Главная » Учебные материалы » Математический анализ » Книги » МГТУ им. Н.Э.Баумана » 4 семестр » ТФКП и операционное исчисление (Ванько Галкин)
Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Математический анализТФКП и операционное исчисление (Ванько Галкин)ТФКП и операционное исчисление (Ванько Галкин) 2013-10-05СтудИзба

Книга: ТФКП и операционное исчисление (Ванько Галкин)

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики книги

Учебное заведение
Семестр
Просмотров
4020
Скачиваний
2139
Размер
12,38 Mb

Список файлов

01

Распознанный текст из изображения:

3/ ',у

ударственнмй комитет СССР по народному образований с'. !

Московское ордена Ленина, ордена Октябрьской Реаолщйи '.'";;;:„' н ордена Трудового Красного Знамени высшее техническое училище им. Н.В. Баумана

В.И. Ванько, С.В,, Галкин, В.Д. Морозова

Утворила.:

редсрветом МЩУ

Методические указания

для самостоятельной работы студентов по разделам

"Теория функций комплексной переменной"

и "Операционное исчисление"

1 пЗ.

;~~ б;тО

,у Г~;фу

ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ

ооозначеоп<но здесь ероха

Ю х Щ Ю л Ю ОЪ х~ х л~«««х

«- сто

в Е «««О

Юа ю ять «- Ф х — ''а

Под редакцией С.В. ГалиМиг.".':-'"-':.''"!;-',-.а~::::::'.:::;,,:-;:;!-:.

;..4ю""

02

Распознанный текст из изображения:

Заметим, ч

~ х(»~д

Рг дектэр Н Н. ~т ° ичэнэне

Нэррсктэр Л.и.Малютина

Тригонометр

хс ~Й(

Используя Фо

('и

можно звпис

лазания издаются в соответствии с

Денные

ние методические указания

сны одобрены кяФедрой прикладной маи н . : ., : ескэй комиссией Факультета СТ

,и пленом. Рассмотрены и одо

т . и 28.С5.87 г., мстодическэ

э. ическим УпРавлением 15.С7 87 г ЖС6.87 г. и у;сено-метэдическим у

.Ф.-м.н. доц. Т.Л. Петрова;

Рсцснэенты: к.Ф.-м.н. к. т. н. доц. Б. Т. Д >брина

С),'... с . ь щ текин

. ь щ текин н.скос училище им. Н.З. Бауман

иэскснскпе ечсщес теки,

. и-сдпаэ лечены для студентов вто,,се; ч ,',,ТУ ич. Н. З. Баумана. Они помогут эгэ куос е всех Л яку:, ь се и ч.

накренить р"вдеты кур° " сири ~ 1иуннцип .эщплсксной переменной"

снлс". э ис~эдичссние указания вынесены

с::эч рс си~ т"инечтся г лснциях или трес .-. эсе,".-..-'' , , крс:л~ „,эц ссчэстэятсльнэй проработки.

1. Коипдексн: е числе и сперсни; нэд ниии 5 2. Ли!Иеренсирсвьние (унниий к~индексной пораненной ...... 7 5. Здеиснтернне ф,иксии кслнлснснэй переменной ........... 15

реелскен,е»бнкнии нсиисенс; эй переданной в ряды Тейлоб. Беииененле опере"ион игэ исчисления к решению линейных

диф;"еренниеньннх уревнений и систем этих уравнений .... 44

Бссплетнэ. Бэдписепэ е пе;эть 14.85.88 и. План 1987 г.,У16 доп

.'ипогрп,л" я 'снТу. 187СС, йэскпь, Б,"~, 2-Я БаУманскаЯ, 5.

1. КОИПЛИКСНЫБ ЧИС))й ' И ОПИ ~Ца'-'Ий~:~-:~!' 1. 1. Т и ы записи комплекоимк айрен:.,::::,"';,;:":,,'::::::"'::;::. комплексным числом х ' называют 'пару Акселе:,':,.:;к-' тельная часть ((»е х ,), чч ',мнимая; часть';,'('Ътк:::~',"::1 ют комплексное число в алгебРеичеоксй:$оРМЕл.етм';-,'-",;:.".;;-":

Х» эс» ~. чч „ где 1 - мнимая единица ( х"

Комплексное число можно изобразить" т(тика":)йь,;::~'' плоскости (рис. 1) или радиусом-'вектороМ зтосй'76Ф~)ь личина о ( о- ( 1х( . называется модулем','комйлеие ла, угол Апл~х между положлтельным неправд»внаем,-,.'::,йейй ной оси с х и вектором Ох нвзысается арпументомл'жемп го числа т. , А~~ х определен при '~. я' О с'точйость гаемого, кратного 2')( . Главным значением аргун)энта называется значение Апл1 х н']-л','~ 1

Ат~х о:му»»,.лк, где к — любое целое число.

03

Распознанный текст из изображения:

.с л, *~ ' и . л

3

-.—,, „.;: .ю ',— —,, ~ сук) = х2 е

— называются комплексно сопря— з,сл., ллд действительного отри-

, 3)х =-6

е

Ог

= са~'-'+2 юм-'

— если сс, Жв,

-=мигания комплексных чисел зада-

м,= м..

-тс.

х

хк соответствуют сложению

),-2' -1~-2~ °

чисел задается равенством

." -" — :. е;"-лс-с - ..- .г.ется равенством ( ~.л Ф О)

7,, =; '", л. ~,у„') ~ ~~ 'с~~< -ос.~~~

— — — — = ~ - => ~;') = - 1 л ~ .

' число в тригонометрической форме:

2, 7х ,.гкмг. „

, пис з-ь комплекснле числа Х

-1. в трех ',юРмах

~в )х1Чссъ~Аъ~ъ,1 а Мчь(дш~ х,')) )т„~~ ~'з'~~А'~9)хЛ )хд!т Л ~Д сх. ~вшу,1оо ь(Аю~к "гз)ЕйА +1 ~Я о~д~~х~1 СО Ъ АЫД ~ ш Соаф Ч Х ) ~ ~А ф'"' ':Ъ

цх,) А ~ к..д; «Д,' Последнее соотношение понимает

ется в том с~меле,,жт~",,. во значений А с (- < х л ), совпадает с множее,'; ', .

А'х . О вектоР Ох, Растягивается в )та) Рвз и ново ' .в' 'хЯ Хт . Очевлдно, что при делении ( т,~ О)

) Х 1" — "-, А'~с~ к = Аче х, — А'ы .х упрялнсние: вычислить )) ~2 ' ~ ~ь 2) ~Х"'Ъ~Ф+Й""' ы) И 3 правкля умножения комплексных чисе '... - '".-.,"..,",е:;::,;:;!:,:.-,":~'-,.'.К~$ю=.,Д О другой стороны,

! ею~ 'у '~ 'ь Ч ) - саъ + ' ° д, ~Р. -::.':,".'.".::::::-..:.!'.:::::::::!"'~!:;" Число 2. называется корнем е и степенк из коипледоиейб ииаййе ~ 4г если лл~ . у.. В тригонометрической форме ' ', ':,- -',!:;::,';::,:::,.~::;.,::::;::;'!::::~:-':;;!,,",:,з,."',;.:

)ит )" ~со ш ~в А идй ь ~ ьо~ (, Асей~ "ФЦсб9Ад~к4 ~Ф~е~~~~~ (' отсюда

~ .з) лх~, А'х~ъз А ~к' Фосыула л; Ах 'х .. А 'х

ьт-ч)т.) (сюъ — -'~- - '~' или дает и корней при к О. 1, ..., ю-Ь.- . Волк .и показательную форму записи комплексного числа",-"ет

~т 1

ш

т ~о7е Легко проверить, что )е ) ш ~' для любого::д~МФт

и числа Ъ

~е' ~-~~м, ° ~м~ ъ1-~~:":::,::,~::,;~М

05

Распознанный текст из изображения:

,рскнят ; .: с= ~ 1 и к -с з' Ч . Условия эти (необхолвннс и лсстатсчнкс) таксвн;

1) ь и С яв".ястся ли',фсрснцирусинми функциями

«) кк васви гв ясяиаваднне свяванн ссстноюенищии

(з)

внялкткчссккк )В нк'(ип икают силу ОС~1чнна правил (с 1(:) ".= с ( (-', Г;(т1 . ) (т)) - ) (=( — '„(-(, ( $ (х) ~(т1)'- -1''л)" "" '.""-' '-~ '-"'1"" ()')-'~Йв(~( ~те);

х ) — в: ак ~ с"Гв",авва аналитические функции с с' (т)* а) ~ '(

рис. 3

п

"уста ва я ат,кк

'р ' аск'а уравнснкя

срк ~- = '1.

как в ссккаХ (Н,' а - = Х (х ),

т =()

исс в вэ квн,

лсвсл ксвс кцк. ' ' .. ~л сн ие определена.

с;,.: . нт касатальн.й

8

с~ )*(; М .() ~(~Ъ~ ~М

аю в а'ю ь~ о асс/~т. ов~(ь)

(аь "а)

Отеюяа

отображения, оеуще

- кривая на пл

'ьч' е ~, определяюте

ны из соотношения

~[к Щ чЯь

раметр1 изменяете

. Пусть ~в/

. Аналогично (

В результате

о К ° Х

При этом точки

могут быть получе

~в/(

причем когда па

гает всю кривую

)). - К Ьв'))

ренцирования сложно

Я ЧЪ,1-А'. [х

няетея в силу нера

= ~,). Аргумент

аргументов еомножи

-акч ~((х,~+В~

(7) следует, что

асоч )' (Ха~+и,;

выражение (8) ". а'~

(и ) и выбора то

льной к любой гладк

сумма углов: между

По правилу диффе

ъч'(О 1х . ъ(

Условие (6) выпол

точке х Хв ( х

чисел равен сумме

Мв ) )(~.~

Из (4), (5)е

т~ ю

Анализируем

от вида функции т

угол между каеате

в точке Я есть

олл~() (Хй °

Так как этот

то при отображени

пучка гладких кри

ко веем отображе

чиваютея на один

Очевидно, уг

равны углам между

плаекоетиОХ ).

и га в точке Х,

зы У", и А"в (на.

о,'г~х'®,

етвляемого 4)уик((вбй((йа( ",~,-::.;:::.',„; оекоети Ч/ .

я одним параывтр(в( ":;,'~::н',''.:.,~:,!;::.:;:,:,:-'':::-:. то®, я от сь до р . '- -'-точ)ов,~ "':;.';";":,„',!~~~:

у. «:в$в'в " "~; 1.х',И ) 4 6 .;.-:::. -;::::".'-':::.':,:.::."::";.;~;::(6~':::='':;::,,:"-';;;:;:,';:"-",:~,; х' (Ф. ~'::.".""- --,',,;::-,::,=',";::-,',,:::,:;;:;~~Р"':;.='„,:.:,'.:.-,:.'„".,":.-:"

.(х ):. заанеит.':~ъ1~::.'~~й~-;~'-;.;:-,'-'";::! ичееной: 4(уйици~:;:~;-~:-ф())~йв~!к~к"':й

3 точку й'ох~ ~~-'~

'())а

-'прод

результат верен для

и посредством ена'.нт

<, проведенных иере

кривым обр~ввм

и тот же уголэ Рав

ме,дур и б

еоответетвуюэ(ими кри

П мер (ем. Рие 3)

еетьб ' ю Ч "'

плоекоети Я) ~в®ют

07

Распознанный текст из изображения:

определяет, во'

В многосвязно о

й области интеграл

ию. Ннтеграл макет прикинет

ае ю функцию. и

ниченной (. и (-, имеют я

ли ену. °,

нутре области, огре

неддекеюис )),

т ении спалитической функции по

т мокко воспользоваться

. ком восстановлен

или мнимой) части моин

ее де йстеи.елькой (или м

) функция л( уд

Н ~с~~~~~ Да

, а и-ипсетеп

нмх пР'изездных г ' " ", ' ° - "сит~ и

):

'а.

ции 7 (е, З

бл

И, ерепгп уреенепеп еп гу °,, . >

, стыл дз еге."е~ и „,, пе г,ге и- и

считается

г~

1

постоянным пераме|озм,

йз его„ого уедпеиг,".л.,- ':;; -,'г г:Р Ь

.,: ~~ее"-, '~ге,е получим

е

'б ц,

— =е — ( ~(- ~' '~,З.ю .. ":, .:,. ( (-,.—,'') (-ю" ~(ф.

В силу гармоничности . ю; — "' ' = е;

е.о'

егкм ~беаз~м, 2 л,~(, р(с) о ) Ч

(.~~ ел.'.

г

восстаПоетоянауо 2 мзенп емче пм'е, е ге известно значение восс а

иаелиееемпй ",ункции е магог~у;й гзчее Х.: ~ ( Х ) Ол °

йолеюео; найти шхкги гепггуп функцию ~ (х ) по известно

тной

12

й Далем ")2е нкцкя л( и испо

ревизии 1Ф("ФФ м'), фу ) позе

1- -7-

'3

(зе) е

и, о

~~л~ лп

ление

ачиг

«2

(,21-.

ь опреде

ем из

условия

2е.

ии (О) °

ростра А дейс ненни фун

Х пе

изучав пением в

твитель функции кцня КП о растают

х функци ах сорок Например далеко не

й КП озых , те ара

3.1.

й наеме ъл$

ех е) '

нкцие

О,

е комплеко(еее

не обрелймет

иоать отобрана

которы

нуль

ватель

9) еоть

Чо~~

ее части Ре1('т) ° М ° 2е

вии ~ (О) л 2.

Решаем с помощьо у

е 2 е еюс с °

Э

лт ( ю „) 2 е -' „(,„

Днффврвицнруя лт (ж, С

аналитичности, получим

2 е тл(лл

откуда лг('(зе) О, а эн

Итак, птгх ч)~ 2 ем.~

) (х') - 2 Е "со Ь С л;

Эдесь мы восцользовалис

(см. и. 3).

Постоянную ц найд

2л(О 2 -ль С "О

Э. Э))ИаНТЛРННК фУНКЦНН

Элементарные функц

ются естественным раап

ных элементарных функци

ко при таком распростра

свойства поиазательная

функции а( лХ и сон

дулю и т.д.

Теория элементарны

Д. Эйлером в его работ

много опереаали эпоху.

на с больеим трудом и

Дробно-линейной фу

~М 2(х

гдео.,Ъ, с,с) - не

с и с одновременно в

Рассмотрим последа

мых функцией (9).

1. Числитель вырезе

ла~, от. лЪ о.(,

и Дойблнктальнгм'"У~Д(~,,':":...',л"

беря Эйлера;

льэуя втерев. мз уейрвЮ 7:":;;

ледовательно, .

М ПОКаэаталгЬНбй ~-:;.'.„.:;"„-",-',."-;-'.

$ (О) 3, т,е."..:;,.',",'-.'--;",.',:,.,'.;,!;.'":-:,.':",:::,::::

ИСНОИ ПИЧЗЩ(НОЯ '(Яф

мые в двгв(ом'курае),-:д)(фщ~,':,--:.:,.',:.",:',':-".".;-''..::,

пркобретают"подчае::йбвйе

казмвается перкоднееекЩ» ' ',,::;:~.

быть ограничены)еп(.'не: лйье,', --',;,„";::

бьиа э оаь.лном йевдеййь...'1."

годов Хуйв. Этн уабетй(:,нй-,'-„",':;.";:

орик логарифма был п$йф)йЬ",,:;:;: .:„'..".;,

зу.

09

Распознанный текст из изображения:

б„,,„,б»б,- б бб», ббб»

свойством: окружности. принадлежащие плоскости ~Х ), преобраэу

ются В окружности, пркнадл<жачке плоскости Я) . При етом пря,в,

считаем окружностями бесконечно болъюого рвдиусв,

Убедимся в том, что отображение М « ~/х обладает „

свойством: х » озб ь'1 ~"~ = ~ б' ~т м - ~/х =э б ' т »

со+ ь~

и - б"Э

бз -О

бЭ б бб' иб Ъ «2»об 115)

уравнение семействе окружностей на Яэаписыьается в виде

А! юб.б;~'~ ° Гб-с '-'~ б бо =О.

Уравнение образа этого семейства на плоскости Я-

об Оъ

-!) ~ о - сб1 '6 . — с О - й - Сб

б "~,

Рассмотрим на плоскости ! = ~ то~ку

При отображении чб'= ьэж 'з)(бс 2 Ц Х б = - Ь(с б = о .

Следовательно. Образ какя 'й прямой или окружности проход й

дящеи

в плоскости Я чб'аз -, чку ; . = - а ~с б содержит точку

, т.е. Все .".Раиче к окружности, проходящие в плос-

плоскэстк,~~) . бее прямые к окбужности не проходящие

Пример: отэб дить эн'=

П- .ы р: „а ,. кэ.. зубка Верхнюю полуплоскость

О на Внутренность круга О = 1 так, чтобы гран ица

б переэла а окружность )~Ф ! 1.

,",рабнз-лкнэйн с отобоаженке обладает .

1 .с з лелеет кругоВым сВОйстВОм, пОЭТО-

му для резенкя поставленной за'

к э фициен".ы функции Ьч ( '- ), чтобы с

к „. л-. ". „, - " ( '. , чтобы установить соответствие межи ранныии тсчкамк оск ОХ ! 7,

" чкани к"уж ости

)' . ..» х = О) и нане

бв2

т.е. для эа"анкя дробном но-линейного стоб ж

Оалбения достаточно знать

М б ": , б , для чего необходимо задать соответсть'! — РМ,,Мэ, '~

Например, так подберембЭ.,

. 'МО',,;, б,, чтобы

! ~,О, ь) ! 1, ', — ь) '.Рис. 6).

ь=

б Я-1

б«-1

Рис. б

~~/ (,!ь

о(,р, б п

!У,а \

Отсюда

Таким образом,

х" 1

Ъ( =

ТХ -~

Мэучим некоторые свойства от

функцией М

Пр дставим ла х и ™ в

т. - ! х! Ъ "«бй ь' е' 4 '

По формуле МУавРа

чб'- Х > !'лб ! Ь

«)

Отсюда видно, чт

функции происходит по

и Растяжение в )х!

дение: если две точки

дз

бл( и а/2 равны

Поэтому для виде~

которых степенная Фун

отображение, необход

собь~ -~ тбй б«э

!~м)-!Х!".

о при отобрав

ворот каждого

.Раз. Легко

Хб и 22.

Х, аж~ Х

ения облаете кция осуществ имо потребова

Иэ 116) имеем И„ " 1 Отсюда для нахождения

ных уравнений:

-1+оь Ы, 1«

о'-

= Х

ь-- «Ъ'Х

х« ~4-~ . 1 - 1;-.-,й',:,,-':~~.-:;.'.";.-',.~!-,::„'

Р обременив, осущгстзв)й~е~~!:.":;.:~;:.':;~:„"" "

б, тригонометри есбкеойб фю1)и)~""' ~ ='"-" .е т

11

Распознанный текст из изображения:

ицсй которой является С (рис. В). Через <ь ~.~ х

ес

С

— Мь

тс

т <=у=

'~ Г

~' l <

Рис.

О .,к .з пги обходе кзнтурз <. -<) меняется непрерывно

и пок палка.. збхзде контура С принимает прем-

нас значение, ра язв

/1

осксывая звчккутуп кркз„; о '-, ;" ,~ , , начиная от точки

'1 ~),р

вернется к свзему пгежнаму знвч нке ««',

Значения карня, <зп,едалявч в другкч выбором аргумента 7,

/кап, кчвр, с хз =, ~ . ',к ', к = 1, Б, ... )/ при полном обходе

пз к",квай С -.вкжа оскс <вазе за <кнутые кривые Сз , Св , от-

личающиеся зг <н зл п вз)зтзи на

л

.аяврь 1ассмотрзм крквуч л;-: „), внутренность которой

содержит точку д = ".;сь. ка <зис, 9 пунктир).

.;рк пзлнзи збхздв к1квзй (. зт точки л, со значением аРгумвнзв с <" < соз. зе"'с. вуюл" я тачка ' <~ = << х не воза

щяагся в полажение х, , а занимает новое положение

,,),

твк квк арг мент то к., г'..о.

т в у. . точки -„ гри полном обходе по л получил при- .

,"л „"анке 2 Т . К своему начальному значению ~l, точка Ьl =кк

ВО

вернется лишь при' '<з -кратном' обходе-к<рйвай'::~,':»':,"::;, этом случае аргумент точки чч', получит,;пуяр)ай~~:,':-'Фж!-'::;:;:,:;:~"~~' Ка рис. 9 показан случай 'и '~::3.'::, ':::::-.!'::.;:;;,=';-:::::„.:;:!:';:~;,;„"':!:-!.:;-"„::",;*' Отсюда следует, что и любой-обдасти'„:;:ъ1~~';; ~!;"":::"'-':::.'~, „р~ держащей ни одной кривой; обходя<дай .то<чку,„:'~.:.,,":.~,"'"<,~М' лить ю неп с чвных и о.ноэнвчных фуняйййк, иэ значений корня " ъ. чти и функций наэываютси' ВВФцйф,ьйфффв)я))1 'ф ~'Г ; их значения. дяя.'квядого,':.фикс~"'""""""""„;.

Ру юу ~ ю~юмя:(ы~ ~;::- -':"::е< В этом случае каждая иэ ветвей является':-нещ~ф~еф~~',

й. < ~еаь:<<н<я~!:„"' -" "

0 л . ««я Й.~~< 'Ъб,в~:::::Ф,:,',':„:,' тЕОрЕМа О ПРОИЭВОднсй ОбратНОй фиихцкн;,"';-,:::;::~'::::::::::;.<;„:::.";::,'~,"',я,' кслк область в плоскости Я содержит:, хоай:.,;б)й< холЯЩУю точкУ 7. = О, то ветви /~,:;;. бтВЕв4кттй~. непрерывно переходят одна в другую..-,',:.-:;.:,',:,„::-':::;-';;:::;."'~~';ыв~ф' Сравните на рис. В кривые 0 ° С,,':,"';.;<~в'.":,","„'-,"!',4,. "'

3.3. Показательная ялик ия и<лога; и щ ю фут<к мыл ые'«''"""ды!::::~!

Вю кт< <л/;и) =и<~, ) ..<ягою,~) =е е, < "-.".,е~~~уд~~!~,

~~Е КЕ') -Е сед, ~ '(Ф,"::б)::<.:Е-:...",'~~~~;,"<""""

Иэ этого определения вытеиают':юдййййвйщ$;;.„-"";,,"

1. Для действительных чисел х.: .-";::юю ~.,':~;,'й:;,'-''!~~"$ ' эательную функцию действительногб::=перймй))1ф~й»'-:.,

2. Функция е " всюду аналити~':::и<:=~-': ',,' ляется по формуле

, (е ) е -":: —;."-;-',='~: :~<":,-":!.'-::;'::,:,:~~-'~'"

Выполнение условий Даламбер)я-',юйлйР~ но. Используя факт независимости .проийвйД~~~„ ' которому происходит стремление<лй~уМфй,'„ ,. мем производную 'по направлению,",:,яйь 1е ) . — ') е ~сюъЪ+ ' ь'~ '~~1аь,'."а'::~., ' 'Ф. ~ <Ъ ю, * ' ',;.,*',.-„: ~!:-'**'," '~: Ъ

Еж)ы.м!'.,;:.'Е'в'-';

12

Распознанный текст из изображения:

3. Сокраняется основное свойство показательной функ„„„ (в области действительного переменного), выражаемое теорем и слскеккя

' (сс ), ~.( .ъю '1, )' е (ссьф к '.~ею~ '~

= е '" '(ссв(~, к.) ' е-' (~,.д,)') ="~

е -е

4. Показательная функция не обращается в нуль ни при „ экакеккях показателя, так как

(23)

иолы~ эапи=~-: кс-.в ',,

(2!)

'-' " .' и~кивской с периодом

l °

,, = Н ., -':", к в силу

', с циьй

„опдьп атк ~э (э , Тог-а л

плисксстиЯ)

т д~' ив

. = 27 преобразуются ,:эакы ".,;. эдиоэначэ„кы,: ',кэ по полу- ' ~ к ) „'.паээ, а

'. б'.э.~:.

.вт:."."'„."'В Роризон

к плоэ..эсть с разцок (эы отэбрала-

Рис. 10

ется в есконеч Ло1а и

плоско функция опре о И навив значается огарифмиче им основны

~Щ ~ яя/~

й; числ , и обо ления л и получ

к показательно ли е

Из опреде тельной функци лексных чисел.

1. Пусть

~к/,+

х, х,=е'

(25) - есть о

свойства логе

2. Пусть

1м х=

В этой формул

число, в перв

турвльного лог

Как извес

йк/к;l. известно

бобщение рифме. /. ((х! е, так к ом слега арифма. тно, Ак ело им

! а'ц

ьдкчт )

ак )х!

емом испо

о х - баск ест бесконе

комплексное чи

! +'(а ех - главное

ъ~ (х

аох

т.

В етой формуле

числа.

Условимся

нечнозначной ф

Ь х обоз

Чl а~ х

й !т! е'а

висит от т

о числа.

через

ункции

х

х ва

ексног

Значение 6

аргумента компл

делается как функц)Ъ~.,:':„~~~~~!.;;.

~ 'М нн' (хсзр='Йй ' 4Ь~2в(МФ);"::":!,;,'':"!;!.-,:!:.;=,=.~",.':,":~

го из влементарной матеййт~; †::;:::-"",'„.:::::,'-::-':;:::-'ъ:,",'.,:',.~

! х ! е ' . Тогда':по, фбф~~~,:!р~'.,;:;"~ '~-.,

~дл !'к.! еьд'с$'Х: '.:: . -.,;,!~.-':!!:;'4!й~~~!~,',~~~

льзовано обычное .обознвМрНЯ4:::,фр~~~~~~ф~'!~

( ' ' о '" я

* и ъ ~~!',::*'-"'; йиу~-" ьк

онечиозивчивя .фущщия:,п~~~ф»';-

чное' мноиеотво. В)ж4вий~1" .'

+ ел к~ ° .,'-' ',',."::.'.':..:"'::!:;*",.:,:,'; ~!,"')"

значение «ргуйейФ«;:.~";,'"

начать гщ!Внае:::зщ~, ",",',

э со отзетФФВФзщ«Ф!!;'й~:;.:)~::

ого, ка)!ов:вйкя~1~1!~'.,

13

Распознанный текст из изображения:

-...,",-,-,;,. а а';ск«стк '-. дас кроо'е С и '- ° рис. П.

— и/,

О

г: - крк уо О от начагьного

-,. к«ь«а) О,.снт:в точек глав-

", («к(:., значение аргу-

к т.чкс прк прокол„",.нки к ивой

н'

на: снкй

кк в .,лоскости (~~» бу-;чается из " счс.„ением к. „ будет бесконечно

.(и ,к друг ст друга веткой

'Г '- - : ' : * ) садоркит ан(тти исвоего кон— по замкнутому контуру

д «арастают на 2 « , поа '- " 'у с .'(с- ' ; : к- .;; к ка угол 2 '«, при воззрел ! «'ку

к( к« (к, кбо у функции '«кк"(«к чкс.„

«атак .ункции от елить нельз(

;аа;ас«.к(««а(«,;:к,

а д(углю.

образом«если областьЭ~ Я-недсбдаф~е-« ~й~ обходящих начало координат а, П вет и 'А«' «„' ""''-'-:,":!"'':!!'::~~5";.:;-';-

"',:: - .Стде~Ф-,:;, и каждая из них осуществляет взаимно однбзнщсщсое 'Висбю)ййй~6';:,.':, области 1) Следовательно, по теореме о производиой обрати(си ~':

(»'- — ', = — '

3.4. Т игон мет ические и гсесе олические:' '' По формуле Эйлера с23) имеем са ,е ':е.,» (а.':.':;.;::(Ф~:,,:,-:;.:;.'::::,

чстн»цин 'де~~"":".' Формулы с 28) дают выражение тригонометрических юлтйсц)ц~,,'= '""~,"- "~~: вительного переменного через показательн;ъ ф П имем по о Р~ и мед мц ««« ~ «н «-'.~в";:!~!-

с В.

Определенные функции соах и псих .:явяяюа(т~.;„~)щйнйьсям";::~. комбинациями показательных функций переменяос«оа сщ ':!-' -'."))с)свстсмйс)с',;-';. му свойства тригонометрических функций в ос о ;" с)еуал ны свойствами показательной функции. птя Для действительных х ~ + -О а'их и фдщщ:еоАйсй)йй)й~Г' с соответствующими функциями а;~ с и кль ьоь

2. ~си х и ск«ь х всщлу аналитичны, т«а«к;,йакаВсс)д)в1($сс))йф:-.!. литична показательная функция.

3 , х и еоа х подчиняются обычным'-ьив.:,'айвз)я«ем,.;.;"'.;-.';-,'.!~,,"'. действительной переменной) формулам дифферанцзщевйнщк',',"-,"!«,'!!%~!!„:«!.!':.~!,"-~,=:

Г к'~ -сх I . ' . сх кюъх' =~(ес + е )/а)'=с[е"-щдсх»~а -Йиа'а'-.','-:.-".-"::"':"""~3~~""-'=

и с.оъх периодичны о периодом ) 7 Вследствие периодичности показательной функщиси. ' .

схй ь...~е азсс ~~» и» - ~~~~:Ф ас ас " . -'--:$с::::::~:::-:-'.:::с,"::

'ьси х к % сн у. + а% иЪ, (, „.«с,... '„ Аналогично асах соъ Сх < йТк» . С помощью несложных выкладок можно убей)еввйм~~;;.;:,,ФФ:: с обычные тригонометрические тождества-,,„,::..'::.':,:;:.';":;;::;-',:-,'~~-'-'!:,:"::",;„ ахи х+юь х-с ъси'Рх=~ асисс.-й4$';а';:!-.;!"-:,"~;:,;,;-:,.~-".'«".,

1 Поскольку периодом функций оси»х-''::::::-щ,'.":,~ф~~~~

' '' '«н('«"(в

14

Распознанный текст из изображения:

2 т,, Обтаотяын ОДНОЛИСТНОСТИ СООТ- действительное число

лси. т б" . ний будут вертикальные полосы ьетствуюсих ото ьажени.

так как, например,

5. Фригоиометричес«ие фун«ции в комплексно плооисстн л ; . . .., г савнению с теми же функциями действительно лидают Новым, пз ссавне

и"тьсм: их модули бес«онечно возрастают при переменного, сво;стьсм: и .. - ли

ст-"« лен«и ~ — . вдоль .и " ', т.

иелстиитсльио

е

г

;з л с» 6л

=со" х-'.с)и~ — ~.'Ь" оссЬ~

г

».о к — — — ~ иди 1с

Ото:;с витий, что ~осок) .-вл, тся периодической по ьс

иг "с личсс«ис ,гн« ио кйнплс«оного переменного с~ к и

-и"су-- '"' '

ли о.ты -=.:.,- - Лй нилс: ии с соответствуюдими функциями действ«тол«Ног «й=с сии гй:

с1 ° = ',с -е'',~с,:ь - =(е -е )»".

(31)

„:";ньо и; в силу й..р; ллснии ьнр:жаютсл через тригонометриьо

чьс«ие пс "йрмулаь

к= - ': ° ',сЬ' =ой к. ( 32)

~ ИПСРСйЛИИСС«ИС .".гн«ХИИ Стейтс С Сй«аэа«ЕЛЬНОЙ ЯВЛЯЮТСЯ ПЕРИО- дичай«ики, ; = 2 †,,' ,; осаду аналитическими:

.Ун« ии т игсисс и «стинг»нос определяются обычными фар'из.

4. РА'"."-'-".! .'.Е ОУ~"::..;.'у НО!/1~".ОНСНОИ ПЕРЕМЕННОЙ

:",='.Н Ьи';,",.Д И ЕОВ«НА

'.сследовение рядов с «смоле«оными членами во многом аналогично иссле"осени.

л" , .: *,. с..вдовенко рядов с ссйствительньа1и членами. Иэвест*=о

и

де«оные числа, схо "итси то д .. т

хо„итси тогда и только тогда когда сходятсд

1

оба ряда: из действительных .'Е! м„и 'мниммх Я: "-';--'...'»»(ьат~ф»".~"

и:о Поэтому исследование ряда с комплекбными члейамн'сводки«тся,,'н",",.,'~..":,'„ исследованию пары рядов с действительными членами.

Формулируя критерий Коми для последовательности',част~;":.,';: СУММ ряда с) 5„1) (8 =Й К„),ПОЛУЧИМ КрИтврнй КООЛй СХО)МВйсртн,',,':,;,'„ ряда: ряд сходится тогда и только тогда, когда -для:любого:,к,,;:Ф',,;„;:-;:.т существует такое К ( е ), что неравенство ( 8„, :-:В„Х к:."н':,.;вьй;-,';. полняется при любом ~ - ь(( а) и любом натуральноМ ~;:;-'::":::.;::,:.'::,,-';,:",:;»)!»-'.» Можно сформулировать критерий сходимости ряда, ввоф:;;з~йта~,".'.;:~~"- ряда'к„= ~- 'к „ : ряд сходится тогда и только тогда„-'н~ф~~~~!~,'- к»и»~

и»~з Примеры. 1. Исследовать на сходимость' ряд ' -:: '.':;,'-:;;::,;.",!:::;,-:-'-~!'::!::,!л~: » (-ь» (ь»з~ ' . ', ' „,::. »,-'.,„"',:!',~,'~,".! ~~.

(-й Ряд из действительных частей к — †, и мнимых частей Я';-.+М абсолютно сходятся, следовательно, исходный'ряд сходится,,Р:;",:;;;,;.:; В этом примере достаточно сразу исследовать ряд ',Е '~:Х :.( '.-"~':;-';,";.;:,

/5

(( + з ) = 4Г, ряд ~". —, сходится,' поэтому 'члены'„равд()в:"«-" ' ил действительных и мнимых частей мажорируются членами сх»о~: щегося ряда иэ модулей. 2. Исследовать на сходиыость ряд ~- ( ьь и " ' .ь:': -';:;::::::,,:;;;..';,'!',~,,;ж!;,'

и»~ ЗДЕСЬ абСОЛЮтиой СХОдИМОСтн НЕт, НО рядЫ ИЭ дЕйат«ВИтВЛЬНЫХ,':;Н',.".";,' мнимых частей сходятся по признаку Лейбница, 'сиедовлательно:.р~:::;:;!'-,,:;:::::-„:: сходится. 3. Исследовать на сходимость ряд ',»" †' ~, ° ': ",::', '::;,,':.;-'.,",'.,',"',„:;:,"~',::,-'::;;::::„:.;;,~":,:;- Здесь оба ряда иэ действительных и мнимых частей фсрк«едНТЩ»;::::"::,:~~",,:;:„-;::,:;~.'~,' следовательно, ряд расходится.

если члены ряда являются функциями' комплексной::пере~~~"'".';::~~:, то имеем функциональный ряд Й .(„( х1 '. Еслй "видть;;.,~,""",,~!Ф!~'.;'",,',-';"', кретное значение х а , то получим числовай,рф::,-'.)(~ который сходится или расходится. Множество" точеК,-:;,В,." ряд сходится, составляет область сходиыостн фдё~що~уьМ да.

Орвдн фуНКцИОНаЛЬНЫХ рждОВ ВЫдЕМИЕТ»оя тГЛаа~'.::)Зу$~$ по свойствам к числовым рядам -. равномерно„охо~~

17

Распознанный текст из изображения:

4.5. Способы зловония нк< ий в я Тейпе

Рстественный и универсальный способ разложения аналитической функции н ряд Тейлора ((») ° Х, фà » -» Д - это вычисление

< -~() < коэффициентов <.'„ по формулам С'„- †, ~ (» ) или г<, < ф

"2» ° ( !»-»,7"

Пример< разложить главную ветвь г(») ° (., (» л ь) в степенной ряд н окрестнэсти точки ». - ( . Главная ветвь г- (» огр<пелягтся условием г<„ (< «)( <З , она имеет вид

Ь (« '<=(( (<») л'ои( <«»Л, —.ь'<ь» <<» эл.

качестве комплексной плоскости рассматри< оется рас<пиренная к -г<пгк< иья и <,ск ..ть (нкпочня бссконечн < упалвнную точку) с рз,<ре.н<м по полуоси йч» л о, 3». о . Вычислим значения функции и ее производных в точке х 1: Ь <(ь»)( << 2 <

г» (( ( " = <,- (»=<= 2 ' (~ (Г»')) = <«.»'<'(»

° <

и ° >( СГ<, ( Г) < ГЗ<

(< "Й) =(-<): 1 = ' (ил( 2, )

2-

Следовательно, рнзложснис имеет вид

( <) < -Г<<. (» <'> (-<)

Х вЂ” — <' ' — — =~ 2 <. с, — (»-().

и2 Часто удается воспользоваться известными табличными разложениями и нл -ел< и» громззгких вычисг«.ний, связанных с нахождением н, 4<(<нц<ч нгон С „. Г<зп(,им< р, в проны,ущем примере можно было и"тгчит; тот жн р<з уп~ тпт пропп, вводя новую переменную й=»-( и попьзгпсь табличным разложением для логарифма:

'(,и (< <7) ( Г < «С ~ Го(< ~ .(-)'] = Г(и<2 ' 0» ((1 ~-)

з 2

л у

и

(- <)

— — „-- (»-<< (»-Г) 2,

Существует облкй способ разложения функций, который называется

попстан<нкой ряпа в ряд, Пусть )(») - г (<)<» <), причем < =Я(Ф

аполитично н кпуге Гх~ «2 (тогда 4(» < - ~ <»»" ) к» ) < пУсть

. ="О

р(ъ') внвлиткчнз и круго)ьг-~'.~<р (тогда г(ьг) = Е г( ( -«г)

Плл

л г

коэффициенты разложения < 2 „ , А известны) . О

с ны . чевидно, что

,з(»),- ~, , поэтому мо~но выбрать з(П)

т-.

у (о )ь ь») такое,

32

что при (»( ~я выполнено( ьпз(»)':,:,„',(„~,~~ Так как <з (» < аналктична в круге'(~(. ':-,у~ '-",':,::,:,',', ",:,".~ является аналитической в круге ( -( м : ,: .ь ",'„

У'-'. 2чг<з«

" ':Р'",""' '"аМ по сгепсням 2 . Следовательно,

ь..,з...,:., Ряд в провей част~ сходит „ л -кгл-и <е оно " 'руд 4::~~'

'[аКИМ Обраэсы, ВЫВЕДЕНО ПРаВИЛО ПОДСгта<НОВжй плг< того, чтобы получить разложение"т(т)'- е ( лоиа по степе и.

ие . = ф'(ф~","

тепеням. х, где ~(»» аналитячйз а ( .) аналитична в окрестности ъ.„ -. <ль<о) „'нвдй я ряд для - - ' <») оггинаковыо степени 2 . Полученный ряд дает «азлоу<ву(

Г (,п(» <) в ряд тейлора и сходится в 'круг(е()~~4 где г< выбирается так, чтобы при ! » ) с 'о ' ' Вип Ц<»з- <((с) ~ ~ . 3«ь<етим, что воомовностьзпоз(уы(ь циенгы суммированием следует из первой теоремьг Ве если <(«'») аналитична в (» - 2, ( м » то л(») = ~: ц „(») => <р< (») =~.ц)„"«().ьз †.'.",. '::.:3:

и < ' <1<, ( ° ',*змь<Г Отсюда следует также возможность сумыироввнйд.,сне)т в общих областях сходимости. Пример: разложить в ряд по степеняМ » ф)г((йцйю

е ) ИЗВЕСТНО, Чта <2 «', "— ((»( л П"') .. Фью

° =ь ре получено разложение

л+< ~д. ((...)Г 2„,2 ~ з .("< (,з-ь)" (пз' '-'Ц '-"2.-

и2 Подставляя ряд в ряд, получим

ие< М = (.-( "" - ~.2 -й ~ (

иин Гдс (»( С ; <2 ВЫбнраЕтоя'ИЗ (м -:Ь";,~:;:~:; ?'.;:;.:.",',.:::::

.:::.;',«!4:: Примеры: 1. Разложить в ряд Тейлв«Й(:~2(г::;:.йт:.)<м

и

19

Распознанный текст из изображения:

а) согггккт бесконечное количество членов с отрнцетсльн

!«етсльными стопе..я!к (. (ч .! '! , сслк " — сучсстаенно особая точка флнкцит.

П! сдп х"л!и, кос особые точки - «,,, х» функции найдены аачстилц чта . сгонсчно удал иная точк- всегда считаетсг осокой и анагкак)!»ется отдел! но г"и'«! и знолиз гожет быть проведая она хо! ичн , талька »,гсто член !в с отр петель!к!л!и т ,

с епенями нада расска!л! «ат! ч !сны с голо«житгльн гии степенями. После

сле того, ках ас'. осо"ч: -.; чкк найгг!в«, надо провести не комплексной

оа плос- нядиукр!', »"'«х к .;":, 'Ункчич ( л ! аналитична и Рязлаг,.ется В своя

Ф

а!ах! «ча.."г;и «у!!хцкя прегстаялгна в вида су; ы функциЯ !обыч-* г "ас г: ' -! г,я '!;н!и(!лй-сдагаелгкх во всех круговых

„-хче„ч... ':-'.агтл! осе разложения,.;нк:(ки л(ъ) по степенам (2 — '.,1

7- !

"са.гя -. ска 2- л - пол ггрвого порядка, и еются ляе области

В области 1 получим разложение в области 2 получим разложение в области 3 получим разложение

алове

рвало

нов

е для

кения,

ув перем экспон

2к фЕ

2!г г~...!

),—,',.

ции в.н

разломе

= (чь«йк О((

+ +

!

«ф («М ие функ йти все

1)

~(.~= =

з ( .К-.

(» х

тъ

= с!,х

! '1о"-Сл

3. Найти все ра

!

ь(х) - х-е'-'

Здесь одне область

особая точка. Вводя

табличное разложени

1

тг(~~= (~«!) ез -((ь

."(

2

л ', (а«!)!, («л

(

! 2

( л«! л!.

Зто и есть разложен

Упражнение: на

у( '«" 3~ «.;(ъФ- «лтъД+Ж'*ь(~~«~'~.ф~~~фЯ~~~~;,

Ъ

!- х

при (х! ' (, т.е. в области 1,

— — — — -ъ — —, при (-с.( > (, т.е. в области 2. 3"йгк яс разложения функции «(«) по степеням М-2 л!

я ! х.-х„!

!.: (» ! « — область 2, (х( — область 3. » л (-й —,— „... (х(<2

! ! х«с 2"

° О

3)

ъъ. в

4) 1 (Ф)

5) 4 (х1

х«'-

ч -«л, Х =-ъ

ч =2«

5. ВЫЧЕТН И ИХ ПРИЛОЖЕНИИ

Пусть функция ~(Х~ вналитиииа в облаотн,'.:6«','':.~('

нием конечного числа изолированных особы(~»тбл(аК".4ЩРЖМ~

характера т „ т„ х„ , лежащих''в обд«(аен:;Ф',':;;~:.4~$з

задачу вычислить интеграл

„Ф ~( 3 ~

по кусочно-глад. му замкнутому контуру Р:,,;.4фНЯ()ф!:

в~в()г- а) . по рои о ружности, )('„.;:,. (х-.,:,зй~~ф$4~

к - (,2 „„,,а, выбрав (л„так,, чтобы»В. иВк6~,'Жач)~фМ~

20

Распознанный текст из изображения:

попала ни о.пил т ч .

о „л оч„л т,,ь„. По теореме Коши о составном

контуре и

( могосвязиой области) можно записать

«

Ф ~(х, 4х - ~ —, Ф ~( ~д, .

г сс «

Функция ((х) — внллитичоскоя в кольце гз«(х-Х „( «ть

Ловлтелько, 'кл гэггжет быть рлзложеиа в нем в ряд Лорлиа

олвномерно сходи гол кл г)гг!кипе ~" так как иа ией

точак:

с«1

Ф .~(к~с'х --~) у С („х ~,(.

ск )с»=- 4 ~ (х-ц«Г (

г«г ъ (,

Вычислим ф Е (х кк'1 пуи целом г . Если го неотРиЦатель-

ио, то подыктегрлльнля функция аналитичг: в круге(Х-х„(» я„,

следовательно, пз интег)юлькой теореме Кслли с)с(х-х«')к)х О

тюли гс . -ь, то по следствию из интегральной формулы Коши

(формсуле для произь.,осой) получим

При м«-~ по иктсгральной формуле Коли

ф

— »2дс. 1» 2Хс,

Дк

Такисс обрзэом,

Ы

о4

Ф 1(ХЫх» Ф ' Зх«2Тс(С,

гс э«„7. - 7 «

су .)(т') с3'у, = 2ш с С

г ««с

Вычетом функции )(х)(йе" -)(х)) относительно изолированной осо-

бой точки 2 называется коэ1сфициент С, при (х-2») в раэло-

жекик ~(х1 в ряд Лорана в окрестности точки х»Х . Таким

»

образом, получена форьулв

у 1(«1 )х = 2ш~ ".ь:, йев Т(х) .

с к с х

к

Тем самым доказана основная теорема о вычетах, которая форму-

лируется слелуюшим образом. Пусть ~(х'с однозначна и анали-

тична в области сэ эа исключением конечного числа изолирован-

ных особых точек. Тогда интеграл от ((х) , взятый по кусочно-

гладкому элмкнутому контуру, содержащемуся в ~ и не проходя-

щему через особые точки, равен произведению суммы вычетов $(х)

относительно всех особых точек, заключенных внутри Г , нв 2Х(

38

Поэтому, зная вычеты фуикции в бсобсых', "-""'"

интеграл.

РассмотРим вычисление вычвтоа в о';лб ь

плоскости различного типа.

Пусть Х» - устранимая особая т«''„'~' Лв

ложении ф (и") в ряд Лорана отсутссствуивэ'

т вдй

тельно коэффициенты при всех отри„а;" „ ,

т.е. вычет равен нулю. Пустьс:т„;

да разложение в ряд Лораяа имеет вид .

С',

1(х~ = »0»гас(";-'тщ»~:,('у.

ум"'*'" "' ( -"-) р

ри

з(х1 (х-к»1 =С-с сг»(Х "у,с~ ь~ ( с Х )

9 1»'2- =о Р, «„(' - ) С,'(х.' ')"

чк,«)

(в этом случае х - тоже полюс первоголдор

Определим вычет в точке Х»:

()" у.1 ('- ~М( -х.)-(-- — """'(.-.) =~- к х-~х» хэсвх

л(т,)

с)г (х) ст' ( к») Пусть х, — полюс и -го порядка функции.'Тогда ряд Лорана имеет вид г С- ' О-«с '

(х1- = + — х.с+»'—

(х-х»~" хх-м4,,:,",'.' х.,: Умножая нв (х х„') > дкфферейцируя и'( .':,'рвв делу при 7. ш„, получим

)(х) (7 Ац)»С С с„с(х"'х»1»;. »«(оьг7..с)ысг

— х Г((.) - Л О„„. „;( .,~С.,( т„1" «Е.(хы

~»»

~,,»-' ~((х~(х-т ~ 1 -(м-~~~.С с+мсС,(х-в'1».";-.'- «- с

— „, ~~(й(х т Д1. (м-ь~, ().,;

дх"

')и-(сЪ,

РЕЬ (( х) ( — 1 Ьссс с я~(х)(Т-ск~ф~' Если х» - существенно особая точка"," тв'в)р())(Ф разложение в ряд Лорана и искать, С с

Примеры. Классифицировать освбые:-точ)Ф."»г

26

Распознанный текст из изображения:

"к'нчательно находим

Г <- Г Р.- Г - Р-- Р '

о- <

Отседа ~М - йс,.ч . - ск-..ь' ~ .

и~

,"<рк асср ре тить уравнение

при чар< й"сч к;. С~рая.о'.~ему уравнению

:<< ~) - р '-' — <б+< оЧ<)к1- 4.0- откуда

~~о) ~0 ~'~о) = 'с5.

-Ч У<э) *О,

--~.;э~э~З

'.т''~<~с<и-

откуда д".я Х(т.) <-:ол ч

,Т ., ". -: . УЧасы СЛЕГУЮШИЕ РьаЧаЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ:

'-М.~ь «.='): ~., -,'<с)-.ч'~~-.')=~..." М ~ ~~ 1 ~ ой'"ак Рсх',"ну~ <асач у ' ли к нахскяению ре«с<<ил дн+4еренциаль н'гс у)а:нсняя

Известна, чсо

Ь~Р

(Г ') ~'.~

Окончат. льнэ имес.

- 2~.

~<с) 'э~ '.э'~ 'э~

Рассмэтркч рс«ение ди",<',ср.'н«иэльно о уравнения (33), когда НСЧЬЛЬНЭС ЭНСЧЕНИЕ НСЭЭИХСРмсис ИЕРЕМ .НЬОГО ОТЛИЧНО От НУЛЕВОГО. <рсбуется най.к )е,сакс ура: ченчи

удовлетворял::,ес Р. <Сльн ьм 'уса<илиям

У-) =~., 3«ь)=1',, 1" 'Ы-~",'" ~. 0

,.ри исрсхадс к кассраяа«,„'.С«у траян< нию возникает небольшая труд- Рость, эакясчаи"аяся В ""ам, '-".о а иэибраисния

Ю , ~'( О ,..., ~'" (~) согласно теоремам будут .х <-и ь начадь«ыа значения искомой и; нкции и ее производной

не а я<и<хе 1, , а а точке т = О . Чтобы обойти это эатруднеНИ<' ИИ<<ЧГ ЧРМ С " а < й

.." ,, р . , С,с,.у .:„':<,. п, исм. аисд .м новое иссеченное '~ по

„.РМУЛЕ 'Т : 'С - 1, , ОТКУДа ~ - †, ь ~ „ . ВМЕСТО НЕИЭВЕСтнэй ~<.учк <ии ~Ю судом рассРатриаать х( с~ ч~' ~ ~д

Очсьидно, <тэ

.с. О, ~. + О ~ т „: ъ,,',~Г ти,.:„~?:;:~ф~~~<~~~~!~~;."~!.',<<,';:;;:.:,:~,в'*

удовлетворяюлего начальным уолова~щ~~.'~:.,.:~~!=.'„:~!!.:",~!::~~;.';-.,:,;-„:„

аисимого переменного -,

~-~+~,,л ~-0 при ф~у~,ф, ф„у~Ф .,л,у...,.Д,

Осе яаем эак ену независимого йерема<<НЕЧГВ..~)~",',.„'~~И~'~~'";-;:-'"~'.'~4 ' -".'~~""-"~"'

Тогда х Л1 = ~~ с +-)' ) ~Ю ..Относителвк<уб)ф~~!':-;:,-"-'."-'-"~':"',

цкильное уравнение

« начальные условия х< о') < и~< о)," ,~'," "."'::',!';:.:;::!-"':-':,"-:;"!!:,:.:;:;;!~!'";:'"'""'' """ '

т Л~ — — ~ ~р, то "..ф,'~кф~~'.:;:~'~~:. ''"

:.';,'.'*,<< ','ф~„*,;„ьы.,'...„."„."фас

', . ь гх~;~с-вее уравнение <смеет вид

Ра' < " у "<<~ва':::ё:;~х:~:-"':~И''"''4~

" .'": ~с'<- ~ ',~:- М~.: ив::::~еж';""'" *"

-ся и последнем соотношевнии (праМ4' куб'.:-,ще4$'

.:,4,т:,,-:,-,: ",:

Итак,

' «1- . ~В -4Ф- МЕЬ-'Р Ф - Мать'а - ''".А "~~ "~Ф4МЪа'-""'" '

".реи уйество операционного метода перв<д'кваиФ~""'",-;~~ф~ '

'нии дифференциальных уравнений в том„.с;:.йтв:::9у~;

ГТС,".'РазэааНИЯ ЛаПЛаоа НЕ тРЕбУЕтСЯ ОПРЕДЕЛЕНК<И,'Ф~~)Ф" ... '",ь

с .д;сательно, не гребуется и решения системы .мгебуиФ

~,""наний, иэ котор<сх находится прокавойЬЙФ Ф44~йфйф~;-

' .-е . ярко проявляется преимущество оивфФММййФФ~,.'„,,

. Ьссичсским при решении линейных дифФФрФВИ~~вйй<ы

стэянными коэффициентами, когда,правФФ::4$~"':.'...,„ " ',

Я<т Ссбсй КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНУВ фУНКЦК<В:'3:~--с,,

эуя эаиаэдываюдую единичную функцию .~,:(.Ф „'.:~!~;,

'есть эагисать единым аналитическим::ВИИМ~,,-,,

' запаздывании оригинала найти иа06ракай~йк:,.

-"-'~бражение будет представлять собйк::.НЮЖНА,,

луилос«ости функциюсф с~) . Яокоф".ЯФ

' '<а для иэобра чия, полученкогФ:::", ~~' .

"сния, придется снова воспольвввМв~ф;... „

оригинала. Ответ будет содерватв ФФФФФ~)~~~'',, ".

цио, которая автоматически склеиваакс.

28

Распознанный текст из изображения:

'л~м'$ае г~ °

: ЪреЯЯем и нэобреееющеЯ еиотеме о учетом то) о, что

о(М ь) Х<~); ~Ю'ет ~ц') ' х~~)е'. ~Ч') °

рХС~О -Ь -'я(р)-%((ь) О,

ГОР) - '-')Х 1 Р') - $Е(р) Ф О,

р2ср)+ ~ -ЪЖр) -%~(ь)

рХ~р)-~~р) - Е~р) Ь,

- ЪХср)~ рсфср)-Е(р) ° 1,

Х(р)-Ч~р) +~>'А((5)т. -$ .

Раэрееие ету систему относительно Х (~), З((ъ~

получки

'ъ -2 Яр

Х<()= - ~- — — 1(,(~=

(р ~ 2)( р .М ~р~О~(р~2~(р-'ъ)

,2

Я((ъ( к

(р ~)( р~ Й( р -о)

Отсюда, применяя оазлонения дробеЯ на нроотвймие нли творемм

резлоиения, наход..л

-.Л ~ М

ХЯ- ~9" ~

с -И~

(Ю.— е -~е — р

м

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг4,50
1
0
0
0
7
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее