Для студентов по предмету Математический анализРешённый вариант 12Решённый вариант 12 2013-09-09СтудИзба

Задача: Решённый вариант 12

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики решённой задачи

Просмотров
363
Скачиваний
119
Размер
2,28 Mb

Список файлов

Изображение 000

Распознанный текст из изображения:

Задача 1

Найти все значения корня «~г8!

«ТФКП! 2007

Ответ: (Г8! = (»гЗ+й — ~3 «-й — 2«~

1

'" э-»г'; « "««"

Данный материал подготовлен на принципах информацнонноконсультационного материала с целью закрепления у школьников и студентов навыков практической реализации знаю«й, приобретенных в обьеме курса по теме «Теория функций комплексно~о переменного». Настоящий материал предусматривает широкую варнативность приемов и методов закрепления полного курса в объеме семестра по разделу «Теория функций комплексного переменного» в «Высшей математике». Рекомендуется изучение данного материала в сопоставлении всего объйма предложенных решений. Задачи, не предсгащиющие особого интереса, бьщи исключены из предложенных решений.

В серии представлены консультационные пособия по

следующим темам:

° Интегральное исчисление

° Дйфференпиальные уравнения

° Кратные интегралы

° Ряды

° Теория вероятностей

° Пределы

° ТФКП

° Аналитическая геометрия

° Линейная алгебра

° Векторный анализ (элементы теории поля)

Корень п-й степени из комплексного числа я имеет п

разных значений, которые находятся по формуле;

«р+2лк .. ~р+2~йу

з!я =З((я!(соз -~-«з!п — ~

и п

ср=агй(г); к =0,!....,п — 1; г»0

Подставляя в эту формулу различные значения )г, найдем

все значения корня «Г81:

?)8! = »~3+!

;Г8! =-,'3 э!

"98! = — 2!

Задача 2 Представить в алгебраической форме: 1.п(1»- !чг3)

Логарифмическая функцвя Ьп(я), где я»0, определяется как

функция, обратная показательной, причем:

Ьп г = !и!я~ ч !Агй я = !пав + «(агй з+ 2л)г), к = 0 й Ь+2,...

Подставим в этуформулу значения к:

Ьп (1 «- 1»«3) = !п~! « 1«!3! + !Агй (1 + 1«ГЗ) =

= 1п2«-!(агй(1«-!э«3) ь2л!г),!« =0,81,+2,...

Вычислим значении логарифма и аргумента:

1п(1«-!з«3) = 0 693«-!( — +2лй),(с = О+1«2,...

3

Ответ: 1п(1 «-!ч!3) = 0693 «!( — «-2л)г))г = 0+1+2,...

3

Изображение 001

Распознанный текст из изображения:

АгсЬ(31)

!с = Оай!.х2

Задача 3

Представить в алгебраической форме:

Функция АгсЬ является многозначной и в общем виде

определяется следующим образом:

АгсЬх=! Агссоз(х) =! (-1 1л(х+ч' '-1))=

= (л(х + х(х' — ! )

Подставим вместо з значение (-1):

АгсЬ(3!) = 1л(3! + <' — ! 0) = 1л(3! + ! /1 0)

Логарифмическая функция 1л(х), где ааО, определяется как

функция, обратная показательной, причем:

Еп х = !и!г]+ !Агйх = !п]х]+ г(агй я+ 2я!с),

!с = О,х),х2,...

Подставюг зто выражение в полученное вьппе:

(л(3! -ь 1з() 0) = !п]3! + ь/ГО]+ !(агй(31+ !я% О)+ 2я(с1 =

Гл

-1 (3 40! ° ~! г(ЗВ+~1%1+2 г! !8<В+1 +2<]

(2

Ответ: АгсЬ(3!) =1818+с — +2п!с,1с = 0+1+2,

!2

2

Задача 4 Вычертить область, заданную неравенствами: ]х-!]51, 0 <агйх<а/4

з

-з -з -с о г з з

лагг!

Задача 5

Опредшгить внд кривой:

з = 2сЬЗс-!ЗзЬЗг

Уравнение вида х = х(г) = х(г) + гу(!) определяет на

комплексной плоскости кривую, параметрические

уравнения которой имеют внд х = х(с), у = у(гй В нашем

случае:

х(с) = 2сЬЗг; у(г) = — ЗзЬЗг

Выразим параметр с через х и у:

х = 2сЬ Зс ~ сЬ Зс = — т г = — агсЬ~ — ~

х ! (х)

2 3 с2]

у = — ЗзЬ Зс => зЬ Зс = — => г = — агзЬ( — ]

у ! (у)

3 3 (3]

Получим уравнение кривой в виде Р(х,у) = 0

-агсЬН = — -агзЬН ~ -агсЬЯ+ — швЬН = 0

о: -' ь(-*) ° - .ь(с]=а

Изображение 002

Распознанный текст из изображения:

до оц

П(Х) = — — 1—

д» еу

Ответ: Г(г) = ге -!х

5

Задача б

Проверить, что и яющется действительной частью

аналитической функции. Восстановить аналитическую в

окрестности точки хв функцию Г(х) по известной

действительной части п(х,у) и значению Г(те):

о=у-2ху

Г(0) = 0

Зная действительную часть аналитической функции, можно узнать производную аналитической функции по следующей формуле:

Найдем производную аналитической функции:

П(х) = Г(х+ 1у) = 2!х-2у-! = 2!(х+гу) — ! = 2ьх

Т.к. производная существует, то ц является действительной

частью аналитической функции. Теперь, зная производную

аналитической функции Г(х), можно найти саму функцию с

точностью до константы:

Г(х) = ~(2!х — !)г)х = 1хз -!к+С

Определим константу С:

Г(0) = 001 — ЛЗ+ С = О + С = 1 =в С = О

Итак, аналитическая функция Г(х) выглядит следующим

образам:

Г(х) = 1х — 1х

Задача 7

Вычислить интеграл от функции комплексного

переменного по данной кривой:

(сЛ х ь сов гх)бх; АВС вЂ” ломаная: х = О,х = -1,х

л ° в с

лвс

Покажем ломаную, по которой должно проходить

интегрирование:

Проверка, является ли функцпя аналитической, слишком громоздка, поэтому используем метод, пригодный для любого случая. Прелставим отрезки ломаной в параметрическом виде: АВ1х(1) = х(1)+1У(1):х(1) = 1;У(1) = 0;х, = х(0);х = х( — !) ВС:Х(1)=Х(1)+1У(1);Х(1)=1;У(1)=1+1!Хе — — Х( — 1);Х =Х(0)

Тогда найти исходный интеграл несложно

а -1

)Г(х)дх = )Г[х(1))х'(1)1)1+ )Г[х(1))х'(1)1!1 = )(сЛС+сов!1)1й+

лвс

лв вс

+ ![ л1 +~+~ 1 в — ! — )]в = ( — — ) 15 — 2 в

3 !

20 20

5

~-4!.вЛ1 — 8зщ1 — 4! ойп1 — — )

е

3 111 5

(!тает: ~Г(хй)х= — — в(5е-2вЫле!.вЛ1-81!п1 — 41 в!о! — ) 20 20) е

Изображение 003

Распознанный текст из изображения:

Преобразуем функцию:

бх-144

б(х-24) б х-24

х'+бх'-72х' х (я+12)(х — 6) х' (хе!2)(х — 6)

Представим один из множителей, как сумму двух простых

слагаемых:

х — 24 А В

= — +

Ах - 6А е Вх+ 12 В

(к+12)(х — 6) х+!2 х-б (а+12)(х — 6)

=5 (А = 2; В = — 1) =5

х-24 2 1

(к+12)(х — 6) х '-12 х — б

Отсюда т(х) примет следующий вид:

Особые точки: х = О! х = 6; х = -12

Задача 8

Найти все лорановские разложения данной функции по

степеням х.

бх — 144

х' + бх' — 72х

Рассмотрим область)х) < 6:

б ( 2 1 1 ! ! ! 1

((х) = —,.~

х' х+ !2 х — б) х' ) 1+ —,*, 1 — 25)

х' '(! !2 144 !728 ) ( 6 Зб 216

( х !2х 144 1728 ) (х' бх 36 2!6

Рассмотрим область 6 <)х, '< 12:

6 ) 2 1 ) ! ! ! б

х- (а+12 х — б ! х ) ! ь — ' х(! — 5))

! ! ( г. х2 х3 ~2 (6 36 216 1296

х )~ !2 144 !728 , х х х' х'

( ! ! ! х ) ( б 36 216 !296

х2 12х !44 !728 ) 1,х2 х' х

Рассмотрим область)х) > 12:

6 ( 2 ! 1 ! ! !2 б

2

х' 3,х+!2 х — 6) х' ! х(1-ьц) х(! — ь— ))

(12 !44 !728 20736 1 ( 6 Зб 2!б 1296

— +—

х' х' х' х 7 Ь,х' х' х' х'

Ответ:

(1 1 1 х '! (1 ! 1 х

а" =( — — — — К-"-.-- )

'ьх' 17х 144 1728 ) 1,х бх 36 2!б

( 1 1 ! х ! ( 6 36 216 !296

ь а 22:222*2-! —,— ° — — °,)+( 2—, ° —,+ —, ° —, °,)

),х' 12х 144 1728 ) 1,х3 х' х' хЬ

(12 !44 1728 20736 '! ( б 36 216 1296

К 22:и*2ь=! — — ° — — °,1+( — + — °вЂ”

3 хЬ х5 хЬ 3 Ь 5 Ь

Изображение 004

Распознанный текст из изображения:

Задача 9

Найти все лорановские разложения данной функции по

степеням г-го.

г+3

Г(г) = —,г, = — 2 — 2г

г — 1

г

Преобразуем данную функцию:

г43 2 1

Г(г) =

г — 1 7 — 1 г+1

Используем разложения в ряд Тейлора в окрестности точки

Ус.

1 1 г гг г' ф (-1)'г'

— = — — —, + —, — — -1- ... =

гча а а а' а с а"'

2 — 1 — 1 — 2~( !)(г го

г — 1 г — 1 (г-г,)-3-23 еа ( — 3 — 21)аа

го)

= — 2 г

„, (З.г-2!)""

1 1 ~дч,(-1)'(~-~,)' ~ (г — г,)" г41 (г-г,)-1-21 . г (-1-21)он . г(1+2!)""

Таким образом; 2 1 " (г — г,)' " (г-г,) г — 1 г .-о (1+ 2!)ьо .=о (3+ 2!) "и

1 2

го)

.=о/ (1+2!)он (3.!.2!)"' ~

2

Ответ: Г(г)=~~~ „—, (г-г,)

.=о( (1-|-2г)"" (3+ 2!)оо

Задача 10

данную функцию разложить в ряд ЛоРана в окрестности

точки го.

г

Г(г) = г соо — г = -2г

гч2г

Перейдем к новой переменной г'=г — го.

г' — 2г 2г

г'= гч 21; г. соо = (г'-2г) соо = (г' — 21)[соо1соо — +

с+21 г' г'

2! , 21 , 21 . 2! . . . 21

4яп1яп — ] =г соз! соз — чг яп1ош — — 2! соо! соо — — 21 яп! яп — = Г(г )

7. г 7 г' г'

Теперь нам остается найти разлогкение получившейся

функции от г' в окрестности точки г "о=0. Для зтото следует

использовать табличные разложения в ряд Тейлора:

2! , 2! 2г .. 2г

Г(г.') = г соо1 соя — ' г оп 1 ого — — 2(соз ! соо — — 2!ого!о!и — =

з' г' г' г'

2!г" 4!г' 3!гп 5!г'

2' 2" 1 .(21 2П 2!

2г(соз ! 2!яп1) 2'!(2!яп ! — 3!соо !)

= г'соз1 — 21соз ! 4 2(яп !

2! г' 2!3! г'г

2" (31соз! 4ьйп1) 2 1(4!яп1 — 5!соо!)

3!4(гп 4!5!го

Произведем обратную замену переменной и, таким

образом, получим разложение исходной функпии в ряд

Лорана в окрестности точки го= — 2й

2 (соз! 2!з!п!) 2'!(2!яп1 — 3!соо!)

Пг) =гсоо1ч2(яп14

21(г -;- 2 г) 2рй(г + 21)'

2'(3!соя 1 ч 4ьйп 1) 2'!(4!о(п ! — 5!соя 1)

3!4!(г + 21)' 4б!(г ч 2!)'

Ответ:

2г(соо !+ 2!огп!) 2П(2!яп !-г!сор !)

Г(г) = г сог 1 .о 2г яп ! +

2!(г+ 2г) 2пг(а+21)г

2'(3!соо!+4!яп1) 2о!(4!*!и! — 5!соо1)

3!4!(г+ 2г)г 4Н!(гч2!)'

9

Изображение 005

Распознанный текст из изображения:

Задача 11

Определить тнп особой точки е = 0 для данной функции:

3!п4е-4е

е* — 1 — е

Представим эту функцию, как отношение функций й(е) и

ь(е):

зш 4е — 4е й(е) й(е) = з)п 4е - 4е;

Г(е) =

е" — 1-е Ь(е) Ь(е) =е' — ! — е;

Для каждой из функций найдем порядок производной, не

обращающейся в ноль при е = 0:

Я'(е) = 4 соя 4е — 4; й'(0) = 4 соя 0 — 4 = 0

й" (е) = — 16сбп4е;й" (0) = -!бяшО = 0

й"'(е) = — 64соз4е;л"'(0) = -64совО = -64

Ь'(е) = с*-1;Ь'(0) = е' -1= 0

Ь" (е) = е'! Ь" (О) = е = 1;

Так как порядок производной, не обращающейся в ноль при е = 0 выше для функции, находяшейся в числителе, то точка г = 0 является нулем функции. Порядок этого нуля находится, как разница между порядками производных, не обращающихся в ноль при е = 0 для функций й(е) и Ь(е). В данном случае, это 3 — 2 = 1.

Ответ: Точка е = 0 является нулем 1-го порядка для

заданной функции.

Задача 12

Для данной функции найти изолированные особые точки и

определить их тип.

((е) =

(е — 1)

Изолированной особой точкой является е = !. Запишем

данн)то функцию в виде отношения й(е) и Ь(е):

зш ле й(е) з1п яе,

((е) =

(е 1)3!Ь(е)=(е 1)';

Для каждой из функций найдем порялок производной. не

обращающейся в ноль прн е = !.

ОП) =о;

Я (е) = к соя яе; Я (1) е 0;

)з(1) = 0;

Ь ( ) = 3( — !)-'; Ь (1) = 0;

Ь"(е) =бе — 6;Ь"(1) = О;

Ь"'(е) = 6; Ь" '(1) е 0

Так как порядок производной, не обращающейся в ноль при е = 1 выше для функции, находящейся в знаменателе, то точка е = 1 является полюсом функции. Порядок этого погпоса находится, как разница между порядками производных, не обрашаюшихся в ноль. В данном случае, зто 3 -1 = 2.

Ответ: Точка е = 1 для данной функции является полюсом

2-го порядка

10

Изображение 006

Распознанный текст из изображения:

Задача 13

Вычислить интеграл:

е" +1

, „,, г(г-1)

и*!

г=0 г=1

1. б

= — 1ппб= — =1

б'' б

ф(г)з(г = 2х)~~~ гевз(х)

г' — 3г'+1

Ответ: з), бг = 2пз

2г'

12

Найдем особые точки функции Г(г);

Точки г! = 0 и г = 1 явлиотся простыми полюсами.

Найдем вычеты в этих точках:

гев, Т(г) = 1пп[Т(г)(г — 0)) = 1зш = !ззп — = — = -2

г(с*+1) . е* е1 2

( -1)

гев, Т(г) =!пп(Т(г)(г-1)) =1зш =!пав

(г-1)(е* «-1) . с*+1

!

г(х -1) ° ! г

1+с

=1 '-е

1

Отсюда следующий результат:

е' +!

бг = 2п(аг гея, з(г) = 2зп' ( — 2+1+ е) =

г(г — 1)

= 2зп' (е — 1)

Ответ: з) бг = 2а! (е — 1)

е' «-1

„„,, г(г — 1)

Задача 14

Вычислить интеграл:

*' †' °

з*'

зз..з

У этой функции одна особая точка: г = О. Определим тип

этой особой точки:

7. — Зг з-1 1 3 1

2 з

2г' 2г 2г' 2х'

Сиз!тая получившийся результат рядом Лорана по степеням г! т.е, в окрестности г = О, мы приходим к выводу, что тачка г = 0 является полюсом 4-го порялка. В соответствии с этим, найдем вычет в данной точке:

1 . д' з 1 . б' (гз -3х' +11 гав "з(г) = — !пп —,(з"(г)г') = — !!из —,

=о б збг~ б загс~ 2 )!

По основной теореме Коши о вычетах:

В данном случае:

г' — 37 +1

бг = 2",и! .1 = 2зп

2г'

! !

Изображение 007

Распознанный текст из изображения:

Задача 15

Вычислить интеграл:

(!г

со54г — 1+ 8г

г'зЬ(4г('3)

л*)

Особые точки этой функции г = 3!Ьл/4. Однако в контур

попадает только г. = О. Определим тип этой особой точки:

Г(г) =

соз4г — !+8гз 8(г) 8(г)=соз4г — 1+8г

г'зЬ(4г(3) Ь(г) Ь(г) = г'зЬ(4г(3)

Определим порядки производных, ненулевых при г = О.

Мы уже неоднократно испольэовали этот прием, поэтому

на сей раз мы опустим детальное и громоздкое вычисление

производных и скажем только, что в результате этих

действий мы определили, что г = О представляет собой

простой полк)с. Тогда можно рассчитать вычет в этой

точке следующим образом:

~ соз4г-1ь 8г)) ! используем пра-1

гез Г(г) = !!п)[((г)г) = 1ап

г)зЦ4г)3) ) (внло Лопиталя

1бг — 4яа 4г ) ) используем пра -1

=!пв

* 2(Зг зЬ(4гтЗ)+ ()г'сЦ4гlЗ)З '(вилоЛоплталя

( !б — !бсоз4г ~ (используем пра-1

=! пп,

' " (бг г г)зг))зЦ4г/3)+ 8г'сЦ4г!ЗЦ (внло Лопиталя

64яп 4г ~используем пра -1

= !пп

* '((б+ !бе')зб(4г! 3) ь (24г+ н2 г))сЬ(4г)'ЗЦ (алло Лопнталя

256соз4г 256

= !лп

* '~ (32 + п22 г))сЦ4г/3) ь(64г.ь 22и(г')зЦ4г(3)) 32

По основной теореме Копщ о вычетах:

соз4г — !+8г'

Ж = 2щ~~~ щзг"(г) = 2л). 8 = 1бгй

г зЬ(4г) 3)

~ соз4г-1+8г'

Ог = 16)п!

г'зЬ(4г(3)

Задача 16

Вьщислить интеграл

т(э.(*" 'Ь-~Ги -г)~

Разобьем этот интеграл на сумму двух интегралов:

)

2 соз "-,'

(* — 2))(* — ()

Рассмотрим первый интеграл:

() ге* ) (!г

: -))=2

Перейдем к новой переменной

с

!=к-1'!

) => ге' ' = (г+1)е'

к=!+1

Единственной особой точкой этой функции является 1=0.

Чтобы определить ее тип2 разложим функцию в ряд

Лорана:

( 1 1 ! 1 1

(! + 1)е' = (т + 1)~1+ — + —, +, + —, + —, ь ...~ =

2!!' 3!! 4В' 5!!'

') (

2!! 3!!' 4!!' ) ( ! 2!!' 3!!з 4В'

Отчетливо видно, что п)явная часть ряла Лорана содержит

бесконечное количество членов, из чего следует, что 1=0

является существенной осооой точкой. Тогда вычет в ней

находи~ся сле!Очощнм образом;

1 1 3

гез (г-~1)е =С, = — +1= — +1=—

2! 2 2

14

15

Изображение 008

Распознанный текст из изображения:

Таким образом

1 Г 11

3

[)ее* '[)з= [)([+1)е'[)е= 2л[гев~(г+1)е'~ = 2л[ Я =Зп[

~ -1.—.2 3[Ь2

[-о

Используем вычеты для взятия второго интеграла:

2соз—

2 [)т

ь 5 „(в-2)2(т-4)

У подынтегральной функции есть две особые точки: я=2 и т=ч. При этом точка к~й не охвачена контуром, по которому проходит интегрирование, и не рассл[атривается.

Точка л=2 является полюсом второго порядка. Найдем

вычет в этой точке:

[) ~ (я — 2) 2соз 2 1, [) ! 2соз 2 ~

' 2[)х'( (г — 2)2(г-4) 3 * 2[(х~(е — 4)3

='"[- ' ""О

Таким образом:

2соз 2 , Г1)

бя = 2[п' гезу, (х) = 2н! ~ — ~ = л!

,,(Е-2)'(2-4) ' 2 2

Найдем исходный интеграл как сумму интегралов,

составляющих его:

2

1

(л-2) (я-4)

2соз-у

[)х = Зп! + л! = 4ю

,„,, (~ — 2)' (х — 4)

1

2соз 2

Ответ: ) ! те* '+, ' 1![)л=4н!

Задача 17

Вычислить интеграл:

[(1

а 3 — 2 Г25!и[

Интеграл такого вида может быль преобразован в

контурный, нсцользуя следующие выражения:

1/ 1\ . [[' 1', ат

2 = е" се[ 1 = — ~2 ч — Р Ип [ = — ) 2 — — !; а[

2!, 21 21), 2! Н

)Р (се[ [,Яс 1)Ш = ЗГ(2)аг

Воспользуемся этими данньлчи и перейдем к контурному

инте[)[злу:

[)Г ~ де / ьз ~' [)е

, 3 — я[8 5!п[,5 13 — ~" (я-з) н 13!т — — 52'(л' -1)

иаб1 - /8( '-1) „,— 8( -!/ '2)( — с2)

Подынтегральная функция имеет две особые точки:

х=!/ /2; е=!Л;

Точка !ч/2 2не попадает в обчасть, ограниченную контуром

интегрирови[ия.

Точка 1/з/2 является простым полюсом. Вычислим в этой

точке вычет:

[ез Е(л) = 1пп (Т(х)(х — 1/ Г2)) =

2 2

1[ш

— — -1

* '[23- тг8(х - !5/2) — я[8(1/з/2 — !5/2)

По основной теорелге Коши о вычетах:

1;

2бя

= 2л1~ ген(я) =2ш'.(-!) =2л

, — 5[8(х — 1/ ~2)(я — !5/2)

Ответ: ) =2л

[)[

5 3 — 2~2з)п1

17

Изображение 009

Распознанный текст из изображения:

Задача 18

Вычислить интеграл:

гй

, (3 + 2э(2 соз !)'

Интеграл такого вила может быль преобразован в контурный,

используя следующие выражения:

ла

т = е; сез ! = — е э —; 5!а 1 = — ! х — —; 4!

т~ 2!( а~ М

) н(сез пэ!и $)ш = ')Р(7)дт

ю '*ь~

Восполыуемся этими данными н перейдем к контурному интегралу:

гй „. б г)х

1'(3+2 Г2соз!)' „,,(Зь /2(х+ -))'

хг)х ~ х !т

„,,1(Зх+чй(х +1)) м,)э(2(хь-,!2)(х+ — ')

ВТ

Подынтмральная функция имеет две особые точки:

х = — э!2; х = — 1/ )2;

Точка х = — ~2 не попадает в область, ограннченнукь контуром

интегрирования.

Точка х = -1! эГ2 является полюсом второго порядка. Вычислим

в этой точке вычет:

гез Т(х) = 1нп — [Г(х)(т+ ! />)2) ] =

4

4 е 1 . о 2

!нп — — )нп

-"ы" И Л! "-"""1* Л!

! . ~ 02 — х ~! ! чГ2-~-!!эГ2 3

21--"фхь,(2)'„2! (,Гг 11,Г2)'

По основной теореме Коши о вычетах:

хбх

=2к1~ гезГ(х) =2я!.!(-)!=ба

и- 1~42(х+ )2)(з -,'-))

Ответ: ~

Д!

= бя

, (3 + 2э)2 соз !)т

Задача 19

Вычислить интеграл;

/

х'+1

, дх

(х'+х+1)

Известно, что если функция рациональна, а ее числитель и

знаменатель представляют собой многочлены, причем

степень знаменателя по крайней мере на две единицы

больше степени числителя, то можно применить

следующую формулу:

сумма вычетов берется по всем

) й( )бх = 2 ' у К

й(х)бх = 2н( у гезй(х)

полюсам полуплоскости !ш х > 0

Преобразуем исходный интеграл:

х'.!-! ~ е -!-1 ~' (х +1)ок

(х +х+1) „(х чя~-1) „(ты+-"-)'(хч--',— — ",1)'

Особые точки:

х =- — ',+ "эз (!гпх>0); х=-'з — "эч (!юг<0)

Точка г = —,' ь — "является полюсом второго порядка н

вычет в ней вычисляется следующим образом:

гез Т(х) = 1йп — Щх)(х+ —,' — — ',') ! =

б

гэ 2

г) ~ хз+1 ~ . Г8(к+аЗ-2)~ 4чгЗ * -1-'е ох' (х+ —,'+ ",")' ) ° + — ",'( (2х+1+ !эгЗ)' ~ рй

Используем приведенную в начале задачи формулу: ~ (х' э1)г)х .! 4э(3~! 8Лл „(х'+хе!)' ( 91 у 9

"( (х' -«бх 8Л,

!(х' ах+1)' 9

18

19

Изображение 010

Распознанный текст из изображения:

Задача 20

Вычислить интеграл:

2*

(*"О'(*'+((

!

Для вычисления интегралов такого вида применяется

специальная формула:

!О(*( гг =О 12 (т 2( О' ),2 О

Исхолная функция полностью удовлетворяет условиям

применения данной формулы.

Найдем хч:

(хг +1)'(х +4) =О.=рвы =+г;х„= ы~с;

Сумма вычетов берется по верхней полуплоскости !ю х > О.

Из этого следует:

х„= (1;2!)

Особая точка х = 21 является простым полюсом. Найдем в

ней вычет:

тех й(т)е' = !Оп... е" =!пп

(х — 21),„. е'

г (хг +!)2(хг+4) ' О(х +!)2(х(-2!)

-!О -н

-(О

( — 4+1)'(2(+2!) Зб! 36(

Особая точка х = ! является полюсом второго порядка.

Найдем в ней вычет:

, , бх ~( 2 а Нг( г О 4) ( ,„, Дл ! (х О Нг(зг „ 4) !

! 5п' — 9х'+ !В!з — 28 2 1 4

= йи

(а+2)2(зг+4)г ~ 92

Используем записанную ранее формулу и найдем интеграл:

"т соя 5х 1! -и 8

2 —,— —; —; — ~=~ (2 (Г *2(,2, = — "° <—

„(х ч!) (х'+4) ( „*- ) 18 9

соз5х я „ 8я

О*

„(х'+1)г(х'+4) 18 9

Задача 21 По данному графику оригинала найти изображение: Исходя из этого графика, запишем оригинал функции:

0<с<а О, а<с<2а ! -2а г(!)=, 2а<с<За

а 4а — ! — За<с <4а

а

О, 4а<с т(с)=1 т!(с)-!.тКс-а)+ — ц(с-2а)+ т!(! — За)+ — ц(с — 4а) с-2а ба — 2с с — са

а а а Используя таблицу преобразований Лапласа, найдем изображение функции. как сумму изображений слагаемых оригинала функции: р( ) -р „-2 р+ -г р -2 р р р (ар р) 'Ср ар'~ ~ар р~ р р (арг р) (р ар ) '!ар~ рС

21

Изображение 011

Распознанный текст из изображения:

р 5 . 1

23

Задача 22

Найти оригинал но заданному изображению:

р+5

(р+1)(р' — 2р+ 5)

Представим это выражение, как сумму простых слагаемых:

р+5 А ВреС

(р+1)(р -2р+5) р+1 р — 2р+5

Ар — 2АР+ 5А + Вр' + Вр+ Ср+ С

(р + !)(р' — 2р + 5)

(А+В)р +( — 2А '-В+С)р+(5А еС)

(р е 1)(р — 2р+ 5)

Решив линейную систему уравнений, найдем А, В и С:

с

А+В=О

А =1/2

— 2А+ В -'; С =1.=> В = -1/2

5А+С=5 С =5/2

Таким образом: р 5 1 1 1

(р+!)(р' — 2р+5) 2 р+1 2 р' — 2р+5 2 р' — 2р+5

Г!о такому изображению найти оригинал несложно:

1 1 1 р 5 1

2 р+1 2 р' — 2р+5 2 р' — 2р+5

1 ! 1 р 5 1

+

2 р+1 2 (р-1) +4 2 (р-1) +4

! 1 1 р — 1 2

2 р е 1 2 (р — 1) ' + 4 (р - 1) ' + 4

1, 1

-+ — е — — е соз21+е зш21

2 2

Ответ: оригинал функции выглядит след)тощим образом:

1, 1

!

— е — — е соз21+е гйп21

2 2

Задача 24

Операционным методом решить задачу Коши:

у"'44у'+29у = е "

у(О)=О, у(0)=1.

Из теории нам известно, что если х(1) соответствует

изображение Х(р), то х'(1) соответствует р Х(р) — х(0), а

х "(1) соответствует р' Х(р] — р х(0) — х'(О). Руководствуясь

этими соображениями, перейдем от оригиналов функций к

их изображениям:

р У(р) — ру(0) — у (О) е 40У(р) — 4у(0) е 29 У(р) =—

1

р+2

р У(р) — !+ 4рУ(р)+ 29У(р) =—

!

р ' \

(р' + 4р+ 29)У(р) = Р

р+2

У(р) =

(р + 2)(р' + 4р + 29)

1-!айдем оригинал у(1):

р+3 А Вр+С

У(р) =

(р+2)(р +4р+29) р+2 р'+4р+29

Ар' + 4АР+ 29А + Вр' + 2Вр+ Ср+ 2С

(р + 2)(р' + 4р + 29)

А В=О 1А =1/25

(4А+ 2ВеС=)=> В=-!/25~ У(р) = —, ——

1( 1 р 23

~29А е 2С = З,С = 23 /25

! ~ ! рз2

5

У(р) = — — „ь5

25' р+2 (р+2) т25 (р+2)а+25/

е а -е а соз51+5йа51

~ у(1) =

25

е "— е "соз51+5з!п51

Ответ: у(1) =

25

Изображение 012

Распознанный текст из изображения:

Задача 25

Материатьная точка массы ш движется прямолинейно, отталкиваясь от начала координат с силой Р=йх, пропорциональной расстоянию. На точку действует сила сопротивления среды К=гт, пропорциональная скорости ю При 1=0 расстояние точки от начала координат хе, а скорость тс. Найти закон движения х=х(г) материальной точки.

1г:= Зш, г = 2ш, хс = 1м, тс = 2мlс.

Исходя из второго закона Ньютона:

агл = )гх — гч

Начальные условия:

х(0) =х, =1

х(О) =

Подставим значения Ь и г:

хгп — 2шх+Зшх = 0

Сократим все выражение на пк

х-2х+Зх =0

Перейдем к изображениям функции:

р Х(р) — рх(0) — х(0) — 2РХ(р) + 2х(0)+ ЗХ(р) = 0

(р' — 2р + 3) Х(р) — р = 0

р р р — 1 1 Г2

р -2р+3 (р — 1)'+2 (р-1)'+2 з/2 (р-1)'+2

По такому изображению несложно найти оригинал:

х(!) = е' созз)21+ — е' зш Г2!

)2

Ответ: х(!) = е' сов чГ21+ — е' зш з)21

,)2

Задача 26

Решить систему дифференциальных уравнений:

с

х = 2х-2у

у= — 4х

х(0) = 3, у(0) = 1.

Перейдем к изображениям функций х и у:

<

РХ(р) — х(0) = 2Х(р) — 2У(р)

РУ(р) — у(О) = -4Х(р)

Подставим начазгьные условия:

с

РХ(р) — 3 = 2Х(р) — 2У(р)

РУ(р) -1 = -!Х(р)

Выразим Х(р) через У(р), используя второе уравнение:

РУ(р) — 1 = — 4Х(р) =з Х(р) =—

4

Подставим полученное выражение в первое уравнение и

найдем У(р):

Р (Р) 1) 3 2( РУ(Р) ) 2У( ) У( Р

4 4 р'-2р 8

Зная изображение функции, несложно найти ее оригинал:

р — !4 Р— 14 р-1 !3 3!

У(р) =, —, —, — —., -+

р' — 2р — 8 (р-1)' — 9 (р — 1) -9 3! (р — !) -9

-+ у(г) =е' созЗа+зхе'з!пЗЬ =е сЬЗг — —",е аЬЗ!

Зная у(!), найдем х(!):

у = — 4х => х(!) = —,' у = — „' (-фе зЬЗг -12е сЬЗ!) =

= —,' е'зЬЗг+ Зе'сЬЗ!

Ответ:

х(!) = (е'зЬЗ! + Зе'сЬЗ!

у(!) = е'сЬЗг+ —" ,е'зЬЗ!

25

Изображение 013

Распознанный текст из изображения:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Корень п-й степени

2=Х+1У

е* = е" (соз у ь 1 51п у)

е яе

С052 =

2

е — е

51П2 =

21

е'+е *

СЬ г = соз 12 =

2

Агй2 = агй 2+ 2пй,11 = О,+1,й2,...

Агссозх = -гйп(2+ 512' -1)

2-1

Агссзя 2 = — Еп—

2 х -1-!

Аналитнчеслие функции

27

Задача 27

Выяснить, во что преобразуется геометрическая фигура при

отображении с помощью функции зг = 1(х) .

ю = со52; прямоугольная сетка х~-, у — С.

В качестве наглядного примера возьл1ем С=5лнй

Каждая из горизонтальных прямых преобразуется в окружность

радиуса соз(1С), а каждая вертикальная — в два луча, исходящие

из точки (О;соз С) в направлении яС радиан:

Таким образом, прн Се( — юзо) сетка отобрюкается во всю

комплексную плоскость.

— 1ро2п(г .. гр '-2П)г)

%2 = юф(соз ч(5(п !гр = агй 2,(г = 0 !,...,п — 1;2 и 0

п и

Элементарные функции комплелсного переменного

е'-е *

5Ь2 = — 15Ш!2 =

2

Епх = !п!2)+1Агйх

Агс51п2 = — 11 п(12+ 1! 2 )

!112

Агсгй2 = — (,и—

2 1 — ы

Функция и=г(г) называется аналитической в данной точке г, если она дифференцируема как в самой точке х„так и в некоторой ее окрестности. Функция и=б(х) называется аналитической в области О, если она аналитична в каждой точке геСь

Пронзводнаи аналитической функции

= Т(х) = Т(х+ (у) = п(х,у)+15(х,у)

дп .дк дя .Оп дп .дп дс .дч дх дх ду ду дх оу дя ох

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг-
0
0
0
0
0
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее