие выражения:

![ 1», . ![ 1; ог

г = е", саь г =- —, г — — 1; пв ! = — '; г — — ! 4» =—

2 [ г) 2!(. »7 'и

[8(се» ьмл ОШ =. ЗГ(г)4»

Воспользуемся э»ими данными и перейдем к контурному интегралу:

й! ~ Ог(!г

„(3+ со» 1) ',, (3 —: ', (г,ь))

»8» ) 4»дг

.ч ![г -3 з>Г2))~г "3 — 2Л)

Иолы нтегральная функция имеет две особые точки:

7= — э — ';2 г= — з-»-".»2:

Точка г =- — 3 — 2> 2 нс попадает в область, ограниченную

(

конг,ром интегрирования.

Точка г = — 3+ 2>'2 является полюсом второго порядка.

Вычислим в этой точке вычет:

б »1 4»

геь 1(г) =- 1!щ [Г(г)(г>3 — 212)»]= (пп

ь "бг ![»еЗ+2»(2)

4 4 г 4 . — г 3 202

з-.-'бг[г>3 2ч2) »' "' [гьЗ>2;2)

4 3 2>2еЗе2»(2 4 6 3

( — Зе2»(2е3-~-2Г2) ! (4ч2)з 16)2!

По основной теореме Коши о вычетах:

4»йг

1[»+ -2Д) [г-;-3 — 2<2) . '" ь16»(2!) 8»г2

гй 3

Ответ:

„(3 соь !)г 8>Г2

18

Задача 19

Вычислить интеграл.

+!) (х'-'51

Известно. что если функция рациональна, а ее числитель н

знаменатель прелставляют собой многочлены. причем степень

знаменателя по крайней мере на лве единицы больше степени

шс»нтезя то»»о,кно применить свел» ющую формуле

)'Г(.Н) = . у

сумма вычетов берется по всем

К(хН)х = 2л! у геь)((г)

полюсам полуплоскости 1щ г > 0

Г(реобраз) ем исходный ин геграж

Ох )з ог

.(з- !'! (»»5),(г 5) (г 1)

Особые точки

г=!>5 ()гпг>0); г=.— ! '5 (йпг<0)

г=.! ()шг>0); г=- — ! (1пзг<0)

Точка г = ! является полюсом второго порядка и вьщет в ней

вычисляется следующим образам

4! ! 1

гсь Г(г) =. йщ — [1(г)(г — 1) ) = Нщ — ! — — —,

" ог 4»Г(г'~) (г '5) !

, '— 2(3» —, 5+ 2!г) '

' ', (г +1)з(гз»- 5)'

Точка г = !з(» является полюсом второго порядка и вычет в ней

вычисляется следующим образом:

д .,<» . 4

гез Г(г) = !яп — (Г(»Н» — !»5) ) = !!щ, —,—

"з 4» [(г+ г 05)г(г —: !) !

— 2(3»з е)»-2.,»5ц) ~ 3»»

(вп !

,".' ,(г» „,5)з(гг, 1)' ,ВОО

Использзел» приведенную в начале задачи формулу:

бх »Г 3)ч5 ! Зл,(5

— = 2лп—

(х»-1) (х +5) [ 800 ) 400

»)х ЗлЛ

Ответ;

.(х +1) (х»»-5)» 400

19

Изображение 010

Распознанный текст из изображения:

ар ~р ар' ! (,ар р3

20

Задача 20

Вычисли гь интеграл:

хяпх

—,— з)х

х — Зх —:10

Для вычисления интегралов такого вида применяется

спедиальиая формула:

)К(х)яп)хбх =- !шт2л(~~Сгехй(к)е" (.й > 0

Г'

Исходная функция полностью удовлетворяет условиям

примененяя данной формуды.

Найлем тд

х — 2х !0=0 т, =123!

Сумма вычегив берется по верхней полуплоскости 1ш х > О.

Из этого следует:

х„, =-',1 3!)

Эта особая точка является простым полюсом. Найдем в ней

вычет:

х(х — 1 — 31) „. х

тек Й(х)е"' = !пп . е" = !пп е" =

'-' х' — 2х+10 " '::х-1, 31

!) з

— ся' " = — е' ' =, '— — — !е"'(соз1 — !з!п1)

1+3! — 1+3! 61 (2 6)

Используем записанную ранее формулу и найдем интеграл

ха)п х л

—,— '- — — ' и = !гп)'2л(~~~ гехй(к)е" ) = ле 'соз1- — е 'яп!

х — 2х+10 г ы ) 3

хяпх л

Ответ: )- „' — г(х = ле ' соз! — — е яп1

х' — 2х+10 3

Задача 21

По данному графику орияпюла найти изображение:

Исходя из это~о графика, запишем оригинал функции:

— 0<1<а

!За — т

1(И=, . а

а

~ — 1. За<(

За — 2! 1 — За

р(!) = — О(т) ': " т)(1 — а) . — — з)(г — За)

а а а

Используя таблицу преобразований Лапласа, найдем изобразкение функции. как сумму изображений слагаемых оригинала функции:

О .-: 1'(Р)=-з ь!=-=,)е"+! —,— — ! " ар (р ар / (ар' р)

Изображение 011

Распознанный текст из изображения:

!'сшив систем)

(А+С = О

!В. Г)=0

С, 2Л=О

О 2В=)

1'аким образом:

22

23

Задача 22

Найти оригинал по заданному изображению:

е"

(р з1)(р ' 2)

Предсгавим это выражение. как сумму простых слагаемых:

е (Л)э, В Ср«.!)~ р

(Р е1)(рз 2) ( Р '1 Р '2,'

Лр' «Вр ЗАР+2В+Ср« +Ор -Срьй

— е-р э

(р '1)(р +4)

(Л «-С)р' «-(В+ О)р «-(2Л «-С)р«-1) «-2В

(р «-1)(р +4)

дипейных уравнений. найдем А. В и С:

!А=О

~В =1

!с =.о

~13=-1

е'" ! 1

(р 1)(рр -2) (р "1 Р' +2!

Используя формулу запаздывания, по такому изображению

найти оригинал песдожно:

— — — —, — — !е ' -+ О(1 — — )' Яп(1 — — ) — — з!п(1 2 — — ) р 1 р ь2)' 2( 2,Г2 23

Ответ: оригинал функции выглядит следуюшим образом:

1г. ! 1 . г- 1

ц(1 — — )' ял(1 — — ) — — яи(гч'2 — — ) 2 '( 2 «(2 з)2 23

Задача 24

Операционным методом решить задач К

у оши:

у(0) = 3, у (О) = -1.

Из теории нам изве

вестно что если х(1) соответствует изображение Х(р), то х (1) соответствует р Х(р) — х(0). а х (1) соответствует р -Х(р) — р х(0) — х'(0). Руководствуясь этими соображениям ,

и иями перейдем от оригин шов фзнкпий к их изображениям:

РРЪ(р) — ру(0) — у (0)+47(р) = —,—

р ь4

р ««Р(р) — Зр«-1«-4'з(р) = —,—

р-, 4

(р ь 4)У(р) = — р Зр

16

у( 11 ЗР 1 16

.Р Р з4 Рр-4 (Р «-4) р -р4 2р «-1

Найдем оригипал у(1):

У(р) = —,—, ~- 3 - — - - ——

16 . р 1 2

(Р 4) р+4 2р+4

1 . 1

, зша1 — — -1созод

(р еа ]' 2а' 'а)

16, р 1 2

— СО5 1'

— — —,— -+ у(1) = яп21 — 2!с

! . 1

' Зсоз21- — яп21 = — яп21+(3 — 21)соз21

2 2

1

Ответ: у(1) = — яп 21 «-(3 — 21)сох 21

2

Изображение 012

Распознанный текст из изображения:

Задача 25

Материальная гочка массы пз совершает прямолинейное колебание по осн Ох под действием восстанавллвающей силы Г= †. пропорциональной расстоянию х от начала координат и направленной к началу координат. и возчутдающей силы ( =Лсоз 1. Найти закон движения х=-х(1) точки, если в пачальаый момент времени х(0)-хе, т(0)=ка.

1: .= гп. Л = 2ш, хс = ! и, та = О.

Исходя из второ! о закона Ныо! она:

ап! = — йх Лсозг

хпз е йх = Л созг

! !ачальныс условия:

х(0)=», =-!

х(0)=ю =0

Подставим значения 1; и г:

хш — ' !их = Зш соя 1

Оократим все выражение на ш:

хех = 'соз1

Перейдем к ггзображениям функций:

р Х(р) — рх(0) — х(0) -ь Х(р) =

р' -; !

(р 1)Х(р) р =

р''!

2Р . Р р р

Х(р) = —,— —, —,— = 2

(р ~-1) р" +1 (р ч1з)з р е!

По такому изображен!!ю несложно найти оригинал:

1

х[И = — 1юп1-!. С051 = 1зш1.1.сов 1

2

Ответ: х(1) =1ьйп[+совг

Задача 2б

!'сшить систему лифференпншзьных уравнений.

(к=к+у

!5 =4хат !

х([н=!. у(0)=0

Перейдем к изображениям функций х и у:

, РХ(Р) — х(0) = Х(р)- г'(Р)

',Ру(Р) — у(0) = 4Х(Р) у(р) ь))р

Г!отсгзвим нз гачьные )словия

,,'РХ(р)-! = Х(р) е Г(р)

!РУ(р) = 4Х(р) + 'т(р) +1(р

Выразим Х(р) через У(р), используя второе уравнсиие

РУ (Р) = 4Х[Р)" у[Р) 1'Р ю Х(Р)=—

4

Подставим полученное выражение в первое уравнение и

найдем г'[р):

р'У[р) — У(р) -17 р р)((р) - У(р) -17 р

Р— — —. — ' — — ! = —. е 'г'(р)

4 4

5 — 1:*р

у(р) =

— 2р — 3

Зяая изображение функции, несложно найти ее оригинал:

5-!)р 5 — !гр 1 ! 17г3-р[3 1

У(Р)- -/.

Р— 2Р— 3 Р— 2Р-3 3Р 3Р (Р— П' — 4 ЗР

! Р-1 В! 2! !

— ф

3(Р— !1 — 4 3 (Р-!)3 — 4 3Р

-ь у(11 = — ' — т е ' соз 2!1 - з' е' ни 211 = —,' — —, ест 21 а х е ай 21 Зная у[1), найдем х(1):

5 = 4х - 1 + ! ~ х(1) = ! (у — у — 1) = ф(5е с!!21 + 2ез)г 2! — -',

.! е'с)з21 — Кеяв21 — 1)=-,'е'сй21 — -„ье'зп21--,' Ответ:

х(1) =- фе'сй21 — —,'е'з)г21 — ф

у[\) = [ -! е'с(з21-,яе'зй21

Изображение 013

Распознанный текст из изображения:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Корень и-й степени

т.=к-игт

Е' = Е'(СОВ у 71ян Ъ )

е" — е "

ыпл= ——

21

Е 1-Е"

сохло =—

э

е' — е '

5)ГЛ =. — 1ЯП17 = ——

1

1 и л = !п171 ! 1Агй 7.

Агсяп7 = — ! п((лъ 71-7

1ета

янсгйл = — ! и—

2 1-ы

е' +е"

С)1 Л = СОиг =- э Агйл =- агъ 7.1- эп11,1: = О. 1-1.-1 2...

) Агссова= — гйп(л. ът — 1)

7 — !

Агссгй л = — !.п—

2 7.-1

Аналитические функции

20

27

Задача 27

Выяснить, во что преобразуезся геометрическая фигура

прн отоораженин с помощью функнии и = !(7) .

в = агсяп(7): первый квадрант.

'!'огла л = яп н. Первый квадрант — это область,'Ке(л)<0;

(пдл)>0',. г.е.,'!1п(яп се)>01 Ке(яп ж)<0',. Рассмотрим это

неравенство подробнее ( ъъх = Ке(ья), к) =- (ш(н) ):

21 [ 21

! е "'(совжх,1япих) е"'(созжх — !япъъх)]

=1ш1.

21

(е"' — с'"' ) сов ълх [11п(м) > О !)ш(м) < О

— — — — -- > 0=7] или!

,сов[ре(тъ)] > 0 1сов[Ке(и)] < 0

(е "' . е"")япъъх

Кщаш зъ) = —. --- — — > 0 ~ яп[Ке(м) > О]

2

'1 о.. первьщ квадрант отображается в обласзн (1ш(ъъ)>01

сот[Ко(ьъ)]>0: ьш[Ке(ъъ)]>0! и !11н(ъь)<0., сов[Ке(к)]<0:

яп[Кс(м)]>0,'. т.с. в вертикальные полуполосы

,'Ке(м)а(2хйл!2-2 )г)1 1тп(н)>0: !ге/1 и 1 1пг(к)<0;

Ке(ьт) е (2х(г-х(2 12л(г)1 11 е Е) .

,1-,,[ гр ' 2яй .. 1ръ2х11 )

" ' л = ф117' ,сов — — — ъ 1 вш — 1 гр = ага л )1 = 0 1,.... и — 1: 7 е О

п п

'>.теъзентарные функции комплексного переменного

гР нкппя к=1(л) называется анашпической в данной ючке %. если она дифференцируема как в самой точке л, так н в некоторой ее окрестности. Функщзя ъъ=р(л) называется аналитической в области О, если оиа аналитична в каждой точке лоб.

Пронэводнаи аналитической функции

ъъ =1(7) = Г(х ъ1)) = п(х,у) 717(х ))

ст1 . дъ съ . дн дн . дп дъ . дъ Р (7) =

д д ду ду д. ду ду дх

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг-
0
0
0
0
0
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
456
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее