Книга: метода для выполнения 3 ДЗ

Распознанный текст из изображения:

Огло влепив

8 8 5

Предисловпе . . . . ° ° ° ° ° ° ° ° °

пбсзэачевкя . .

1. Славное пвпрякепное состояние . . .

расчет нв прочность

П ак ~счета нв прочность прп неодноосноы нвпряленврядак ~сч

ввы состоянии

2. Я вмеры расчетов эв прочность при сложном нвпрякеннои ° Р

состоянии ., °

лянные нето

м дические указания издаются в соответствии с учеб-

, „. Р юотрены и одобрены кафедрой К-5 04.04.юг,, ме

комиссией факультета К 9.04.86г. и учебно-методическим управлгнием 6.05.86г.

Рецензент д.т.н. проф, МГИ Сгасенко И.В.

~'С, йоскоаское вы шее техническое училище „„ Н 8

пе л

Методические указания предназначены для студентов вечернего факультета. Они содержат методику и прилеры решения задач по теме "Расчеты на прочность при сложных напряженных состояниях".

Для удобства использования изложенного материала при самостоятельной работе студентов над курсом все основные понятия и расчетные зависимости рассматриваемой темы даны в начале пособия. Подбор задач выполнен с учетом вопросов, наиболее часто возникающих у студентов вечернего факультета при изучении данной теми.

Терминология и обозначения, принятые в пособии, соответствуют терминологии и обозначениям учебника, явлпвхцегося основным для студентов МУГУ при изучении курса "Сопротивление материалов": Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1вРб. Общие рекомендации, полезные для реюения задач по рассматриваемой теме, изложены также в методических указаниях: Семенов-Ежов И.Е., Шитиков В.Н. Изгиб балок. - М.: МВТУ, 1984.

Обозначения

Р- х М

~~лр С

Ф

Э- В- С-

Ял Р~- И'х- нуМл,- б—

г' б

в.т.

Мв о Л.И.Малютина

або 08йвы 2 п.л.(2 Уч.-ввд.л,)

Тираж 1000 экэ.

08 01 87 г. План 1986г. ю 93.

В-я Ввуыанская 5

М'

, г - координатные оси (У - ось стержня);

сосредоточенная сила, Н;

давление, Па;

изгибающий момент, действующий относительно оси,т, Н и;

изгибающий момент, действующий относительно оси у, Н.м;

крутю~ий момент, Н и;

длина участка стержня, м;

диаметр круглого поперечного сечения, м;

средний диаметр тонкостенной оболочки, м;

толщина тонкостенной оболочки, м;

2.

- размеры прямоугольного поперечного сечения, м;

площадь поперечного сечения, м ;

радиус кривизны оболочки в меридиональном сечении, м;

радиус кривизны оболочки в окружном сечении, и;

момент сопротивления изгибу относительно оси,т, м ;

момент сопротивления изгибу относительно оси у , м ;

момент сопротивления сечения кручени>, м8;

норлальное напряжение, Па;

касательное напряжение, Па;

напряжение, действующее в меридиональном сечевик, Па;

напрякение, действующее в окрувном сечении, Па;

Распознанный текст из изображения:

- компоненты напряженного состояния в

, б «6 « ~,, ° ~у=«Е.х трех роизв ((роизволь. взаимно перпендикулярных площадках

« Па;

,, 6'„,6, - главные напрякения в точке тела, Па; 6 . эквивалентное напржкение, Па;

««сГ Й)- допускаемое напрякение, Па;

- предел текучести при растяжении, Па;

о б .- предел текучести при сжатии, Па; 'тс б„- предел прочности при растяжении, Па; б-' - предел прочности при скати, Па; .",л

и Ес а~- коэффициент запвса по пределу текучести; об- коэффициент запаса по пределу прочности; 3 - коэффициент, равный 69э/ бг 3~- коэффициент, равный б; /6 ~ о - коэффициент, учитывающий соотношение сторон в прямоугольнике при расчете на прочность при кручении.

1. Сложное нап яженное состояние

Напрякенное состояние в точке тела определяется шестью компонентами 6,6.,6,'с 7„~,Е,~, действующими в трех взаимно перпендикулярнйх площадках. дти площадки могут быть представлены траки видмкыми гранями элементарного куба, выделенного в окрестности рассматрмваемой точкм (рис.1.1) .

Значения компонентов напряженного со-

стояния зависят от ориентации площадок. -Гэ д В каждой точке нагруженного тела существуют три взаимно перпендикулярные площадки> в которых касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называют главными, а нормальные напряжения в них - гланными напряжениями (рис.1.2) .

В большинстве встречающихся в инжеиер-

Рис.1 1 ной практике случаев положение одной из ~лавкшвк площадок и нормальное напряжение в ней известны (рис.1.3) ° ~~ма два другккк главнмх иапрякения определяются по формуле К ~~« — « ~у) р.

6 ~6 6 6 л г

г«2 - г дтш фвРЮка позволяет вычислить главные напряжения путем круговой

рше шшэшкш мю сев и в оду е, да т г н я ощадка швупвмдшкулярв пек х или оси у

4

Рис.1.2

Рис.(.З

Необходимо обратить внимание на то что фо

то, что н формулу входят только компоненты напряженного состояния н б

ия н площадках общего положения.

присваивается индексы

После определения гланных напряжений им л и 1, ,3 н порядке убывания их алгебраической величины ( б, '- Г, > бэ ).

123 нпо

Расчет на п чность

Для того чтобы получить возможность оценивать поочность при сложном напряженном состоянии по механическим характеристикам при раст«пкении и сжатии, вводится понятие экниналентного напряжения 6 „ . дкниннлентное напряжение — это напряжение одноосного растяжения, ранноопасного, с заданным напряженным состоянием. Условие прочности при неодноосном напряженном состоянии приобретает нид:

6эмб

где Го 1= — "~- или ~ б )= — 4~.

бг 6

лт чб

~т коэффициент запаса по пределу текучести; и . ф фициент запаса по пределу прочности

Коэффициентом запаса для данного напрякенного состояния называется число, показывающее, но сколько раз надо увеличить одновременно все компоненты напряженного состояния, чтобы возникло предельное состояние материала. Под пределыоак состоянием подразумевается возникновение пластических деформаций н материале или начало разрушения. Дна напряженных состояния называются ранноопасными, если у них равны коэффициенты запаса.

6 „ выражается через 6,, 6 , 6 с помощью соотнетствукщих критериев пластичности и разрушения:

1. По гипотезе наибольших касательных напряжений (теория Треска-Сен-Венана)

бэ б 6к б

2. По энергетической гипотезе (теория Хубера-Мизеса)

5

Распознанный текст из изображения:

Ъ

этк гипотезы, пастРаенныа на баэз кРитеРиев пластичности, прш..анимы для

м имы для гластичных материалов, а вычисленное экэи„ лентнае напряжение должа сопоставляться только с пределам у чести при растяжении, поэтому сасчет на прочность ведется па формуле 6

6,а

элб '~ г Тяк как пац прецельным состоянием в этих гипотезах понимается та кае мпрякеннае состояние, при котором возникают пластические деформации, обе зти гипотезы неприменимы в тех случаях, когда предеяьньш состоянием является начало разрушения. Например, при трехосном равномерном растяжении. 3. По теории Мора

' 6,,-6,—,)6, Этз теория спраэецлива для обоих предельных состояний.

При определении коэффициента запаса по отношению к пределу текучести (прецельное состояние - возникновение пластических деФорчаций) расчетная формула имеет вид

)

ллГ лт т бгс

При опредеяенмм коэффициента запаса по отношению к пределу прочности (предельное состояние - начало разрушения) расчет ведется по фояяГлв

8 С~б

Теория Мора применима дяя пластичных и хрупких материалов и Лает наилучшие результаты при напряженных состояниях, у которых главные напряжения имеют разные знаки или одно из них равно нулю

В эвиешерной практике часто встречается упрощенное плоское няшршэввюе состоянке, прм которои одно иэ двух нормальных напря" швимйе действукщих в неглавных площадках, равно нулю (рис.1.4) °

Для этого случая выведены фориулы связи эк- 2:эв вивалентного напряжения с компонентами напри шве~ого состояния, действующими в неглавных площадках. В зависимости от примененной гипо' тезы ияи теории эти формулы имеют' вид:

1) по гипотезе наиболыких касательных наш яРшшвняй

Жв 1,4 бр д ~б~~~

Ф

2) по энергетической гипотезе

(ээлб = чб-л УС.';

3) по теории Мара

6э б, бл а чФ Фгг.

~-) г)

По ак счета на и чнасть и и неа соснам

нап яженнам состоянии

В ходе решения должны быть установлены полажение опасной тачки Детали и эквивалентное напРЯжение 6э„.б з ней. Опасной называется точка детали, в которой 6 б цастигает мэкскмальнага значения.

В инженерной практике положение опасной точки, как прээила,

находится следующим образам. По эпюрам внутренних силаэьпс факторов определяется полажение опасного (т.е. наиболее нагруженного)

сечения, в котором расположена опасная тачка.

Положение опасного сечения не всегда можно установить сраэу,

так как внутренние силовые факторы могут составлять различные

комбинации. Поэтому сначала намечают для расчета ряд сечений, которые предположительно могут быть опасными. Для каждого иэ этих

расчетных сечений нужна построить зпюры распределения напряжений

по поперечному сечению ат всех внутренних силоэык факторов. Па

ним нэметить точки, а которых компоненты напряженного состояния

таковы чта 6. б может достигнуть наибольшего значения э расшл'б

сматриваемом сечении. Вти точки будем называть расчетными. Вычисление и сопоставление 6 для расчетных тачек всех зыделенЯла

ных сечений дает воэможность определить опаснуа точку (т.е. тач- кУ, В катоРай юэл.б максимально).

Для опасной точки соетавляется условие прочности, иэ которого можно получить коэффициент запаса или размеры поперечнога сечения детали.

В связи с вышеуказанным решение задачи можно разделмть на следующие этапы:

1) Провести анализ внутренних силовых факторов и выбрать расчетные сечения.

2) Для каждого иэ этих сечений постромть эпюры распрецеления напряжений, по которым наметмть рвсчетнмв точки и изобразить напрякенное состояние в нкх с помощью элементарно куба.

га

3) Вычислить ш л в рвсчетэвы точкак всех эмбранэиш~ сэ-

4) Сопоставить б~„л во всех расчетнэк точках и определить

Распознанный текст из изображения:

опасную точку „ „.„ й точки составить соответствующее Условие проч-

„ „ного соотношения найти коэффициент запаса детали или размеры ее поперечного сечения. 2. П име ы счетов на п унесть п и сложном нап пшенном состоянии рр р.р. д р , ра р р .р.р, р р иэ расчета на прочность размеры квадратного поперечного сечения сс стороной с и равнопоочного ему круглого поперечного сечения дишиетром с( , если известно, что Р =100 Н, с' =1 м, б = 6

гР гс =200 Впар рт7 =2.

Решение. При расчете пространственных Гг ~г рзм на прочность необходимо прежде всего построить эпюры внутренних силовых факторов - М , Му, и М,/Р . дпюры изгибающих моментов строятся на сжатых волокнах стержней в плоскости действия момента, а эпюры крутящих моментов — параллельно осям стержней.

Заданная пространственная рама имеет три участка. Построение эпюр начнем со свободного конца рамы. Мысленно в конце участка АБ устанавливаем заделку, в результате чего его можно рассматривать Р Р

квк отдельнуш консольно закрепленную балку. Ркс.2. 1

Сосредоточенная сила РУ изгибает балку в плоскости гх, создавая момент, равный /$~--Р ? (О. г шс ) Аналогично> сосредоточенная сила Р создает изгибающий момент // =Р„.г (блат ус) . Впюрм изгибающих моментов на участке АБ показаны на рис.2.2 а.

для построения эпюр внутренних силовых факторов на участке

БВ мысленно устанавливаем заделку в сечении В-В, а участок АБ отбрасываем. Пря этом силы и моменты, действовавшие на участке АВр приводрн к сечению В-В (рис.2,2 б), Здесь и далее пунктиром изобрашаи отбрасываете элементм. Прк этрм величины, плоскости двйствия я направления моментов сохраняются. Момент, действовавший "а предыдущем участке в плоскостигрл, на участке БВ действует в плоскости л:

скветш л:ф ш является крутари, поскольку плоокость его дей-

8

ствия на этом участке перпендикулярна оси стерзэря. Момент, действовавший на предыдущем участке в плоскости ? , на этом участке действует в плоскости 'у и является изгибающим. В

оличины этих моментов по длине участка остаются постояннрзри. С

я рзри. осрвдоточенная сила Р/ , приложенная к участку БВ, создает иэгибыщий момент в плоскости х , равный М р Л , Юх ,Уг'). С /р

игу . ила действует вдоль оси участка БВ и момента не создает. А сила Р изгибает стержень в плоскости Е~ по линейному закону// рР г,'рг (рис.2.2 в).

Р,

'Ж

2РС

?

Рис.2.2

Построение эпюр иэгибарощих и крутящих моментов на участке ВГ

проводится аналогично. Мысленно устачавливаем заделку в сечении

Г-Г, отбрасываем участок БВ, приводим все силы и моменты, лействовавшие на отброшенный участок БВ, к сечению В-В. Силы :

Р и моменты, приложенные к этому участку, создав/г линейно иэз

меняющиеся изгибающие моментыМ =Р? Л~и/( р/рг -~Ъ/З<г .с/

х= у,у

в плоскостях ?~ и г.х- соответственно (рис.л.2 в). Окончательная эпира изгибающих и крутящих моментов для рамы представлена на рис.2.3.

Из анализа эпюр следует, что на участке АБ наиболее нагруженным является сечение Б-Б, в на участке БВ - сечение В-З, причем иэ сравнения их между собой ясно, что сечение В-В нагружено

р

больше, чем сечение Б-Б. Какое из сечений на участке БГ (В-В или Г-Г) болев нагружено, определить по эпюрзм внутренних силовых факторов не представляется возможрви. Поэтому в качестве расчетных рассмотрии сечения В-В, В-В и Г-Г.

9

Распознанный текст из изображения:

Эпюры распределения напряжений по по- Т гм перечному сечению З-Н соответственно от

каждого силового фактора и напряженные рл состояния в точках 1,П и Ш, где напряже-

ния имеют максимальные значения, привес Р~ дены на рис.2.4.

Напомним, что напряжения при изгибе

и кручении стержня определяются соответственно по формулам

я~ах Н~х лбах И/ РI Моменты сопротивления изгибу и кручению для простейших поперечных сечений приведены в таблице. При кручении бруса пряРвс.2.3

моугольного поперечного сечения напряжение „„ возникает поссредине длинной стороны, а посередине короткой стороны - напряжение г =р ш „, , где с — коэффициент, зависяжий от соотношения сторон сечения.

В -В

с — к Рб ~гl РЕ о~а а ~ ~~~' Юбб см.таблицу).

бра

а~—

Поскольку в точках 1 и Ш возникают однотипные напряженные состояния и касательные напряжения в них одинаковы, а норюальное напряжение в точке 1 больше, чем в точке Ш, можно сделать вывод, что точка 1 опаснее точки Ш. Для сопоставления напряженных состояний в расчетных точках 1 и П необходиио определить для них эквивалентные напряжения, используя какуо-либо теорию предельных напряженных состояний.

Одно из главных напряжений в точке 1 известно ( оу 0). Два других главных напряжения подсчитываем по формуле г г р бРб Яф,

ау- а

напряжений соот-

Рис. 2А

Ьачешшя наибольших нормальных и касательньвс ° етатваимв от >Чя., И~ и ~4 равны

у МШ Лог ~~р~ б ф бташ: Юх Ы а~ ' ела Щ

б

Следовательно,

6 =у3бд — у 6 =О, 6 = АУ' $'

Эквивалентные напряжения будем вычислять по гипотезе наибольших касательных напряжений.

Эквивалентное напряжение в точке 1 равно

~~В ьа„--6З=~УЯ-~-а~~~ ЮЯ

Заметим, жо, поскольку в точке 1 имеет'место упроженное плоское напряженное состояние, еквиваяентное нап1ыжение в ней может

11

Распознанный текст из изображения:

быть подсчитано и по формуле у / 7,~ „,р /лу/ ~~~. р, ллб г~ ах пах а а В точке П напряженное состояние одноосное, поэтому

у 1 л /гР~' б' ~ж /бРР Таи как напряженное состояние одноосное, б у можно сравни с эквиэалентныии напряжениями в других точках.

Переходим х расчету сечения В-В. Впюры распределения напри кения по поперечному сечению и напряженные состояния в точхах 1У.У и У1 этого сечения представлены на рис.г.б. Наибольшие нормальные и касательные напряжения равны 1 Мх Рб б'Рб У МУ Рб 6Рг

б м гР ~ ~~ ~Рб б'

~ ох 1//„~ а/ " ад

лл = а

//а а/Рб Отсюда

а ' л 6у= аз

/З/Рб ( ~1 'х ~ гагРб

ч"е 1У' "вх " в точно 1, Упрощенное плжю~ напряженное состоя ие. Следоват льне, и в ней эквивалентное на пряжение можно вычислить по формуле

ах аЗ

В точке У, так же как и в точке П, напряженное состояние одноосное. Поэтому би- 6 бс бР/~' б Р/' /РРб

/ г ах 6л * - а аЗ а~

Пореходим к расчету сечения Г-Г участка ВГ. дпюрм распределения напряжений по поперечному сечению и напряженные состояния в точках УП, УШ и 1Х этого сечения показаны на рис.г.б. Значения наибольших нормальных и касателььвх напряжений равны

1 м~ гРб /гРб, г/т гбгс~ . лг»ах 1//с -м т аУ ~ ах апач аз

б

Рис.й.б

и фививж Яу ш щ вивт ивово однотипные напряженные состояния

в вбв ивмвншшва пйпрйшенюво воотоюия одинаковы по величинес

Пвпйвцулйф1э Врпды ВППппппввиы, Ц~о ив пдавньсс напршкений 1 Вб/ )

В %$пшв У яднр Пудве а два дВийс находш4 по Формуле

. ЯЬ

Распознанный текст из изображения:

Пэ рис.2.5 видно, что наиболее нагруженной в этом сочении ,ч ляется точка уП. Оцно иэ главных напряжений в ней известно

.р). и ° и пр П пп, Сл цоеательно, и

ГЛ ~Л~Р Л'У Рс 22б Л'Р Г -'" . ~.—, 6у — —.-7- - (- — '.', ' ) =

о. б

Эаметйм, что и в этой точке эквивалентное напряжение можно рычислнть по форыуле поскольку и в ней имеет место упрощенное плоское напряженное состояние.

Эквивалентное напряжение в точке УП больше, чем в точках 1,П, 1У и У. Эначит, зта точка является опасной и дальнейший расчет ведется по ней.

р« ййэ условия прочности 5 . - Л.7 следует Для опасного сечения Г-Г подберем диаметр равнопрочного круглого поперечного сечения. Эпюры распределения напряжений по поперечному сечению и напряженное состояние в точке 1 приведены на рис.2.7. Эначения наибольших нормальных и касательных напряжений в этом случае рввнм

2~~' бе юР ~~ 2 п1' ЗЗ2 оР, д ррр х 'ппррх Ы " ~~ ' ррпо.х Фрп ~~~~к~ лгс~

22 иб

Одно из главных напряжений в точке 1 известно (<7о 0), а два других находю~ по формуле

г гл с 6 р6- 6 - — А-у-

ажб к Э -р ай

Т

и оъ;

Рис.2,7

Поскольку в точке 1 имеет место упрощенное плоское напряженное состояние, эквивалентное напряжение в ней можно подспитать,

как и в предыдущих случаях, беэ определения главных напряжений

по формуле

Лп1 '

Диаметр круглого поперечного сечения находим иэ условия

прочности

6'бррй%' бр ' сорос рргрр' пр рр' 'пп" и л

рьг

Сопоставим квадратное и равнопрочное ему круглое поперечное

сечения по металлоемкости проектируемой конструкции. Металлоемкость пропорциональна площади поперечного сечения. исчислим площадь квадратного и круглого сечений , е

с

.Эргпх

Г р а =ус/ Гб рГ, Г = — ' — р!лп' рпр рс

+

Площадь круглого поперечного сечения меньше, поэтому для снижения металлоемкости в рассматриваемой раме рационально применить

круглое сечение.

+-;и-'

П имечание. Расчеты проводятся с точностью до третьей значащей ц ры, коэффициент запаса определяется с точностью до втоРой значащей цифры.

пп пп,п.пр р р пр р р

прямоугольного поперечного сечения (рис.2.8), если известно, что

100 Н, с 1 м, В 0,02 и, Л 0,04 м,6 6р„ 250 )к',а. Расчет

провести по энергетической теории.

Решение. Эпюры внутренних силовых факторов, возникавщпсп от каждой силы и их совместного действия (рис.2.9), построены согласно методике изложенной в примере 2 1

По зпюрапг иэгибакщих и крутящих моментов находюп наиболее на~руженное сечение. для этого на каждом участке рвмм опоеделяеп наиболее нагруженное сечение и сравниваем их между собой. По эпю-

15

Распознанный текст из изображения:

рвм видно, что на первом участке лБ наиболее нагруженным является сечоние ББ, на втором - ВВ, на гретьем - ГГ, на четвертом - ДД. Нэ сравнения ясно также, что г! наиболее нагруженным, т.е. опасным, яв-

ляется сечение ДД, так как в нэм дейст— вуют наибольшие по величине моменты. Ь Затем в опасном сечении определяем наиболее нагруженную точку. Для этого строим эпюры распределения напряжений по поперечному оечению от каждого иэ момен- Ь б

тов (рис.2.10). Значения наибольших нор-

!

мальных и касательных напряжений на эпю- Р л Р рах равны

1 й ~ос' Злс' Рис.2.В лбах ~~~~ ч 6 м~ я~С хне, „и ясе ~юле М'~ У~Э 6 * И~ ОР<" 2Ю 3' 7~ Наметим расчетнйэ точки. В обШем случае в прямоугольном поперечном сечении расчетньии являются точки 1,П и Ш в квадранте растяжения. Напряженные состолния э них покаэаны на рис.2.10. Однако, так как в точках 1 и Ш в данном случае воэникают упрощенные плоские напрлженные состояния и оба компонента напряженного состояния в точке Ш больше, чем в точке 1, можно сделать вывод, что точка Ш более нагружена.

Эквивалентное напрякение в точке Ш, поскольку в ней имеет место упрсшеннсе плоское напряженное состояние, можно подсчитать по формуле В точке П напряженное состояние одноосное, поэтому

гтах гтах Р Р У'

Эквивалентное напряжение в точке Ш больше,чэм напряжение в точке Л, виачит, сна и является опасной. КееЩщлешт веласа по отношению к пределу текучести будет

%пп ' 6~ Ф~ 2Л7 гоб:~ЯОг)

рис.2.

Распознанный текст из изображения:

х«ч

Рис.2. 10

»»ф»»»,». »»„„„„,р, ной трубки с открытыми торцами, находящейся в камере с давлением

р и нагруженной изгибающими моментами /"У (рис.2.11), если дано: /'» а12»б Н м, Р ~200 К)а, Ю 20 мм, Д 1 мм, б р =БОО МПа,б с ВОО К)а.

Рис.2. 11

Ревение.Эоны, прилегающие к торцам трубки, исключаются из рассмотрения в соответствии с принципом Сен-Венана. Принцип Сен-Венема гласит, что в местах приложения сосредоточенных силовых факторов к в местах резкого изменения формы и размеров поперечных качений возникают возмущения полей напряжений (местные напр«охания)» которые бывтро затухают по мере удаления от этих мест. Поэтому на рвеетв«вгн«вг, превьл«авщкх характерный размер сечения, уже можно у«ве«ввтрнввть только равнодействующие внешних сил.

ьгввМзввтвньно» раочетнал часть трубки находится макду зонами,

~$Юлввллщимн л торцаы. длина этих зон пр«в«врио равна диаметру я °

Все сечения расчетной части тр б„и

ру ки нагружены одинаково и следовательно, являются равноопасными, Расчет опасного сечения АА изображен

Раженного на рис,2.12, про водится следующим образом. Применяя принц

Ринцип независимости действия сил, рассмотрим сначала напряжен- л-я ное состояние точек сечения, создаваемое .м> И только давлением в камере, постоянным по

Ф всему ее объему. От давления во всех точках тела любой формы возникает трехосное сжатие. При этом все площадки, независимо от их ориентации, главные, а главные напряжения в них равны. Рис.2.12

Рассматривая затем напряженные состояния точек сечения, создаваемые иэгибаоцими моментами, стропы зпюру распределения напряжений (рис.2. 12) и намечаем расчетные точки 1 и П, в которых от изгиба возникают наибольшие растягивающие и ск«ь«ающие напряжения

~'~х » - ~~~ ую'~ 37дз«ТТР~"

Напряженные состояния в точках 1 и П, с учетом р и М, представлены на рис.2.13. Все площадки в обоих элементарних параллелепипедах являются главными. ',1 ',»

»»

.БАРР ,гРР

Определяем эквивалентное напряжение в точке 1. Главные на- 1 т

РР :РР

прякения в ней равны б -б- = =б -р:~О/-2ОО»РОУ Н/га,'

ЛРР г«»»ахт

з ЫЮ б г.бг б- б *р=- »ООНРа °

г'з х у' Рис.2.13

дквивалентное напряжение вычисляем по теории Мора, так как материал трубки неодинаково сопротивллется растяжению и сжатию б =бг- ) 6 = бг - — Цгг 6 = 2г«/ - Уф'~ В'Ю~

Переходим к исследованию напряженного состояния в точке Главные напр»охания в точке П раним б гу. б к. б. Х. б ~ » Р. -ХООИпа»

х» Ф б $*6 Ф.-б -Р.-ЕМУ-.«дб~-бУУ НОа.

л * з лг»ах иеп е«пега~

В точке П трехосное окатив, к длл нее теорня Мора иепр«ег ° Следоватавьно, вквнвалегтное нвпрлкеннв в точке П вычнсл

П амчнслить нельзя. Однако» как показывают вкспвргвгенты» трекооное оватне тие такого типа

19

Распознанный текст из изображения:

ф

~ =гб/

Рис.2.14

~ .,— =гоа

й-

21

м но, чем смешанное напряженное состояние в точке 1. Поэтому опасной является точка 1 и коэффициент запаса трубки по отношению к пределу пРочности б„а

а= = у --уу.

б

г~д

Илвшст;рахрэя напряженного состояния в точке 1 круговой диаграммой напряжений мора приведена на рис.2.14.

Л ув~аЯ.4. Произвести проектировочный расчет тонкостенного сфершчшсшошо сосуда 1рис.2.15), который находится в камере с давлеыжэээ уэ ж подвержен действию внутреннего давления р . Дано: р =210 )а)а,р =200 МПа, Я 100 мм, б = б„

500 361а~ ~ з2, Р

т

Решение. Рассматриваемый сосуд представ-

Р лает собой тонкостенную сферическую оболочку, Б дхя которой требуется определить толщину о

Расчет тонкостенных осесимметричных обо-

лочек, подверженных действию только одного внуРк 2 15 тРеннего или внешнего давлениЯ, пРоводитсЯ с помощью уравнения Лапласа

2 б б .р У'~' Ре Эйяоьб ж ~~ - напрмхения в меридиональном и окружном сечениях соотвшшствешио; у и ус~ — радиусы кривизны меридианального и окрулыогв шешений соответственно; 8 -нюлщина оболочки.

лйшаээээшэе Лапласа дополняется уравнением равновесия части ободочки айвшеввэй окрулныи сечением.

В шаетшшхствии с безмоментной теорией, напряжением, действуюйййэ мщшашамв к срединной поверхности оболочки, пренебрегаем.

Ишййэкшээая в сфершческюй оболочке определяэтся выражением х-. е .в.-~-'~

гп

,' „'с:,,4ЬЮе шййиюшв1пи баэиомеятноя теории неприменим к оболоч=„" «..;,:ф —;;. ь ""

каы, подверженньм одновременному дейс э

эию внУтРеннего и нару ного давлений. Поэтому необходимо „

раэаэать расчвтную эад'иной сферической Оболочки, апир сь на при .ип

на принцип независимости действия сил (рис.2.16). При этан формируют °

рмируются две новые расчетные схемы, в первой иэ которых рассматривается со

в ется сосуд, подверженный действию только внутреннего давления, равного разности ( >~-р), а во второй — сосуд, находящийся под дгйстэием снутрапнего и наружного давлений, равных рг . Наложение этих двух эалдч дает заданную расчетную схему.

Рис.2.16

Э первом случае к сосуду применимо уравнение Лапласа, в соответствии с которым

пз

По втором случае напряженное состояние всех точек оболочки

представляет собой трехосное равномерное сжатие, при котором все

компоненты напряженного состояния равны (-р ). Элементарно кубы

с изображением напрякенного состояния в верхней точке сосуда показаны под соответствующими расчетньми схемами. Эта та

а тачка выбрана для иллюстрации напряженного состояния только ввиду простоты иэображения. Для всех рассматриваемых случаев нагруяения уда

ения сосуда напряженное состояние является однородныю.

0уммируя напряжения, действующие в соответс ующ

соответств их площадках,

состояние для точек эаляиной получаем результирующее напрякенное состоян для оболочки.

Главные напряжения равны

ю - 6 Ж2~2~-р~ о ° уо

г ~~ г

Распознанный текст из изображения:

6 о -//Л/'///а,

б =0;

б = //ЗХ/У//а;

й

~„о ГМГ ж оо/ чг «>.««т,о

«

ной оси у, равно нулю (б, =б«У = 0). Два других главных напряжения определяются по фо)хзуле

тЛ

«ь«о.. /2 ' > ~~„>о., >= От»о

г

Окончательно п<щтчаем

Рис.2.21

Определяем эквивалентное напряжение по теории Мора, так как иатериал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию: б «б «) б «б/- б' б «/Вб--Ф (- Рб)о о 3 l / т)-/ бтс З ' б00 Определяем главные напряжения в точке П >б обх«0' lл Ф , б~- б~,г г -~~,0,-б0-Р г г

««й ( - — ) ///0Р) =-

РХг/ь«Х>' б «УОИПа, б =0; бу о-/30м/7о«.

Эквивалентное напряжение в этой точке

/ «)тб = ЛО ~~С'С ~ /ЗО)= ~Зг///аа .

Определяем главные напрякения в точке Ш

б «б об;

гл

. « '.«н,».. «> -о>-оО, ~-о~ о>от)~О,.>'=- о

б/ кб/Х '/Ла; б =д; б' «-/~рб М/7а.

Эййишвявмтиое ивпрякение в атой точке 5Ф б.,) б х/б- ~ф-/Ууб) //.~м/7а.

Определяем главные напряжения в точке 1У

6 =б =0'

гл К

х4( — Л вЂ” ~~)г гго ~~ 0,)/.0

тл

( г ) //ог)го

огреб - /0~ ' б =/УОб >«///~~ ° б л .

Эквивалентное напряжение в точке 1У

б,„б — б -утбз -/уО,Х- — (-/уХ) -/бг м/уа

Заметим> что в точках П,1У,У>У1 упрощенное плоское напр женное состояние, при котором эквивалентное напрюкение может быть определено по формуле

/-От /«)т / г

б -= — б+

яно г г

'т'б ЛФг

Анализ этой формулы показывает, что эквивалентное напряжение в точках У и У1 меньше, чем в точке 1У.

Следовательно, опасной является точка 1У и коз>)фициент запаса трубки по отношению к пределу текучести равен

М0

т б >У /бЯ

знб

Проиллюстрируем круговой диаграммой напряжений Мора, предст" членной на рис.2.22, напряженное состояние в опасной точке.

Рис.2.22

««««б. > «« ~>

под давлением р и подвергается действию крутящ Растягивающей силы,>0 (рис.2.23). Произвести поверо>ввй расчет щилиндрической стенки сосуда на некоторо удал ° дано:,О =15 МПа,,Р Л12>б кК,/'/ н1000 Н.м, З а40 мм> о2 мы ° гр ь~тс =ИХ) МПа.

я вноРешение. Все сечения и с

расчетной части сосуда являются ра

Распознанный текст из изображения:

Учитывая, что 6/.

/и пряжвния в виде

= /,Рб/ М/7с~

= у~оА~~ дою:

Рис.2.23

и !

опасными, а напряженное состояние во всех точках сечения одинаково, так как заданная система осесимметрична. На рис.2.24 изображено сечение А-А и напряженное состояние в опасной точке 1. Компоненты напряженного состояния определим, базируясь на принципе независимости действия сил. От внутреннего давления возникают мерияиональное ~з и окружное б~ нвпрякения, которые определяются по формулам

//// / О

Крутящий момент вызывает касательные напряжения с , которые разны

2М

К/ Х Ю-"д

Рис.2.24

, ~®~~®'паакЮя сила создает нормальное напряжение б', действую ° ~~~ ~ еремею «апраепении

3

/ май Ю

'Ш тФг7/м 'ко ~~п

9 площадке, перпендикулярной оси г напряжения б

складываются:

<~л = б',„+б' = /Г/Хб /гХ МПа,

Радиальным давлением на внутреннюю поверхность .„„„

ской оболочки пренобрегаем, т.е. б~ О,

Главные напряжения определяются по соотношению

а .Йк'.лхг (Ь 6л!,~~ ~ы ~~о,/м.и~ 2

= /.Уут/ур.

~ бу О, окончательно записываем главные на-

о/ = 33™//о.; 5 = 0; '~ = - б/МПа,

дквиввлентное напряжение определяем по энергетической теории

/Т Коэффициент запаса по пределу текучести равен л = — ~"— — /о.

б зоб

г загс Зят

Круговая диаграмма напряжений Мора для данного напряженного состояния в точке 1 изображена на рис.2.25.

Рис.2.25

змм 2.7,' Ра ~зтэя

поддерживается атмосферное даалениее расположен камеер ре'

еми р, действующими

пенной газом под даклением р > и нагружен силами

а вертикальной меридиональной плоскоотие каи показано

П роиевести поверочный расчет цпкимйрм

котором удалении от днмй, если лмпю:/о

8а1 мм,б м$, ЭОО МЬ.

' г/о

2т

Распознанный текст из изображения:

Рис.2.26

Решение. Все сечения цилиндра на некотором удалении от днищ равноопасяю. Рассмотрим любое из них, например, сечение А-Л (рис.2.27). Силу м необходимо привести к центру тяжести сечения, в результате этого получим силу Р , приложенную центрально, и изгибающий момент /'1 0,4 оЗ. В качестве расчетных точек сечения наметим точки 1 и П, расположенные на оси У . В этих точках напряжения от изгиба достигают наибольших значений, а напряжения от других силовых факторов во всех точках сечения одинаковы. Компоненты напряженного состояния определим на основе принципа неэависаюсти действия сит. Напряженное состояние в расчетных точках изображено на рис.2.27. От внешнего давления вознлкают меридиональное 6 и окружное 6г напряжения, которые определяются по

х2) (Ю .,оЛ У20 6 * -~- = — '-~ — --2~МЛа; 6 * . — =.КОЛПа. От силы У), приложенной в центре тяжести сечения, появляется сиеазцее напряжение 6. , одинаковое во всех точках сечения,

+ ~ г0'~

~, - „,~~ = ~~.,~. °:а ~~п

От момента М в расчетных точках возникают нормальные напряженая кэгкба 6, которые равны

и а'0е тю /б'Р

6* — = .-'- = — „- -~- =Гб'6 =Мял. Все акщадки в расчетных точках главные. Пюрадааязы главам напряжения Е „6 -ЮМ0а; 6„=0,' Ф„6г 6 ае-6--25-Уа- нг 207 мпа - '.:(:-")Эййтаиээяйыв

Эльд; 6у Юййа; бл ь-ЛУИПа .

%акай)зйв Ю Ыатаабвп Иататойдан циянидр, НеОДинакОво СОПРО-

тивляется растяжению и сжатию, поэтому окривел

в ентное напряжение определяем по теории прочности М~ра: 6-

зкд ~г "т6у =0 (( ~юу) — ~0~мпа Расчет точки П Определяем главные напряжения 6 =Ох=-Х0 гУ/7а,' 6 бу =0; бгл = 6г = ~гп бай+ 6= - Ы- 70 ~((2 = /7 lчl7а . Окончательно

6~Д ~/1 Определяем эквивалентное йапряжение

6 л = 6~- ) 6' = /У-У (-Х0) =б~ МПа.

Опасйой являетсй точка 1. Коэффициент запаса по пределу прочности т б гбг

У~~Ю

Круговая диаграмма напряжений Мора для опасной точки изображена на рис.2.Ж.

Рис.2.27 л

шр а 8. ср днюл ~юг внутри камеры, в которой подаераквается да ' ' и скввмкР плунжер нагружен внецентренно приложен~аз~и раст (рис.2.29). Проиввестм поверочный расчет плу вера й таво

на некотором ула

Распознанный текст из изображения:

напря|кениями в цру|

Р- Ф

б-Б

кб

Рис. 2. ВВ

ве.

К

г

г ° еа

Вайвй

Ф)~явят

"ф .„* ' щ

~,„ч Ддно; Н =24 мм,||| =20 мм, Р 200 )(Па, Л. 1,0 мм,

Р =30 кН, б .. 6' =500 М!а.

° 'у' гС

Рис.2.29

Реве"и2 "а плунжере необходимо выделить три участка участок вне камер|, участок внутри камеры с диаметром с1 и проточку с диаметром а~. На каждом из этих участков намечаем расчетное сечение, соответственно А-А, Б-Б, В-В.

В сечении А-А (рис.2.30) напряжения возникают только эа счет и|ецентр~нного растяжения. Расчетной точкой в этом сечении является точка 1 - верхняя точка вертикального диаметра, расположенмвя в зоне растяжения. Напр|стенное состояние в точке 1 показано на рис 2.30. Напрякение б определяется по формуле

Р Р |з ФР 32Ра бу ~ ю -р-- — -3 + — — -у с

фд.,Уф А Ы

а зс га яг м ю' ~ ю з . IЮ| !Об а'~~ .~д

у у твчже од|и|основ растяжение |у |- 6' =ура/Ф~7а, 0„=б~ =

с ЯЯЯЯЯ'е напряжение б ив|а|о сравнивать с эквивалент

к

Рис.2.30

В сечении Б-Б напряженное состояние возникает за счет вн

центренного растяжения и давления в камере. Давление вызывает

двухосное равномерное сжатие с компонентвии (-Р ) в любых двух

взаимно перпендикулярных площадках, параллельных оси плункера.

Нормальное напряжение в осевом направлении за счет давления не

возникает, так как на торцы плунжерв не деяствует избыточное Лввление. Расчетной точкой в сечении Б-Б является точка П вЂ” верхняя

точка вертикального диаметра. Напряженное состояние в этоя точке

показано на рис.2. 30. Главные нвлряжения в точке П: 6 -"=Ю| м|ль

р я I

л-'3- '

Эквивалентное напряжение для материала плункерв можно вычислять по энергетической теории и по теории наибольюих касателыв|х напряжения. Выберем послоднюю с целью упрощения расчетов:

- Б -" 6 '-' д.УФ,об = 2л;Р |тта .

.вл-б у з

Напряженное состояние в сечении В-В опреяеляется внецентрен"ым растяжением и давлением в камере. Однако, в отличие

отличие от сечения Б-Б, здесь от давления возникает осевое растягивв|ив

ее напряжение (см.рмс.2.30). Вто напряжение равно отноюению ра д

ию внодеЯстяующей сия давления на ус~ пы плунжерв к пло|явди поперечного се-

31

Распознанный текст из изображения:

ч пия п~ почки

,з,.',~,~ ~,)

' =р ~ — -й — ~) .ю4(--- ) - у1= ~8 ~«п.

„.'ь,, ' ф ' 20

Ф'/

т

Н кччгк тво ра чотной точки в сечении Э-В выбором точку Ш. На-

нряжонн е состоянис и этой. толке показано на рис. 2.30. Напряжения

от сниц-нт« ного растяжения в этой точке вычисляегся по формула

~~а ~г Р 3.~ Рд

~г ~".х

4 у 1

— + ~ . — 7- —.у — = язв м/Ра

I, ур гб 3220 1б9г го 3

М; г ~' ю~6,~~ ~ж77 ы~ ~

Нипряж л~ие ' в площадке р получается суммированием

/~

.-. уу > /9~г = РРР ~"г/7а,

рлн ныэ напряжония в этой точке

бг: ~,'~ Нигг, б =б. =- РОО 'ма,

оквинал«нтное напряжение в точке Ш равно

г ~ - Ло (-ЫО) = Ф~~Р Г~~1а .

„„=Ъ 'з

Опасной для илунжвра является точка Ш. Коэффициент запаса по пре-

долу токучости для плунжера равен

6, коо

~г =

т 6 '-'-' 4' Г

зг8