Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Управление техническими системами (УТС)Теория дискретных САУ - Иванов, ЮщенкоТеория дискретных САУ - Иванов, Ющенко 2013-09-22СтудИзба

Книга: Теория дискретных САУ - Иванов, Ющенко

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики книги

Учебное заведение
Семестр
Просмотров
1189
Скачиваний
253
Размер
94,85 Mb

Список файлов

page002

Распознанный текст из изображения:

ОГЛАВЛЕНИЕ

1502ОООООΠ— 080

(53(02)-83

Издательство «Науказ

©

Г~авная р~д~кции физико-математической литературы, 1983

Теория дискретных систем автоматического управлении,: .. Я в апов В, А.„Ющенко А. С.— М.: Наука. Главная редакция фйзнкоматематической литературы, (983.- 336 с,

Книга принадлежиг,к циклу учебных пособий по курсу теории автоматического управления, выходящих под редакцией Е. П. Попова. Подробно изложены частотные методы исследования линейных импульсных автоматических .систем при детерминированных и случайных входных .воздействиях, а также такие методы исследования нелинейных дискретных систем, как метод гармонической линеаризацнн, метод фазовой плоскости. Проведены исследования, устойчивости с помощью прямого метода Ляпунова. Приводятся теоремы Ляпунова об устойчивости решений разностных уравцений.

Табл. 2, илл. 196, библ. 16 наев..

Цреднсловие

Ввдевне

3 ВЛ. Классификация дискретных систем автоматического регулирования и управления

3 В.2, Примеры .дискретных автоматических сибтем

9 14

Глава 1

)(аатематическое описание линейных импульсных систем 19

9. 1Л. Уравнения импульсных систем во временной области ' 'э ° ° ° э + ° Описание импульсного злемеита ((9). Описание разомкнутой импульсной системм (26). Импульсная характеристика приведенной непрерывйой части (22). Уравнение разомкнутой импульсной системы оыгосительно решетчатых функций (24). Переходнаа функция импульсной системы (23). Уравнение замкнутой импульсной системы (28).

3 1.2. Уравнекип импульсных систем в изобра)пениях

Передаточная функция импульсной системы (36). Передаточная функция замкнутой импульсной системы (36). Свойства передаточных функций импульсных систем (38).

3 1.3. Определение процессов в импульсных системах.

с помощью дискретного преобразования Лапласа Определение переходной функции импульсной системы (41). Определение реакции импульсной системы на гармоническое воздействие (48».. Определение процессов в импульсной системе с помощью разложения изображения в ряд Лорана '(Ьб).

8 1.4. Частотные характеристики импульсных систем

Свойства частотных характеристик: импульсных систем (Ь4). Построение частотных характеристик (ЬЬ).

м-преобразование (63), Логарифмические частотные характеристики импульсных систем (69).

$ 1.5. Импульсные системы с несколькими импульсными элементами

Послсдовательное соединение несинфазпьпг систем (76). Параллельное соединение несинфазиых систем 86~. Замкнутая несинфазнап импульсная система 31). Асинхронные импульсные системы (82). Многомерные импульсные системы (33).

$1.6, Разностные уравнения -импульсных систем

page004

Распознанный текст из изображения:

ОГЛАВЛЕНИЕ

212 212

223

233 233

156

Глава 4

273

273

Глава 2

Анализ линейных импульсных систем

9 2.1. Понятие устойчивости. Основные теоремы об устойчивости линейных импульсных систем 2 2.2. Критерии устойчивости линейных импульсных

систем

Критерий Гурвицз (103). Критерий Нзйквкста для логарифмических частотных характеристик (104). Алгебраический критерий Шура — Кона (106). Аналог критерия Михайлова для импульсных систем (107). Критерий Нзйквкста для годогрзфов амплитудно-Фазовых частотных характеристик импульсных систем (110).

9 2.3. Анализ точности импульсных систем .

Анализ точности при полкномкзльиых воздействиях (115). Метод коэффициентов ошибок (118). Анализ точности импульсных систем при гармонических воздействиях (120). Исследование точности при случайных воздействиях (122).

Глава 3

Синтез импульсных систем автоматического регулирования методом логарифмических частотных характеристик

$3Л. Требования, предъявляемые к импульсным системам. Желаемые логарифмические частотные характеристики °

Обеспечение заданных запасов устойчивости системы (129). Обеспечение заданной точности в установившемся процессе при отработке типового вОздзйствия. (129).

Обеспечение заданного качества переходного процесса (132). Обеспечение удовлетворительной работы системы при наличии случайных шумов (136). Построение желаемых частотных характеристик (137).

9 3.2. Коррекция импульсных систем

Непрерывная коррекция (140). Импульсная коррекция (145),

$ 3.3. Специальные виды цифровых корректирующих

устройств .

Дифференцирующие цифровые Фильтры (156), Интегрирующие цифровые Фильтры (160). Реализация непрерывного корректирующего устройства с помощью циФрового фильтра (162). Цифровые фильтры для обеспечения заданных процессов в системе (166).

Метод пространства состояний и теории

линейных дискретных систем

9 4Л. Структурное представление дискретных автоматических систем .

9 4.2. Уравнения состояния линейных дискретных систем

Переменные состояния (175). Определение уравнений состояния по пйредаточкой функции. Случай кростых корней (176). Определение уравнений состояния по передаточной функции. Случай кратных корней (182).

Определение уравнений состояния но матричной передаточной Функций (185).

ОГйАВЛЕНИЕ

$ 4,3. Переходная матрица состояния линейной дискретной системы

Переходная матрица состояния. Ее свойства (191). Определение переходной матрицы состояния стационарной системы (193). Сопряженная система (205). Общее решение уравнений состояния (207).

1'3(ава 5 Математическое описание нелинейных' микульеиых систем $ 5Л. Способы нелинейнок импульсной модуляции . 2-5.2. Уравнения нелинейных импульсных систем самплитудно-импульспой модуляцией . Нелинейный элемент перед импульсным элементом (217). Нелинейный элемент после импульсного элемента (219). Нелинейный элемент в непрерывной части системы (221). 9 5.3. Уравнения импульсных систем с широтно-импульспой и временнбй импульсной модуляцией Системы с широтно-импульсной модуляцией (223). Системы с фаза-импульсной модуляцией (227). Системы с частотно-кк(дульокой модуляцией ( 230). Общий вяд уравнения нелинейной импульсной системы (231). Глава 6

Исследование аитоколебаний

н нелинейных импульсных системах

$ 6Л, Определение автоколебаний во временибй области

Уравнение периодических процессов (233). Определение симметричных периодических . процессов (238).

Вынужденные колебания (241). Применение численных

методов для определения церкодкче свих процессов

(242).

9 6.2. Определение автоколебаний с помощью рядов

Фурье

Метод гармонической ликезркзацкк для импульсных

систем (248). Вычисление коэффициента гармонической лкяеаркзацкк (251). Анализ устойчивости авто-

колебаний (255).

9 6.3. Применение метода гармопической линеаризации

для анализа цифровых систем ,Глава 7

Исследование устойчивости нелинейных дискретных автоматических систем

$ 7Л. Устойчивость решений нелинейных разностных

уравнений .

Основные понятия к определения (273). Теоремы Ляпунова об устойчивости н неустойчивости (275). Исследование устойчивости по уравнениям линейного приближения (278).

$ 7.2. Исследование устойчивости дискретных систем прямым методом Ляпунова Критерий Кацмана — Бертрама (283)'. Крктеркй Пури — Дрейка (286).

page006

Распознанный текст из изображения:

Огллвлвнии

$ 7.3. Геометрический критерий абсолк)твой устойчивости дискретных систем . . . . . . '. . 29$ Абсолютная устойчивость снствм с устойчивой лнксйиой частью (29$). Абсслюткан устойчивость систем с нейтральной или неустойчивой линейкой частьЮ (297).

ПРЕДИСЛОВИЕ

332 333

Литература

Предметный указатель

Глава 8

Нсследокание нелинейных дискретных систем методом фазоиой плоскости

$ 8.1. Основные понятии п определения .

8.2. Состояния равновесия ~~~~йн~~ систем разпостных уравнений второго порядка

$ 8.3. Графические способы построения фазовых траекторий нелинейных систем второго порядка

ервый метод. построении фазовых траекторий (321).

торой метод построении фазовых траекторий (222).

" '.,':" '"'::-;::,':",:::,:-::;,Настоящее учебное пособие основано на курсе лекций

йо':.теории импульсных автоматических систем, читаемых ,л"'. -',авторами в течение многих лет в МВТУ им. Н. 3. Бау'мана. Оно издается в серии книг по теории автоматического регулирования и управления под общей редакцией члена-корреспондента'АН СССР Е. П. Попова.

К настоящему времени уже вышли в свет чТеория линейных систем автоматического регулирования и управления» и еТеория нелинейных систем автоматическо. го регулирования и управления», написанные Е, П. Поповым, а таки(е еТеория оптимальных систем автоматцческого управлении» В. А: Иванова и Н. В. Фалдина и еСтатистическая теория систем автоматического регулирования и управления» Ю. М. Астапова и В. С. Медведева.

Дискретные системы составляют особый класс систем автоматического регулирования и управления и, как таковые, могут быть линейными и нелинейньпии, оптимальюами и самонастраивающимися, работать при случайных -.. воздействиях. В связи с этим в кан(дой из перечисленных книг излагаются особенности анализа и расчета дискретных систем. Однако этот материл изложен весьма кратко, он далеко не исчерпывает основные методЫ, 'на' копленные к настоящему времени в арсенале инженера- . проектировщика дискретных систем. Вместе с тем инте-

рес.к дискретным системам значительно возрос в послед'"-'йее время в связи с широким использованием цифревых выЧислительных машин для управления автоматическими устройствамй. Поэтому возникла потребность в издании книги, специально посвжценной методам анализа и расчета дискретных систем различного типа — линейных и ' нелинейных„импульсных и цифровых.

Первые четыре главы книги посвжцены последовательному изложению теории линейных дискретных систем. Задача, которую ставили здесь перед собой авторы„ состояла не только в том, чтобы изложить аппарат для

page008

Распознанный текст из изображения:

ПРедисловив

анализа рассматриваемого класса систем, но и подготовить читателя к их проектированию. В настоящее время в теории автоматического управления широкое распространение получает метод пространства состояний, поэтому в гл. 4 излагаются основные понятия этого метода применительно к линейным дискретным системам.

Вторая часть- книги — гл. 5 — 8 — содержат основы теории нелинейных дискретных систем автоматического "регулирования и управления. Отметим, что этот раздел теории дискретных систем находится в стадии становления. Поэтому здесь наряду с традиционными методами и результатами излагаются и новые методы, которые .не нашли отражения в учебной литературе. В- частности, это касается материала гл. 7 и 8, посвященных анализу устойчивости нелинейных дискретных систем, а также построению фазовых портретов дискретных систем второго порядка.

В книге используются основные понятия и методы теории линейных и нелинейных автоматических систем, которые предполагаются знакомыми читателю но первым выпускам серии, упоминавшимся выше ~1, 7, И, 121, либо по иным учебникам и учебным пособиям по теории систем автоматического регулирования и управления ~3, 6, $41. Кроме .того, в книге отсутствует изложение математических основ теории дискретных систем, в том числе теории разностных уравнений и дискретного нреобразования Лапласа. Эти вопросы читатель может найти в специальной монографии 161.

ВВЕДЕНИЕ $ ВЛ. Классификация дискретных систем автоматического регулирования и управления - Всякая система автоматического регулирования и уп. равления представляет собой совокупность элементов, предназначенных для преоб азования свгнэлов поступающих на ее вход, такй о разом,'"'чтобы обеспечжь "вй= полкение цели управления. В связи с этим характер сигналов, преобразуемых в системах, может быть положен в основу их классификации. Так, если на вход всех элементов системы поступают сигналы, которые могут быть описаны непрерывными функциями времени, система называется непрерывной. Теория непрерывных систем автоматического регулирования и управления рассмотрена в книгах Е. П. Попова 1Ц, $21. Использование только непрерывных сигналов в системах регулирования и управления иногда оказывается нецелесообразным или даже технически невозможным. В этом случае применяются дискретные сигналы. Систему, содержащую по крайней ме.. ре один элемент, выходным сигналом которого является дискретный сигнал, будем называть дискретной системой.

искретный сизнаь — зто такой сигнал который опфеде последовательностью...дна4ений ао, а„ а~, ... ..., а„..., вообще говоря бесконечной. Например",-диск-' ретный сигнал уИ), показанный на рис. ВЛ, 6,— это последовательность импульсов, пропорциональных по амплитуде значениям а„, образующим решетчатую функцию ЯпТ1. Решетчатую функцию ~1пТ1 в большинстве случаев удобно представить как результат измерения в равноотстоящие моменты времени 8 = пТ, и = О, 1, ..., соот. ветствующей непрерывной функции ~(~) (рис. ВЛ, а).

Коли ~(~) обозначает непрерывный сигнал, то выделение ;,,дискретных значений ~1пТ) называется также квантованаем сигнала ~® по времени.

Техническая проце получ после овательности, импульс несу инфор ию о дискретных значенй-. показанный на рис. ВЛ, б, называется амплитудно-им-

page010

Распознанный текст из изображения:

ВВЕДЕНИЕ пульсной модуляцией. Другой случай, показанный на рис. В.1, в„соответствует широтно-импульсной моду,ащии, при которой амплитуда импульсов постоянна, а их пжрина т Т пропорциональна в некоторых пределах значениям фпТ).

На рис. В 1, г показана фаго-импульсная модуляция сигнала, которая осуществляется за счет смещения имт т пульсов в пределах периода квангования Т, Величина смещения р„Т пропорциональна значениям ~1 пТ).

Во всех рассмотренных случаях импульсный сигнал несет в себе информацию о последовательности значений а„=~ЬТ), в=0,1,2,....

Предположим теперьр что значения а„могут принимать только одно из конечного чис-

Ф ла значений а„, например еа = Ыь, В= сопз1, й =1, 2, ..., Ю. Замена значений а„ дискре 'мыми «по уровню» значениям

а„ происходит„ в частност — ------ -. Нри аналого-цифровом преобр

гоеенш, спгнеяе. Если числа ф представляются в системе счисления с основанием и цифровыми символами т» и числом разрядов и, то а„=,~~ т»,г, (В.1)

Й=-О

ф Рис.' ВЛ. Процесс получения после-

довательности ~а,„1 из после-

ь~ ' ~уау . ««агд сигнала по уровню. Заметим, что можно говорить" и о квантовании" по'-уровню непрерывного сигнала, если он заменяется сигналом, принимающим одно из дискретных значений ~а4. Например, если црарбразовать непрерывный сигнал-фМ-а:-с...помощью многоступейчатого' ""' релейного устройсгва, имеющего статичавкуЮ Характеристику„показанную на рис. В.2, то получится «дискрет-

иФикАция дискРетных систем и сигнал, показанный на рис. В.З,а, ко-

~.Щ= Уь, если р« — — й<1(«) < й+ — Ь

( 11 /

а' решетчатая функция у1пТ)„ олученный в результате кван- ровню. Выполнение этих двух о- о- г- по

На рис. В.З,б показан

',.;-' -"-:, -.' характеризующая сигнал, п

тования по времени и по у

- "„;: ' 'ироцедур можно считать п

.спедовательным, причем и

: .',;;.';:-;„::-..',, рядок их выполнения не и

'.";::::::~'.:-::,"'ртает роли. Квантование

реализаций такого преобразования показана на рис. В,4.

Это преобразователь «вал—

число», использующий прозрачную маску, часть поверхРис. В.2.

йости которой затемнена (на

рис. В.4 показана часть маски, соответствующая первым четырем разрядам двоичной системы). В дискретные мо,менты времени датчики Х>~ (рис. В.4) получают световой импульс (1) или не получают его (О). Дискретные зна' ' чения сигнала а; определяются по формуле (В1), в которой г=2, и=3, ~,— числа, равные О или 1.

Цтак сигналы могут быть дискретными по уровню,

по времеййв, а также по уровню и по времени одновременно. Принимая во внимание способы получения дискретных сигналов, можно ввести следующую классификацию дискретных систем:

— импульсная система — это система, в которои используются сигналы, дискретные по времеви;

— релейная система — если используются сигналы,

дискретные по уровню;

— ''цифровая система — если используются сигналы,

дискретные как по времени, так и по уровню.

Обратим внимание на условный характер этой клас":сификации. Так, если имеется непрерывная система, входом которой является последовательность импульсов, то

фф',": .,-",т'',1ер Е Р;.:" р р.'," " ~~~д~Г!.4р~. ~$6а: /'4ау«,,-'(~..и~~«"'~.лу

page016

Распознанный текст из изображения:

вввдения

примяты дисквитных систнм

16

угле поворота ~, будет принят при ~=пТ+ т„О~т,<. <= Т, где т, — «задержка»„пропорциональная азимуту цели в системе координат, связанной с корпусом аппарата.' Последовательность таких импульсов, как и в предыдущем случае, может рассматриваться как фазо-импульсная модуляция азимута цели, поскольку значения т„

Рис. ВЛЗ.

Рис. ВЛ2.

Рис. ВЛ4.

Рис. БЛ5,

~ и. А. иваиев, А. с. ющевзо

пропорциональны значениям этого угла в дискретные моменты времени фнТ). Физический смысл периода повторения Т здесь, однако, совершенно иной.

Структурная схема системы автоматического сопровождения цели но азимуту показана на рис. ВЛ2, б. Поскольку радиолокатор измеряет азимут в подвижной системе координат„ связанной с корпусом аппарата, в земной .(инерциальной) системе координат этот угол будет соответствовать ошибке по азимуту аппарата и цели.. В импульсном элементе, как и в предыдущем случае, производится выделение дискретных значений сигнала <р® —.~ф(1) (с запаздыванием) и их экстраполяция. Остальные элементы схемы имеют такой же смысл, как и для схемы. иа рис. В.И. Таким. образом, получается замкнутая импульсная система автоматического регулирования.

Рассмотрим теперь системт уп)давления подводным роботом (рис. ВЛЗ, а). Сйгналы управленйя"роботом=вы рабатываются с помощью цифровой вычислительной машины (ЦВМ), находящейся на корабле-носителе и передаются по кабелю связи на приводы манипуляторов робота и движители, обеспечивающие перемещение аппарата (рис. В.13, б). Значения сигналов управления, вычисленные ЦВМ в дискретные моменты времени, пере-даются в цифровой форме в виде кодовых групп (рис. ВЛ4). В начале и в конце кодовой группы имеются маркерные импульсы. Кодовые импульсы передаются,

page018

Распознанный текст из изображения:

ввйдиние начиная с младшего разряда, причем последний разряд указывает знак числа.

Одна из проблем, связанных с разработкой подобных систем, состоит в использовании одного кабеля для передачи всех сигналов„вырабатываемых ЦВМ. Эту задачу можно решить, .если кодовые группы, соответствующие разным сигналам, передавать с одним и тем же периодом Т, но сместить моментй передачи на величину з~Т, ~ = =1, ..., й. Расшифровав эти кодовые группы в том же порядке, можно восстановить исходные управляющие сигналы а~ЯпТ) в дискретные моменты времени (рис. В.15).

После экстраполяции ~~ щ~ ~~ сигналов жДпТ) полу-

ченные непрерывные г- 44у ! ются для управления

роботом. й у» ~ Систему управления ! роботом можно представить в виде струкул и/~ ' турной схемы, показан-

ной на рис. В16. ИмРис. В,16. пульсные элементы осу-

ществляют квантование сигналов по времени и их экстраполяцию, причем моменты квантования сигналов в ю-м импульсном элементе смещены на величину з~Т, как показано на рис. В.15. Текущее положение робота и его манипуляторов в пространстве измеряется датчиками положения, сигналы с которых поступают через линию связи на ЦВМ, формирующую сигналы управления. Эта линия связи включает также преобразование сигналов из непрерывной формы в цифровую — квантование сигнала по уровню (обозначение Н/Ц на рис. В.16). Отметим, что линия связи вносит запаздывание передаваемого сигнала, если ее протяженность достаточно велика. Схема, показанная на рнс. В.16, представляет собой замкнутую многосвязную цифровую систему управления.

э: 1Л. Уравнении импульсных систем

ве временнбй области

сную систему всегда можно представить как

ть непрерывных и импульсных элементов. Не-

элементы обычно описываются дифференуравнениями. Рассмотрим более подробно

мпульсного элемента, осуществляющего ампли-

ульсную,модуляцию сигнала.

ие импульсного элемента. Обозначим через й~)

описывающую один импульс шириной (Т,

амплитудно-импульсной модуляции сигнала

туда а, последовательности импульсов 8(1),

Я(1 в 2Т)„ ... (рис. 1.1) изменяется в зависи-

еличины модулируемого сигнала в дискретные

ремени: ~(0),

Т), ... (рис. гу г~д-р г(т-л~

Параметр Т

я периодом

я (квантоваличина ае =

астотой"'ан Ю Тт Т гт Л 4т Ф

Зависимость

ы импульсов Рис. $Л.

ала ~ называляционной характеристикой импульсного зле-

а зависимость может быть нелинейной, однако

ичимся здесь рассмотрением линейной зависи-

е. положим, что амплитуда импульсов пропорзначениям модулируемого сигнала: а,

где й, — коэффициент пропорциональности.

ьного импульсного элемента такую пропорцио-

можно обеспечить только в определенных пре-

литуды модулируемого сигнала (О, !~ 1), по-

уляционная характеристика может иметь вид,

й на рис. 1.2.

Импуль

купнос фальными саине и но-имп Описан кцию, 1. При

ампли — Т), тиотв ;:~ф~;::;";;:-:.::;:::-':моменты в "- .'~'"~!.:;::,;::'::.'~(Т), ~(2 :,.'~~~,'.",:.''-.':.-':-,'.:",":'.,".:,'ЭМторени "~-"..'-;:::;;:::.;::::;::.::='.;:;.':.::::;:: МФ охран '::-".;: ':,":::"'-' '' мости1

Й.~ЬТ1,

:.;;;:;...;. - й6казанны

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

page022

Распознанный текст из изображения:

О, если $<О,

Т),

ент

ЭЛВ-

ерь

идента ь и едоть)о

у (1) =,'~~ ЯПТ) 6(1 — ПТ),

Я=о

($.9)

Рис. $.5.

22 опислнин линвиных импульсных систнм ~гл. 1

обозначим

~)с,  — 1)) Я(ц) й), если 0(1( уТ,

(1.6)

) ее Я вЂ” и) Я ~~) Й~, если 1 ~е уТ.

о

В более сжатом виде можно записать ЙЦ) как свертку функций Й,(ф) и 8(ф):

Используя обозначение И.7), можно записать уравнение разомкнутой импульсной системы (1Л в окончательном виде:

.т (8) = '~'„С;д (Ю) + ~', ~ (ПТ) Й (К вЂ” пТ). ($.8)

1=1 ' ' ее=О

Импульсная характеристика приведенной непрерывной части. Функции ЙИ) можно придать определенный физический смысл, если ввести понятие об идеальном импульсном элементе. Идеальный импульсный элемент описывается уравнением

где б(т) — дельта-функция Дирака.

Уравнение (1.9) имеет тот же вид, что и уравнение импульсного элемента (1.1), хотя, очевидно, не может быть точно воспроизведено никаким реальным устройством. В результате преобразования (1.9) получается последовательность о-импульсов, Вплощадьэ которых равна значениям преобразуемого сигнала ~(1) в дискретные моменты времени 8=ПТ, п= О, 1, .... Реальный импульсный элемент, описываемый уравнением (1Л), можно представить в виде последовательного соединения идеального импульсного элемента и непрерывного устройства с ' весовой функцией 8(1) (рис. 1.4). Для такого

$~.'-':-„:.;,-":.:.~::;;::;фсстученн

льсн

1.-'~~'-:.~фщщлиру

:" "~;.", ';. ~~~цельс

.'::-;,„':.';;, "...; ~м)тпжен

ая выше функция Н1) имеет смысл весовой

или импульсной хар0ктщистики приееденнай ной части разомкнутой импульсной системы, бразом, независимо'от формы импульсов любая ая система с амплитудно-импульсной модуляцирассматриваться как система с идеальным имым элементом (рис. $.5, 6).

случае, когда продолжительность импульса Я1) ющей последовательности мала по сравнению с.

повторения Т, импульсная характеристика принепрерывной части Ж). приближенно- равна ной характеристике непрерывной части Й,®, ной на постоянный коэффициент. Действитель-

page028

Распознанный текст из изображения:

28 ОПИаАНИЕ ЛИНЕйНЬтХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТПеМ ИГЛ. $

Таким образом, импульсная характеристика приведеииой непрерывкой части Ьг(1) описывается двумя различными функциями А.~г(Ц, Ьег Я, определеииымп ка различных интервалах изменения аргумента г (рис. 1.9). Реакцию импульсиой системы иа единичиое ступенчатое воздействие иайдем по формуле (1Л7), причем при Ое:=еС "( Ь . [и, е1 = ~~~ Ь|,т [т, е1,

т=о а при т е е '.. 1 процесс в импульсной системе описывается выражением Ьт [и, е1 = ~Ч~~ Ь т[т, е1,

т=е

Выполняя суммирование, получим:

а) при О е- е ~ "( Ь,[п, е1 = =- Ь (1 — Е а~) + Ь Е 1~~+~~ (Е"т — 1)+... +Ь Е "~"+Е~(Е1-в — 1)-

1 — е = й (1 — е "е) + Ь е Р~1+е~ (еат — 1)

1 — е

и (е~~ — 1) в частности Ьт [и, 01 = С (1 — е а"), С = Ь е а

— е

б) при 7(а~~1 ь [п,е)=ь ( ат — 1)[е е +е а(1+1+:,. +е Р +Ц=

-~3(и+1) = Ь (е"т — 1) е

1 — е

е-И в частваств вт[а, 11 = с (1 — е 1("+тс), ет =в —. 1,

з г1 -р ция Ьт(г) = Ьг[п, е1 изображена иа рис. 1ЛО. Заметим, что для графического построения процесса удобнее пользоваться формулой (1Л2):

Ьт(1) = Х Ьт($ — и), т. е. определять Ьг(~) как сумму смещенных на п =О, 1, 2, „, весовых функций приведеипой непрерывной части. Оии показаны штриховыми кривыми иа рис. 1ЛО.

Уравнение замкнутом. импульсной системы. Рассмотрим замкнутую импульсную систему, содержащую импульсный элемент в цепи ошибки е,(Й (рис. 1 11).

:,';~йибка системы

;;.-:: '' Выходной сиги

;":::'.'~~йцФнением (1.15

,тт [и,

в,

:,'»';"..."-';;:::;;;:.::: Подставляя (1

а"':Жние системы от

~;П„®

ет

(1.21)

Рис. 1ЛО.

енты времени 1 = п:

ет [п1 =-1т [п1 — Х ет [и1 ~гт [п — и1

1П=О

(1,22)

стности,,при й,[01 = О из этого уравнения можно ь рекуррептные соотпо|пения, позволяющие поельно вычислить все

я сигнала е,[п1, если е,щ

значение е,[01: ~Ф ' аЩ ,[11 — ег[01 Ь,[11,

Рис. 1.11.

ег[01~г[21 — ет[11 ~от[111

а ° а

тавляя решетча.-ую функцию ег[т1 в правую

авенства (1.21), мои~но найти значение. выходного

системы в любой момент времени г =и+в.

етим что возможность точного вычисления про-

1

с помощью рекуррентных соотношении является

.,„';-.;":,:::::-", 1)",йвдоват

-.,:.':;':;;:;~ачени :-,'~~-',.',,',,':„-'-"Жзвестно

;,'!;;!:,-':::=::~~-:~т[21—

уРАВнения ВО ВРемннной ОвлАстн 20

в дискретные моменты времени равна ег[п1 = 6,[п1 — х,[и1. (1.20) ал системы связан с сигналом ошибки

):

е1= ~~~~ ет [и.1Ьт[и — и, е1.

.21) при е =0 в (1.20), получим уравносительно сигнала ошибки в дискрет-

page030

Распознанный текст из изображения:

особенностью импульсных систем-по сравнению с непре-

рывными и облегчает применение численных методов

для их анализа и расчета.

$ 1.2. Уравнении .импульсных систем в изображениях

Рассмотрим разомкнутую импульсную систему (рис. 1.5), включающую простеиший элемент, формирующий элемент и непрерывную часть. Будем считать, что непрерывная часть описывается дифференциальным уравнением с постоянными параметрами. Составим уравнение системы в изображениях.

Уравнение рассматриваемой системы во време ннбй области при нулевых начальных условиях имеет вид (1.14):.

а'т ~п, е) = ~ ~т(т1 йт(п — вз, е),

Применим Я-преобразование к обеим частям этого уравнения (см. Щ, т. 2, -с. 246). Получим

Х~(д, е) Р~(д)И'~(у, е), (1.23) где обозначено Х*(д, е) =ЯВЬ, еИ, Р"(д) =Я(ЯпИ, И~~(д, е) = ЯИ,(п, еИ. Уравнение (1.23) связывает изображения входного сигнала Яп) и выходного сигнала хт(п, е) разомкнутой импульсной системы.

Передаточная функция импульсной системы. Определим передаточную функцию, импульсной системы как отношение изображения (в смысле Ы-преобразования) выходной величины к изображению входной при нулевых начальных условиях:

$Р"(д, е) = Хг'(д, еУГ*(д). (1.24) Из. уравнения (1.23) следует, что передаточная функция разомкнутой импульсной системы равна Я-преобразованию импульсной характеристики приведенной непрерывной части.

Выясним, как связаны изображения решетчатых функций т,(п, е) и Ц1п, е1 с изображениями по Лапласу соответствующих непрерывных функций а(г), й®. В част 'ности, для ж(~) имеем

л (е) ) е 'х (е) й.

УРАВНЕНИЯ В ИЗОВРАН(ЕНИЯХ

линя здесь замену переменных 1 ФТ, д=гТ, по-

х(е) — ) е ехх(еТ) ТЙ Т) хе(е)е Ж. ю ()

СО

Хе(д) = ) хх(е)е 'Не,

о

Хт® = — Х( )1= л.

1

: ' ',мирую

едаточная функция приведенной непрерывной части

иа И~(8) Ту,(8ЖФ(8). Таким образом,

~т (д) = ~ Ю(~) (г) Фз (8) ~~,=,(т.. (1.25)

зффициент 1/Т принято относить к передаточной

кции формирующего устройства; обозначим

Юц Ы = — и~а(г) Ч» % И) = ~' (8) 1'-гд

да можем записать

~,(~) = ~г(д)~.(у). (1,26)

бражения Хт(д) и Х~(д, е) связаны 2>-преобразовам (см. (6), т. 2, с. 255): Х*(д, е) Т(Х,(д)). Аналоо найдем

И'*(д, е) =ЖИ' (д)),

Ие (д) (Йе (Е) е ~ЫŠ— иередеееииал фрихцил ирио

нной непрерывной части, причем

)ре (И = †;. )р (е) ( ~е, )р (е) = ) "( (е) ')е

о

ем передаточные функции непрерывной части и фор-.

щего устройства'. Обозначая через й Ы и БИ) сотствующие весовые функции,- получим

Ю,(г) 2'(й,И)), Щг).= УЧЛЕТ)).

page032

Распознанный текст из изображения:

32 описАнин линеиных импульсных' систем ~гл. ~

Итак, для того чтобы составить уравнение импульсной системы в изображениях (1;23), следует определить передаточную функцию системы либо по формуле И"*(д, е) = =1х)йт4п, е)), либо по фоРмУле В'е(д, е) =У(И' (д)), где И"т(д) определяется нз (1,26).

В том случае, когда передаточная функция определяется как Ы-преобразование от весовой функции приведенной непрерывной части, вместо Я-преобразования может быть использовано Ж-преобразование (см. (6), т. 2, с. 228). При атом передаточная функция будет получена в виде

Ит (х, е) = Я (йт (и, е1) = — ~ Йт (и, е1 х

п=о

При вычислении И~, (з, е) можно использовать свойства ,Ж-преобразования (см., например, ~9)). Поскольку Ж-преобразование может быть получено из .У-преобразования путем замены переменной х = е', то его свойства аналогичны свойствам !6-преобразования. Каждое из этих преобразовании наиболее удобно при рассмотрении определенного круга вопросов. Например, Я-преобразование позволяет записывать изображения в более компактной форме, что несколько облегчает процедуру вычисления оригиналов по изображениям. Зато '6-преобразование более удобно, в частности, при исследовании связи между частотными характеристиками импульсных и соответствукяцих непрерывных систем.

.Введем обозначение У, для У-преобразования, в котором переменная д заменена на переменную з = е'. С учетом этого обозначения можно записать еще одно выражение, определяющее передаточную функцию импульсной системы:

И',*(з, з) =- Я,(В'т(д)).

. Перейдем к рассмотрению примеров на определение передаточных функций импульсных систем.

П р и м е р 1,3. В разомкнутой импульсной системе передаточная функция непрерывной части равна

Ъ

1

а импульсйый элемент осуществляет модуляцию с кратковременными импульсами так, что выполняется условие (110). Требуется определить передаточную функцию импульсной системы.

'ф 1.21 УРАВНЕНИЯ В ИЗОБРАЖЕНИЯХ зз еюение. В рассматриваемом случае импульсная характеристирнввдонной непрерывной части определяется формулой .

А'т (~) = йе~~ит (~),

а — постоянный коэффицивнт,,й„т (т) — импульсная переход- функция непрерывной части в относительном времени. Передая функция непрерывной части равна 'тт' (~) = й~Ит (у) = — И' ~ — ! =

т "~ т ! т(д+р) Определим передаточную функцию импульсной системы с пою У-преобразования:

рече И" (4 ) = ~(Ит(о)) = '~ . (1.27)

Т (е~ — е ~) использовании У,-преобразования выражение передаточной ии несколько упрощается:

~ атее-Ре

И,*(.„в) = Я,(И'т И)) =

Пример 1.4. Требуется определить передаточную функцию разомкнутой импульсной системы, имеющей ту жо непрерывную часть, что и в примере 1.3. Импульсный элемент с коэффициентом усиления й, осуществляет амплитудно-импульсную модуля: -:-. цию с помощью последовательности прямоугольных импульсов веприной '(Т, '( - 1,

Решение. Весовая функция формирующего элемента Я(~) в данном случае имеет вид, показанный на рис. 1.8: Я(г) = й,(1(~)— — 1(~ — ()). Преобразуя по Лапласу обе части этого равенства, будем иметь

е-тч ° Далее определим функцию

Ин® ~н '-',: Передаточная функция приведенной непрерывной части равна

,— тч я И т (д) = И'ф ( ) И'н (о) = жн

'ч р+ч

;, Определим передаточную функцию импульсной системы с помо-

,: -,,щью Б>;преобразования:

! е';<,е>=е,~и,<дЗ=а,я,( ~ ~ — аж;~ ~' " ~, ::„'.",, Длн первого слагаемого имеем

В, А. Иванов, А. С. Ющенко

page038

Распознанный текст из изображения:

ьтлвнвния н изон лжиниях

::прям

~авиеув 1

Й„ге ~ (е~~ — 1)

—.-а ~~ — ~ (.ат — 1)1

а„((е а~1 т1 — г) е ее +г — е )

г — е " (1 — й (ест — 1)1

Ф (г, е) =

38 описании линвиных импульсных систвм ~гл. 1

Далее определим

.„(~ ) И'~ (д, е) г.», ( )

где К"~(д, е) = Ы)(И'Ф(д)й» (д)Я» г(д)) — передаточная

функция разомкнутой системы,

Таким образом,

(."(Ч, ) = ~'И) —, ';()~'(д) И' И* ) =

Ж (д, е)

1+В' ()

Искомая передаточная функция равна

д~ (д е) И1 (д1 е)

(1.37)

Р' И) 1+ 1Р'* И)'

Пример 1.6. Найти передаточную функцию замкнутой импульсной системы с прямоугольными импульсами шириной ( < 1. Передаточная функция непрерывной части задана такой же, как в примерах 1.3 и 1.4.

Решение. Для определения искомой передаточной функции воспользуемся формулой (1.35), связываюшей передаточные функции замкнутой и разомкнутой систем. Подставляя в это выражение--нередаточную функцию разомкнутой импульсной системы, определенную в примере 1.4, получим

Здесь нужно обратить внимание на то, что Кг (г). = Ю, (г, О) в формуле (1.35) может быть вычислено только по второй из формул (1.26);

Свойства передаточных функций импульсных систем, Из рассмотренных примеров видно, что передаточная функция импульсных систем обычно является дробно-рациональной функцией переменной е':= з. Числитель этой

функции зависит от е:

Юе(д, е) Ре(д, е)Яе(д), (1.38) , где Ре(д, е) и»,~а(д) — полиномы от е'.

Ре(д,.е) = а,(е)е"'+ а,(е)е'" "'+... + а,, ~(е)е'+а„(е),

(?~(д) Ь,е '+ Ь,е'" "'+...+ Ь,е'+ Ь,

егда соблюдается условие физической реализуе- >Й). Например, передаточная функция систеоугольными импульсами (1.28), полученная в „4, может быть записана в следующем виде:

еча (е) +а (е)

я е)= и

еч — а

м

енные коэффициенты а,(е) и а,(е) определяютошениями

1 — е ' при О~~е< у,

ае (е) е

е ~~(е~~ — 1) при у: е<.1;

— е ~(1 — е~~~ '~) при О» е«"'у,

О при у«е~1.

тветствии со свойствами Я-преобразования пе-

я функция периодична вдоль мнимой оси плоспериодом 2л, т. е. $Р"(д+2яуг, е) = И~*(д, е),

бое целое число. Благодаря этому она пол-

ределяется своими значениями в полосе шири-

— я < 1ш д < я,' — < Ве д < (рис. 1.14). Эта

Рис. 1.14.

обычно называется основной. Внутри основной

униция И~а(д, е) является аналитической, за ием конечного числа полюсов. Полюсы передаункции разомкнутой импульсной системы совпаолюсами приведенной непрерывной части Й'(д) »гичаются от них на 2яуг, г= О, =И, ~=2, ... (пог~2луг и у,=Ь2щг на рис. 114). Число полюсов

page044

Распознанный текст из изображения:

(1.51)

образом,

х,(и, е) = ЩО),

(1.52)

и и+1' /А+1 и+1

Рис. 1Л6.

(1.49)

1с ге

1

И~ (г, е) =-

2 — е

ОписАние линБйных импульсных систем игл.

Выражение (1.46) описывает реакцию импульсной системы на единичное ступенчатое воздействие при достаточно общих предположениях. Первое слагаемое И', (1, е) в правой части равенства (1.46) описывает установившийся процесс в системе, а остальные — переходный процесс. Из равенства (1,46) следует, что в том случае, когда ~Ы ~ 1„ч = 1, ..., г (или все полюсы д„ у =1, ..., г, имеют отрицательную вещественную часть: Вед„(О, ч =1, ..., г), установившийся процесс в системе равен

ху (и, е) = 11ш йт (и, е) = И", (1, е) = И'* (О, е). (1.48)

Таким образом, установившийся процесс можно определить непосредственно по выражению передаточной функции системы.

Можно определить установившийся процесс и с помощью весовой функции Й,(п, е1. Поскольку И~о(д, е) = = Яйт(п, е1), будем иметь

ху (и~ е~: И' (Оф е) = ~~~~~ ~тг (1ттф е)

Это же равенство следует из формулы (117), устанавливающей связь между пеуеходной. функцией Мп, е1 и весовой функцией ЙуЬ, е1'.

Из полученных формул следует, что установившийся процесс в импульсной системе может быть периодической функцией с периодом, равным периоду квантования. Например, на рис. 116 показан установившийся процесс х,(и, е1, возникающий в системе с прямоугольными импульсами (см. пример 1.2).

В качестве характеристики установившегося процесса используется его среднее значение

х„~и, в~ = 1 х~ ~в, а~ Нв = 1 И'~ (О, е) Ые. (1ЛО)

о о

В том случае, когда рассматривается разомкнутая импульсная система, среднее значение может быть опреде-

дискРетное пгеовРАЗОВАние лАплАсА 45

по передаточной функции приведенной непрерывасти. Действительно, передаточная функция разомксистемы И1о(д, е) и передато прая функция приве- Й непрерывной части связаны Я-преобразованием: =У ЧИ'о(д, е)), откуда при д = О с учетом форобратного Ж-преобразования И61, т. 2, с. 256) сле-

среднее значение установившегося процесса в

кнутой импульсной системе равно установившему-

ачению процесса в непрерывной системе, состоящей

введенной: непрерывной части.

ример $.7. Найти реакцию на единичное ступенчатое возне для разомкнутой импульсной системы с кратковременны- пульсами, если й~/ф+ д) — передаточная функция приведеннрерывпои части; й, = й,~3/Т (см. пример $.3);

жение. Передаточная функция рассматриваемой импульсной мц найдена в примере 1.3:

жение искомой реакции есть

2 -Ре

Х,( )=~'. ( )—

(2 — '1) (г — Е (1)

page046

Распознанный текст из изображения:

По формуле (1.42) с учетом (1.43) найдем

х(н,е1=Й' (1,е)+Вез Х (е,е)зп 1~

й1е зе е-зр — Р— р( — 1) й е Ре Р(1+„)

1 — е ~ е ~ — 1 1 — е Зтот процесс показан на рис. 1.7. Установившийся процесс в данном случае определяется величиной

-()е

РГ~~ (1,е) =

1 — е

Найдем среднее значение установившегося процесса:

Рйе-' й й,

Р

1 — е р 3'

е

Зто же значение можно получить по формуле (1.52)."

Йф ! Й

х [и, в~ = е'~0) = <Р+д)2 ~~о г '

При и е'р 1.8. Найти реакцию на единичное ступенчатое воздействие для разомкнутой импульсной системы с прямоугольными импульсами (( < 1), если передаточная функция приведенной непрерывной части равна

И'(ч) =

й, (1 — е 7З) и

о — р+д'

Решение. Передаточная функция рассматриваемой импульсной

системы была найдена в примере 1.4. Она равна

ае

— е и (еат — 1) цри'у~~е~1, е — е

И~~ (е, е) =

з — е

й 1 — е ве при Оа е('у.

е — е

По формуле (1.42) получим

йт(п,е) = И'~ (1,е)+Незй'~(е, е)

е — 1~и е

При '( ~ е ~. 1 будем иметь

й е " (М вЂ” 1) й ее ()е(е()7 — 1) еп

йт 1п, е) = 1 +Вез

1 — е (г — е ()) (е — 1)

~1 — е ()(и+1Ц.

й (еР7

1 — е

ДИгАКРЕТНОН пРНОБРАЗОВАНКН ЛАНЛАОА

"( получим аналогично

1 — е "' Ре

1 — е

а(1 — е Е )+е Е(е~)(7 ) — 1)

й, еп

(е — е ") (е — 1)

е Р(1 7) р -Р(~-7+~) е — Р(1+~)

1 — е " е () — 1

но убедиться, что это выражение совпадает с полученере 1.2.

ы получили

е -З(1-7)

й 1 — е

1

::-'-",;,'-: Этот процесс показан иа рис. 1.10. Установившийся процесс в системе определяется следую1цими Щ)ормулами3

-Ре

е

1 — е

при у~~е 1,

;ь.:-'-':;:;;::уйдем среднее

.";;„:-'1зредварительно

С

з

'о '()золучим

1

1

й — С е "е) де+ 1 С е еМе =

1 .4 3

7

е — Р7

7+(с,+с,) ~ — ~ ~с,+с; ~) =

— М й

=й у+йеР7 — ' — '=й у

ю

;;",'Яри О ~ е ",.- -~!::.":;:::.'Ьт1п, е) = й

'~- Вез

1 ~

Нетруд

в прим

Итак, м ':,:„:::;:;;,";:Йт (п, е1 =

й (е~7 — 1) е

(1 — е ()'"+1)1 при у«" е(1,

1 — е"

е ()(1 7+е) — е ()(1+е) и

— й, ' е ~" приО:~е у, 1

1 — е Р( .7 — е

й 1 — е Р при о~ е( 7. 1 — е

значение: установившегося процесса, обозначив

й (Ф7 — 1) й (1 — е "( 7)) 1 С 1 1 — е () 1 — е

page048

Распознанный текст из изображения:

4я ОписАние линейных ' импульсньхх систем (Гл.

что совпадает со значением

И»(О) = 1 — ~ =1ипй = й„~е.

)в (в — е О~) Р 1 ( е — ([))

Ч Р+!((О=о О о ([

Определение реакции импульсной системы на гармоническое воздействие. Применим М-преобразование для того, чтобы определить реакцию импульсной системы с передаточной функцией И'О(д, е) на гармоническое воздействие ~(п) = А, сов (о~оп+ $). Для этого целесообразно вначале найти реакцию системы на воздействие ~(п1 = =А,ехр Ц(а,п+ф)1, а затем рассмотреть вещественную часть этой реакции, поскольку из равенства

у(п, е) =,'~' й(п — т, е1~(т1

следует . ,т(п, е1 = Век(п, е1 = >~ Й(п — т, е1~(т~.

Изображение воздействия ~Ь1 равно

)е,"(в) =Ж(~ [в)) = А,=в~в.

г — е

(1.53)

В соответствии с формулами (1.40) и (1.53) получим,

е[в, в[=Я ' Ае — 'И', (в, е)) =

Я0)

, о

= А в~в~Нее И' (в, в) .' ([.54)

О ' е=ее,,

Здесь вычеты берутся в полюсах г„ч = 1, 2, ..., г, перс-

О

даточной функции импульсной системы И», (з, е) и в точке зо = е'"О. Будем предполагать, что функция И» (з, е) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса з = е~(0. Тогда вычет в точке з0 равен

зев — И'. (в, в)

в е О е=е

= И', (е'"о е) е'"О" = И»О ()~оое е) е~"о" (1 55)

31 ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА

Вычет в простом полюсе з„функции И», (з, е) определяется по формуле

е~(е — е )

И', (з,е) =

в )0)о

= С„(е, ио) ям. (1.56)

и )с, определяются следу-

Вез ' И',* (г, е) = 11ш

е евино — е хв»

Вычеты в полюсах кратност

ющей формулои:

Вез И', (з, е)

е — е 0

д У вЂ” 1

1пп

(),— $)!,, да,-1

в (г — г~) ~)

И', (з, е)

~0) )

а — е

Обозначая

Ю,'(

'(з, ~ое е) =

г, е) (е — а,) 1)

30)

в — 'е

д

(о~, е) = 11ш

У-е й~)

огни с (1.45)

(о)о, е) и('>з„', ~ = 1,..., г. (1.57)

о полюсы з, ф

=1,...,г,мо

акцию импуль

авляя (1.57) в.

") И '(й„.)+

ункции И', (з, е) имеют жно записать выражение, спой системы на воздей- (1.54):

а [в-1

) Ее" Оее, в) е~ев" ~. ([.58)

ъ=а

С' (~' о' )

дг

получим по анал

п

.'е,',:::::::-'", Вев — И', (в, в)

в — е

~(оо

~[)

: .": =~(' '):

.~-'::.::.-::,',' Предполагая, чт

:";;;::::::-::: кратности й„ч

~;."~~:;:-;:-::,''определяющее ре

атвие ~(п1, подст

,';::,":»';,',".:Ж(п, е1 = А,г'(1'~"

+ Аое~~ Х

У вЂ” 1

.,''=:::::::В частности, если все полюсы простые, с учетом (1.56)

;,,,', будем иметь

:-',;,4 В. А. Иванов, А, С. Ющенко

page050

Распознанный текст из изображения:

5О ОписАние линейных импульсных сис'гем ~гл.

Если !з,! (1, т. е. действительные части всех полюсов д, отрицательны, то второе слагаемое в правой части выражений (1.58) и (1.59) будет стремиться к нулю с течением времени, а первое слагаемое будет характеризовать установившийся процесс в системе

х (п, е) = 11ш х (и, е| '= Аее'(~~ "е") И'~ (уае, е).

Определяя действительную часть комплексной решетчатой функции х(п, е1, найдем реакцию импульсной системы на заданное гармоническое воздействие. В частности, установившийся процесс в импульсной системе определяется следующим выражением:

х,(п, е1 =Веж,Ь, е1=

=А!И~*(уао, е) ! сов (еоп+ тр+ ащ И'*(уело, е)). И.60)

Определение процессов в импульсной системе с помощью разложения изображения в ряд Лорана. Рассмотренный способ определения процессов в импульсных системах с помощью вычетов позволяет найти аналитическое выражение процесса х[п, е). Во многих случаях это не требуется„а нужно лишь найти значения функции х(п, е1 для конечного числа Ж периодов повторения, т. е. для п=0, 1, ..., Х Тогда может быть использован другой способ, основанный на разложении процесса Хе (з, е) в степенной ряд (см. (6), т. 2, с. 281).

Если Х, (з, е) = Р* (з,.е)IД* (з) — правильная дробно- рациональная функция, т. е. порядок полинома Ре(з, е) относительно переменной г меньше или равен порядку полинома ф'"Ь), то функция Х,'(е, е) может быть разчо чена в ряд Лорана:

ОЭ

Х,'(з, е) =,'~', С„(е) з-". (1.61) Коэффициенты С (е) можно найти делением полинома Р~(з, е) на полипом Ч~(з). Учитывая, что

Хе (3, е) =,~~~ х (и е1 з

е=е

можно заключить, что коэффициенты С„(е) будут искомыми функциями, т. е. х!.и, е] С (е).

чАстотные хАРАктеРистики

Пример 1.9. Для импульсной системы- с прямоугольными ",импульсами из примера 1.4 найти реакцию яа ступенчатое воздействие с помощью разложения Х, (е, е) в степенной ряд.

Решение, Передаточную функцию скстемы представим в виде '~.':;::;:::(1.39)

а,() +,(е)

И', (е, е) =

1

::-;:;-:::где Ь~ = — е-з,

(езт — 1)е Ее, у~~е "1,

о (е)

1 — е О < е < 'у,

О, у~», <1,

е Е (еа~т ~~ — 1), О (е, у„

Изображение процесса, возникающего в импульсной системе

,.', Пря единичном ступенчатом входном воздействии, равно

'а, ( )+ ~~, ( )

Х,' (е, е) =

ее+ (Ь вЂ” 1) е — Ь

,'. Выполняя деление многочлепа е'ао(е) + за~(е) ка мяогочлеп е'+

'. + (Ь| — 1) е — Ь1, получим следующие коэффициенты ряда Лорана:

Со(е) = х(О, е) = ае(е),

С~(е) = х[1, е1 = а~(е) — Ь~ао(е) + ао(е)

С2(е) = х(2, е1 = (а~(е) — Ь~ао(е)) (1 — Ь!) + ао(е),

° Ф

-.::,:;::-:фти значения совпадают с полученными с помощью вычетов в при-

'.:;-мере 1.8 значениями процесса йт(н, е1 в рассматриваемой импуль-

Ф':,'-':: "

':~.';:аной системе.

~$о

$ 1.4. Частотные характеристики импульсных систем

Функция И'е(усо, е), получающаяся из передаточной

-;-,:ф~ункции И'е(д, е) при д =)'а, 0-:=- е - 1, называется

-, '~нплитуднофазовой частотной харахтеристихой импульсй системы. Функция !И"'"(уа,' е)! =Ае(а, е) называет-

'!11я амплитудно-частотной харахтеристихой, а функция

!ег~ И"'а(ув, е) = ~е(а, е) — фазо-частотной харахтеристи'щй импульсной системы. Физический смысл частотных

", уактеристик ясен из формулы (1.60). Амплитудно-ча, . тная характеристика (АЧХ) определяет изменение

итуды гармонического воздействия при прохожде„, и через импульсную систему;'фазо-частотная характе-

page052

Распознанный текст из изображения:

б2 описАниБ линБЙных импульсных систкм ~гл, $

ристика (ФЧХ) определяет сдвиг по фазе приложенного гармонического воздействия. Таким образом, частотные характеристики импульсной системы сохраняют тот же смысл, что и частотные характеристики непрерывной системы. Они позволяют найти установившуюся реакцию на гармоническое воздействие. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) может быть определена по следующим формулам:

И~о(уе, е) = ~ е-1™"Уе~(п, е),

и=о

Ю'~ (ув, е) =,~~' Ф" +'"">ой'т (у (в + 2жг)), (1.63)

уе,1п, е) =.й '(И™(д, е)),

И' (д) = я-'(Юо(д, е)).

Если, в частности, рассматривается разомкнутая импульсная система, то функция уст|и, е1 = уе(1Т) ~; „+, — это импульсная характеристика приведенной-- непрерывной части, а функция И' (уш) — амплитудно-фазовыми частотная характеристика приведенной непрерывной части при измерении частот в относительных единицах. В этом случае формулы И.62), (1.63) позволяют определить частотные характеристикй импульсной степени непосредственно по заданным характеристикам приведенной непрерывной части.

П р и м е р 1ЛО. Определить амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой импульсной системы, ее амплит~1днои фазо-частотные характеристики, а также ее установившуюся РеакЦию на гаРмоническое возДействие Яп1 ='соз вон., ПеРеДаточная функция системы равна

уе ео

Иуе ( ) 1 -5е

е~ — е

Решение. В соответствии с определениями частотных характеристик имеем

Д е~~

И'е (у в, я) = е

еув — е

ЧАСТОТНЫБ ХАРАКТБРИСТИКИ

'.:"$ Ь41 5З

:,::Ае (в, я) = ~ ИУе (1в, я) ~ =

7с ~е~~о~е

Йе

~ е~'о — е "~ г~ 1 — 2е "созв+е

;-" ~ре (в, е) = аги И'* (ув, е) = аги еу" — агя (е~" — е ~) =

я(п в

= в — агс$я

соя в — е

!"; Теперь определим искомый установившийся процесс по формуле

.'.".';-' (1.60)

:!'., ~ (в, ~) = А*(в, ) о ~(р+ ср* (в„, )) =

у~ е ~'

соя в и + в — агота

'г' 1 — 2е Рсояв +е соя во-е-~

Обозначим

тогда

то т ( о)~

1 — 2е Рсояв, +е

х ~п е] =С е несся(вон+1~ ),

График установившегося процесса построен на рис 1Л7. Заметим,

Рис. 1Л7

'г (" '1) = ~2 'оя (" "+ ~ )

'-',!.'',: Тем не менее сам процесс т„[и, е1 гармоническим не является.

4' .

,.'!,::.. что при любом фиксированном значении параметра е = я~ соответствующая смещенная решетчатая функция является гармонической, т. е.

page054

Распознанный текст из изображения:

54 опиалйин ляпкиных импульсных аистим ~гл. 1

Свойства частотных характеристик импульсных систйм.

1. Прежде всего заметим, что частотная амплитуднофазовая характеристика импульсной системы в общем случае зависит от параметра з. Таким образом„импульсная система в отличие от непрерывной описывается не одной амплитудно-фазовой частотной характеристикой, а семейством частотных характеристик И~~(уа, е) при О»е'~1. Тем не менее при исследовании импульсных систем часто оказывается достаточным знать частотные характеристики только при одном значении параметра е, а именно при е=О. Например, устойчивость замкнутой импульсной системы определяется видом годографа амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы ТР"(ув) (см. Я 2.2)..

2. В отличие от частотных характеристик непрерывных систем частотные характеристики импульсных систем являются периодическими функциями с периодом 2л, что следует из периодичности Ю-изображений: ТФ""(ув, е) %Р"(у(а+2лг), е), -г= О, =Е1, ~=2, .... (1.64) Поэтому частотная характеристика И"~(уа, е) полностью определяется своими значениями в интервале шириной 2Й: — я '.- и ~» я.

Рассмотрим, в чем состоит физический смысл периодичности частотных характеристик. Пусть ко входу идеального импульсного элемента приложено гармоническое воздействие ~И) = соз а,8. На выходе получим

х(1) = ~ 6(г — иТ) созе11иТ.

и=О

Пусть теперь приложено другое воздействие: ~(1) = =сов(а~+а И, где ао =2л/Т вЂ” частота квантования.

Получим соз (в~ + е,) иТ = соз в~иТ, т. е. по-прежнему

ж(1) = ~ 6(1 — иТ) созн,иТ.

а=О

Таким образом, оба воздействия дают одну и ту же реакцию на выходе импульсного элемента (рис. 1.18). Реакция, очевидно, не изменится, если ко входу импульсного элемента прилоФить воздействие ~(1)=сов(а~+ге1~М, г= 1, 2, ... — любое целое число, или, в относительном времени, /~(1) =сов(а~+ го,)оТ = сов (а~+ 2лг)8, е1~ =

в,Т. При 8 =и по-прежнему у;1и1 сова,и, Поэтому

1.4) члстотнмн ХАРАктвгнстики 55

':н реакция системы на гармоническое воздействие с ча'':стотами со,+2лг будет такой же, как и на воздействие "-;,,с частотой е1~.

3. Действительная часть амплитудно-фазовой частот': ной характеристики И~~(уа, е) является четной функцией,

Рис. $Л8.

из формулы

;-;:,,:, а мнимая часть — нечетной, что следует

: (1.62)!

И' (уи, е) = 'Х йт (и3 е) сояии — у Х йт(

Я=-О и=О

'.;, Следовательно,

И~~(уе, е) =И™( — ув, е).

Благодаря этому свойству частотная х

'::;,'3Р'(уа, з) определяется своими значени

"',.'-,» 03 ( Л.

4. При а=О и при о=и амплитудн

--': стотная характеристика принимает вещест

.;,"',::ния, равные

,:Я'"'(О, е) =,«~ Йт (и, е), Ж~ (уя, е) = '«', (

я=О . я=э

Построение частотных характеристик.

,,:,::;~~лгать, что непрерывные элементы системы

';~~и частотными характеристиками. Тогда а

'„бравую частотную характеристику разомкн

'::,.Мой системы можно определить по формул

".~цваться этой .формулой можно двумя с

ервых, можно определить по отдельности

мнимую части И~~(уо, е), а затем найт

: жтотную А~(е, з) и фазо-частотную ~р~(

И, Е] З1ПЕ1И.

арактеристика ями при О 4

о-фазовая чавенные значе-

—.1)" Йт(и, е).

Будем предпозаданы,. своимплитудно-'фаутой импульсе (1.63). Польпособами. Вовещественную ' и амплитудно- и, 3) характе"

page056

Распознанный текст из изображения:

ОПИСАНИЕ ЛИИНйНЫХ ИМПРЛЬСНЫХ СИСТЕМ (ГЛ. 1

ристики, Во-вторых, можно осуществить непосредственно векторное сложение слагаемых в правой части равенства И.63). В обоих случаях формулу И.63) целесообразно записать при измерении частот в абсолютных единицах.

Положим в равенстве И,63) в=вТ. С учетом формулы И.25):

Иг(у ) = — Ие(у )И' (уи)~ —,= —;"'(Уи)~

где Щв) — амплитудно-фазовая частотная характеристика приведенной непрерывной части, получим Иг*(уиТ, е) = ~~» ехр(у (и+ — ) Те1 И»[у(и+ — )Т) =

т= — ии

— ехр (У (и+ ги,) Тс) И'(У (и+ ги,)). (1.66) В частнос~и, при е = О

Иге(уиТ) = — ~ Иг(у(и+Гас)). (1.67)

5 1.4) ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 57

Определение Р'Р(в), ('„Р'*(в) можно производить графическим способом, строя смещенные частотные характери.'' стики Р(в+ гв,), Д(в+ гв,), г= — 'У, ..., 1, ..., Ж, и производя их сложение. Этот способ иллюстрируется на ,: '- рис. 1 19, а, б. Используя полученные частотные характетеристики Р~(в) и Д'Р(в), можно построить амплитудно-

Если заданы вещественная и мнимая части частотной характеристики И~(ув): Ве И'Цв) = Р(в), 1ш ФЩв) = ~(в), то по формуле И.67) будем иметь

Ие И™ ()иТ) = Ре (и) = — ~~~ Р (и + ги,), (1.68)

1

Т= — суи

1т И'е (уиТ) = 4»е (и) = — ~ 4» (и + ги,). (1.69) Эти равенства дают возможность приближенно определить функции РИ'(в) и ~*(в). Для этого надо выбрать значения в(, 4 = 1, 2, ..., М, и определить сумму соответствующих слагаемых„ограничиваясь конечным их числом в зависимости от допустимой погрешности. Получим

Р (в4) у -,г — 7~ Р(в4 + гв~)„

Т=-Н

1 Ч~

е (-)= —. '~(-+-)

Т=-К

~=1,2; ..., ЛХ.

ф

Рис. 1Л9

частотную и фазо-частотную характеристики разомкнутой импульсной системы по формулам

А*(в) = 1(Р6'(в))'+ ((,')6"(в))', И.70)

тр'р (в) = агсФц—

Реу ((у))

0* (в)

(1.71)

В том случае, когда е Ф О, рассмотренный подход

остается без изменения. При этом для каждого значении

з следует определить свою амплитудно-фазовую частотную характеристику, используя формулы, следующие из

определения Ю'Р(~вТ, е):

Р~(в, е) =

1';- = — ~~' (Р (и) ссе(и+ ги,) еТ вЂ” »У (и) ип(и+ ги,) еТ),

page058

Распознанный текст из изображения:

члстотнын х а Актив котики

Рис. 4М

0'( е) =

— )О (и) сов (и + ги ) вТ + Р (и) в!а (Ь + гию) ЗТ).

Выясним, как изменяются частотные характеристики систем при изменении частоты квантования а,. Из рис. 1.19 видно, что при увеличении частоты квантования а, частотные характеристики разомкнутой импульс ной системы приближаются к частотным характеристикам приведенной непрерывной части в интервале частот — ао/2 ~ а ~ ао/2. Предположим, что с достаточной для практики точностью можно считать частотную характеристику приведенной непрерывной части равной нулю, начиная с некоторой частоты «срезаэ а,:

!И~(уа)! - О при !е! ~ а,. И.72)

Выберем частоту квантования а, из условия е,~2а,. Тогда частотные характеристики разомкнутой импульсной системы совпадут с частотными характеристиками приведенной непрерывной части с точностью до постоянного коэффициента 1/Т в интервале частот ! а ! ~ а, — а, (рис. 1.20). В этом случае импульсная система может

быть эквивалентна. своей непрерывной приведенной части, т. е. при одном и том же сигнале, приложенном ко входу импульсной системы и ко входу приведенной непрерывной части, будет наблюдаться один и тот же'сигнал на выходе. Для этого„однако, надо наложить определенные требования на входной сигнал. Пусть преобразование Фурье входного сигнала равно г" (уа), причем !Р(уе) ! ~ 0 при !е! -' е,). Кроме того, пусть е, .:- ~2шах(а„а„). Определим преобразование Фурье сиг-

,:: нала на выходе системы по формуле, следующей из И.ЗО):

Х(уе) = И'(уе)Р*(уеТ)'. И.73)

Из рис. 1.21 видно, что амплитудно-частотный спектр '': выходного сигнала в импульсной системе остается при

сделанных допущениях таким же, как и в непрерывной, ,;:, .поскольку дополнительные составляющие спектра входного сигнала, возникающие при квантовании, фильтруются непрерывной частью (кривые а на Рис. 1.21). Если

!г'~ т~!

же е,~2е, (кривые б), то возникают дополнительные составляющие спектра за счет квантования сигнала импульсным элементом. Заметим, что приведенные рассуждения об эквивалентности импульсных и непрерывных систем являются лишь приближенными, так как в реальной системе равенство И.72) обычно точно не выполняется.

Так же как и в случае непрерывных систем, для ис,::. следования импульсных систем применяются годографы

частотных характеристик. Рассмотрим пример такого годографа.

page060

Распознанный текст из изображения:

чАстотные хАРАктевистики

й1

ы()

1

Отсюда

,— Р(1-7) -Р И'* ((в) =- е~ — е

Рис. 1.22.

$~ (х) = Йз((л — е» ).

е»' (е»'т — 1)

И" ((О) = ~О,

1 — е

е»' (1 — ест)

И'* ((я) = < О.

1+. е

60 списАние линейных импульсных систем П'л. 1

П р и м е р 1.11. Построить годограф частотнои* характеристики разомкнутой импульсной системы (рис. 1.5). В системе осуществляется модуляция с кратковременными импульсами. Непрерывная часть системы представляет собой апериодическое звено

Решение. Передаточная функция рассматриваемой системы

найдена в примере 1.3. Она описывается формулой (1.27):

Йеч

И'* (д» е) = е

ач — е

где й — постоянный коэффициент. Полагая»1 = (в, определим амплитудно-фазовую частотную характеристику импульсной системы

»»се»

»»е»Е'ее, е) =,— е»',

Е1»"» — Е

Построим годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики

при е=о:

у 1»е»

И'" ((в) = .— а °

з1»» — Е

Написанное выражение можно рассматривать как отображение

единичной окружности з = е1", — я ( в ~ я, с помощью дробно-

рациональной функции

Известно ((61, т'. 1, с. 300), что дробно-рациональная функция отображает окружность либо в окружность, либо в прямую. Прямая получается в том случае, когда полюс а = е-з функции И', (г) лежит на отображаемой окружности, или, что то же самое, точка д = — р лежит на мнимой оси. Поскольку р-положительное вещественное число, функция Ж, (я) отображает окружность в окружность. Из условия Ю»' ( — (в) = Ю*((в) можно заключить, что при изменении знака у аргумента в действительная часть У"(в) = = Ве И''»'((в) остается беэ изменения, а мнимая часть У"(в) = =. 1ш И'~((в) меняет знак,-Другими словами, годограф функции И""((в) симметричен относительно вещественной оси. Поэтому строят только половину этого годографа при 0 -= в ~ я. При в = О и в = я частотная характеристика И'»'(~в) всегда принимает действительные значения. В данном случае

»»

й

И' (уо) = —, И И4=: °

1 — е Р' 1+е

Теперь можно изобразить годограф И'*(~в) как окружность, центр которой лежит на вещественной оси в точке

И" ((О) + И'* 0я) Зтот годограф приведен на рис. 1.22.

При уменьшении параметра р = Т(Т», т. е. при увеличении постоянной времени Т„ годографы видоизменяются так, как показано на рис. 1.22. В предельном случае р = О, »Р"(ув) = йе1О»((е1λ— — 1), 11ш И1~ (/в) = оо, И~»'(уя) = Й(2. Годограф превращается в

»о О прямую, параллельную мнимой оси.

При м е р 112. Построить годограф частотной характеристики разомкнутой импульсной системы с прямоугольными импульсами (т ~ 1); й„= 1. Непрерывная часть системы та же, что и .в примере 1 11.

Решение. При е = О передаточная функция системы определяется по формуле (1.28) (см. пример 1.4):

е»1 — е И (~)=1- '

е»1 — е

Как и в примере 1.11 при р ~ О это уравнение определяет окруж-

ность. Однако

Зтот годограф приведен на рис. 1.23: ~/Ф

При построении годографов амплитудно-фазовых частотных характеристик разомкнув=я ~ ~»=Г ~»' тых импульсных систем в болев сложных случаях целвсообразпо пользоваться формулой (1.66), которая позволяет построить годограф АФЧХ имРис. 1.23. пульсиой системы по годографу

ЛФЧХ приведенной неирбрывпой части. Для этого нужно выполнить векторное суммирование отдельных слагаемых в формуле (1.66) для зна,чений в = в;, 1= $, 2, ..., М; в частности, при з =О из

page062

Распознанный текст из изображения:

члстотньи хАРАкти истики

или

($.74)

62 описАник линкйных имггульсних систнм и'л, 1

И.67) получим и'~»уи;т) т — ~~~ и'(у(в»+ пю,)),

Проиллюстрируем этот метод, взяв только два слагаемых из последней формулы:

И'~Ца») ~ И'» (у(໠— 2ж) ) +-И'~(уа»).

Значения а» выберем из интервала 1О, ж1, так как функция И~'»'(у»в) полностью определена своими значениями в этом интервале. При построении векторов Й~~(у(а»вЂ” — 2я)) аргумент ໠— 2л принимает отрицательйые значения. В этом случае надо взять вектор, сопряженный к

вектору И'т(у(2и — а»)). Соединяя концы векторов, полу.чекных для различных значений частоты, построим искомый годограф И~~(уе) (рис. 1.24).

При синтезе импульсных систем час*о возникает не.обходимость в ' определении частотных характеристик

замкнутой системы па частотным характеристикам разомкнутой или наоборот. Зту задачу удобнее всего решать с помощью номограмм. При этом, применяя различные номограммы, можно определить для замкнутой системы функции Ве Ф~(уе), 1т Ф~(уа), 1Ф~(уа) 1, агд Ф*(уа), используя функции Ве И'*(уа) = Р~(а) и 1»п И'~(ув) =(>~(»з) либо 1И'~(уе)1, ащ%Р'(уи). Для импульсных систем простейшего вида, т. е. состоящих из импульсного элемента в цепи ошибки и одной непрерывной части, при з = О применимы все номограммы, используемые для непрерывных систем,

ю-преобразование. При исследовании и проектирова.- нии непрерывных систем получили широкое распространение логарифмические. частотные характеристики (ЛЧХ), так как они могут быть построены значительно проще, чем годографы. Однако непосредственно построение ЛЧХ по амплитудно-фазовой частотной характеристике импульсной системы И~~(~а) не может быть выполнено теми же приемами, что и построение ЛЧХ непрерывной системы. Зто связано с тем, что 'И'~(~е) не является дробно-рациональной функцией по отношению к ув и, кроме того, переменная в меняется на конечном интервале О~й ~л. Для того чтобы использовать обычную методику построения ЛЧХ, нужно выполнить отображение отрезка мнимой оси — я~о»кя на всю мнимую ось, причем так, чтобы функция И'*(уе) стала дробно-рациональной. Указанное отображение выполняется с помощью функ- ции

и называется в-преобразованием. Иногда в формуле :" ы-преобразования не вводится множитель 2/Т. Для того

чтобы отличить рассматриваемый случай. И.74), его называют также модифицированным в-преобразованием.

ш-преобразование можно представить себе как последовательное преобразование сначала переменной д в переменную з=е'„а затем преобразование переменной з

2 з — 1

в переменную 'и» = — ,+ ° Первое преобразование отображает отрезок мнимой оси длиной 2л в окружность .!-.' единичного радиуса в=- е1 . Второе преобразование яв-

page064

Распознанный текст из изображения:

члстотные хлллктеристики

64 описАние линейных импульсных систем ~гл. 1

Я 1.41

ляется дробно-линейным. В соответствии со свойствами дробно-линейных преобразований (см. 161, т. 1, с. 299) оно является взаимно однозначным во всех точках расширенной плоскости комплексной переменной а, за исключением точки г = — 1.

Единичная окружность !г! = $, проходящая через эту точку, отображается в прямую. Найдем эту прямую:

и = — = — у = — у 1д —, (1.75)

2 е~'в — 1 2 . 81п а 2 . в

1+сове

. При изменении а от — я до л значения переменной и изменяются от — у до уо, т. е. образом единичной окружности в плоскости и является мнимая ось. Будем обозначать значения переменной и на мнимой оси через уа'". Таким образом,

° в 2 °

уи = — у$$ — ~

Т . 2

или

4)'.В $Р, (1.76)

Т

Величина в~ имеет размерность частоты 1с '1 и называется псевдочастотой. При изменении о от — я до т4 псевдочастота меняется от — до, причем при малых зна- ЧЕНИЯХ 4О

Рассмотрим отображение одной из точек плоскости 2 на плоскость и, а именно точки з = О: и = — 2УТ. С учетом свойств дробно-линейных преобразований отсюда следует, что внутренность- единичного круга плоскости а отображается на левую полуплоскость переменной и, а внешность единичного круга — на правую полуплоскость и.

Заметим, что бесконечно удаленная точка плоскости а переходит в точку и=2/Т, расположенную'в правой полуплоскости

2 е — 1 2

11Ш вЂ” — =—

Т в+1 Т

Передаточные функции импульсных систем в плоскости и получают заменой переменной д (или 2); будем

обозначать их

И'„, (и, е) = Ю* (д„з) ~, 1+ етп .

1-еТ/2

Например, для системы с кратковременными импульсами

при е = О (см. пример 1.3)

й ее

и" (ч) =

(1+ йТ/2) /с

И' (и) =

1+ вТ/2 — е Р (1 — иТ/2)

й (1+ вТ/2) 1+ вТ/2

а =~1+ Т,'*

в) + Т 1+е з 1

2 1 е-Р

Т 1+е-а

Т1

1 — е

Аналогично для системы с прямоугольными импульсами

шириной ( = 1 из примера 1.4 получаещ

и*(~) =~„

(1 — е ~) (1 — шТ/2) в у 1 — йТ/2

И" (и) = уе„

И

( + 2 — ( — ') 1+

Если передаточная функция разомкнутой импульсной системы $Р"(д) заранее неизвестна, то удобнее получить И'„ (и) непосредственно по передаточной функции непрерывной части И',(г), используя таблицы Ж-преобразования для элементарных звеньев.

Таблицы У-преобразования составляются для определенного типа формируюшег6 устройства. Ниже приведена табл. 1 для систем с экстраполятором нулевого порядка. В левой йоловине таблицы указаны передаточные функции элементарных звеньев И~,(г), а в правой — пере-' даточные функции соответствующих элементарных им— (1 — е

пульсных систем Я> ~ В ~ (Д) после выполнения

Д

и-преобразования. Последовательное выполнение 2>- и и-преобразований обозначают как 2> -преобразование.

5,В. А. Иввнов, А. С. Ющонжо

page068

Распознанный текст из изображения:

При этом образы полюсов, лежащих внутри единичного круга плоскости ~, будут лежать в левой полуплоскостп и~. Образы полюсов, лежащих вне единичного круга плоскости з, будут располагаться в правой полуплоскости в.

Пусть в основной полосе полюса передаточной функции разомкнутой импульсной системы совпадают с полюсами передаточной функции приведенной непрерывной

2 е" — $ 2

1!т и, = 11и

У ~~+~ У

части. Рассмотрим полюсы' о„= г„Т, лежащие в окрестности начала координат плоскости д, и их образы Йрн =

2 е" — 1

— — не плоскости и. Имеет место предельное

е "+1

соотношение

Из которого видно, что и достаточно малой окрестности начала координат полюсы передаточной функции импульс-

ФФ

.ф ф срем

стт ст

УЮ ~~й

$~У

$~ Я

ЩЮ фФ

дг ДФ ФХ Р,4 Д7 Щ

4~

1Ю ЮУ 4Ю Е ~~4 т 8 'ю р юю р р у гг гю Цт'

л)

Рн $26;

2 Дн Чк к

11ш цр„= 11ш — = — = — 8вр

Щ-ео !с~к! е~

$ 1.4! ЧАстотнын жАРАктиийстики ф

ной системы в плоскости и совпадают с полюсами приведенной непрерывной части.

Для бесконечно удаленных полюсов в плоскости д будем иметь

т. е. бесконечно удаленные полюса отображаются в точку 2/Т плоскости и~.

Заметим, что 1/!г„! = Т/!д„! есть постоянная времени апериодического или колебательного звена приведенной непрерывной части. Таким образом„большие постоянные времени остаются без изменения при Я -преобразовании, а малые становятся близкими к Т/2. Строго говоря, эти рассуждения справедливы только для тех постоянных времени, которые входят в знаменатель передаточной функции Щг).

Следует иметь в виду, что при й = О и лр = (что соответствует г = 1 и г = — 1', д = О и д =ул) передаточная функция И" (в) принимает вещественные значения

И' (О) = ~~~ й(п, 01, И' (оо) =,~~ ( — 1)" й~ц, О],

я=о. а=О

где Мп, е) — весовая функция приведенной непрерывной части.

Логарифмические частотные характеристики импульсных систем. перейдем к рассмотрению частотных характеристик импульсных систем в области переменной и. Амплитудно-фазовая частотная характеристика получается в результате замены переменной в=уя~ в выражении для передаточной функции, т. е. представляет собой образ мнимой оси плоскости комплексной переменной ир:

~„(негр) = И~„(нр) ~„, ~„,,

где в~ — псевдочастота. Связь псевдочастоты с частотой "т;-':,::,;,:;. дается соотношением (1,76); при малых значениях в частота и псевдочастота практически совпадают (см. (1;77)).

Частотная амплитудно-фазовая характеристика на

плоскости ир по своему характеру ничем принципиально ' не отличается от частотных характеристик непрерывных систем. Это дробно-рациональная функция переменной

page070

Распознанный текст из изображения:

ЧАстотнын ХАРАктегистики

Т =0,11 с,

р (1 — О 05ш) (1 + О ОЫ)

ш (1+ 0,11ш)

Рис. 1.28.

Рис. 1.27.

уа®, причем псевдочастота меняется в пределах от нуля до бесконечности. Наряду с амплитудно-фазовыми характеристиками .могут быть построены логарифмические частотные характеристики. Зто позволяет применять известные методы синтеза непрерывных систем регулирования в случае импульсных систем.

В качестве примера построим ЛЧХ разомкнутых импульсных систем с зкстраполятором нулевого порядка, непрерывная часть которых представляет собой элементарные звенья 1 — 4 из табл. 1. Зти ЛЧХ приведены на рис. 1.27, где обозначено 1лаИ'" (/о*) = 20 )К~ И~ (/оте) ~, 1р «ре(а") =агдИ~„(/а~). На рис. 1.27 и далее при изображении ЛЧХ цифры в кружках указывают наклон

соответствующих отрезков ( — Й обозначает наклон -2ОЙ дБ/дек,). При построении фазо-частотных характеристик следует обращать внимание на наличие пеминимальйо-фазового звена в числителе передаточной функции.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 1.14. Построить ЛЧХ для импульсной системы из

примера 113; Т = 0,1,с, Т~ — — 0,1 с, А~ = 100, й = 1, (=1.

Т 1+в

Решение. По формуле Т = —. найдем

1 — е

Т~ = 0,01 с; следовательно,

Соответствующие втой передаточной функции ЛЧХ приведены иа

рис, 1.28.

Рассмотрим соответствие между логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ) разомкпутой импульсной системы 1дп И~ (/юе) и логарифмической амплитудно-частотной характеристикой приведенной

непрерывной части 1лп И~(уа). Пусть передаточная функ-

ция приведенной непрерывной части равна

ИУ ( ) Р (8)

87 П (1+ Т;8) Ц (1+ 2$ВТЬ8+ Т282) ~=1 й=ш+~

Тогда частотная характеристика 1.тпЮ(ув) имеет сопрягающие частоты а~= 1/Т;, у=1, ..., и. Зти значения совпадают со значениями модулей соответствующих полюсов передаточной функции В'(г): ~г,~ =1/Ть

Передаточная функция импульсной разомкнутой системы, полученная в результате Ж„-преобразования,

page072

Распознанный текст из изображения:

72 ОПИСАНИЕ ЛИНЕПНЫХ ИМПЗтЛЬСНЫХ СИСТЕМ Р Л, 1

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

представима в виде

Р (ууу)

И'„'(иу) =

ууу'" П (1+ Т; уууу П (1'+2$у,ТАууу+(Ту,) УУУ )

4=1 й=т+1

Частотная характеристика И~ (уоу~) имеет сопрягающие

1~ т

частоты в; =.1/Т;, у =1,..., и, причем полюсы и~у

Ф

передаточной функции Ю (иу) связаны с постоянными времени Т; соотношением !иуу! = 1/Т;. Выше мы установили, что полюсам гь имеющим достаточно большой модуль,. соответствует полюс иуу = — 2/Т, Следовательно, большим сопрягающим частотам о~ соответствует сопрягающая частота а~ = 2/Т.

Установлено также, что полюсам г„„имеющим достаточно малый модуль, соответствуют совпадающие с ними полюсы й„. Следовательно, малым сопрягающим частотам в„соответствуют совпадающие с ними сопрягающие псевдочастоты а„.

Учитывая совпадение масштабов частоты и нсевдочастоты в низкочастотной области, можно предположить, что низкочастотная часть ЛАЧХ 1шЮ(уе) совпадает с низкочастотной частью ЛЛЧХ 1шИ'„,(уа*). Это предположение можно обосновать, если рассмотреть общее выражение, связывающее частотные характеристики импульсной системы и ее приведенной непрерывной части

и" ууит) = т ~ ут(у ум+ ~и,уу.

т= — са

Из рассмотренных выше графиков (рис. 119 — 1.21) следует, что при достаточно большой частоте квантования сигнала е, существует область частот О » а < а, »~ < в,/2, в которой вид частотных характеристик импульсной системы определяется в основном частотными характеристиками приведенной непрерывной части, т. е. на зтом интервале

!Ит(ув) ! » !Ийу(а+ га )) !, г = ~1, =~2, ...,

и, следовательно, И (уаТ) Т1 К (уа), И (уе ) В' (уа). (1.78)

Если е, > 2а., то в качестве епредельного» значения ча-

стоты а, может быть выбрано значение частоты среза о,

(рис. 1.20), В более общем случае найти а, из условия

выполнения приближенных равенств (1.78) с заданной

точностью е можно из условия

! -1

АУ '

Х И'(у( + ))+ ХИ'(у( + о)) «

т=-М т=1

ограничиваясь в нем теми слагаемыми, значение которых соизмеримо с величиной з. Часто оказывается достаточным рассмотреть два слагаемых, влияние которых наиболее существенно:

! И~(у(ве — а„)) + И~(у(а, + в,И ! с е.

причем

! 1 — е ~у» ~ $/2(1 — сове

ИТ ! ®Т

при тех же предположениях, при которых справедливо

приближенное равенство (1.77). Следовательно, при О-Я

» «Оу» Ое

Т !И'(уа)!ж !И~„(уа) !,

одолении предельной часто- только частотную характеДля соответствующей им-

Для таких систем при опр

ты а„ достаточно рассмотреть

ристику непрерывной части.

пульсной системы получим

И' (ую')=~ ~.(М р ( ')=Ч.(М

т. е. ЛЧХ: импульсной систе

»е»~а, совпадают с ЛЧХ н

мы в диапазоне частот О» епрерывной части системы.

Отметим, что при в = а должно также выполняться

с достаточной точностью и равенство (1.77).

На интервале частот О » а < в, и соответственно

О «в «» ап приближенно совпадут логарифмические ча-

стотные характеристики приведенной непрерывной части

и импульсной системы:

1,ш Ит(уув) т? шИ~ (уа~)„ср (а) ~ <р (Н*).

Для систем с акстраполятором нулевого порядка

1 — е ~~

— И~ (ув) = Ю~(ув),

page074

Распознанный текст из изображения:

При этом

следовательно,

1,74

з(1+Т а)

Рис. 1.29.

опислнии динкиных импульсных систям р'л. ~

На этом свойстве ЛЧХ импульсных систем основан метод обособленного 2>„-преобразования. Он заключается в том, что ЛЧХ непрерывной части системы в низкочастотной области сохраняется для импульсной системы без изменения, т. е. ИУ„фо) = И',„(ув*) при О ~ а ~ ез,; ЛЧХ непрерывной части в высокочастотной области в Р-а, определяется обычным путем. Поясним 'метод обособленного У -преобразования на примере.

Пример 1,15. Построить ЛЧХ импульсной системы методом . обособленного У -преобразования, если импульсная система имеет

зкстраполятор нулевого порядка и непрерывную часть с передаточной функцией

й(1+ Т г)

Н ( ) 8 (1 + Т 8) (1 + Т Ь*)

при й = 45 1(с, Т~ — — 10 с, Т2 = 0,025 с, Тз = 0,8 с; период квантования,,Т =0,1 с. ':

Ре шел'йе. Построим ЛАЧХ непрерывной части системы (рис. 1.29). В данном случае аоу2 = яуТ = 31,4 1ус. Ксли выбрать в, = 10 1ус„то ошибка в определении в~ на основе приближенно-

5 $.Ч члстотныи хлплктнристики

Ф

го равенства (1.77) составит не более 10$, так как

2 ®Г

в,' = — 1а — = 111ус.

Т 2

1дп И'(у (юо — в ) ) = 1гп Я~(52,8у) = — 34 дБ, 1.т И'(у (ар+ в,)) = 1ш Иу(72,8у) = — 39 дБ;

1И'(у(оИ+ ап)) + ИУ(у(юо — ю,))! . 0,12.

Такая точность является вполне удовлетворительной для ЛАг1Х, лежащей в низкочастотной области, начиная с частоты среза в,. Поэтому низкочастотная часть ЛАЧХ непрерывной системы сохраняется без изменения вплоть до частоты среза. Построим высокочастотную часть ЛАЧХ непрерывной системы 1дп Ж.(уо), продолжив.влево среднечастотную асимптоту (см. рис. 1.29). Передаточная функция И',(з) равна

Выполним для нее Ж -преобразование:

— ( 1,74 1,74 0,025 )

~ ( э ( )У ~ ~ 8 1 + 0,025г )

0,025

= 1 74 (1 0 ОФ5вЧ у — 1+ 0 025,

1,74 (1 — 0,05и) (1+ 0,027й)

в(1+О 025и~)- у

ЛАЧХ, соответствующая этой передаточной функции, образует высокочастотную часть ЛАЧХ импульсной системы.

ПосколькУ У ЛАЧХ 1ш Жв,„Дв~) и 1ш ИУ',(Уе) пеРвые низкочастотные асимптоты совпадают, ЛАЧХ 1шй~~,„(ув*) является продолжением уже построенной в низкочастотной части ЛАЧХ импульсной 'системы. Итак, построена ЛАЧХ импульсной системы. Она определяет ЛФЧХ, также показанную на рис. 1.29. Фазочастотные характеристики импульсной системы в низкочастотной области совпадают с соответствующими характеристиками приведенной непрерывной части, а в высокочастетной области — с характеристиками аги И',*„„(ув').

Таким образом, используя метод обособленного !В„-преобразования, удается найти ЛЧХ импульсной системы при существенном сокращении объема вычислений.

/ "г' ~~ -у-,д

page076

Распознанный текст из изображения:

ми элемент.Ами 77

мпульсном элементе ЗТ, ..., а во втором и возникают в мо- 2)Т, ....

. 1,31,6, где принясовые функции некции формирующих пульсные элементы

(1.80)

т,()) = ~р,(т) Ф„Д вЂ” т) Нт. о

х,(1) =,~~~ ~[п1 Й,(1 — и),

где

Й,()) = ) Й1тД вЂ” т) Я,(т) й о

Рис. 1Ж.

рывной части для пульсной системы, пределяемую фор-

непре ой им ,У), о

76 опислние линейных импульсных систем (гл. $

$1.5. Импульсные системы с несколькими

импульсными элементами

Импульсные системы, содержащие несколько импульсных элементов, обладают определенными особенностями, так как импульсные элементы могут различаться формой ' импульсов и периодом повторения, Моменты возникновения импульсов также могут быть различными.

Принята следующая классификация систем с несколькими импульсными элементами. Если периоды повторения Х'у

всех импульсных элементов совпаУЮ1 дают, то система называется син-

хронной. В противном случае гоюг ~ ~~ во ят об асинхронной - системе. $

сли в синхронной системе созна- ~ — — дают также и моменты возникно-

вения импульсов, то система наи9~ ' — " зывается.,срнфагной.~Могут быть

ия и в структурных схемах Рис. 1.30. таких систем. Наиболее просто

описывается система, составлен-

ная из импульсных элементов и непрерывных элементов, . каждый из которых имеет один вход и один выход, Более сложный класс с точки зрения математического описания образуют системы, непрерывная часть которых имеет несколько входов и выходов (рис. 1.30). Такие системы называются миогомерныли импульсными системами. В этом

параграфе мы -ограничимся рассмотрением импульсных систем, непрерывная часть которых описывается обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами или системой таких уравнений.

Последовательное соединение не с инфазных систем. Рассмотрим разомкнутую импульсную систему с двумя импульсными элементами (рис. 1.31,а). Эта система син-

$ $.5) системы с несколькими импульсны

хронна, но не синфазна. В первом и

импульсы возникают при ~='О, Т, 2Т,

импульсы смещены на величину е,Т

менты времени 8 е,Т, (е, +1)Т, (е1+

Это условно показано на схеме рис

ты прежние обозначения: й~ 0) — ве

прерывной части, Я;И) — весовые фун

элементов; ~ = 1, 2. Таким образом, им

описываются следующими уравнениями:

у,(7) = ~~~~ ~,[п)Я,(1 — в),

у,(~) =,'~, 'х,[п, еДЯ,(1 — и — е,).

а=-о

Непрерывные элементы системы при нулевых начальных

условиях описываются уравнениями

* (~) =) И.(т)) (~.— т))т.

(1.82) Подставляя выражение (1.79) в уравнение (1.81), получим

(1.83)

— весовая функция приведенной первой элементарной разомкнут

Подставим теперь функцию у мулой (1.80), в уравнение (1,82):

page078

Распознанный текст из изображения:

при 1 >е)е„

— е,) при 0< е -е,.

(1,88)

на случай последователь-

числа г элементарных

"вР) = ~г.о — ~)8,(~)~~

о

Рпс. 1.32.

е1-1) °

г = ег = ° ° ° = довательного

78 опислнии ляпкиных импульсных Систвм ~гл. ~

Положим т~ т — и — е„$ $ — и; тогда

ОО

$ — 'В-г

1

я,о) = д х,~и, е,~ ~ я„~~)Й2,я — 11 — вдж~ =

я=о

— Х т,(и, е,)~ (~ — и — е,), (1.84)

— весовая функция второй приведенной непрерывной части.

Запишем полученные уравнения (1.83), (1.84) с помощью решетчатых функций:

е1(~и е) = Х 1(М~1(т — и,е), (1.85)

— о

та(ги е) = Х 'е1(и е11~г(~и — и, е — е1) (еге1). (1.86)

я=о .

Применяя Я-преобразование к обеим частям равенств (1.85), (1.86), получим

Х1 (д, е) = Р~ (д) И~1 (д, е),

Х (д, е) = Х ~ (д е ) И'о (д, е — е,) (е > е,.).

Из этих уравнений можно найти связь между изображе'нием входного сигнала Р~(д) и выходного Хо (д, е):

Хт(д, е) = И,'(, е- е,) К(д, е,) Р*(д). (18?) При е ~е, будем иметь ЦЮ, е — е,) =0; поэтому

~г(~и е) = Ж™в1(и е1) ~ори — и, е — е1) =

гг=о

5 1.51 систнмы с несколькими импульсными элвмжнтАми 79

Таким образом, формула (1.87) справедлива для любых

О ~ е ~ 1, если в ней положить

И', (д, е — е,)

И'г (д, е — е,) =

е оИ'г (д,1+ е

Формула (1.87) легко обобщается ного соединения произвольного

импульсных разомкнутых систем, работающих синхронно,

но несинфазно (рис. 1.32):

Х„(д, е) = И", (д, е — е„1) ПИ~; (д, е; — е; 1) Ро(д),

(1.89)

причем передаточная функция И~, (д, е — е 1) определяется

из соотношения, аналогичного (1.88):

И'г (д, е — ег-1) =

И~„(д, е — е„-1) при 1~е~е, 1,,

(1.90)

е оИг„(д, 1+ е — е„1) при О~в~-е„,.

С учетом последней формулы передаточная функция

последовательного соединения равна

Иго (д, е) = Иг, (д, е — е„1) Д Иг1 (д, ц — е~ 1). (1.91)

$=1

Если такая система охвачена отрицательной обратной связью, то передаточную функцию замкнутой системы' можно найти по формуле (1 35) в к " адо положить

page080

Распознанный текст из изображения:

1.= в::~в»,

(1.93)

О~~в~в»,

а при вр<в <.вр+» — еле

дующий вид:

Хо(д, в) = '~~ Р" (д, в») ~(

»=Э

Рвс. $.33.

ао описАний линииных импульсных систим ю.л, »

соединения равна

т — 1

-И""(д, в) = И",(д, в) Д И',*(д), О.=в<.1. (1.92)

Параллельное соединение иесинфазиых . систем. Рассмотрим-теперь параллельное соединение синхронных, но несинфазных элементарных импульсных систем (рис. 1.33). Если уравнение каждой системы имеет вид

Х»+19 в) =

Р~ (д, в») И';+1 (о, в — в»),

Ро (д, в;) е-оИ';+1 (д, 1 + в — в»),

»

то уравнение параллельного соединения при в ~ в,, будет иметь вид Х~ (д, в) = ~~~ Ро (д, в») ~

»=о

Х ~;+»(д, в — в»), (194)

Х И'»+1 й в — в») + 2~ Р' (д в») е 'И"+ (Ч, 1+ в — в») .

»=р+1

(1.95)

В частности, при в =О

. Г-1

Хо (д, О) = ~~~', е оРо (д, в») И~»+» (д, 1 — в»).

Из полученных соотношений следует, что передаточная

функция параллельного соединения может быть найдена

только для синфазной системы. В этом случае вг=О, $ .

=О,1, ...,г — 1,

Х»+ И ) = ~'(Ч) И'»+а И )

Х* (д, в) = Ро (д) ~', Ж., (д„в),

Ф 1

о $.5~ систймы с нксколькими импУльсными элвминтАми 81 т. е. передаточная функция параллельного соединения синфазных элементарных импульсных систем равна

И'~ (д, в) = ~ И'» (д, в). (1.96)

Замкнутая несиифазная импульсная система. Найдем к передаточную функцию замкнутой импульсной системы,

включающей параллельное соединение несинфазных элементарных импульсных систем (рис. 1.34). Разомкнутая

система здесь по-прежнему описывается уравнением (1.95), в котором И~» (д, в) = Я(И~1»(д) Ю,(д)), ю=1, ...

г И~1» ®=2'(й1»(~)), Ю',(д) = 2',(йо Щ. С учетом этого уравнения при в в„, р=О, 1, ...., г — 1, получим для изображения сигнала ошибки

р

(Ч, вр) = ~ (Ь вр) Х Е И~ в») И»+1 И~ вр в»)

»=о

т — 1

— Ео (д, в») е ой~;+~ (д, 1+ в„— в»). (1.97)

»=р+т

Из этой системы уравнений можно найти неизвестные изображения Е*(д, О), Е'о(д, в,), ...„Е*(д, в, ~). Изображение сигнала Хо(д, в) на выходе импульсной системы при любых значениях переменной в найдем по формуле (1.95):

Хо(д, в) = „'5' Ео (д, в») ТФ'»+т(д, в — в») +

»=о

3'-1

+,"~', е оЕ* (д, в») Я~;+, (д, 1+ в — в»), (1.98)

вр е~ в ~ вр+11 р = О~ 1~ ° ° ° ~ г — 1~

6 В. А. Иванов, А. С. Ющепко

page082

Распознанный текст из изображения:

82 ' опислник. линнаных импульсных систкм )гл. 1

1=1,2,...,М.

(1.99)

Такие импульсные системы называются многократными. В основе описания многократных систем лежит тот факт, что им<- уу-1 пульсный элемент с периРис. 1.35. одом повторения Т/Ф можно представить как параллельное соединение Ж элементов с периодом Т (рис. 1.35). По формуле (1.94) при этом получим

й-1

Х* И, е) = ~', Ро И, е;) Иго (д, е — е;) (е «) ел 1), (1ЛОО)

4=о

е1=1/У; ~=1,2»...,Ф вЂ” 1; е =О;

И'о И, е) = Я (й [и, еЦ.

Рассмотрим многократную систему, содержащую импульсные элементы с периодами повторения .Т и Т/Ф

ф~

Рис. 1.3»).

(рис. 1,36). Учитывая формулу (1.100), получим

Ж-1

Х И е) = Х Х И едИ'ой е — д ( «еа-1).

1=О

Х, И, е) = Р* И, О) И~, (д, е)„

и~1 (д е) — ж (»»'1 [»»' ео иг2 И е) ы 1'"2.['2. еО'

Асинхронные импульсные системы. Описание асинхронных систем в общем случае представляет собой более сложную задачу, Исключение составляет случай, когда периоды повторения во всех импульсных элементах кратны одному и тому же числу: Т; = 1ТУЖ,

ф 1.51 систБмы с нксколькими импульсными элБМБнтлми 83

Отсюда следует, что

Х2 И ) = Х ~'И О) И' И ед И' И, е — д (е~: ж ).

(1Л01)

Передаточная функция рассмотренной многократной импульсной системы при е ~ е)», равна

»)»-1

И'*(д, е) = ~', И'1 (д„е;) И'2 И, е — ед. (1.102)

1=О

При е„~ е ( е,+, аналогично (1.95) получим

'* Й

И» е) Х И 1 И» ед И 2 И» е е1) +

ж-1

+е о '),", И~1(д, е1)Ж2(д,1+ в — е;). (1ЛОЗ)

$=-1»+1

В частности, при е = 0

)'»" — 1

и'* И, 0) = е-о ~~ и'1 (д, е;) и~, И, 1 — е;). (1л04)

1=0

Полученные формулы позволяют составлять уравнении

импульсных систем, которые включают в себя рассмотренные соединения.

Многомерные импульсные системы. Рассмотрим многомерную импульсную систему (рис. 1.30), имеющую г входов и Й выходов. Если непрерывная часть системы описывается системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, связывающих функции у1И),

у =1, ..., г, и х~Д), 1= 1, ..., й, то решение этой системй

при нулевых, начальных условиях всегда можно представить в следующем виде:

ж (»)= ~.1»,»„(»-т)д»(т)»т, »=»,...,Й. (»л05)

1=1 о

Ж!,

Пусть импульсные элементы работают синхронно, но не"':::;,',.:.':: синфазно и описываются уравнениями

У1(1) = ~.'~ ~7 [В» еД ЯЯ(8 — и — е~)» ~ = 1» ° ° °, г. (1ЛО6)

.'» ео

page084

Распознанный текст из изображения:

84 ОписАние линейных импульсных систем ~гл. 1

Вводя обозначение

Й„"(7 — ву) = ) Йц,о — т)я~(т.— в;)ит а.)07)

о

и подставляя у,(8) из уравнения (1.106) в уравнение

(1.105), получим

х; (~) = ~~~~,'~', ~«[и, е«Д Йц (1 — и — е;),

$ ьб~ системы с несколькими импульсными элементАми 85 матрицу %*(д, е) размера [Й Х г1 с компонентами И~ц(д, е), получим вместо (1.112)

Х*(д, е) = Жо(д, е)Р" (д). (1.113)

Матрица %*(д, е) называется передаточной матрицей разомкнутой саифазиой импульсной састемы

Используя полученные формулы„можно описать замкнутую синхроннуй (в общем случае несинфазную) импульсную систему (рис. 1.37). В етой системе сигналы

х; [т, е) = ч~~~,Я~ ~ [п, е«1 Йц [т — и, е — еД, (1.108)

«=1 В=О

е~~е,.; 1=1,..., Й..

Для того чтобы это уравнение было справедливо при любых О-.:=-в ~1, перепишем его при е,-"==е - ер+, следующим образом:

х; [т, е).=- ~,'~", «'«[п, е«1 Йц [т — и, е — е«1 +

т)=О «=1

. +' ~ ««[п, еДЙц[т+ и+1, 1+.е — е«1 . (1.109)

;=,+1 '

В частности„ если система синхронна и синфазна (е; = = О, у = 1,..., Г при О ~ е <= 1), будем иметь

'т т

х1 [т, е| = ~~~~ ~', ~«[п«Йц [т — и, е~. (1 110)

«=1 В=О

В области изображений уравнения (1.109), (1.110) примут вид

х (д )= Х~«(ь «)[~'цИ вЂ” )+

«=1

+ ~~~'„' Р (д, е«) е ойтц(д, 1+ е — е,'), (1.И1)

1=р+1

т

Х:И, ) — — Х~'(Ч)~'ц(Ь ) ~=1 ' .Й (1112)

где В'ц«(д, е)=Я) (Йц [п, еО; Последнее соотношение удобно записать в матричной форме. Вводя векторы Х~(д, е) =

= [Х'(д, ), . ", ~'И )Г»'(д) = ~р. (Ч) " Р. (Ч)Г и

Рис. 1.37

обратной связи у,(~) связаны с вы

системы х)И) соотношениями

У 6)= Ха«х«Ь

1=1

Где « = 1,..., Г; ае = союей. СиГналы Ош

каналов равны

ХОДНЫМИ СИГНЕЛамИ

А

, е) —,)'„~ а«1х1 [т, е[.

Ф 1

< е <-ер+1, с учетом

Переходя к изображениям при ер

формулы (1.109) будем иметь

е'(ь )=

А р

=-~«И ) — Хац ХЕ1И.е7

$=.1 )=1

+,Я Е) (д, е))е ~й~ц(д

)=р+1

Из зтой формулы найдем систему ур

) ~['11(Ч е — е))+

, 1+ е — е)) . (1.114)

авнений, определяю-

е; [т, е[ = ~«[т, е) — у; [т, е~ = ~«[т

ибок по каждому из

page086

Распознанный текст из изображения:

86 описАнин линниных импульсных систвм ~гл. 1

щую изображения сигналов ошибок при фиксированных значениях е зр, р = 1, ..., т:

Е (д зр) =

А р

~ д (Ь ер) Х «ц» с~4 ~ч (Ч~ з~) И и Ц» ер з3) +

1=1 1=1

+ ~ Е~ (д, е~)е ~И'ц,~д,1-)- в — е~)~. ~).И5)

Е=р+1

Изображения выходных сигналов при любых значениях найдем теперь по формуле (1Л11):

~1(ь е) =,Х Е*(ь') И'цй, е —;)+

+ ~ Е; (д, з;) е ~И~ц(д, 1+ з — з;). (1.116)

1=Р+1

В частности, для синфазной системы из (1.115) получим

.Еу ® = Р (д) — ~ а;; '~'„Е~ (д) И~й (д).

1=1 ' ~=1

В матричной форме это соотношение можно записать

так:

Е~(д) = Р~(д) — А%'Р(д)Е*(ф, (1.117) где А — матрица размера 1т Х И, состоящая из элементов ан. Отсюда найдем

Е*(д) = (Е+ А97~(д))-'Г~(д), (1.118) где Š— единичная матрица соответствующего размера. Вектор Х~(д, з) изображений выходных сигналов найдем по формуле (1.113):

Х*(д, е) %~(д, е? (Е+ АЖ~(д)) 'Р~(д). (1Л19)

Матрица %~(д, з)(Е+АЖ*(д)) ' является передаточной митричей замкнутой синфазной импульсной системы,

$ 1.6. Разиоетиые уравнении импульсных систем Разностные уравнения игра1от в теории дискретных систем управления ту же роль, какую дифференциальные уравнения играют в теории непрерывных систем. Способ :описания дискретных систем разностными уравнениями

.Ф: И 1.61 РАэностнык уРАВнжния

У'

является наиболее общим и применяется как дл

ных, так и для нелинейных систем. Разностные

ния позволяют выполнить ка11ественпыЙ анализ и

ных систем, в том числе анализ их устойчивости

того, разностные уравнения используются и при

задач синтеза импульсных и цифровых систем чи

ми методами с использованием ЗЦВМ, Основные с

о разностных уравнениях можно найти в учебн

бии [6, т. 2).

Вопрос о составлении разностных уравнений

::-'-',":;::: ной системы удобно рассмотреть сразу для общег

".,'' когда система является многомерной. Уравнения

темы, имеющей один вход и один выход, по

тогда как частный случай.

Итак, рассмотрим многомерную, синхронную,

щем случае несинфазную разомкнутую импульс

тему (рис. 1.30). Будем считать, что непрерывн

системы описывается системой дифференциальн

пений, записанных в нормальной форме:

х=Ах+Ву,

где х = хУ) — Й Х 11-вектор фазовых коорди

= уУ) — 1т Х И-вектор входных сигналов, матриц

ет размер [ЙХИ, а матрица  — 1тХМ; г~й.

я линей- уравне- мпульс. Кроме решении сленныведения ом посо-

импульсо случая, для сис- лучаются

но в обную сисая часть ых урав-

нат, у аА имеВначале постоянязаны с

ениями рме сле-

предположим, что матрицы А и В составлены из

ных коэффициентов. Компоненты вектора у св

входными сигналами импульсной системы соотнош

(1Л06), которые удобно записать в.матричной фо

дующим образом:

у (У) =;)", 8 (К вЂ” и — е) $(п, в1,

Ф:, л.=о

где

ЯУ вЂ” в) =)11адЫЯ вЂ” е,), 8,У вЂ” е,),, ЯЯ—

При 'Зр ~ ~ зр+~

(1.121)

ний од- соответ-

".;~',:...8(~ и) =~111аф(Ю~ е1)эЯ~ ей)~ ° ° ~ ~р(~ ер)~0~ ° ° 10) °

Пусть ХУ) — фупдаментальная матрица реше

.,;,: породной системы дифференциальных уравнений,

';:"-етвующей (1Л20), т. е. системы

Ф:-~' х =Ах.

)'„:':::::.":Когда решение неоднородной системы (1Л20) можно

page088

Распознанный текст из изображения:

88 опиалнив липиных импульсных систим ~гл.

записать следующим образой

х(т) = Х(т) Х(те) х (тт) +1 Х (т — т) Ву(т)т)х, (1.122)

70

где хУО) — вектор начальных условий, заданных при $ =12. Выбирая К,=п и заменяя ~ по формуле ~ =и+а, получим

Я

х(х, в] = Х]е, в]Х '(е] х(е] -т- ~ Х(е — т]) Ву(п, т]]й],

(1Л23)

где и ъ — п.

Заметим, что при отсутствии входного сигнала непрерывную систему можно описать разностным уравнением, которое следует из ИЛ23) при у(т) = О, е -1:

х[п+ 11 = Х[п+ 11Х-'1[п1х[п1. И.124)

П„с е к Х[ 1 Ате Х[и+ 11Х-1[п1 А ([61

с. 142), зто уравнение можно записать в виде

х[п+ 11 = еАх[и1. ' ИЛ25)

Это — однородное матричное разностное уравнение с постоянными коэффициентами..

Воспользуемся теперь равенством ИЛ21), из которого при и ~ ~ ~ и+ е, О ~ е . 1, следует выражение

уИ) = БИ вЂ” и — еИ[п,' в1. ИЛ26)

Подставив уО) из этого равенства в уравнение непрерывной части ИЛ23), получим

х [и, е1 Х [и, е1 Х [п1 х [п1 +

- + ) Х (е — т]) ВЯ (т] — ' в) 1(в, В] т)Вт

о

или

х[п, е1 = е"'х[и1 + К(е, е)Ии, е1,

где

В(, )=1Х( — Ч)ВЯ(Ч вЂ” )д„. (.28)

о

6 $.о) глзностныв юглвнвния

В частности, 'при е = 1 из И.127) будем иметь

х[п+ 11 = е"х[п1 + КИ, е) И ив е1.

Получена система разностных уравнений

с постоянными коэффициентами, описывающая

ваемую импульсную систему, Эти уравнения

шить последовательно, т, е. нри заданном х[01

х[11 =е"х[01+КИ, еЦ[О, е1.

И.129)

порядка Й

рассматри- '

можно ре-

найти

Далее

х[21 = еАх[11+ КИ, еИ[1, е1 =

= е"х[01 + е"КИ, е)НО, е1+ КИ, еИ[1, е1

и т. д;;

и

х[п+Ц = е '"~~~х[О]+ ~ е " 'Й(1, е) $[т,т е1. (1ЛЗО)

Подставляя найденное в дискретные моменты времени

решение х[п1 в правую часть равенства ИЛ27), можно

найти процессы в импульсной системе в любой момент

времени.

В частности, для синфазной импульсной системы урав-

нение И.127) примет вид

х[и, е1 = е"'х[п1 + К(еИ[п1, ИЛ31)

где (см. ИЛ29))

8 Я

В(е) = ) Х(е — т]) ВЯ(т]) Ыт] = ) е"~' "~ВЯ(т]) т)т], (1.122)

о о

х [и + Ц = еАх [и1 + К (1) $ [в1. (1ЛЗЗ)

Заметим, что разностные уравнения ИЛ29), ИЛЗЗ)

найдены при е — 1, т. е. при х[и+11 =х[п+1, — 01„в то

время как х[и1 есть 1ппх[и, е1 =х[п., +01. Поэтому полуя-.о

ченные уравнения имеют смысл в том случае, когда функ-

ция хИ) не- имеет разрывов непрерывности при 1 = и. Для

этого должно выполняться условие К(О, е) = О.

Если у(1) не имеет разрывов второго рода, то.послед-.

нее условие выполняется.

В том случае, когда рассматривается импульсная сис-

тема с кратковременными импульсами, то Я(У) = Й„ЬЛ);

следовательно,

К(е, е) =, Х(з — е)Вй„,

page090

Распознанный текст из изображения:

90 описАнин, линнйных импульсных систвм ~гл. причем Х (е е) Н = Жх1,(е — е,)1(е — е,)ЬН ". Хха(е — е,,)1(е — е„) Ь3„ Х 'Ь(е-е1)'(е- )Ь:1 " Х ц( -',)~( —,)Ь;, Если, в частности, е, = О, то матрица

~' х1) (О)Ь) О .;. О В(О,е)= *

,"У~,х~,(0)Ь,, 0 ... О . будет определять разрыв непрерывности, т. е.

х[п, +01 — х[и, — 01 = В(0, е)Ии, е1. И.134) С учетом этого обстоятельства из ИЛ27) будем иметь х[и+ 1, — 01 = е"х[п, +01 + ВИ, е)Яп, е1 =

= е'х[п, — 01,+ (е"В(0, е) + ВИ, е))йи, е1. ИЛ35)

Таким образом, мы вновь получили разностное,уравнение, но оно определяет решетчатую функцию х[и, — 01. Значения х[п, +01 можно найти теперь из формулы (1Л34). Заметим, что если а~~О, то Х(е — е)В=О при е =О и, таким образом, решение х[и,'е1 не претерпевает разрывов при 8 = и. Однако при-1'= и+ е;, ~= 1, 2,..., г решение будет разрывным. Разрывы решения при ~ = и+е, т. е.

х[и, е;+ 01 — х[п, е~ — 01 = К(е~, е)йп, е) определяются матрицей В(е;, е), равной В(е(, е) = ',~', ~„. (е,.— е,) Ь,, ~Ч~', х„. (е,— е,) Ь,, ',~', ~„. (О) ~-у,. О... О ~~~~ хЬ) (е,— е1) Ь~1 ~~ хь) (е,.— е2) Ьр,... ~~'~ хц(О) Ь),. 0... 0

ю

Если система синфазна, разрывы решения могут возникнуть только при 1 = п, причем

х[п, +01 — х[п, — 01 =В(О)Ип] =Х[О]ВИп] = 31[и].

М ~.й алзностныв я лвнвния Я Уравнение И.135) примет с учетом последнего равенства следующий вид:

х[и+ 1, — 01 =е х[п, +01 +Х[11ВИп1 =

= е"х[п, — 01 + 2е"Вйи].

Итак, мы рассмотрели разностные уравнения разомкнутых импульсных систем. Они позволяют записывать и разностные уравнения замкнутых систем. Рассмотрим, например, замкнутую импульсную систему рис. 1.37 для случая, когда непрерывная часть описывается системой дифференциальных уравнений И.120). В этом случае в уравнениях И.127), И.129) надо заменить Ип, е1 на

е[п, е1:

е[п, е1 = Ип, е1 — Ах[и, еК

Вместо И.127) получим

х[п, е1 = е"х[п1 +В(е, еИ[п, е1 — В(е, е)Ах[и, е1. ИЛ36) Отсюда видно, что для песин фа зной системы вектор х[п, е1, 0 ~ е -1, может быть найден лишь в том случае, когда известен вектор х[и, е]. Поэтому вместо ИЛ29) требуется решить следующие уравнения:

х [п, е;] = е "х [п] + В (е;, е) К [и, е]— — В(е;, е) Ах[и, е], ю =1,..., г. (1Л37)

Это система г векторных алгебраических уравнеиий с г неизвестными векторами х[п, е11, ~ = 1,..., г.

Если известен вектор х[п1, из ИЛ37) можно вначале найти х[п, е], а затем из ИЛ36) — искомь~й вектор х[п, е1. Вектор х[п1 по-прежнему можно найти из системы "рекуррентных соотношений. Если х[п,е] не претерпевает разрывов непрерывности при п = О, 1,..., то из ИЛ36) при 1 е- 1 будем иметь

х[п+ 11 = е"х[п1 + ВИ, еЩп, е1 — ВИ, е)Ах[и, е1. (1ЛЗЗ) В частности, для синфазной системы

х[п+ 11 = (е" — ВИ)А)х[п1 + ВИ)Ип], И.139)

х[п, е1 = е"'х[п1 + В(е)Ип] — В(е)Ах[п1. ИЛ40)

Вьппе мы рассмотрели уравнения импульсных систем в предположении, что непрерывная часть описывается уравнением И.120), т. е. может быть многомерной систе-

page092

Распознанный текст из изображения:

мой. Обратимся к частному случаю, когда непрерывная часть имеет' один вход уЫ) и один выход хУ), связанные дифференциальным уравнением '

ж("+ а,ж"-"+... +а,,ж'+ а,ж =

= у'-'+ й,у~--'~+... + ~„,у'+ ~„у,

и ( й', аь ()1 = сопе$. ИЛ41)

1-(й — ж)

= Й+1+ ~Й С1-(у

(1) %Ъ (1)

1=6

Из этих соотношений следует

1=1,2,, *,~ — и — 1,

Й = А(+1 + С(у~ 1 = й' — и,...~ Й вЂ” 1, [1.142)

(й) ч; С„,у

1=1

Выберем коэффициенты С, из условий (см. [61, т.- 1,

с. 231)

С„=1

й-1

Сй 1=6 1 — Х ай' )С1 1,

1=й — та+1

3=1,2,..., и — 1,

тогда последнее из-равенств [1Л42) запишется в виде

й-1

зй = — ' Ж ай-Ф$+1 + Сйуь

1=()

где

й-1

Сй ~)щ 3 ай — 1С(ф,

1 й-ж

таким образом, эту систему. равенств можно записать в

Для того чтобы представить уравнения такой системы в форме 11Л20), нужно избавиться от производных в правой' части системы. С этой целью вводятся новые переменные зь 1=1,2,...,й:

(1)

е =з(+1, 1=0,1,...,й — и — 1,

вйзностныв л Амщния

виде (1Л20), если положить

о

о . о

о

1

— а, — а .— а,,.. — а

С = [О, О, ..., О, С , ..., Е Д , °

т

Е = [Я1~ З1, ~ Яй)

в = Ав+ Су, (1.143)

причем ' у — скалярная функция. Подставляя: в 11.143)

у из равенства 11Л26), получим равенство, аналогичное

(1.127). В частности, для синфазной системы при в=О

получим равенство вида ИЛ31), т. е.

е[п, е1 = е"вЫ+К,(е)Ип3, ИЛ44)

где

В,(в) =) е"" "'СВЩИту ($.145)

о

при е = 1 найдем разностное уравнение вида ИЛЗЗ), описываю(цее импульсную систему:

з[п+ И =е"ела+К ИИ[п) ' И 146)

Решая это уравнение при п=1,2,..., найдем е[п1,. а из уравнения И.144) определим е[п„е1 для л(обых О~ е <-1.

Компоненты зДп), з1[п, е1 векторов-е[п1, е[п, е1 определяют процесс на выходе рассматриваемой импульсной системы юИ) =з,Ы).

Для импульсной системы с кратковременными импульсами векторная функция е[п, е1 терпит разрывы непрерывности при е =О, что нужно учитвей)ать при решении разностных уравнений, так же как и выше. В остальных случаях функция Ы1) будет непрерывна, хотя у(1) — выходной сигнал импульсного элемента — терпит разрывы непрерывности первого рода в моменты квантования сигнала. Решение тУ) дифференциального уравнения 11Л41) будет иметь непрерывные производные вплоть до порядка 7с — и — 1 включительно. Производные более высоких. порядков имеют разрывы непрерывности при 8 = п, причем

Ф (-(й-т)

ж" [и+ 0~ = з(+1[п~+ ~ С; (у~') [п+ О[, [1.147)

1 = Ус — и, ..., Й вЂ” 1.

page094

Распознанный текст из изображения:

РАзностные уРАвнвния

Обозначая

х~[и, е1 = х[п + ~ — 1, е1,

о ~ о

о о.

— % %> -~ %~-2

[х„х„..., х 1,

/[и+ ю1, ~ =1,2,...,

К 1 ~т1,

о ... о о

о ... о о

ь=1,2,...,Й,

о'

о

"1

>

~»>

(1.148)

где

94 опислнив липиных импульсных систвм ~гл. ~

В частности, для системы с прямоугольными импульсами,

р"Ми+01 =й,~[п1, у'о[и+01 =О, 1 =1,2, ..., т — 1.

Отметим, что описание импульсных систем с помощью разностных уравнений обеспечивает большие возможности как для их моделирования с помощью ЗВМ, так и для анализа их общих свойств„например устойчивости. Вместе с тем составление разностного уравнения требует предварительного вычисления матрицы Коши для системы дифференциальных уравнений, описывающих непрерывную часть. Эта задача решается приближенно для систем с постоянными параметрами с учетом формулы

е т А+ — А2+ — Аз+ ... + — А~.

2 3! ''' А!

Для систем с переменными параметрами решение такой задачи значительно сложнее.

Для систем„непрерывнан часть которых описывается дифференциальным уравнением ИЛ43), разностные уравнения можно опрелелить и без привлечения матрицы Коши. Пусть такая импульсная система описываетсн в области изображений с помощью равенства

Х,* (з> е) = Ф, (з, е) Р,'(з)>

Х,'(з, е) = Ж (х [п, еЦ, Р,'(з) = Ж (~ [пЦ,

0'() з"-~-а,л~-'-[- ... -[-а '

Ь~ = Ь~(е), ~ = 1,... „т; а; = сопз$, ~ = 1,..., Й; т ( й.

Записывая ИЛ48) в виде Ч>> (з) Хд (х> е) = Р~ (з> е) Рд (з)

и переходя к оригиналам в обеих частях этого уравнения,

будем иметь

х[п+ й, е1 + а,х[п + й — 1, е1+... + а„х[п, е1

= ~[и+ т1 +. Ь,~[и+ т — 11 +... + Ь ~[и1

Мы получили разностное уравнение.

можно записать его в матричном виде:

х[и, е1 = Ах[и1 + В(е)Ии1; ИЛ49) в частности, при е = 1

х[п+ 11 = Ах[п1 + ВИ)Х[и1. (1Л50) Решая рекуррентно зто уравнение, найдем х[п1, а затем из .ИЛ49) вычислим х[п, е1 длн любого значения О ~ ~е 1.

Разностные уравнении ИЛ50) и ИЛ46) имеют существенное отличие. Уравнение И.150) можно решить лишь в том случае, если известны значения решении х[и1 при и =0,1,...,й — 1. В то же время уравнение И.146) требует для своего решения. тех же начальных условий, что и решение дифференциального уравнения непрерывной части, т. е. х"'(0), ~ = О, 1,..., Й вЂ” 1.

Решив при и = О, 1,..., й — 1 уравнение И.146) „можно затем перейти к вычислению решения по формуле И.150). Это даст значительное ускорение процедуры счета, так как уравнение ИЛ50) проще, чем ИЛ46), и, кроме того, на каждом шаге вычислений уравнение И.150) позволяет найти сразу й значений решения х[п1.

Разностные уравнения, аналогичные И.150), можно получить и для многомерных импульсных систем, воспользовавшись матричным уравнением для изображений ИЛ13). Поэтому сделанный вывод справедлив и длн многомерных систем.

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг5,00
0
0
0
0
1
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее