Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Управление техническими системами (УТС)Учебник ПоповаУчебник Попова 2013-10-06СтудИзба

Книга: Учебник Попова

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики книги

Учебное заведение
Семестр
Просмотров
751
Скачиваний
226
Размер
13,77 Mb

Список файлов

001

Распознанный текст из изображения:

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава 1. Виды и особеииооти аелииейвглх систеы

1 1,1, Виды иелииейпостсй

1 1.2. Фавовое пространство и фавовая плоскость

1 1.3, Типы особых точек а фаэовые портреты линейных

систем

1 1.4. Особые то.ши и фавовые портреты нелинейных

систем

Глава 2. Иэображеиие переходных процессов ва фээовой

пвсыгостм

1 22. Переходные процессы и автоколебания релейной системы

1 2 2. Система со скольвящиьг процассом

1 2.3. Систепа с логическим управлевяем, Учет времеянбго вапаацывакия

1 2.4. Скстсыы с эсремеиной структурой Глава Х Методы припасавываиия и точечааго преобрюовакия

1 3.1, Метод припасовываппв

1 3.2. Метод точсчаого преобрааованпя

1 ВХ Примеры точечного преобраэовапвя Г л а в а 4. Автоколебаиия в системах высоиого порядка

1 4 В Исходиые положеапя метода гармонической лииеариэации

1 4.2. Вычисление коэффпциеатов гармонической ливеарпвацпи

$ 43. Алгсбрапчесэиэ способ определения симь1етричиых автокол*бавий и устовчпвости

1 4А Частотный способ определения симметричных

автоколебвпий

1 45. Песимметркчвые автоколебания. Постоиапые

ошибки

Глава 5. Исследование усюйчивостп иеливейиых сишем

$52. Усюйчивость. Фуикдия Ляпунова

$5.2. Теоремы Ляаупова

$521 пример исследования устойчивости методом

Ляпунова

5 7 7

13

18

52 52 57 62

70

70

76

86

97

104 М2 112 М8

002

Распознанный текст из изображения:

9 5.4. Исследование устойчивости методом гармонической лияеаризации . . . . . . . , . 129 4 5.5. Частотный критерий абсолютной устойчивости 135

Г л а в а 6. Процессы управления и вынужденные колебания

в нелинейных системах .

$6 1. Одночастотные вынуященные колебания. Частотные характеристики

$6.2. Процессы управления, сопровождающиеся вынуждеянымв вибрациями .

$6.3. Процессы управления в автоколебательпых системах

$6.4. Колебательные переходные процессы .

Глава 7. Нелинейные системы с коррекцией .

4 7.1. Линейная коррекция нелииевпых систем .

$7.2. Нелинейные корректирующие устройства .

$7З. Псевдолинейяая коррекция .

$7.4. Системы с поремеипой структурой

Глава 8. Дискретные нелинейные системы .

$81. Виды нелянсйпыт дискретных систем .

$ 8.2. Критерий абсолютной устой ~ивости нелинейных

дискретных систем

$ 8.3. Одпочастотпые периодические колебания в нелинейных дискретных системах

9 8.4. Коррекция систем управления с ЦВЫ .

9 85. Особенности систем автоматического управления

с ЦВМ.

Глава 9. Самонастраивающиеся системы .

$9.1. Виды самонастраивающихся систем

9 9.2. Системы с рааоьжнутой цепью самонастройки

$ 9.3. Самонастраивающиеся системы с моделью .

4 9.4. Системы с авалиаом процесса управления .

4 9.5. Экстремалькые системы .

Литература

143

147

156 163

175 175 185 196 207

294 214

217

2"О 225

230

233 233 241 245 248 го1 254

003

Распознанный текст из изображения:

Е. П, ПОПОВ

ТЕОРИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО

РЕГУЛИРОВАНИЯ

И УПРАВЛЕНИЯ

издлник второй, сткркотипнок

До рене о Ми иаеораееон вианрее

н ар б о енениалю оео обраоае нил СССР е ио еве рееб ооа наеабн» блл аербенеоо

вилюе и ренн неанин реебнин еоеебениб

москВл енлтнАе

ГЛАВНАЯ РККЛКИИЯ 'ЛЧ

ФИЗИКОМЛТКМЛТИЧКСБОЯ ЛИТКРАТРРМ

1888

004

Распознанный текст из изображения:

ББК 32.965.5

П58

УДК 681.5(075.8)

Учебное пособие содержит основные рввделы теории велиией- вЫХ систем, Входюцие в щнирамму егунов. Подробяо внложеиы шщюко применяемыв па правтяве метод фавовой плоскости и метод гармонической ликеарпвации, приводится характеристика методов точечного преобравовавия и припасовывввия. Освоввой упор сделан ва выявлеккя основных особеппостей дипамического поведения велпкейвых систем 1авгскслнбввия, скольаящий процесс, логпчеююе укрввлеяие, перемеияая структура и т. п.). Зиачюельвсе вввмавве уделяется коррекции велввеипых систем, Даются оаюнкые понятия о самонастраивающихся систеиах.

1-е ивд- в 1979 г.

Для студевтов атувов, а таккю для июквверов -проекпгровщииов автоматических систем.

Табл. 1. Ил. 223 Виблиогр. 37 ванн.

Рецеквеят

доктор техвичесвюг ваув Г. П. Лебедев

П искательство «пвунв».

с)

Главная релннлвя фннлно-нлтеннтвтеснса лвтервтурм, Щтв, ж88

П 1502000000 — 190 175 33

053 102)-33

18В)л 5-02-013903-3

Попов Е. П, Теории яелпвейяых систем автоиетичесвого рвгулнроввяия и управлввюп Учеб. пособиЕ.— 2-е ивд„стер.— Мл Парка. Гл, Род. Фии-мат. лиг„1933.— 255 е.-!ОВП 5-02-013903-3.

005

Распознанный текст из изображения:

ПРКДИСЛОВИВ

Настоящее учебное пособие по нелкнейяым автоматическим системам соответствует второй части курса теории автоматического регулирования, читаемого автором в МВТУ им. Н. Э. Баумана. Этой части предшествует первая часть — теория линейных систем ~231. Вопросы статистики и оптимизации рассматриваются в последующих частях курса, которыми являются статистическая динамика и теория оптимальных систем,

Основная задача автора состояла в том, чтобы изложить нелинейну<о теорию с наиболыпей наглядностью. При этом акцент сделан на таких вопросах и методах, которые наиболее доступны для инженерных расчетов при анализе и проектировании нелинейных систем автоматического регулирования и управления. Кроме непрерывных нелинейных систем, кратко рассмотрены нелинейные дискретные системы. раздел самонастраивающихся систем изяо<кен конспективно и ограничен основными понятиями о видах, структуре и функционировании различных типов самонастраивающихся систем автоматического регулирования и управления.

Последовательность изложения материала следующая. Вначале на примерах нелинейных систем второго порядка в простейшем виде па фазавой плоскости рассматриваются наиболее характерные особенности переходных и установившихся процессов, которые не наблюдаются в системах линейных и порождены именно наличием нелинейностн характернстгп<. Каждый такой пример <н соответствующий ему параграф во второй и третьей

006

Распознанный текст из изображения:

главах) имеет самостоятельное значение как введение к рассмотрению определенного класса нелинейных процессов управления. Таким образом в рамках систем второго порядка удается наглядно с методической точки зрения показать основные существенные особенности поведения нелинейных систем, хотя сниисение порядка уравнения динамики всей замкнутой системы до второго явчяется довольно сильной идеализацией реальных автоматических систем.

В последующих главах излагаются методы исследования и расчета нелинейных систем автоматического регулирования и управления, динамика которых описывается уже дифференциальным уравнением высокого порядка (выше второго). Это характерно для большинства реальных систем. Таковы главы четвертая, пятая, шестая и седьмая, В этих главах рассматриваются нелинейные непрерывные системы и релейные системы, а также некоторые способы их коррекции. Глава восьмая посвящена краткому изложению методов исследования устойчивости и периодических колебаний нелинейных дискретных систем.

007

Распознанный текст из изображения:

ГЛАВА 1

ВИДЫ И ОСОБЕН1!ОСТИ

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

$1ЛС Виды иелииейиостей

Система автоматического управления илв регулировавия 'называется келикейкой в том случае, если хотя бы одпо знспо системы описывается велииейпым уравнением (сбладает нелинейной характеристикой). В первой части курса (231 изучались линейные системы как обыкноаевиые, так и другие (с запаздыванием, с распределенными параметрами, с переменными параметрами и дискретвые). Система любого из этих видов становится нелинейной, если хотя бы в одном звене системы имеется какое-либо откловевие от ливейвой зависимости. Поэтому класс возможных веливейвых систем весьма широк.

Строго г говоря, все реальные системы являются в в большей или мввылец степени иеливейными. Однако во всех случаях, когда с ивжеиерной точки зрения допустима рассматривать линеаризававиую систему, обращаются к линейной теории как более простой и более разработанной. И только тогда, когда пеливейвость играет существенную роль в поведевии системы, прибегают к теории веливейвых систем. Последняя становится все более важной для практики по мере повьппевив требований к качеству процессов и к точности расчета систем автоматического управления и регулирования.

Можно рааличать статичесггие и дипамические неливейпости.

Статические велииейвости — это нелинейности статических характеристик. Ови могут быть непрерывными (рис. 1 1), или релейвыми (рис. 1.2). С другой сторовы, ови могут быть одвозпачвыми (рис. 1.1 и 1.2), петлееыми гистерезисвыми (рис. 1.3) или опережаввцими (рис. 1.4). На рисувках даны примеры аналитического описания статических нелинейвостей. Нелввейвые стати-

008

Распознанный текст из изображения:

х =их, +)~ х~ шш

~ ~=ф~+АЩ ~!р~

Хр — — ЯМ/

~~ ю =И!пх~

.Рис. 1Л.

ГП при д;<4 ~=~,ЩЧку~лх) уш ф: Ю.

009

Распознанный текст из изображения:

ческиз

ие характеристики могут иметь и более сложный вид, ка

иак это покааано, например, на рис. 1.5. а) Комбинация

кп релейной и линейной характеристик; 6) характерно тика расхода газа хт при разных давлениях в зависимости

сти от открытия клапана лб с) зависимость скорости

привода хт от управляющего сигнала х~ при разных нагрузках; г) зависнмоть между моментом и угловой скоростью электродвигателя при равных напряжениях.

Динамические нелинейности — это нелинейности, связанные с дифференциальными уравнениями дикамики авена. К ним относятся, например, нелинейное трение. Так, нелинейная сила вязкого трения характериауется выражением

г, = — ~с, + с, ~„—,) ~~-,.

Сила сухого трения в простейщем случае (ляется и

010

Распознанный текст из изображения:

более сложные зависимости) описывается соотношением

И* сс

Е, = — сз1йв — при — ~ О,

сз сз

Сх

— с(с,(с при — = О.

)рт ти 'О б,

~~ ).Йси Ч~л4 'б

.Гс з!ул ф-ф зрсф~б

б~хе-1с. Осел, л Ц б

е)

г .Оз.

(Т,р+4)х,=л,х, при рх,> О„

(Тер+ $)х =л1х при рхе(О.

Здесь иадо отметить особеиность такой динамической нелинейности по сравнению с линейным звеном с пере-

Звено с измеилющейся постоянной времени имеет вид

с

)Т,(х,) р+1)хе —— А,хы р= — „,

или же

012

Распознанный текст из изображения:

менным параъ1етрам вида

(Т~ (г) р + 1 ]хе = й|хо

В системе с переменными параметрамн фигурирует зависимость коаффициентов ог времени, в то время как веливейвость характеризует их ваеисилосгь ог координат (или проиавадвых). Точно так же, например, гистереаис (рис. 1.3) представляет собой нелинейное (координатное) запаадывание, в отличие от временного или вверционного в линейных системах. Аналогично на рвс. 1.4 представлено нелинейное (координатное) опережение.

Конечна, могут быть нелинейные звенья с переменным параметрам, например вида

(Т,(хи С)р+ $]хе = й хи

а также нелинейные аапаздывающие звенья типа

хг(г) = Е(х~(г — т)).

Нримерами динамических велинейностей могут служить также любые нелинейные дифференциальные, раанастные и интегральные уравнения.

Нелинейности в системах управления и регулирования могут быть естественно присущими реальной системе (трение, люфт, гистереаис, нона нечувствительности, васыщение) и зачастую вредными; влияние их в атом случае вада стремиться уменьшить. На могут быть и специально вводимые нелинейности для придания системе желаемых свойств, 'Гаковы, например, репейные элементы и рааличпые нелинейные и пссвдоликейные норректирующне устройства. Большой интерес представляют также логическве нелинейные управляющие блоки и системы с переменной структурой, а которых речь будет в последующих главах. Оптимизация систем автоматического управления также в большинстве случаев связана с введением специальных нелинейнастей в контур системы.

Введение специальных нелипейнастей приводит к рааличпым нелинейным ааканам управления, которые обладают более богатыми вазможностями по сравнению с линейными.

013

Распознанный текст из изображения:

й 1.2. Фазовое пространство и фазовая плоскость При составлении уравнений динамики нелинейной системы все звенья, поддающиеся линеаризации в пределах малых отклонений ноординат, описываются линейными уравнениями. Для одного или двух (реже — нескольких) существенно нелинейных звеньев атой системы составляются нелинейные уравнения (или используются нелинейные характеристики). В общем случае нелинейные дифференциальные уравнения динамики в нормальной форме имеют вид

— ~ = Ф, (хг, хг,..., х„, Г; а (С); К (С)), С = 1, 2, ..., Л,

где х, (с = 1, 2, ..., и) — координаты состояния системы, а(С), С(С) — соответственно задающие н возмущающие воадействия, или в векторной записи

— =- ср(а, С, а, С).

Для рассмотрения пароходных процессов, вызванных какими-либо начальными отклонениями координат (прн отсутствия внешних воздейстокй) зги уравнения для систем с постояннымп

параметрами (т. е. для

стационарных спстск)

принимают епд

аа

г = 1, 2, ..., а, (1.1) а в вскторяой форме

о. = Ф (х). (1.2)

Ряс. 1.8.

Для исследование пслвпсйкых систем широко используется метод фагоеого иросгрансгеа, который состоит в следующем. Представим ссбо а-мерное пространство координат состояния сястсмы (хь хг, ..., х„) (рис.1.6)е),

") На рзс. 1.6 ксордапатяме ссо хь ..., х„л-яерыого простразсгва услогяо созмещеяы в одяу ось.

014

Распознанный текст из изображения:

называемое фаговыи пространством, Тогда начальное состояние системы х(те) изобразится определенной точкой Ме с координатами х|(гг), хг(ге), ..., х„(ге), а процесс во времени, т, е, решение уравнений (1.1)

х(г) = (х!(1), хг(1), ..., х,(1)), получит игобраягеяие е виде некоторой крйвой (рис. 1.6),

которая вагывается фавовой те траекторией данной системы.

Текущая точка М ва ней, соот-

рМ ветствующая состоянию систе4тдгд мы в проигвольный момент вре-

мени й нааывается игображаю- Ю и(вй точкой. Отметим, что значения велнневных функций

ахг Фг — — —, стоящих в уравнениях (1 1) справа, определяют в каждый момент времени прогнили Рис. 1.7. скорости о игображаюи)вй точ-

ки М на оси координат хе

Если в многомерном фаговом пространстве мы лишь мысленно можем представить себе геометрическую картину, то, например, для системы второго порядка (и = 2)

Рас. 18. можно реально иаображать фазовые траектории на плоскости (рис. 1,7). Прн етом можно игобрагять и интегральную кривую для данной системы, добавив ось времени 1 (рис. 1.8).

015

Распознанный текст из изображения:

Уравнения (1.1) при и = 2 принимают внд ех ел — „,' = Ф,(х„х,), —,' = Ф,(хмх,). (1.3) Дифференциальное уравнение фазовой траектории получается путем исключения времени из системы уравнений (1.3): к~я з (г1 г)

(1.4)

К*, Ю,(лп е,)' Точки равновесного состояния системы определяютсл нулевыми значениями скорости ах,/й = О, гЬггги О; следовательно, в этих точках

Ф,(хи х,) О, Ф,(хо х,)= О„ что создает неопределенность правой части уравнения (1.4). Поэтому точки равновесного состояния системы являются так называемыми особыми точкаии на фазовой плоскости.

Сопоставим изображение переходного процесса в виде фазовых траекторий на

ал плоскости у(х) с обыч-

у ным его изображением в виде кривой х(1). Для удобства положим, что уравнения (1.3) имеют более простой вид: ех ау З = у1 л) Ф(х у)' т. е. координата у, откладываемая по оси ординат фазовой плоскости, представляет собой скорость

Рве, 1.9. изменении координаты х, откладываемой по оси абсцисс. В этом случае для изображаюгцей точки спра„- ведливо следуюгцее

Правило для направления движения по фазовым траекториям:

а) е верхней полуплоскости (рис. 1.9) — слева нацраео,

т. е. е сторону увеличения х, так как там скорость у )Я;

016

Распознанный текст из изображения:

б) в нижней полумеоскости, наоборот,— справа налево;

в) ось х пересекается 4аговыми траекториями под прямым углом, так как там скорость у = О, т. а. имеет место максимум или минимум величины х, Мг

Гвс. 1ЛО.

Заметим, что вто правило недействительно в общем случае уравнения (1.3) .

Рассмотрим сначала затухающий колебательный процесс х(1) (рис. 1Л О, а) . На пазовую плоскость (рис. 1ЛО, б), где у = ах/йг, нанесем отмеченные на кривой переходного процесса точки А, В, С, ..., в которых х имеет'либо максимум, либо нуль, либо минимум. В результате получим, что затухающий колебательный процесс изображается на фиговой плоскости в виде сходящейся спиралевидной кривой.

Аналогячяо расходящийся колебательный процесс (рис. 1.11, а) иаобразится на фазовой плоскости в виде расходящейся спиралевидной кривой (рис, 1Л1, б).

Очевидно, что периодический процесс (рнс. 1Л2, а) изобразится ва фааовой плоскости в виде замкнутой кривой (рис. 1Л2, б). За один период колебаний изображающая точка М пробегает весь замкнутый контур, а затем повторяет движение по нему.

Монотонный затухающий процесс х(1) (рис. 1ЛЗ, а) иаобразится на фазовой плоскости в виде кривой, монотонно приближающейся к положению равновесия

018

Распознанный текст из изображения:

(рис. 1ЛЗ, 6), а монотонный расходящийся процесс (рис. 1Л4, а) — в виде монотонно удааятоп[ейся кривой (рис. 1Л4, б).

Удобство представления процесса в виде фазовых траекторий яа плоскости состоит в том, что вся совокуп-

Ф

а)

Ряс. 1.14.

ность воаможных форм переходных процессов в системе при любых начальных условиях представляется в виде единого «фааового портрета ю Недостатком же является то, что мы вынуждены при атом ограничиваться рассмотрением лишь систем второго порядка. Для исследования нелинейных систем более высокого порядка будут применены другие методы.

й 1.3. Ч'ипы особых точек и фаеовые портреты

линейных систем

В качестве исходного материала, используемого в дальнейшем при изучении аелинейных систем, рассмотрим особые точки линейных систем второго порядка. Уравнении линейной системы имеют вид

отт

— „,'= амх, + амх„

оаа

—,=амх, +а„х„

или в векторно-матричной форме

(1.5)

— „, =Ах, А=-~~"

019

Распознанный текст из изображения:

при условии, что матрица А певырождевиая, т. е.

21ес А Ф О. дифференциальное уравнение фазовых траекторий, ояласно (1.5), имеет вид

ела а21г1 + 222а2

(1.8)

22~ а ~+~

Единственной особой точкой (точкой равновесного состояния системы) является точка *1 = О, лз = О.

Пусть корни ь1 и 12 характеристического уравнения

бес(А — ХЕ( = О

(здесь Š— единичная матрица) различны. Путем подстановки вида х = Ру, где Р— некоторая невырожденная матрица, матрицу А можно привести к диагональному виду. Уравнения (1.5) примут ввд

„У = Р-'АРУ =' Огай (Хч, Х ) у„

ау

лв, лв,

— = ь1ум = "2У1.

2 1 12 сп 2 2

Решением этих уравнений являетсв

Ы1 11

У,=Се', У,=Се'.

(1.7)

Рассмотрим фазовые траектории в атой условной системе координат (уь У2), а затем отобразим фазозые траектории на плоскость исходных координат (л1, ла),

Случай веществевнь2х корней 2.1 2. Переходный процесс — апериодический. Пусть

)Ха( ~ )Ь1).

Исключив г на решения (1.7), получим уравнение фазовых траенторий

у, = Су,'*'". (1,9)

Если знаки корней 11 2 одинаковы, то с учетом (1.8) имеем 12/Х1 ) 1, и фааовые траектории представляются в виде парабол, каи показано на рнс. 1.15. При этом на-

020

Распознанный текст из изображения:

правление движения ивображагощей точки М по любой фааовой траектории определяетсн уравнением (1.7), а именно: случаю Х~ ~0, )а(О отвечает рис. 1Л5,а,

Рис. 1.15. что соответствует ватухагогдим переходным процессам; случай )ч)О, йг)О (рис. 1Л5,б) соответствует расходящимся переходным пропессам.

Если же знаки корней йь г различны, то в уравнении (1.9) имеем Лг/Х~ « ( — 1, и фазовые траектории имегот вид гипербол (рис. 1Л6).

В случае отрицательных вещестнонаых корней (рас. 1.15, а) особая точка О называется точкой типа «устойчивый узел».

В случае положительных вещественных кор-

ней (рас. 1Л5, б) осоРкс, 1Л6. бая точка О иааываетсн точкой типа »неустойчивый узел». В случае же вещественных корней разных анаков '(рис. 1Л6) особая точка О называется точкой типа «седло», Седловая точна всегда неустойчива.

021

Распознанный текст из изображения:

Отобразим полученные фазовые портреты линейной системы на плоскость исходных координат (хп хг). Используем тот факт, что оси парабол и асимптоты гипербол (уп рг) сами являготся фазовгями траекториями я ггрн линейном преобразовании останутся прнмыми. Их отображение иа плоскость (хп хг) примет вид хг = )схь Подставив ато соотношение в (1.6), получим

а +а в

й=

4

ам+ адга

или

а1г)са+(ац — агг))с — аг1 = О,

откуда находим два аначення )сг н )сг. Это дает дне прямолинейные фазоные траектории (рис. 1 17) *), На

Рис. 1пт.

рис. 1.17 дано расположение также и остальньгх (криволинейных) фааовых траекторий, Лналогичпая картина

е) пав и ранее на рисунков ваоффвцвентм й обозначают не

угли, а нрутиану вавлона соответствугощвх враных (т. е. и равны

тагпвнсан углов нввлона).

022

Распознанный текст из изображения:

взображеяа и яа рис. 1Л8 для особой точки пша «седло». По какой иа фааовых траекторий пойдет переходный процесс в системе, определиется вачальвыми условиями х~(еа), ха(1а), которые дают нам координаты вачальвой точки Ма (рис. 1.17).

Для уточнения такой качественной картины фааовых траекторий могкво применить метод иаовлин. Иаоклиной

Рис. 1 1В. вааывается линия, соединяющая точки фааоаых траекторий с одияаковгам ваклоиом касательвой, т. е. для каждой изокливы дхаЫт~ — — с. Поатому уравневие ваоклввы, согласна (1,6), имеет вид 21 г ага

(1.10)

а а +агат, Следовательно, любая прямая ха = Ьах~ будет иаокливой с соответствующим авачеиием постояввой с. Задаваясь определенной величиной )с„(рис, 1Л8), согласно (1ЛО) находим

ам + а,аа с=

+а а'

023

Распознанный текст из изображения:

Нанеся несколько изоклин и зная дла каждой иа них крутиану ванлона с пересекающих ее фааовых траекторий, можно уточнить всю картину фазовых траекторий.

Случай равных вещественных корней: Х!=Ь~. В атом случае получается вырожденный узел, устойчивый при ,1,! э ( 0 и неустойчивый при Х!,э ) 0 (фааовые траектории показаны в координатах у!, уэ яа рис. 1.19,а, б),

рис. Оз.

Случай комплексных корней 3,!,з, Переходный процесс — колебательный. Пусть

Х!, з = !э ~ Д) „ (1Л1) Решения (1,7) принимают комплексный вид У, = С,э"'(соа Уз+ 1з!и б!), Уэ — — Сэе"'(соа рс — !'и!и Я, Введя новые переменные с помощью подстановки

У! з! + 1зз~ Уэ э! )зэк преобразуем решение к веп\ественной форме з, = Ае"' соа(рс+ б), зэ = Ае"' а1п(ру+ у), где А и т — проиазольные постоянные. Перейдем к па-

024

Распознанный текст из изображения:

парным координатам (г, <у). Тогда

ж г='г г, '+х,'= Ае",

(1.12) 1й р= — '=1йФ«+у) !

»

1р = 01 + у -)- йя, й = О, ~1, ~2..

Этн ныражения оинсывают логарифмнческу«о спираль, изображенную на рис. 1.20,а для случая с»а:.О и на рис. 1.20, б для а ) О.

Рнс. 1.20.

В случае комплексных корней с отрицательной вещественной частью (рнс, 1.20,о) особая точка 0 нааывается точкой гипи «устойчивый фокус».

В случае комплексных корней с положительной вещественной частью (рис. 1.20. б) особая точка 0 нааывается точкой гипс «неустойчивый фокус».

Для преобрааования полученных фааовых портретов в исходную систему координат (ии хт) воспользуемся методом изоклин, Пусть, например, задана система

х+ 2х+ ба= О. (1.13) Корни характеристического уравнения Ль» = — 1 ~12,

025

Распознанный текст из изображения:

Обозначив х=хи х=хм приведем систему к виду Их дт — — = — 2х — 5х .

ю а' ю (1 14)

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий

На

х

— = — 2 — 5-.

а* са'

(1 15)

Длн изонлнны ха = Й,х~ отсюда наводим

5

с = — 2 — —.

аа

Возьмем четыре значения. 5„= О, 1, со, — 1; тогда

с= — со, — 7, — 2, 3. Соответствующие направления ка-

Рас. 1Д1.

сательпых к фааовым траекториям покаааны на рис. 1.21 стрелками. Ориентируясь по ннм, вычерчиваем фааовые траектории. Одна иа них изображена на ров 1.21.

026

Распознанный текст из изображения:

Как частный случай (1.11), при а= О, т. е. длн чисто мнимых корней )о з = Юб, иа (1.12) в полярных координатах на плоскости (зи ез) получаем г = Л = = сопзд Фазовые траектории имеют вид окру>кностей (рис. 1.22), При переходе к исходным координатам

Рис. И23.

Ряе. 1.22. (хн хз) получатся эллипсовидные замкнутые кривые '(рис. 1.23). Это соответствует периодическим во времени процессам. В случае чисто мнимых корней особая точка О (рис. 1.22 и 1.23) нааывается точкой тико еиентрь. $1.4. Особые точки н фазовые портреты нелинейных систем Рассмотрим фааовые траектории нелинейной системы второго порядка

—, = Ф,(х, у), —;"= Фе(х, у). (1,13) Особые точки, отвечающие равновесным состояниям системы, определяются из условии

Ф~(х, у) =О, Фз(х, у) = О. (1,17)

Для выявлении типа ка~кдой особой точки уравнения (1 16) лянеаризуются при малых откзонениях координат в окрестности особой точки. Затем определяются корня характеристического уравнения линеаризованной системы, по которым, согласно 1 1.3, и устанавливается тип особой точки,

027

Распознанный текст из изображения:

Проведем рассмотрение этого вопроса на примере.

Пусть ааданы уравнения нелинейной системы з, — — — х(1+х') — 2у, 2з=х+у. (1Л8) зэ » зу

Уравнение фазовых траекторий имеет вид

«з э+я

— е(«+еж) зв'

Найдем особые точки согласно условиям (1Л7)

х(1+ х«)+ 2у = О, х+ у О,

(1Л 9)

откуда получаем три решения:

Характеристическое уравнение:

Корни ьь з = ш) — чисто мнимые. Следовательно, это особая точка тина «центр».

2. В окрестности точки х 1, у = — 1 вводам малые отклонения в координатах $ = х — 1, т( = у+ 1. Подставляя в уравнения (1Л8) х = $ + 1, у = Π— 1 и отбрасывая нелинейные члены, получим линеариаованную систему

—, = — 4$ — 2ть — „, = $+ й.

Фч

Характеристическое уравнение имеет вид

', ', '„~=1«+З) -2=О.

1) х=О, у=О, 2) х=1, у= — 1,

8) х= — 1, у=1.

Следовательно, система имеет три возможных равновесных состояния.

Исследуем характер особых точек.

1. В окрестности точки х = О, у = О ливеарнзованные уравнении имеют вид

зе ыз

—,= — х — 2у, — =х+у.

з« з«

028

Распознанный текст из изображения:

Корни характеристического уравнении

3 /47

Х«»= — -А-уев

2 У

веществевиы и имеют равные анаки. Следовательно, это особан точка типа «седло».

3. Рассматривая линеаризованную систему в окрестности точки л = — 1, у = 1, подстановкой в уравнение (1.18) х = $ — 1, у = т) + 1 приходим к тому же уравнению, что и в предыдущем случае. Следовательно, адесь тоже особая точка типа «седло».

Найдем асимптоты фазовых траекторий з седловыт

точках. Положив т) = = ЙЬ, из уравнении фазовых траекторий

лч 5+ч

лй — 44 — 2ч

получим

! 4-4

— 4 — 24'

нлн

22»+ 5й+ 1 = О,

о»нуда находим

— 5 — Ь' 77

й

— 5+ '~/Г7

й«4

Рлс. 1.24.

На рис. 1.24 вти асямптоты показаны а окрестностях соответствующих особых точек. Точка же (О, О) тапа «центр» должна быль окружона замкнутымя криаымн. Исходя из атого, па рвс. 1.20 изображен примерный ход фазовых траекторий па всей плоскости.

Для определения направленая движения изображающей точки по фазовым траекториям достаточно исследовать какую-либо одну точку. Возы«ем, например, точку х = О, у = 1. Согласно уравнениям (1.18) в атой точке имеем «)х)г)4 = — 2, 4)у!о4 = 1, т. е. х наменяется в сторону уменьшения, а у — в сторону увеличения. В соответствии с атнм и поставлена стрелка ка фазовой траекто-

029

Распознанный текст из изображения:

ряи, проходящей через точку (О, 1), а так как система яепрерътвна, в ту же сторону будут направлены и все соседяие фазовые траектории.

Таким образом выясняется качественная картина фазовых траекторий. Отметим, что в данном примере ии одно из трех воаможиых равиовесиых состояний системы не является устойчивым.

Рве. 1.25.

Методом изоклин можно уточяить очертания фазовых траекторий. Уравкеняе пзоклияы, согласно (1 19), имеет вид

2 а+к

(1.201

— (1+ ) — зз где с — крутизна наклопа (Иу/Ия) пересекающих иаонлияу фазовых траекторий. Например, аначеяию с = 1, т. е. углу наклона траекторий, равному 45', соответствует, согласно (1.20), иаоклика, описываемая уравнением у= — — (2+ ').

3

030

Распознанный текст из изображения:

Она проходит через все три особые точки (штриховая линия ва рис. г.25). В отличие от линейных систем, здесь иэоклвва криволияейяая.

Отметим теперь некоторые общие особеиности пропессов в иеливейиых системах. Прежде всего, это возмож-

Рве. $.20. ность наличия двух или кесколъких равновесных сосгояяий (особых точек), как уже было видео на приведенном примере. В соответствии с этим яа фааовой плоскости получаются области с рааличвымв тиками фазовых траекторий. На рис. г.25, например, ати области разделены жирно обоавачеявыми кривыми. Такие особые кривые, разделяющие области с равными типами фазовых траекторий, называются селаретрисикп.

031

Распознанный текст из изображения:

Существуют и другого типа особые кривые. Важным типом особых кривых являются предельные циклы— замкнутые кривые, соответствующие периодическим процессам, в окрестности которых имеют место колебательные переходные процессы. Если зги фазовые траектории а)

Рвс. 1,2К изнутри и снаружи сходятся к данному предельному циклу (рис. 1.26, а), то мы имеем устойчивый предельный цикл. Если же они удаляются в обе стороны (рис. 1.26,6),— неустойчивый предельный цикл, Возможен и случай двух предельных циклов (рис. 1.26, в), из которых один устойчивый (в данном случае внешний), а второй неустойчивый.

Особая точка О на рпс. 1.26 представляет собой в первом случае неустойчивое равновесное состояние, а во втором и третьем — устойчивое. Картина процессов во времсяи, соответствующая рис. 1.26,а,б, изображена иа рис. 1,27,а,б.

Физический смысл устойчивого периодического процесса, отвечагощого предельному циклу,— автоколебанил системы, Это собственные периодические колебания, происходящие при отсутствии внешнего периодического воздействия, причем амплитуда н частота автоколебаний не зависит от начальных условий, а определяется внутренними свойствамв системы. Лвтоколебнвня могут возникать только в нелинейных системах, Что жс касается

032

Распознанный текст из изображения:

линейных систем, то в пих собственные периодические колебаяия вовыожвы только яа граиице устойчивости (Ль» — — ~1«»), причем амплитуда их определяется яачальиыми условиями (см. рис. 1.23).

Физический смысл неустойчивого предельного цикла совсем иной. Как видно иа рис. 1.26, б, кеустойчивый предельный цикл — зто граница областей начальных условий,. При пачальиых условиях х(1»), у(1»), лежащих внутри иеустойчивого предельного цикла, получается затухающий переходный процесс, если же опи лежат сяаружи — расходящийся. Следовательно, равповеспое состояиие О в данном случае устойчиво при яеболыпих яачалькых отклонениях, а при больших — система яеустойчива, Говорят: система устойчива «в малом» и яоустойчива «в большом».

Здесь вая«яо отметить, что, в отличие от линейных систем, типы динамических процессов яелияейвых систем могут существенно зависеть от начальных ус овий.

Иитересио далее отметиттч что в первом случае (рис. 1.26,а) единственным устойчивым установившимся состоянием системы является автоколебателькый режим. Во втором случае (рис. 1.26,б) — равиовеспое состояние О. В третьем я«е случае система имеет два устойчивых устаиовившихся состоякия: равновесное О, и автоколебаиия с большой амплитудой (вкешяий предельный цикл). Какой из яих устаповится, зависит от яачальиых условий.

В первом случае говорят, что имеет место «мягкое возбуждеиие» автоволебаиий (т. е. при любых начальных условиях), а в третьем случае — «жесткое возбуждекве» автоколебаиий, так как, чтобы система вышла па иих, необходимо иачальпые условия «забросить» за пределы виутрелкего неустойчивого пределького цикла.

Все это будет проиллюстрировало в последующих главах на примерах систем автоматического регулирования. Кроме того, будут проиллюстрировапы и миогие другие особые свойства нелинейных систем, как, например, отрезки равновесия, скользящие процессы, а также особеяности, связанные с вынужденными колебаниями и с процессами управлекия, в которых, в отличие от линейных систем, яе гобл«сдается принцип суперпозяции.

033

Распознанный текст из изображения:

ГЛАВА а

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

НА ФАЗОВОЙ ПЛОСНОСТИ

5 2ЛС Переходные процессы и автоколебаиия

релейной системы

В данной главе исследовапие переходных процессов иа фазовой плоскости иллюстрируется ка примерах общего характера, выявляющих осковпые отличительные особенности процессов в нелинейных автоматических систел1ах.

Рассмотрим систему с релейной характеристикой об1цего вида. Уравпепие динамики объекта (рис. 2Л,а) имеет вид

(Т~р+ 1)х = — Ь1хп

(2.1)

а уравнение регулятора

рх~ — — Р(х), (2.2) где Р(х) — релейная характеристика (рис. 2,1,б). Общео

уравпекие динамики системы иайдем, если продифференцирусм уравкспие (2.1) и затем подставим в него (2.2). В результате получим выражение

е* чх

Тл — + — = — )тлР (х)

лР ел

034

Распознанный текст из изображения:

которое моя'но представить в виде

«х як к

— =р, — = — — — — Р(х).

я« я« т, т,

(2.3)

Отсюда получим дифференциальное уравнение фазовых

траекторий

яу т з« Р(х]

(2.4

л т, т,

Как видно иа заданной характеристики (рис. 2.1, б),

нелинейную функцию Р(х) можно описать следующим

образом:

сслн р = бх!й) О, то

— с при х < — Ь„

Р(х)= О при — Ь,<х <Ь„

+с при х) Ь„

сели р= «Щй< О, то

+с при х) Ьп

Р(х) О при — Ь <х<Ь„

— с при х< — Ь.

В связи с этим на фазовой плоскостн (х, р) можно вы-

делить три области: (1) Р(х) = — с; (Я) Р(х) = О;

(8) Р(х)=+с. Эти три области разделены прямымн

(на рис. 2.2 они покааапы штриховой лнпнсй), которые

называются лияиллш яереключенил.

Такую фазовуго плоскость называют многолистной.

На каждом листе (1, 2, 8) получится свой вид фааовых

траекторий. По линиям пореключепия зтн листы «сшива-

ютсяю Фааовые траектории непрерывно переходят с од-

ного листа на другой (за исключением некоторыг особых

случаев, где они встречаются).

В области 1 (Р(х)= — с) уравнение (2.4) принимает

внд

Йк

+

л« т, г„к'

Проинтегрировав его, получим уравнение фазовых траекторий в области 1:

х=.— ЬсТ~!п(р — й~с( — Тку+Со (25)

035

Распознанный текст из изображения:

Фазовые траектории имеют асвмптоту у = В~с, к которой онн стремятся при пеотрапичениом увеличении х. Такие фааовые траектории изображены в области 1 иа рис. 2,2. Направление их определяется в соответствии с рассмотренным выше правилом (стр. 15, 16, рис. 1.9).

Рис. 2.2. И области 8 (е(х)=0) уравнение (2.4) примет вид

Лу 1 Фазовыс траектории — прямолинейные отрезки (см. область Л па рис. 2.2).

Наконец, в области 8 (с(х)=+с) уравнепие (2.4) примет внд

ас

ь т, т,р

036

Распознанный текст из изображения:

откуда, аналогично (2.5), уравнение фазовых траекторий будет

х = йгсТ1 1п) у+ )пс ! — Тгу + Сз. (26) гРаеовые траектории в области 3 стремятся к асимптоте у = — Йгс при уменьшении х (на рнс, 2.2).

В целом фааовые траектории принимают спиралевидную форму. Это соответствует затухающвм колебательным процессам. Однако колебательный процесс затухает не до нуля, а до некоторого произвольноРг — — — — — — — го значения (рис, 2.2, д 2.3) в интервале — Ь| < х ( Ьп и = О т. е.

Ф внутри зоны нечувствительности реле (рис. 2.1, Рас. 23. б). Такиьг образом, вместо

особой точки здесь получается особый отрезок равновесных состояний, показанный утолщенной линией ва рис. 2.2. По какой ие фазовых траекторий пойдет переходный процесс' в системе, определяется начальными условиями х(рс), р(се). а)

Роа 24. Рассмотрим теперь частные случаи. В случае релейной характеристики с зоной нечувствительности без петель (рис. 2.4, а) картина фазовых траекторий будет аналогична взображенной на рис. 2.2, с той разницей, что теперь Ьг = Ьз = Ь, т. е. линии переключения будут прямыми без излома на оси х.

037

Распознанный текст из изображения:

В случае чисто истлевай гистерееиснсй релейной ха-

рактеристики (рис. 2.4, 6) будот отсутствовать область 2

(рис. 2.2). В этом случае имеем

( ) - ~

— с при х<Ь,

г'(х) =

+с при х>Ь,

когда

у = дх/й ) О;

+с при х) — Ь

г" (х) =

— с при хс.,— Ь

когда

у = ох/ гг ( О.

Этим определяются линии переключеикя (штриховые линии па ряс. 2.5). Слова от иих строим фазовые траектории по уравпепию (2.5),

а справа — по уравяекию (2.6). Это и покаваио яа рис. 2.5. Поскольку

ясно видно, что сиаружи

Фааовые траектории образуют сходящиеся спирали, а иаяутри расходящиеся, то где-то среди кпх

доляген быть пределькый

цикл, к которому ояи все

сходится. Оя выделеп

утолщенной аамкпутой

линией (рпс. 2.5). Это

устойчивый предельиый

цикл, отвечающий автоколебаяиям. Амплитуда их

определяется точкой пересечспия предельного цикла с осью х. Фиаически такое решопие оправдапо, ябо а соответствии с пелиясйпой характеристикой (рис. 2.4, б) роло ве имеет раввовесиого состояпия. Автоколсбаяил происходят около петли реле с амплитудой, песколы;о превышающей половину ширины петли Ъ.

Установившийся режим работы такой системы автоматического регулирования является автоколебательным. Рагг работают, папримср, вибрациоппыс регуляторы ка-

038

Распознанный текст из изображения:

прягкения сети постоянного тока. Параметры системы должны быть выбраны так, чтобы амплитуда и частота автоколебаний находились в допустимых пределах. в 2.2. Система со скользящим щюцессом Проиллюстрируем понятие скользящего процесса на простом примере. а)

Рас. 2.6.

Пусть задана система автоматического регулированик '(рис. 2.6), уравнения динамики которой имеют вид р х = )г,км хе =а'(х~) = с Взяй хе

л, = -х — х„= — ((+ ямр)х. Эти уравнения мои<но представить в виде

—,=У, — „, = — й,св1Яп(х+ Усе-У) (2.7) Дифференциальное уравнение фазовых траекторий: лз ас — = — — в1Ян(х+ й .у). (2.8) Линия переключения на фааовои плоскости (х, у), следовательно, описывается уравнением р= — — х 1

(2.9)

А Опа показана на рпс. 2.7. Справа от этой линии х + ймр ~ О. Позтому уравнение фазовых траекторий

039

Распознанный текст из изображения:

(2.8) примет внд

рду = — й~сИх, откуда

у' = — 2)пох + Сь

Таким образам, фаэовые траектории — это параболы, ветви которых направлены в отрицательную сторону оси

Положение вершины параболы определяется произвольной постоянной Сь т. е. начальными условиями перелодного процесса х($о) р($с). Эти параболы изображены

у х

Рвс. 2.7. на рис. 2.7 справа от линни переключения Направление движения изображающей точки М по параболам определяетсн прежним прааолом (стр. 15, 16, рис. 1.9),

Слева от ляпни перекщочепия х+ й„д ( О, и уравнение фазовых траекторий (2.8) имеет влд

уеду = й~сдх, уз = 2й~сх+Сэ. Этп параболы такясе изображены на ряс. 2.7 слева от линии переключения. Видас, что на отрезке линии переключения ЛВ фааовые траектории встречаютсв, упираясь в этот отрезок. Это можно расшифровать следующим образом. Пусть процесс идет по фазовой траектории 1 (рис, 2,8), Как только фазовая траектория пересечет

040

Распознанный текст из изображения:

линию цореключоякя ОЛ, вступит в свои права фазовая траектория 2, которая вернет процесс к отрезку ОА: Но тут встретится фазовая траектория 8 и т. д. В результате изображающая точка путем вибраций около линии переключения переместится к началу координат О.

Такой ход процесса г л'=рр соответствует переключениям релейного элемента '(рис. 2.6, б) с большой частотой. Теоретически частота переключения бесконечна, а амплитуда вибраций, изображекяыл на рис. 2.8, стремится к пулю, Следовательно, теоретически изображазощая точка скольаит но линии переключеиия к началу координат— к раввовесяому состоянию. Процесс такого рода называется скользящим ироцессолг.

Найдем закон движения в скольаящем процессе. На линии перекчючеяия, согласно (2.9), если учесть первое иа уравнений (2.7), имеет моего уравнениелэ $ — + — „х = О. (2.10)

Решением этого урависяия является

-оьас

х=хое

где виачения 8 = 0 и х = ха считаются в моьгеит попадания изображающей точки на липито скользящего процесса. Итак, скользящий процесс происходит по экспонеяциальвому аакопу.

Здесь важно отметить следующее. Нелиясйпая система второго порядка (2.7) на участке скольвящего процесса вырождается в линейную систему первого порядка (2.10), При этом завоя движеяия в скользящем процессе не зависит от параметров прямой цепи системы и определяется только коэффициентом обратной связи. Например,при

041

Распознанный текст из изображения:

иачальпом полонеевии Мо (рис. 2.7) получим фазовую траекторию МоМ1МгМг, переходящую в скольжение по липки М00. Такой фазозой траектория соответствуетпроцесс во времеви х(1), изображепный па рис. 2.9, где, как и ракее, отмечены характерные точки,

Рвс. 20Ь

Найдем положение ковцов отрезка скользящего процесса А и В на фазовой плоскости (рис. 2.7). Очевидно, что в этих точках касательные к параболам совпадают с линией переключепяя. Это условио, согласно (2.9), мегино зависать в аиде Сз 000'

(2.11) тогда из уравнения фазовых траекторий (2В) получим для точек А и В соответствевво условие (2Л1) в виде йе — — — рА = йтс)сое0 ЛА 00 Ьге 1 — — — Ув = — еегсяое, УВ Ьое Следовательпо, отрезок скольаящего процесса АВ тем больше, чем больше яоэффициекгы усилепия прямой цепи и обратной связи. 2,3. Система с логическим управлением. Учет времеиябго запаздывакил Рассмотрим автоматическуто систему угловой стабилизация объекта в среде без сопротивления (стабилизация аппарата в космосе). Структурная схема системы изобва-

042

Распознанный текст из изображения:

жена на рис. 2ЛО. Уравнение динамики объекта, т. е. уравнение вращеши объекта вокруг своей оси, имеет вид

(2.12) где У вЂ” момент инерции, ю — углован скорость, М вЂ” вращающий момент со стороны системы управления. Будем считать, что вследствие некоторых внешних возмущений объект начал ввезло зращатьсн 1например, в результате

неидеальпости процесса отделения Р ~ от носители при запуске), и рассмотрим его стабилизацию с помощью сисгемь управлении приотсутствии внешних возмущений.

Система управления 1рис 2ЛО)' состонт из двух измерителей: иамерителя угла ~у и измерителя угусцсюатг Ф ловой скорости ю, с которых сигна-

ы лы и~ и из снимаются в релейной ттлпдуавг форме, показанной на рис. 2.11 Эти сигналы поступают в логическое устройство, вырабатывающее нелиРис. 2АО. нейный закон управления в виде некоторой логической функции Ф Ор, ю), которав служит управляющим воьдействием па включение и выкзпочение газовых сопел, создающих вращательный момент М.

Логическая управляющая функция Ф Ор, а) может быть сформировава в рааличных видах. В простейшем случае можно сформировать ее, как показано на рис. 2Л2, использовав длн пероключений скачки сигналов и, н ит (рис. 2.11) прн ~у=-~Ь, и ю =+.Ьь При атом Ф= 1 соответствует созданию управляющего момента в полоткительном направлении 1против часовой стрелки), Ф = = — 1 — в отрицательном направлении и Ф = Π— отсутствию момента (все сопла выюпочепы)

Указанный выбор логической функции Ф диктуется следующими соображениями. В нулевой зоне — Ь| ( ~р ( ( Ь, 1рис. 2Л1 и 2.12) сигнала от датчика угла устанавливаем Ф = О, так как объект находитсн вблизи требуемого полонзения ср = О, и регулирующее воздействие

043

Распознанный текст из изображения:

не требуется. В 1 квадранте (рис. 2.12) имеем ~р) О и ы = Исрп > О. Следовательно, угол ~р увеличивается во времени — объект уходит от требуемого положения. Здесь устанавливаем Ф = — ! (направление вращающего момента противоположно направлению угловой скорости ы).

Ряс. 2.И. Аналогично в 111 квадранте„где знаки ~р и ы отрицательные, включается Ф = +1.

Что касается 1Ч квадранта (рис. 2Л2), то там ~р ~ О, но ы = йрИ < О, т. е. объект сам возвращается к требуемому положению ср = = О. Здесь можно обойтись без управляющего мамонта. Устанавливаем Ф = О. Границей между областью Ф = — ! (в 1 квадранте) и областью Ф = О (а 1Ч квадранте) назначаем величину ы = = — Ьт (рнс. 2.12), когда сигнал с датчика угловой скорости имеет перескок с нуля к отрицательному зпачешпо '(рис.2Л1).Аналогично поступаем н во Ряс. 2Л2. 11 квадранте (рис. 2Л2).

В соответствии. с этой схемой строится логическое 'устройство (рис. 2ЛО). Его функционирование можно описать таблицей выходного сигнала Ф в аависимости от входных:

044

Распознанный текст из изображения:

Сигнал «, от О

Снгн»л «» ат

»»

о

с

о

Здесь приведен пример простейшей логики формирования закова управления. Можно выбирать и другие, более сложпые, в зависимости от требовакий, предъявляемых к системе по зкояомичиости, точяости, быстродействию и т. п..

Рассмотрим идеальную роботу системы управления '(без запаздывакия сигпалов по всей цепи звеньев). В этом случае уравнение системы управления запишется в виде

М = М,Ф(гу, ю), (2ЛЗ) где М, = сопзь — величипа управляющего момента, ко торый создается включаемыми на постоянную тягу газовыми соплами; Ф(»р, ю) — логический заков управления, определяемый я данном случае приведенной выше таблгщсй или согласно графику рис. 2Л2.

Общее уравпекие системы, согласно '(2Л2)' и '(2ЛЗ)', можно записать в виде

ы, — = сФ(11», ы), с = — '. (2Л4) Физический смысл величины с — постоянное угловое ускоревие вращения объекта под действием момента Мо Дифференциальпое уравнение фазовых траекторий:

— '„",= — „' ФМ»ю) (2ЛЗ)

Фазовую плоскость ограпичим по оси абсцисс эпаченияыи — и (»р <+я (рис. 2ЛЗ), причем для вращающегося тела точки гу = ~я совпадают.и) Этим охватывается колпый оборот объекта.

") 1!оекольку ко оси абсцисс опгллдызавтся еяачсняя — я ай < гу (+о, т. е. зяачеоия угла осяорота тела вокруг ося, то мы фактически оолутаем »1илиндрииееную Яеиоеуге леверхнаитм ао горак здесь развернута ла плоскость.

045

Распознанный текст из изображения:

В области, где Ф = — 1 (рис. 2.13), уравнения '(2Л5) принимают вид

в йо= — со4р, вследствие чего фааовые траектории являются параболами".

в' = — 2сср+ Сь '(2Л6)' В области, где Ф =+1, имеем фазовые траектории

в' = 2с<р+ Св '(2.17)

Наконец, в области, где Ф=О, получаем прямые линии

в = Сь (2Л8) Все укаванные траектории приведены па рис. 2.13.

Ряс. 2ЛЗ.

Рассмотрим ход процесса. Пусть начальные условия определяются точкой № (рис. 2ЛЗ). Процесс пойдет согласно фавовой траектории № — 1 — Я. Тачка 2 (~р

+и) прн врагцении совпадает с точкой 2' (~р — и).

046

Распознанный текст из изображения:

Поатому дальше процесс пойдет в соответствии с фазовой траекторией 2 — 3 — Ф вЂ” Б. Как видно нз рис. 2.13, точка Ьуь в которой угол |р равен начальному (в точке л|о), означает, что объект совершил один полный оборот. Затем (траекторня Д|| — У вЂ” 4 — 5) он качал колебательное двшксние около своей осн. Начиная с точки б, получаем замквуту|о фазовую траекторию б — б — У вЂ” 8 — 5. Следовательно, объект входит в установившийся автоколебатсльныи режим с амплитудой

ьз

= Ь, + — '.

2с'

(2.19)

Своеобразие этого предельного цикла состоит, во-первых, в том, что снаружи фазовыс траектории приближаются к нему нс асимптотическн, как было ранее в других задачах, а за конечное число колебаний (н за конечное время). В описанном выше процессе зто было аа один оборот плюс один раамах колебания. Своеобразие этого предельного цикла закпочается также в том, что фазовые траектории внутри него тоже замкнутые н окрул|ают отрезок равновесия РЕ. Поэтому при малых начальных отклонониях, лслгагцих внутри предельного цикла, получаются периодические колебания, определяемые начальными условиями. В частности, состояние равновесия, возможное только при юо = О и — Ь| ( |ро ( Ь!, не является устойчивым. Особый отреаок РЕ имеет здесь свойства, аналогичные особой точке типа вцентре (рис. 1.17). Итак, установнвшимсн режимом в данной системе являются автоколебавия с амплитудой (2Л9).

Введем теперь в рассмотрение вреленнбе запаздывание з системе управления. Пусть т| — величина запаздывания при включении газовых сопел, а тз — прн их выключении (тз ) т|). Поскольку к линии включения сопел |р = Ь| (рис. 2.13) объект подходит с яостояшк|й скоростью (горнзонтальные фазовые траектории), то за счет запаздывания включения совы т| оп перейдет за эту линию на величину й|р = а|ть Это значит, что линия включения займет теперь в координатах (|р, ю) наклонное положение (рис, 2Л4), Аналогично и в П1 квадранте.

К линии л|е выключения сопел ю = — Ьз объект подходит с постоянным ускорением — с (параболическая фа-

047

Распознанный текст из изображения:

вовая траектория). Позтому за счет запаздывания выключения сопел тз он перейдет за зту линию на величину Аю = — стз. Следовательно, линия выключения сопел ю = — Ьз сместится вниз (рис. 2Л4). Аналогично в левой полуплоскости линия выключении ы= Ьз сместится вверх на величину Лм = стз.

Рас. 2Л4.

В соответствии с зтнм на ряс. 2.14 нанесены фазовые траектории. Видно, что предельный цикл за счет аапаздывапий увеличился в размерах. Амплитуда его

(Ь, + стз)з

А=Ь, (-(Ьз+ст,) т,+ вместо прегкней (2Л9).

Иаменится картина фазовых траекторий и внутри предельного цикла. Тзм включение сопел будет происходить на линиях г6 в Р~бь Выклгочсние же — на линиях гН и Р,Н~, которые получаются от перехода парабол за линии ~р = ~ Ь| на Аге = =г стз соответственно, причем отрезок А (рис. 2.14) определяется по формуле (Ь +~~) Ь~

2 В результате внутри предельного цикла получаются расходягдисся спиралевидные фазовые траектории, Это соот-

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг5,00
0
0
0
0
2
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее