Другое: Вырезки с решёнными задачами
Описание
Характеристики учебной работы
Список файлов
- Вырезки с решёнными задачами
- 111220091378.jpg 967,2 Kb
- 111220091379.jpg 787,67 Kb
- 111220091380.jpg 870,58 Kb
- 111220091381.jpg 936,47 Kb
- 111220091382.jpg 876,42 Kb
- 111220091383.jpg 617,75 Kb
- 111220091384.jpg 696,68 Kb
- 111220091385.jpg 690,77 Kb
- 111220091386.jpg 844,49 Kb
- 111220091387.jpg 771,66 Kb
- 111220091388.jpg 636,8 Kb
- 111220091389.jpg 374,12 Kb
- 111220091390.jpg 1,25 Mb
- 111220091391.jpg 505,95 Kb
- Thumbs.db 76,5 Kb
- Прочти меня.txt 32 b
Распознанный текст из изображения:
"'!'.".,,ч 4 6 уйвеетаим (из экспериментов) коэффициентом 6(1) > О и что верМтиоеть поязлеиия более одного события за время Ж равна нулю;
р111,1+Й) = 611)й, 'у рЯ1+ Й) -0; 111,1)
~у, '. ~~~=~-гМ 4-' ка~=~,
йедеиеиие: Чтобы найти решение аадачиур = ете '1 следует исаатй последовательно ро, Р1,..., учитывая, что непоявление события в иЯтВрвале (б+ Й) означает непоявление его в интервале (О, ~) и в ин7вфзале Й, т.е. вероятность непоявления события к моменту (б+ Й) рвЗИа Произведению вероятностей независимых событий ро(8+ Й) = фр®рр(3, б+ Й); а т событий могут появиться в интервале (О, ~+ й) Одним из следующих несовместных способов:
рп~И+ ~~) = Рт(~)РО(~1" + "~) + + Ро(~)рт(~е ~+ б~~) (11 2)
ЯфЯ~~~ ~ би~-~ ЗД. ба<.б С~и'/с ГдС.4'~ ~~~У- О
Подставляя в равенство Ро(1+ й) =- ро(1)ро(1, 1+ бИ), согласно усло-
.ВИЮ задачи, ро(~, 1+В) = 1 — 6(1)бй, н обозначая 6(~)сЫ = Иа, получаем
: ~~~д~~) Д ~'У ° рр(Ю+ й) = ро(Ю)~1 — й ~'+11 == РОЯ вЂ” ро®йаЯ,
а /
ОтСЮДаРР =4е '. Найти Е(х) =.Ц =. ОР1, + '>', та е '/т! И,Р: ~1~
Ы1= 1
Я 13. Пусть среднее число элен)ронов, испускаемых электронным устройством за 1 секунду, равно Ь, Тогда за время 1 среднее
число электронов равно а = Ы. Эту вели пину естественно принять
эа математическое ожидание числа электронов за время 1 в законе
распределения Пуассона. Тогда этот закон можно рассматривать как
закон распределения числа электронов, испускаемых за время 1, т.е.
вероятность появления т электронов за время ~ равна р = "—,е ',
где а = Ы.
Я 13. Интервал Т между вылетающими из электронного устрой-
ства электронами есть величина случайная. Найти его закон распре-
деления, используя решение предыдущей задачи~ адлаж~~Е." й = ~~)
Пояснение. Пусть Г® = Р(Т < ~) Функция распределения
ы
сдучаинои величины Т, которую требус- тся найти. Она окажется не-
Распознанный текст из изображения:
нулевой, если за время 1 вылетит хотя бы один электрон. Эту вероятность можно выразить через вероятность Р(Т > 8) дополнительного к нему события, т.е. в виде Р(Т ( 1) = 1 — Р(Т > 8). Но вероятность Р(Т > 8) события, что не вылетит ни один электрон, можно определить по формуле Пуассона, положив в ней т = 0 (Р(Т > ~) = е ~') ~=ф р~р<
М 14. Найти закон распределения числа вызовов телефонной стан- = у ~ -~
ции в течение времени (1~, ~2), считая, что среднее число вызовов Ь(1) в единицу времени зависит от момента времени 1, а среднее число
1р
вызовов на интервале (~~, 1~) равно а = /'Ь(1)сЫ. (/7о3 'сЖ Я' ~ ~~м ='
/7~©~'~ с~~ф )
Условия вывода распределения Пуассона вполне выполняются, поскольку 1 — вероятности вызовов на разных интервалах независимы, 2 — вероятность появления вызова за период В пропорциональна В, 3 — вероятность более двух вызовов за Ж равна нулю. Подставляя математическое ожидание а в закон Пуассона р = а е '/т!, получаем требуемый результат.
М 15. При бросании монеты .1000 раз герб выпал 505 раз. Какова
вероятность такого и большего уклонения числа выпадений герба от его математического ожидания пр, если р=1/2, т.е. какова вероятность события (~т — пр~ > 5~. где пр = 500, а про = 250?
Решение: Найдем вероятное гь того, что пр — 5 > т > пр+ 5.
Приведем это неравенство к ш,~у, позволяющему воспользоваться формулой Муавра-Лапласа с,:, е„.~еламп интегрирования а и Ь:
— 5, ы — пр 5
— О, 3 = а = '-" — > = Ь = О, 3.
/йЯ /пЯ,/пру
16. Пусть случайная велпчпна Х распределена равномерно
(Р,(х)) в интервале ( — а,а). Найти распределение Г„(у) случайной величины У = Х2 и вычислить мат, ожидание и дисперсию случайной величины У = Х2, основываясь на распределениях Р,(х) и Е„(у).
,'Х 17. Пусть на всей плоскости задана совместная плотность распределения ~(х, д), зависящая только от радиуса-вектора т, т.е.
~ = ~1(т). Найти функции распределения и плотности распределения полярных координат, т.е. случайных величин т и ~р, т.е. найти их
Распознанный текст из изображения:
маргинальные вероятности (Г„, ~„, Г,, Д, 3,,Заметим, что х = т сов <р, у = тв1п р и якобиан равен т.
Пояснение. Маргинальное распределение Г„можно в общем случае записать в виде
г 2т Г, = / / ~(тсовр,тв1п~р)тйр йт.
о о
Х 18. Пусть на плоскости (х, д) задана совместная функция распределения Г(х,у). Найти вероятность попадания случайной точки (Х,У) в прямоугольную область (О < а < х < Ь) (О < с < д < И), используя определение совместной функции распределения Г(х, д) = Р(Х < х, У < у).
Р(а < х < Ь, с < у < а) = Р(Ь, а~ — Г(Ь, с) — Г(а, а) + Г(ас).
И 19. Случайная величина рчспределена равномерно в прямоугольнике ~х~ < а, ~у~ < Ь с совместной плотностью вероятности Дх,у) = 1/(4аЬ). Найти функцию распределения Г(х,у) и маргинальные распределения случай ныл величин х, у.
М 20. Для предыдущего примера найти условные плотности вероятности и коэффициент корреляции тху. Пояснение: ~(х~у) = — ''--- -'-, ~(д~х) =
.~'ч',1х
В этой задаче оказывается, что условные плотности вероятности совпадают с безусловными. ~ М 21. Случайный вектор (Х, 1 ) распределен равномерно у(х, у
2 3
1/~та6) внутри эллипса В = ~ + ~, < 1. Найти маргинальные плотности вероятности. ,1х = ~(х, д)Йд, ~ц — — ~(х, у)Йх.
р ~~~ дЫ~/
Распознанный текст из изображения:
1:1 22.' Для предыдущего примера найти условные плотности вероятнопсти и коэффициент корреляции и объяснить его значение.
Пояснение:
/(х)у) = (1/(таЬ)): /„=, /(у)х) = (1/(таЬ)): /, =
1- (у/Ь)' 2Ь 1 — (х/а
С''сч 23. твайти характеристическую функцию равномерно распределеннои на интервале ( — а, а) случайной величины Х и вычислить ее дисперсию, основываясь на этой характеристической функции.
.Пояснение: о/е8//Эио И =с./ сс
Е11а — 1еа1
(Ц ейхо (2о е1(х~х=а (
2~аг '= ' ~а 2~ 1а
Для расчета дисперсии удобно воспользоваться логарифмом от
(р, т.е. использовать функцию /й(-',) =- 1пр(1), и учесть, что р(1) =
~е'~ йР(х). Откуда (р(0) =- 1, (,''Я = грехе™ссР(х), (р'(О) = гМ ~"~О~=
(/О (~) = г~ / х е'~*дР(х). Затесу в:,/ ислить О' -~Я
ф~о)
Ф() =Ф'()/'.О(;. '"'() =
и найти ф (О) = х" (О) = — В(т) == — и /Я, подставив 1о(1) = (в1п1о)/Ьа
в р прис=0.
Я 24. Найти закон распределенпя суммы двух случайно распределенных независимых случайных величин (У = Х1+ Х~) с плотностями распределения /1(х1) = 1/'(2а) при ~х1~ < а и ~~(х~) = 1/(2б) при 1х2~ ( 6, пользуясь предварительным нахождением характеристических функций случайных величин Х1,Х~,У а затем — обратным преобразованием Фурье, определяющим плотность распределения вероятности ~(д) случайной величины У по формуле
Распознанный текст из изображения:
Пояснение: Сначала подсчитать ~~с~о~~~~а яс ~,ма .Зс, Эрза,23~'
а 6
ср(й) = е" ~ '+*'~дхдсКх2/(4аб).
-а -Ь
/ М 25. Пусть задана плотность двумерного нормального закона
распределения случайных величин Х и У:
1
2 2
27т
ехр — — ~сдд(х — а) + 2сд2(х — а)(у — Ь) + с22(у — Ь) ~
2
Дх,у) =
и подсчитаны математические ожидания и дисперсии
р~-)=М, = а,и(х) = "', дд, -- Ь,и(у) =
СддС22 — Сд2 СддС22 — Сд2
а также их условные значения
Е(х~у) = а — сд2(у — 6)/сдд, Е,',у!.«) — — Ь вЂ” сд2(х — а)/с22.
Найти математическое ожидандле функции р(х, у) = ху, воспользовавшись приведенными данными и используя общее представление двойного интеграла в виде повторного. т.е.
Е(р(х, у)) == Р,~~Е„(ф~х)~.
Сначала найти Е„(~р~х) = хЕ„('у~..'', '=-- .«Е(у~х) = ..., а затем вычислить Е,~хЕ„(у~х)), чч ла~ьс7 ~г='~ ~(х).=а ц Е~х~)=0(=с~+, ~,~.
Я 2б. Найти математическое ожидание и дисперсию частоты
(т/и) появления события при и незавддсиъдых испытаниях, если Е(пд) = пр, Ю(т) = пру.
М 27. По результатам испытанпй и выпадению набора чисел (1,1,1,3,2,3,2,2,4,4,2,5) найти эмпирическую функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
Х 28. Найти математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала безынерционного нелинейного элемента, если выходной сигнал представляет собой заданную функцию у = Ь(8+ х) от полезного
Распознанный текст из изображения:
ПОЯСНЕНИЕ. Поскольку, по определению, коореляционная функция производной т„(1, ь') от т,(1, 1') равна смешанной второй производной от т,(1, 1'), то сначала вычисляется взаимная корреляционная функция (для функций Х® и У(~') = дХ(1')/Ж):
Г
д, -'-~'~'--- ~ ор.;
т,„(1А) =: —: —; ...(1.,1')=-4мФ
Л "-'
= 4с~-
Х 39. Пусть Х(~) — случай; ая;:1,ункция, а ~(8, ~) — заданная
детерминированная функция, и пусть известны М,(1) и т,(1, ь"). Нетрудно подсчитать, учитывая коммутативность операции математического ожидания и интегрирования и свойства корреляционнои
ь
функции, что случайная величина / ~(8, ~)Х(~)сЫ имеет следующие
а
математическое ожидание и корреляционную функцию:
ь
Му (8) ~ ~(~ 1)М Я(Н
Ту(8, 8 ) = / ~ ~(8, ь) ~(8 1 )'~ (~, ~ )ЙСИ
Пользуясь этими формулами, найти математическое ожидание и коэффициент корреляции для а1ункцпп У(8) = ~Х(1)Й при условии,
о что М ф = а+ Ы и т,,(1, ~') =-- -!,"- -'" ' ~. (При выполнении расчетов,
что с~й~(
очевидно, следует у
дует учесть, что в чинном случае ~(в,ь) = 1 в интервале (, ) ~ = О п и 1) 8~8 жом ~д~гае ~~~у,5~~уоии~Мает я~~3
Г~з ~',1=,4~ ~ Е М М~
Ри Х~Х, У ° /)- ~ ~Ы -ч') г ~~ ~',~
—.Г ~''е-"
Распознанный текст из изображения:
Х 40. Найти оптимальное решение для двух игроков в игре с очень болыпим числом партий, в которой 1-й игрок, выбирая строки нижеследующей матрицы, стремится минимизировать свой проигрыш, а 2-й игрок — максимизировать свой выигрыш:
~1 З~ у
(
Х 41. Пусть два участника играют большое число партий в антагонистическую игру, платежная матрица которой следующая
1 3 5 ,Х= 8 9 7
6 4 2
Х 42. Пусть участники много раз играют в игру, в которой пла-
тежные матрицы игроков имеют вид
Распознанный текст из изображения:
Вопросы для подготовки к контрольной и экзамену (зачету).
Определение выборочного пространства, алгебры подмножеств, вероятностная
мера, функция распределения вероятности. Беровские функции, измеримые относительно сигма-алгебры функции, борелевская сигма-алгебра и случайные величины.
Проблемы, связанные с нулевыми множествами.
Лебеговское пополнение вероятностного пространства. Теорема Лебега о разложении вероятностной меры. Функция распределения Кантора. Условные вероятности, теорема умножения вероятностей, зависимые и независимые случайные величины, формула Байеса. Моменты случай~ ых величин. Методы моментов и максимального правдоподобия. Состоятельные нссмещенные и эффективные оценки, интервальные оценки параметров. Теор~-:м; .'~ебега о разложении вероятностной меры. Функция распределения Кантора. Г, оя и:. математического ожидания и его определение в дискретных и континууми'.л»нь.: выборочных пространствах.
Дисперсия и ее свойства. Моментны сну»айных величин. Построение вероятностной меры по функции распределения н энклидовом пространстве и наоборот.
Понятие интеграла Лебега-Стилтьеса. Корреляционная матрица и случайных величин. Коэффициенты корреляции. Зависимы: и независимые случайные величины.
Необходимое и достаточное условие независимости случайных величин. Вероятностные меры, функции распределения, маргинальные и условные распределения на произвольных подмножествах в Р. Теорема умножения вероятностей в дискретной и интегральной форме (теорема Фубини дои интеграла Лебега-Стилтьеса). Определение вероятностей на произведении нро:грапств. Математические ожидания для произвольных выборочных пространств н обший случай теоремы Фубини.
Аддитивные функции интервала н Л',,лера открытых множеств. Внешняя мера
множества, измеримые относительно;и.;ы множества, свойства мер и измеримых множеств, измеримые относительно м "р»; ъункции. Определение интегралов Лебега и Лебега-Стилтьеса на основе мери. ~.',,:, случайных величин, пример расчета суммы случайных величин, примен:нн:: порток для расчета сумм случайных величин. Нормальное распределение и выяснение смысла его коэффициентов. Характеристические функции случайных величин. Характеристическая функция свертки.
формула обращения.
Независимые испытания. Формула Бернулли. Асимптотические форму (л
кальная и интегральная) Муавра-Лапласа. Теорема Бернулли, формула Пуассона,
примеры. Цепи Маркова, вероятности перехода, существенные, несущест и сообщающиеся состояния. Эргодическая теорема Маркова.
Введение топологии на множестве. Сравнение топологий, система образующих
топологии и база топологического пространства. Индуцируемые топологии. Метрика и метрические топологии. Аксиомы отделимости. Хаусдорфово, регулярное, вполне регулярное и нормальное пространства. Примеры. Компактные и локально компактные пространства. Топология произведения пространств. Непрерывность и гомеоморфизмы.
Нормированные векторные пространства. Банаховы пространства. Линейные отображения нормированных векторных пространств и существование разрывных линейных отображений (пример). Функциональные пространства. Мера Радона на компактном пространстве. Мера Радона на локально компактном пространстве.
Сходимость по вероятности (по мере) и сходимость почти всюду, их различие. Слабый закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. '1еорема Маркова
Распознанный текст из изображения:
для зависимых случайных величин. Теорема Колмогорова о необходимых и достаточных условиях удовлетворения закона больших чисел (доказательство). Свертка и возможные ее применения. Операторы свертки и их свойства. Доказательство . центральной предельной теоремы. Три способа введения вероятности: 1 — классический, 2 — на основе общей теории меры н 3 — на основе мер Радона.
Случайные функции, случайные процессы и проблемы определения вероятности на пространстве функций. Дискретные н непрерывные марковские процессы. Процессы с некоррелированными и независимымн ~~р '~ращениями и стационарные процессы. Винеровский процесс и его особенное. Особенности корреляционной функции процессов с некоррелированными н вез=.: ь ..:,~г ..и н приращениями. Белый шум и понятие спектральной плотности. Сто." с> г"--г::пй интеграл и многозначность его определения. Интегралы Ито и Стратоновнча.
Файл скачан с сайта StudIzba.com
Начать зарабатывать