Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Теория вероятностей и математическая статистикаВырезки с решёнными задачамиВырезки с решёнными задачами 2017-12-28СтудИзба

Другое: Вырезки с решёнными задачами

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики учебной работы

Учебное заведение
Просмотров
703
Скачиваний
108
Размер
10,29 Mb

Список файлов

111220091381

Распознанный текст из изображения:

"'!'.".,,ч 4 6 уйвеетаим (из экспериментов) коэффициентом 6(1) > О и что верМтиоеть поязлеиия более одного события за время Ж равна нулю;

р111,1+Й) = 611)й, 'у рЯ1+ Й) -0; 111,1)

~у, '. ~~~=~-гМ 4-' ка~=~,

йедеиеиие: Чтобы найти решение аадачиур = ете '1 следует исаатй последовательно ро, Р1,..., учитывая, что непоявление события в иЯтВрвале (б+ Й) означает непоявление его в интервале (О, ~) и в ин7вфзале Й, т.е. вероятность непоявления события к моменту (б+ Й) рвЗИа Произведению вероятностей независимых событий ро(8+ Й) = фр®рр(3, б+ Й); а т событий могут появиться в интервале (О, ~+ й) Одним из следующих несовместных способов:

рп~И+ ~~) = Рт(~)РО(~1" + "~) + + Ро(~)рт(~е ~+ б~~) (11 2)

ЯфЯ~~~ ~ би~-~ ЗД. ба<.б С~и'/с ГдС.4'~ ~~~У- О

Подставляя в равенство Ро(1+ й) =- ро(1)ро(1, 1+ бИ), согласно усло-

.ВИЮ задачи, ро(~, 1+В) = 1 — 6(1)бй, н обозначая 6(~)сЫ = Иа, получаем

: ~~~д~~) Д ~'У ° рр(Ю+ й) = ро(Ю)~1 — й ~'+11 == РОЯ вЂ” ро®йаЯ,

а /

ОтСЮДаРР =4е '. Найти Е(х) =.Ц =. ОР1, + '>', та е '/т! И,Р: ~1~

Ы1= 1

Я 13. Пусть среднее число элен)ронов, испускаемых электронным устройством за 1 секунду, равно Ь, Тогда за время 1 среднее

число электронов равно а = Ы. Эту вели пину естественно принять

эа математическое ожидание числа электронов за время 1 в законе

распределения Пуассона. Тогда этот закон можно рассматривать как

закон распределения числа электронов, испускаемых за время 1, т.е.

вероятность появления т электронов за время ~ равна р = "—,е ',

где а = Ы.

Я 13. Интервал Т между вылетающими из электронного устрой-

ства электронами есть величина случайная. Найти его закон распре-

деления, используя решение предыдущей задачи~ адлаж~~Е." й = ~~)

Пояснение. Пусть Г® = Р(Т < ~) Функция распределения

ы

сдучаинои величины Т, которую требус- тся найти. Она окажется не-

111220091382

Распознанный текст из изображения:

нулевой, если за время 1 вылетит хотя бы один электрон. Эту вероятность можно выразить через вероятность Р(Т > 8) дополнительного к нему события, т.е. в виде Р(Т ( 1) = 1 — Р(Т > 8). Но вероятность Р(Т > 8) события, что не вылетит ни один электрон, можно определить по формуле Пуассона, положив в ней т = 0 (Р(Т > ~) = е ~') ~=ф р~р<

М 14. Найти закон распределения числа вызовов телефонной стан- = у ~ -~

ции в течение времени (1~, ~2), считая, что среднее число вызовов Ь(1) в единицу времени зависит от момента времени 1, а среднее число

вызовов на интервале (~~, 1~) равно а = /'Ь(1)сЫ. (/7о3 'сЖ Я' ~ ~~м ='

/7~©~'~ с~~ф )

Условия вывода распределения Пуассона вполне выполняются, поскольку 1 — вероятности вызовов на разных интервалах независимы, 2 — вероятность появления вызова за период В пропорциональна В, 3 — вероятность более двух вызовов за Ж равна нулю. Подставляя математическое ожидание а в закон Пуассона р = а е '/т!, получаем требуемый результат.

М 15. При бросании монеты .1000 раз герб выпал 505 раз. Какова

вероятность такого и большего уклонения числа выпадений герба от его математического ожидания пр, если р=1/2, т.е. какова вероятность события (~т — пр~ > 5~. где пр = 500, а про = 250?

Решение: Найдем вероятное гь того, что пр — 5 > т > пр+ 5.

Приведем это неравенство к ш,~у, позволяющему воспользоваться формулой Муавра-Лапласа с,:, е„.~еламп интегрирования а и Ь:

— 5, ы — пр 5

— О, 3 = а = '-" — > = Ь = О, 3.

/йЯ /пЯ,/пру

16. Пусть случайная велпчпна Х распределена равномерно

(Р,(х)) в интервале ( — а,а). Найти распределение Г„(у) случайной величины У = Х2 и вычислить мат, ожидание и дисперсию случайной величины У = Х2, основываясь на распределениях Р,(х) и Е„(у).

,'Х 17. Пусть на всей плоскости задана совместная плотность распределения ~(х, д), зависящая только от радиуса-вектора т, т.е.

~ = ~1(т). Найти функции распределения и плотности распределения полярных координат, т.е. случайных величин т и ~р, т.е. найти их

111220091383

Распознанный текст из изображения:

маргинальные вероятности (Г„, ~„, Г,, Д, 3,,Заметим, что х = т сов <р, у = тв1п р и якобиан равен т.

Пояснение. Маргинальное распределение Г„можно в общем случае записать в виде

г 2т Г, = / / ~(тсовр,тв1п~р)тйр йт.

о о

Х 18. Пусть на плоскости (х, д) задана совместная функция распределения Г(х,у). Найти вероятность попадания случайной точки (Х,У) в прямоугольную область (О < а < х < Ь) (О < с < д < И), используя определение совместной функции распределения Г(х, д) = Р(Х < х, У < у).

Р(а < х < Ь, с < у < а) = Р(Ь, а~ — Г(Ь, с) — Г(а, а) + Г(ас).

И 19. Случайная величина рчспределена равномерно в прямоугольнике ~х~ < а, ~у~ < Ь с совместной плотностью вероятности Дх,у) = 1/(4аЬ). Найти функцию распределения Г(х,у) и маргинальные распределения случай ныл величин х, у.

М 20. Для предыдущего примера найти условные плотности вероятности и коэффициент корреляции тху. Пояснение: ~(х~у) = — ''--- -'-, ~(д~х) =

.~'ч',1х

В этой задаче оказывается, что условные плотности вероятности совпадают с безусловными. ~ М 21. Случайный вектор (Х, 1 ) распределен равномерно у(х, у

2 3

1/~та6) внутри эллипса В = ~ + ~, < 1. Найти маргинальные плотности вероятности. ,1х = ~(х, д)Йд, ~ц — — ~(х, у)Йх.

р ~~~ дЫ~/

111220091384

Распознанный текст из изображения:

1:1 22.' Для предыдущего примера найти условные плотности вероятнопсти и коэффициент корреляции и объяснить его значение.

Пояснение:

/(х)у) = (1/(таЬ)): /„=, /(у)х) = (1/(таЬ)): /, =

1- (у/Ь)' 2Ь 1 — (х/а

С''сч 23. твайти характеристическую функцию равномерно распределеннои на интервале ( — а, а) случайной величины Х и вычислить ее дисперсию, основываясь на этой характеристической функции.

.Пояснение: о/е8//Эио И =с./ сс

Е11а — 1еа1

(Ц ейхо (2о е1(х~х=а (

2~аг '= ' ~а 2~ 1а

Для расчета дисперсии удобно воспользоваться логарифмом от

(р, т.е. использовать функцию /й(-',) =- 1пр(1), и учесть, что р(1) =

~е'~ йР(х). Откуда (р(0) =- 1, (,''Я = грехе™ссР(х), (р'(О) = гМ ~"~О~=

(/О (~) = г~ / х е'~*дР(х). Затесу в:,/ ислить О' -~Я

ф~о)

Ф() =Ф'()/'.О(;. '"'() =

и найти ф (О) = х" (О) = — В(т) == — и /Я, подставив 1о(1) = (в1п1о)/Ьа

в р прис=0.

Я 24. Найти закон распределенпя суммы двух случайно распределенных независимых случайных величин (У = Х1+ Х~) с плотностями распределения /1(х1) = 1/'(2а) при ~х1~ < а и ~~(х~) = 1/(2б) при 1х2~ ( 6, пользуясь предварительным нахождением характеристических функций случайных величин Х1,Х~,У а затем — обратным преобразованием Фурье, определяющим плотность распределения вероятности ~(д) случайной величины У по формуле

111220091385

Распознанный текст из изображения:

Пояснение: Сначала подсчитать ~~с~о~~~~а яс ~,ма .Зс, Эрза,23~'

а 6

ср(й) = е" ~ '+*'~дхдсКх2/(4аб).

-а -Ь

/ М 25. Пусть задана плотность двумерного нормального закона

распределения случайных величин Х и У:

1

2 2

27т

ехр — — ~сдд(х — а) + 2сд2(х — а)(у — Ь) + с22(у — Ь) ~

2

Дх,у) =

и подсчитаны математические ожидания и дисперсии

р~-)=М, = а,и(х) = "', дд, -- Ь,и(у) =

СддС22 — Сд2 СддС22 — Сд2

а также их условные значения

Е(х~у) = а — сд2(у — 6)/сдд, Е,',у!.«) — — Ь вЂ” сд2(х — а)/с22.

Найти математическое ожидандле функции р(х, у) = ху, воспользовавшись приведенными данными и используя общее представление двойного интеграла в виде повторного. т.е.

Е(р(х, у)) == Р,~~Е„(ф~х)~.

Сначала найти Е„(~р~х) = хЕ„('у~..'', '=-- .«Е(у~х) = ..., а затем вычислить Е,~хЕ„(у~х)), чч ла~ьс7 ~г='~ ~(х).=а ц Е~х~)=0(=с~+, ~,~.

Я 2б. Найти математическое ожидание и дисперсию частоты

(т/и) появления события при и незавддсиъдых испытаниях, если Е(пд) = пр, Ю(т) = пру.

М 27. По результатам испытанпй и выпадению набора чисел (1,1,1,3,2,3,2,2,4,4,2,5) найти эмпирическую функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

Х 28. Найти математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала безынерционного нелинейного элемента, если выходной сигнал представляет собой заданную функцию у = Ь(8+ х) от полезного

111220091388

Распознанный текст из изображения:

ПОЯСНЕНИЕ. Поскольку, по определению, коореляционная функция производной т„(1, ь') от т,(1, 1') равна смешанной второй производной от т,(1, 1'), то сначала вычисляется взаимная корреляционная функция (для функций Х® и У(~') = дХ(1')/Ж):

Г

д, -'-~'~'--- ~ ор.;

т,„(1А) =: —: —; ...(1.,1')=-4мФ

Л "-'

= 4с~-

Х 39. Пусть Х(~) — случай; ая;:1,ункция, а ~(8, ~) — заданная

детерминированная функция, и пусть известны М,(1) и т,(1, ь"). Нетрудно подсчитать, учитывая коммутативность операции математического ожидания и интегрирования и свойства корреляционнои

ь

функции, что случайная величина / ~(8, ~)Х(~)сЫ имеет следующие

а

математическое ожидание и корреляционную функцию:

ь

Му (8) ~ ~(~ 1)М Я(Н

Ту(8, 8 ) = / ~ ~(8, ь) ~(8 1 )'~ (~, ~ )ЙСИ

Пользуясь этими формулами, найти математическое ожидание и коэффициент корреляции для а1ункцпп У(8) = ~Х(1)Й при условии,

о что М ф = а+ Ы и т,,(1, ~') =-- -!,"- -'" ' ~. (При выполнении расчетов,

что с~й~(

очевидно, следует у

дует учесть, что в чинном случае ~(в,ь) = 1 в интервале (, ) ~ = О п и 1) 8~8 жом ~д~гае ~~~у,5~~уоии~Мает я~~3

Г~з ~',1=,4~ ~ Е М М~

Ри Х~Х, У ° /)- ~ ~Ы -ч') г ~~ ~',~

—.Г ~''е-"

111220091389

Распознанный текст из изображения:

Х 40. Найти оптимальное решение для двух игроков в игре с очень болыпим числом партий, в которой 1-й игрок, выбирая строки нижеследующей матрицы, стремится минимизировать свой проигрыш, а 2-й игрок — максимизировать свой выигрыш:

~1 З~ у

(

Х 41. Пусть два участника играют большое число партий в антагонистическую игру, платежная матрица которой следующая

1 3 5 ,Х= 8 9 7

6 4 2

Х 42. Пусть участники много раз играют в игру, в которой пла-

тежные матрицы игроков имеют вид

111220091390

Распознанный текст из изображения:

Вопросы для подготовки к контрольной и экзамену (зачету).

Определение выборочного пространства, алгебры подмножеств, вероятностная

мера, функция распределения вероятности. Беровские функции, измеримые относительно сигма-алгебры функции, борелевская сигма-алгебра и случайные величины.

Проблемы, связанные с нулевыми множествами.

Лебеговское пополнение вероятностного пространства. Теорема Лебега о разложении вероятностной меры. Функция распределения Кантора. Условные вероятности, теорема умножения вероятностей, зависимые и независимые случайные величины, формула Байеса. Моменты случай~ ых величин. Методы моментов и максимального правдоподобия. Состоятельные нссмещенные и эффективные оценки, интервальные оценки параметров. Теор~-:м; .'~ебега о разложении вероятностной меры. Функция распределения Кантора. Г, оя и:. математического ожидания и его определение в дискретных и континууми'.л»нь.: выборочных пространствах.

Дисперсия и ее свойства. Моментны сну»айных величин. Построение вероятностной меры по функции распределения н энклидовом пространстве и наоборот.

Понятие интеграла Лебега-Стилтьеса. Корреляционная матрица и случайных величин. Коэффициенты корреляции. Зависимы: и независимые случайные величины.

Необходимое и достаточное условие независимости случайных величин. Вероятностные меры, функции распределения, маргинальные и условные распределения на произвольных подмножествах в Р. Теорема умножения вероятностей в дискретной и интегральной форме (теорема Фубини дои интеграла Лебега-Стилтьеса). Определение вероятностей на произведении нро:грапств. Математические ожидания для произвольных выборочных пространств н обший случай теоремы Фубини.

Аддитивные функции интервала н Л',,лера открытых множеств. Внешняя мера

множества, измеримые относительно;и.;ы множества, свойства мер и измеримых множеств, измеримые относительно м "р»; ъункции. Определение интегралов Лебега и Лебега-Стилтьеса на основе мери. ~.',,:, случайных величин, пример расчета суммы случайных величин, примен:нн:: порток для расчета сумм случайных величин. Нормальное распределение и выяснение смысла его коэффициентов. Характеристические функции случайных величин. Характеристическая функция свертки.

формула обращения.

Независимые испытания. Формула Бернулли. Асимптотические форму (л

кальная и интегральная) Муавра-Лапласа. Теорема Бернулли, формула Пуассона,

примеры. Цепи Маркова, вероятности перехода, существенные, несущест и сообщающиеся состояния. Эргодическая теорема Маркова.

Введение топологии на множестве. Сравнение топологий, система образующих

топологии и база топологического пространства. Индуцируемые топологии. Метрика и метрические топологии. Аксиомы отделимости. Хаусдорфово, регулярное, вполне регулярное и нормальное пространства. Примеры. Компактные и локально компактные пространства. Топология произведения пространств. Непрерывность и гомеоморфизмы.

Нормированные векторные пространства. Банаховы пространства. Линейные отображения нормированных векторных пространств и существование разрывных линейных отображений (пример). Функциональные пространства. Мера Радона на компактном пространстве. Мера Радона на локально компактном пространстве.

Сходимость по вероятности (по мере) и сходимость почти всюду, их различие. Слабый закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. '1еорема Маркова

111220091391

Распознанный текст из изображения:

для зависимых случайных величин. Теорема Колмогорова о необходимых и достаточных условиях удовлетворения закона больших чисел (доказательство). Свертка и возможные ее применения. Операторы свертки и их свойства. Доказательство . центральной предельной теоремы. Три способа введения вероятности: 1 — классический, 2 — на основе общей теории меры н 3 — на основе мер Радона.

Случайные функции, случайные процессы и проблемы определения вероятности на пространстве функций. Дискретные н непрерывные марковские процессы. Процессы с некоррелированными и независимымн ~~р '~ращениями и стационарные процессы. Винеровский процесс и его особенное. Особенности корреляционной функции процессов с некоррелированными н вез=.: ь ..:,~г ..и н приращениями. Белый шум и понятие спектральной плотности. Сто." с> г"--г::пй интеграл и многозначность его определения. Интегралы Ито и Стратоновнча.

Прочти меня

Файл скачан с сайта StudIzba.com

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг-
0
0
0
0
0
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее