Для студентов МГУ им. Ломоносова по предмету Дипломы и ВКРЗамкнутые локально минимальные сети на выпуклых многогранникахЗамкнутые локально минимальные сети на выпуклых многогранниках
2021-09-03СтудИзба

ВКР: Замкнутые локально минимальные сети на выпуклых многогранниках

-10%

Описание

1 Введение

Точное определение сети как геометрической реализации графа мы дадим ниже, а сейчас, во введении, назовём сетью в метрическом пространстве X всякое связное непустое множество N ⊂ X, представимое в виде объединения конечного числа спрямляемых вложенных кривых, внутренности которых попарно не пересекаются. Здесь вложенной кривой мы называем образ отрезка при непрерывном и взаимно-однозначном на внутренности отрезка отображении. Длиной сети назовём сумму длин кривых, объединением которых она является. Ясно, что длина сети определена корректно, т.е. не зависит от выбора разбиения сети на кривые. Пусть D – конечное подмножество точек в X. Сеть N0 назовём кратчайшей сетью с границей D в X, если D ⊂ N0 и любая сеть N0 в X такая, что D ⊂ N0 , имеет длину не меньшую, чем длина N0. Сеть N0 назовём локально минимальной сетью с границей D в X, если D ⊂ N0 и для любой точки P ∈ N0 и любой её достаточно малой замкнутой окрестности BP такой, что множество N0 ∩BP связно, это множество N0 ∩BP является кратчайшей сетью с границей (D ∩BP )∪(∂BP ∩ N0), где через ∂BP обозначена граница окрестности BP . Всякая кратчайшая геодезическая является кратчайшей сетью с границей, состоящей из её концов. Таким образом, кратчайшие сети – это обобщение кратчайших геодезических для случая, когда нужно «соединить»более двух точек. Локально минимальные сети, в свою очередь, являются обобщением произвольных, не обязательно кратчайших, геодезических. Локально минимальную сеть, не являющуюся геодезической, будем называть нетривиальной. Нас будут интересовать только нетривиальные локально минимальные сети с пустой границей, которые мы и называем замкнутыми локально минимальными сетями, или, кратко, минимальными сетями. На плоскости замкнутых локально минимальных сетей нет; на сфере всего 9 различных замкнутых локально минимальных сетей, с точностью до изометрий сферы; на плоских торах, плоских бутылках Клейна и равногранных тетраэдрах существенно различных замкнутых локально минимальных сетей бесконечно много и они хорошо изучены; имеются результаты, касающиеся замкнутых локально минимальных сетей на двумерных поверхностях постоянной отрицательной кривизны и поверхностях правильных многогранников (см. [1]). Мы рассматриваем замкнутые локально минимальные сети на поверхностях выпуклых многогранников. Такие сети имеют простую локальную структуру: они представляют собой несколько точек, соединённых геодезическими так, что из каждой точки выходит три геодезические, образуя между собой три угла по 120◦ .
Основные задачи.
  1. Задача 1. Изучение множества многогранников с минимальными сетями. Хочется понять, что отличает многогранники, на которых можно построить хотя бы одну минимальную сеть, от всех остальных многогранников. Хочется понять, что можно сказать о топологических свойствах подмножества многогранников с минимальными сетями, например, ответить на вопрос, является ли это подмножество замкнутым в каком-нибудь смысле. В этом направлении известно пока очень мало. В разделе 3 даны простейшие необходимые условия существования минимальной сети на многограннике. Доказано, что эти необходимые условия (теоремы 5 и 6) уже в случае тетраэдров не являются достаточными (теорема 21 из раздела 8). Таким образом, множество обладающих минимальной сетью многогранников устроено не так просто, как можно было бы ожидать. Это всё, что пока что известно. Стоит отметить, что в случае замкнутых несамопересекающихся геодезических на выпуклых многогранниках ситуация похожая: необходимое условие на кривизны вершин многогранника, аналогичное условию из теоремы 5, не является достаточным (см. [3]), и, насколько мне известно, нет ни одного критерия, определяющего, есть ли на данном выпуклом многограннике замкнутая несамопересекающаяся геодезическая.
  2. Задача 2. Описание минимальных сетей на конкретных выпуклых многогранниках. В работе [2] описаны минимальные сети на равногранных тетраэдрах. В настоящей работе мы рассмотрим вырожденные выпуклые многогранники с тремя вершинами – мы называем их двухсторонними треугольниками. Оказывается, что с точностью до преобразования подобия существует всего три двухсторонних треугольника, обладающих минимальными сетями. Для двух из этих трёх двухсторонних треугольников мы дадим полную классификацию минимальных сетей, см. раздел 7. Кроме того, мы докажем целый ряд фактов, касающихся минимальных сетей на неравногранных тетраэдрах, см. раздел 8.
  3. Задача 3. Дан плоский граф. Выяснить, может ли он быть реализован как минимальная сеть на каком-нибудь выпуклом многограннике. Рассмотрим вложенный граф G на сфере, точнее, геометрическую реализацию на сфере какого-нибудь планарного графа. Возникает вопрос: существует ли гомеоморфизм, переводящий сферу в выпуклый многогранник, а граф G – в замкнутую локально минимальную сеть на этом многограннике? Если да, то какими могут получиться длины рёбер этой сети? Ответ на первый вопрос даёт следствие к теореме 7, и этот ответ очень прост. Плоский граф может быть реализован как минимальная сеть на выпуклом многограннике тогда и только тогда, когда все его вершины имеют степень три, а все грани не более чем шестиугольны. Более того, для каждого плоского графа можно описать и возможные длины рёбер реализующей его минимальной сети, см. теоремы 7 и 8 в разделе 5. Попытки решить первую и вторую задачу привели к построению накрывающих комплексов для многогранников, обладающих минимальными сетями, см. раздел 4. В этом разделе мы строим накрытие произвольного выпуклого многогранника с минимальной сетью некоторым плоским комплексом и доказываем некоторые свойства таких комплексов. Минимальные сети всегда поднимаются с многогранника на соответствующий накрывающий комплекс, и задача теоретически сводится к описанию минимальных сетей на этих комплексах. Однако такое описание пока известно лишь для комплексов, являющихся плоскими торами (классификация сетей на плоских торах дана в [6]). В тех редких случаях, когда накрывающим комплексом для многогранника оказывается плоский тор, эта конструкция позволяет спроецировать классификацию минимальных сетей с плоского тора на многогранник, см. раздел 7
В разделе 5 показано, что любая минимальная сеть, реализующаяся на каком-нибудь многограннике, может быть реализована с той же топологией и теми же длинами рёбер на некотором новом многограннике в простом положении – т.е. так, что каждая вершина нового многогранника содержится в отдельной ячейке сети. Это существенно, так как класс многогранников, имеющих минимальные сети в простом положении, в некотором смысле гораздо уже класса всех 2 Определения и предварительные результаты 3 многогранников, имеющих минимальные сети. В разделе 6 показано, как осуществить переход от многогранника с минимальными сетями к соответствующему многограннику, имеющему те же минимальные сети, но в простом положении, см. теорему 9. Я пользуюсь случаем выразить глубокую благодарность А. О. Иванову и А. А. Тужилину за постановку этой задачи и постоянное внимание к моей работе. Работа выполнена при поддержке гранта президента РФ поддержки ведущих научных школ, проект НШ-3224.2010.1, гранта РФФИ, проект 10-01-00748-а, программы Развитие научного потенциала высшей школы, проект РНП 2.1.1.3704**

Файлы условия, демо

1.JPG
2.JPG
3.JPG

Характеристики ВКР

Учебное заведение
Просмотров
4
Покупок
0
Размер
743,21 Kb

Список файлов

  • Замкнутые локально минимальные сети на выпуклых многогранниках.pdf 798,16 Kb
Картинка-подпись
Ваше удовлетворение является нашим приоритетом, если вы удовлетворены нами, пожалуйста, оставьте нам 5 ЗВЕЗД и позитивных комментариев. Спасибо большое!

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Цена: 999 899 руб.
Расширенная гарантия +3 недели гарантии, +10% цены
Рейтинг-
0
0
0
0
0
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее