Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана 3 семестрa по предмету Теория вероятности и математическая статистика Методические указанияМетодические указания 2013-08-20 СтудИзба

Методические указания

Описание

Описание файла отсутствует
Картинка-подпись

Список файлов в архиве

File0001

Распознанный текст из изображения:

УДК 5!9.21

ББК 22.171

М54

Ренензент В.В. Чадов

УДК 5!9.2! ББК 22.171

Издвтовыаю МПУ им. Н.Э. Баумана,

107005, Масввв, 2-я Бвумвисвы, 5.

Рие. 1.3

18ВЫ-5-7038-1958-0

Ф МПУ им. Н Э. Бвгмвнв, 2001

3

1'

М54: Методические указания к выполнению домашнего задания по теории вероятностей /Г.Д. Карташов, Н.Т. Вили-

сова, В.И. Тимонин, Л.Г. Ветров; 2-е иш., доп. и перераб.

Ма Изд-во МГТУ им. Н.З. Баумана, 2001. 36 с.

15ВМ 5-7038-1958-0

Павдешвввин ив бхадиммв творогова юи сведеввд и могадичепше

ух вива в Р иеивю шповнх увдвч, аад рввшвхсв в типовом Расчете ло

вгрсг уваров веровтвсамя

дл» студен пув старших курсов

Табл. 3 Ил. 14 Бвблиагр. 4 нвзв

Гениаанй Дмитриевич Карташов, Ниии Тробвмовна Вилисовв,

Владнмвр Иванович Тимоинв, Леовгш Георгиевич Ветров

Мешднческие указания к выполпепн!о домаишего задании

по теорми вероятиосгей

Релвкгор О,М Килмюв

К РР РМА.Р

Изд дни ЬВ 020523 от 25.04.97 г.

Палписвно в печать 30.1!.2000. Формат 60 841!6. Бумага тмп. М 2.

Печ л. 2,25. Уел поч л. 2,09. Уч-изд л. 2,03. Тираж 300 зкт. Изг. Лэ 6.

Заказ М 94

1 ПРОСТРАНСТВО СОБЪ|ТНЙ

Теория вероятностей изучает математические модели стохастических экспериментов, т.е. таких экспериментовг исход которых неоднозначно определяется условиями альма.

Определение 1.1. Каждый возлгожный исход оу стохастнческага , эксперимента называется элементарны!4 событием.

Определевие 12. Множество й =!а ) всех злсмситарньш событий называется'проашанством элементарных событий

Определение 1„1. Лгобае подмножество пространства элемен» евший

пре слепне .. ама и ожества й называется достоверным событием, так как происходит при любом исходе эксперимента.

Оиределелие 1.5. Пустое множество 1П нюынаегшг неаозможг!ым сабьпием, так как не содержит ни одного элеменшрного события вь

Определение 1.6. Пространство й называется дискретным, если оно конечна, й=! и, и, ..., м ), или счетно,

в

1' 2 -" и''")'

В противном случае оно называется непрерывным.

Пусть эксперимент состоит в том, что в квадрат едуча!2ным образом бросается точка. Пространствон элементарных событий й является множество всех точек квадрата. В даннолг случае й непрерывно. Каждое событие А является некоторым подмножеством й. Событие А наступает в том и только в том случае, когда брошенная тачка попадает в это множество !рис. 1.1).

Определение 1.7, Если А ш В, то говорят, что собьпие А влечет за собой событие В, т.е. прн наступлении А обязательно наступает и В (рнс. 1,2).

Определение 1Х Событил А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно при одном ггсйытайии. ! Прк этом А ш Вх О !рис. 1.3).

File0002

Распознанный текст из изображения:

АлВ=И

1

Рис. 1.т

Рее. 1.В

игл -ь 1<А) при л -г ьх

Оиределеяие 1.Р. События А и В называются несовместнымя, если ани не мог)т произойти одновременно при любом находе оцыга. Прн этом,4 ю В И (рис. !.4).

Определение Е1В, Собьгпгл А н В называются зквивалезпнымн или равными, если они состоят из одних и тех же элементарных событий. При этом А = В.

Олределеиие 1.11.Сух~май событий А и В назыааегся событие А+В, сосщящее в там, чта происхолит хотя бы одно из событий А гщц В. Сумме аобьггий соответствует объединение множеств Ащв (рис. !.5).

' Определение 1.12. П!юизаеденисм событий А и В называется событие,а.в, состоящее в том, что происходят оба собьггия А и В одновременно. Произведению собьггнй соответствует пересечение множеств Лгзв (рис. 1.6).

Ряс. 1.4 Ряе. 1.1 Рае. 1.6 ';./ Оиределеиие 1.15. Рщностью событий А н В назыеаетсв

событие Л(В, состоящее в'том, что событие А произопщо, а событие В не произошло. Событие Атв состоит из элементарных событий, входящих в А и не входящих в В (рис. 15).

Определение 1.14. Событие А=йг,А называется противоположным событию Л. Событие А состоит в ненаступвенин собыпш А цзйс !.8).

Операции над событиями обладают рядом свойств.

!. двойственность (заключается в том, что при переходе к

пр ивополож ым событ м опеРации юженгщ и УмцожениЯ

меняются местами).

А+В=А ° В, А В=АэВ.

2. Коммугативносты

Аев=В+А, А.В=В А.

3. Асаоциативность: <А+В)+С=А+<Вес), <А В) С А <В С),

4. Дистрибугивноать: А (В+С) А В+А С, 1гА+(В ° С)=(А+В) (А+С)

5.АэА=А,Лей=а,АьИ=А,А.А=А,А О=А,А И=И.

'б, О=И, И=О. А=А,

Оиределелие 1.15. Алгеброй событий А над пространством йлеме итар ныл собьпи й О называется такая совокупность собьпий, которая:

!) содержит достоверное и невозможное событии: П =А, И=А;

2) вместе с кажаым событием содержит и противоположное ему событие: УАаА ~ А А;

3) заьгкнута относительно операций сложения и умножения событий: УА,В е А жг А+ В а А, А В е А.

Олределеиие 1.1Е Совокупность (Сь А) называется пространством событий, соответствующим данному стохастнческому эксперименту.

2. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО

2.1. Статистическое понятие вероятности

Пусть А — один из возможньп исходов стохастического эксперимента. Проведем этот эксперимент л раз, и пусть при этом собьпие А произойдет л~ раз. Отношение ю/л есть частота появленил события А. Устойчивость частот состоит в том, что при 'л-ью чаатота а/л стремится к некоторому числу р(А), которое называется вероятностью собьпия А:

File0003

Распознанный текст из изображения:

Р(А) = Л. /(и,)

ех

2.4. Классическая схема

(2.б)

(2А)

Р(Ю) = О;

А 1 В ю Р(А) 5 /(Вй!

0 я Р(А) я 1, ХГА я А;

(2.2)

(2.3)

(2.4)

:7' 2.5. Геомезрнческая схеьш

р = Р(э!), г = 1, 2, .

~,) 2.2. Аксиоматнческое определелие вероятности

ПУсть Ю,А) — пространство событий некоторого стохастического эксперимента, 'и каждому событию А е А соответствует некоторое число,'(А), называеьгое вероятностью события А. ФУнкциа Р(Л), оПРезсленнал на алгебРЕ собьпнй Рь лоажна удовлетворять слелуюшим аксиомам:

1) неотрнцательность — вероятность любого события неотРицательна: чА е А ю И.4) а О;

2) нормированность — вероятность достоверного события равна елнннне: Р(й) = 1;

3) аалнпчвность — вероятность сулгмы любой последователь'ности !конечной или бесконечной) попарно несовместных событий равна сумлгс их вероятностей:

Р!А!+А! ... Аль...)= К4!) е/(Аз) м..ь/(А ) и,., Л74.= О Чг '/

/, Олределелие 2./. Совокупность (гз,А,/) называется вероятностным пространством. Вероятностное пространство является полной математичьюкой моделью стохастнческого эксперимента.

Вероятность уловлетеоряет следующим свойстваьг:

/5А) =' 1 — Р(А);

вераатность суьгл~ы двух любых событий вьшисллется по формуле Р(А . В) = /(А) ъ Р(В) — Р(А: Б), (2.5)

называемой формулой сложения вероятностей.

2.3. Дискретное вероятностное пространство

Если пространство элементарных собьпий й = (а и ..., ез,...~

е'"' лискретно, то вероятности достаточно задать лишь лля элементарных событий:

Тогда, в силу аксиомы аллнтивности, веролтность любого

события А равна сумме вероятностей алев!сигарных событий,

составляющих собьпие А:

Если пространство элеыентарных событий конечно, Й =(и! мз ...,а„), и все элементарные события и, равновероятны, то в силу аксиоьгы нормирпванности вероятность кажлого элементарного событил м/равна 1/л, если собьпие А содержит в себе т элелшнтарных событий, то

Злементарные события, входящие в А, называются благоприятствующими событию А, и, такиьг образом, в рамках классической схемы веролтнасть л!обого события А вычнсяяется как отношение числа элементарных событий, благоприлтствуюших событиго А, к общему числу элементарных событий

27ргфгеР 2.7. Из полного комю!екта домино наугал выбирается одна кость. Определить вероятность того, что; а) сумма очков на этой кости равна б; б) сумма очков меньше 5.

Решение. а) Пространство элементарных событий П состоит из л = 28 равновероятных исходов. Событие А состоит в том фто сумлга оЧков равна шести. Такиьг образолг, А = ((О;6), (1;5), (2;4), (3!3)), число исхолов, благоприятствующих событию А, т = 4, и, следовательно, Р(А) = ю/л = 4/28 = 1/7.

б) Собьпие В = ((0)0), (О;1), (О;2), (О;3), (О;4), (1;1), (1;2), (1;3), (2;2)) состоит нз 9 элементарных событий, очедавателыго, У(53 =

9/28.

Если пространство элементарных событий й является некоторой областью прямой (плоскости, пространства), а верояююс! ь папздания точки, брошенной наугад в пространство П, в любое подьхножестао А Щ пропорциональна длине (плошади, объему) области А и не завксит от формы и положения подмножества А в (2, то вероятность лгобого события А задаетсл формулой

Р(А) гл(А)/т(й),

File0004

Распознанный текст из изображения:

где т(А) и т(й) — ллины (плошали, объемы) областей А и й.

В этом олучае алгебра собьпий А состоит из всех измеримых (имеющих длину, площадь, объем) подмножеств области й.

Притер 2 2. На разные дорожки магнитофонной лен~ы ллинай 100 и записаны два сообщения Начало калщай записи осуществлялось в . случайный момент времени. Первое сообщение записано 'на участке длиной 20 м, а второе — ЗО и. Найти вероятность того, что оба сообщения записаны на общем учас~ке ленты длиной не менее 5 и (событие А).

Ртиеиие. Пусть х — координата начала записи первого сообщения, а у — второго (в метрах). Очевидно, что Оя:хяЗОг ОЯУЭ70. Таким образом, начало записи обоих сообщений характеризуется случайной точкой (ху), равномерно распределенной в прямоугольнике й со сторонами 80 и 70 м. Площадь прямоугольника равна т(й) = 5600 м .

2 Рассматрилг леа случал. 1. Начало записи первого сообщенил осуществилось раньше, челг начало записи второго сообщения. В этом случае для того,

что бы произошло событие А у (длина общего участка записи не

менее 5 м), необходимо и лоста- 70 точно, чтобы хяуях+ 15. Пусть

А ((х,у):хэуях +15). ! 2. Если начала записи первого сообщения наступило позже, чем начало записи второго сообще15г ~ 2 ния, то для того, чтобы праизоВэ щло событие А, необходимо и

достаточно, чтобы уях<уь25. 25 60 х Если А2 — — ((х,у):уяхяу+25),

ю А=А, .эА . В соответствии с Рт. 2Л

геометрической схемой (рис, 2.1) Р(А) = т(А) 'т(йт '(т(й) — т(В ) — т(В )[/т(й) = 2575/5600 и 0,46.

3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

3.1. Попятяе условной веровтиастн

Определение 3.7. Условной вероятностью сабьпия А при

условии, что произошла событие В (в том же испытании), называется число

Р(А [ 20 = Р(А В)/Р(В)„

(3А) определяемое в случае, когда РЩ > О. Аналогично выражению (3.1),

Р(В[А) - Р(А. В)/Р(А), (Р(А) ь О). ', (3.2)

Рассмотрим пример со случайным бросанием точки в кщдрат (рис. 3.1).

Вероятность собьгпш А вычисляется по формуле Р(А)

т(А)/т(й), где т(А) и т(й) — плошали множеств А и й соответственно( Тогда Р(А [ В) Р(А ° 20/Р(>)> ' [т(А ° Щ/иг(й)[/[т(В)/т(й)! - (А В) (ВВ

(3.3)

, Таким образом, если вероятность события,4 есть отношение плошади А к плошади всего квадрата й, та условная вероятность Р(А[В) есть отношение плошади Ат В к плошади области В.

Умножая обе части равенства (3.1) на 7(В), а равенства (3.2) на Р(А), получаем формулу умножения вероятностей

Уис. 3.2

>УА 20 = >УА) ° Р(В [ А) = )УВ) ° Р(А [ В>. (3.4)

Эта формула обобщается на произведение произвольного конечного числа собьпий:

>(А, А .... А„) Р(А1)-Р(А [А,) Р(А [А А) ... Р(Аи[А А ... А„,). (3.5)

3.2. Зависимость и везаткиыость сабытяй

Олределеяие 3,2. События А и В называются независимыми, если справедливо соотношение

File0005

Распознанный текст из изображения:

<3 б)

. )тА < В) = ).1А), Р(В ~ А) = 75 В)

уи . з з

Р(А, 1) = У(А,) Р(А) Н 1, 1(гхоз.

(33)

Ч=)л)й = Р(А,) Рлд,) Р(В),

12

1

!1

10

в противном случае события А и В называются зависимыми.

Если собьпня независиыы, то наступление или ненаступление

алнаго из ниХ не, влияет на вероятность наступления второго

сабьпия:

Те!Репи 3.1. Если события А и В независимы, то также независимы и пары событий А и В, А и В, А и В.

В примере с бросанием тачки на квалрат (см. рис. 3.1) независимость событий А и В овна ~ает, что доля пяощаци области А в плошали О такая же, как и доля плошади области А гл В в плошади области В Действительно,

Р(А В) = /~А) Р<Щ ~ т(А)ам<О) = т(А В) 'гл(В)

Риределеллие 3.3. События А, А, ..., А„называются попарно

незавнснмымн, если

бмлредееэлгие 3.4. События Ап А, ..., А называются незавнсии

мыми в совокупности, если для любой подгруппы событий А.,

1

А,, ..., А (1, х ! при г 5)

!

1(А! А, .... А,) =Р<А,.). Р(А,). „, Р(А.) (3 В) л

Из независимости в совокупности следует попарная независимость событий. Обратное утверждение не верно.

Лрциер 3.1. Изделия, из которых собрана схема (рис. 3.2), хранились длительное время на складе, в силу чего они лгогли утратить свою работоспособность. Вероятность того, что изделие и,, утратило свою работоспособность (событие А,), равна р,= Р(А1) П = 1, 2, ..., 6). Надежность элемента а, равна Чг= ИА,) = 1-рг Найти надежность схемы, если отказы изделий при хранении проиаходят независимо друг от друга и отказ схемы означает разрыв цепи между точками М и Аг.

Решение. Рассмотрим, блок,'состоящий из элементов из, из и

ил. его отказ (собь2гне..йлз) выражается через аобытия Аз, Аз и

Аа В андс В! =ил (А24 АЗ).. По принципу'двойственности В! А44А2 Аз. Аналогично выражается отказ и безотказная работа блока,

солержащега элементы из и и .

В!=Аз Аы Вз=А54А6.

Отказ и безотказная работа всей схемы:

В=А,еВ,лВ, В=А .В В.

Собьпия А, В н В независимы (блоки состоят из различных

элементов), поэтому надежность всей схемы вычисляется по

формуле

где Х(А !) = В1,'

Р(В!) = Р(А4 л Аз Аз) = )тА4) 4 Р(А2 Аз) — 1(А4 Аз Аз) =

че 4 рзтз 64'12651

""В2) = Р(А5+ 6) Р( 5) + Р(А6) Р( 5 6)

т5+ 66 т5та'

Окончательно получаел!

Л!(йе чзйЗ чег)зйи(и5+ иа е5<<6)

File0006

Распознанный текст из изображения:

Окончательно ямеем

)5)0 = 4 (1 /8) = 0,5

Вероятность события 8:

)Щ=4 0,1029=0,41!6

13

Пркнел 3.2. Из партии, содержащей 10 детзлей, среди которых 3 бракоеанные, лля контроля цаугэд последосательно выбирают 4 летали. Набти вероятность того, что ровно 3 детали окажутся качественными (нс бракованными) при условии, что выборка провалится: 1) с аозврашениелг (еыбранная деталь после проверки возарашается в партию); 2) без аозврапгення (выбранная деталь е партию не возарашается). '

Ремесле. Пусть собьвне А, — извлечение не бракованной летали в ьй попытке П = 1, 2, 3, 4). Тогда событие А, изляеченне бракованной летали в 1-и попЫтке. Выразим интересуюшее нас событие В (из 4 детэлеа 3 качестаенныс) через события А!

8 =А!АэАзА4+А!А!А!Аз+А!ЛзлзА4+А!АзАзА4,

Так кэк слагаемые составляют попарно несовместные события, то

эероятность суммы событиб равна сумме нх вероятностей:

>5>О = ПА,АэлзА4) Р(А!ЛзАзА„) Р(А!АтчзА4) Р(А!А!А!А ).

Эта часть решения опюсится как к условию 1, так и к условию 2.

В условии 1 еыборка аыполняется с еозерашением, следоиательно, вероятность выбора качественной или бракоаанной детали прн любой попытке постоянна,

Р(А,) = Р(А ) = Р(Аз) = Р(А > = 7/10 = 0,7,

так как среди 10 деталей 7 качественных. Соответственно 75А !) = ПАз) = ПЛз) = Р(А4) = 1 — 0,7 = 0,3.

Собьпия Ар А, Аз и Лз независимы, поэтому

Р(А!АзАзА4) = Р(Л!)Р(Лз)Р(Аз)Р(А4) =-(0,7) 0,3 = 0,1029.

Аналогичные преобразования прнаодят к Р(А!А!А!А ) = Р(А,А 4 А ) = Р(А А АзА ) = 0 1029

В условии 2 выборка осушесталястся без,возврашения,

следовательно, вероятность событгш А! зависит от тоггз.. какие

детали бьши изелечены в предыдуших попыткахгт.е. пэбытия

Ан А, Аз, А„И СООтлстетВУЮШНЕ ИМ ПРОтнаОПОЛОжНЫС СООЬПИЯ

зависимы. Поэтому

Р(А А243А4) = Р(Л!) Р(Аз ( А () Р(Аз ! А !Аз) >(Аэ > А!ЛзАз).

Вероятность язэлеченил качественной детали при первой попытке Р(А ) = 0,7. Вероятность иэалечения качественной детади' прзг

!

второй попытке, при услоаии, что в первой попытке извлечена качестиеннал деталь, Р(Аз ) А ) = 6/9, так как в партии осталось 9 деталей, среди которых 6 качестаенньж. Аналогичные преобразования приводят к

Р(Аз)А!лз) = 5/8, ПА4)А!Азлз) 3/7.

Подставляя найденные условные вероятности, получаем >тЛ А А .4„) = (7/10)(6/9)(5/8)(3/7) = 1 '8.

Для других слагаемых Р(А!А А Аа>= Р(Л!> Р(А (А) Р(Л ! Л<Л ) Р(Л4! Л>А Л ) =

(7/10)(6/9)(3/8)(5/7) = 1/8;

Е(А ! Атлучс) = Р(А1) Р(Лз ! А !) гтлз ( А !Аз) Утлэ ! А !Атлз)

(7/10)(3/9)(6 '8)(5/7) = 1;8;

' А!А24344> = Р(А!) Г(Лз ~ Л!) Р(Аз ~ Л Лз> /3Л4 ( А !Лзлз) =

= (3/! 0)(7/9>(6 '8)(5 '7) = 1/8.

>ТРлмеР 3.3. Бросаетсл монетэ до первого иыпадсния "герба".

Определить вероятность того, что монету придется подбрасывать

не менее 5 раз.

File0007

Распознанный текст из изображения:

3.4. Формула Байеса

3,3. Формула полной вероятности

Р(Н„(А>=Р(Н) У(А(Н>/Р(А>=

(3.9)

14

Региеиие. Построим проатранство элементарных собьпий Гь Первый возможный исход состоит в том, что "герб" появится при первом подбрасыванииг и, "Г( Второй возможный исход состоит в том, что "герб" появится впервые при атаров! полбрасыванни, а зто значит, что при первом подбрасывании выпала р" щка, иэ — — РГ, Третлглг возможныи исход состоит в том, что "герб" появится впервые при третьем полбрасыванни: и> = "РРГ и тд. Пространство зщментарных собьпий О = ("Г', "!'Г, "РРГ. .> дискретно и счетно, следовательно, лля паетраеиия вероятностного Пространства достаточна определить вероятности элементарных собьпай (слц подреза. 2.2 . Очевидно

>

что ч

Р("Г) = 0,5, Р("РГ) =(0,5)1, Р("РРГ') = (0,5)з,

Сумма вероятностей всех элементарных событий, как и положено,

равна единице

гт а!> ' Р(от) + Низ) л ... = О 5 л (О 5) + (О 5)1 = ... = О 5;(1 — 0 5) = 1

Интересующее нас событие А сосголп в толп что лю нету придется

подбрасывать не менее 5 раз, поэтому 1 =(и, и, о, ...) и

л

Р(А) = (0,5) (0,5) л (0,5)т + ... = ((0,5)1) '(1 — 0,5) = (0,5)4 = 0,0625.

Определение 3.5. События Н, Н', ..., Н образуют полную группу попарно несовместных событий, если опи попарно несовлгестны и их сумма равна достоверному событию:

Н, + Нз + ... 4 Ни = СЬ Н! Н.= !В У! и/

В этолг случае собьпил Нп Н, ..., Н называют гипотещми.

!' 2'"' и

Теорема 3.2. Если известны вероятности гипотез Р(Н) > 0 и условные вероятности некоторого события А относйтвльно гипотез НА(Н), ! 1,2,...,л, то вероятность этогб события может быть найдена по формуле

>(А) = Р(Ц) . Р(А(Н ) + Р(Н) /(А(Н1) л ... + Р(Ни) /(Л(Ни>, (310)

называемой формулой полной вероятности.

Нример 3.4. Имеются две урны 1-го пша, в кюгдой из которых находится 3 белых и 7 черных шаров, три урны 2-щ типа, в калгдой из которых — 4 белых и 16 черных шаров, и пять урн 3-га типа, а каждой из которых — 6 белых и 15 черных шаров. Наугад выбирается урна, а из нее шар. Найти вероятность события А, соатоящего в том, что извлечен шар белого цвещ.

Решение, ПУсть Нг — событие (гипотеза), састоащее В том, что была выбрана урна 1-го типа (1= 1, 2, 3). Найлем вероятность гипотез. Всего урн 2+3+5 = 10; урн 1-го типа 2, следовательно, Р(Н '> = 2/10 = 0,2; урн 2-го типа — 3, поэтому Р', Ц! = 3/10 =.О;3; для урн 3-го типа Р(Н1) = 5/!0 0,5. Так как в урнах 1-го типа из 10 шараа 3 белых, то Р(А ( Н,) = 3/(3+7) 0,3. Аналогична находим Р(А ) Нт) 4/(4+!6) = 0,2; Р(А ( Н ) = 6/(6+9) = 0,4. Подставляя найленнью вероятности в фармуау полной веооятности, получаел!

>(А) = >(Н!) /(А( Н,) + Р(Н1) ° У(А( Н ) ч- Р(Н,) Р(А( Н ) = 0,37.

Так как гипотезы образуют полную группу попарно несовместных событиИ, то прн каждом испытании происходит одна и тояько одна нз гипотез.

Теорема 3.3. Пусть событие А произошло (Р(А)>0). Тогда вероятность того, что при этом произошла и гипотеза Н (й 1, 2, ..., л), определяется по формуле, называемой формулои байеса:

->УН,> Р(А(н,>~ ~ЛН~.Р(А(Н/.

!

Н .1,5. В условиях примера 3.4 извлеченный шар

оказался белым. Определить вероятность того, что он бьщ

извлечен из урны 2-го типа

Рещение. Событие А произошло (извлеченнмй щар — белый).

Вероатность того, что ПРи этом пРоизощаа и гипотеза Нз (выбРана

урна 2-го типа) определяетсд по формуле Байесв

Р(Н ( О 3(У).Р(А(Н)/Р( 03 ° 02/032-

>1ГТР

' ' рй~ Д1й!Об ! ~Я

File0008

Распознанный текст из изображения:

4. ПОВТОРНЪ|Е ИСПЫТАНИЯ

Схемой Бернулли называется посдедовательность п независимых испытаний, в каждоьг,из которых некоторое собьпие А наступает с олной и той же вероятностью р = Р(А). Наступление ЕабытЫ И Принято называть успехом, а наступление сабытгщ .4 — .неудачей.,Вероятность.неуаачи в каждом опыте равна 4 = Р(А)т.1.— р.

,Тиарами 4.1. Если провелено л независимых испытаний с вейоятностью успеха (появтення события А) р, то вероятность того, что в этой серии из и испытаний событие А наступит ровно гл раз, вычисляется по формуле Бернулли

Р(т) С т (и — )

тле С"=п(п-!) ...(п-т !)гпд =и!'(т!(и-пб!) — числосочетаи

ннй из л по т (С вЂ” число т-элеыентных подмножеств во ьп~ожестве, состоягпем из и алел~сигов).

Вероятности Рп(т) называююя бщзолпищьными, так как представляют собой члены разложения бинома Ньютона:

(р 4)п = Х С„" рт 41п "'.

г =а

Измеримость означает, что при любом действительном х множество (ы: Ца) <х) приналле;кит алгебре событий А, и, следовательно, определена вероятность Р(ч < х) Р!щ ч(о) < х).

Определение 5.2. Функция Р(х), определенная дла, любого действительного чиода х равенством

1(х) = Р((<х),

(5,!)

называется функцией распрелеленил с.в Е

Функция распределения облздает следующими свойствами;

1) 0 я Р(х) 5 1;

2) Р(х) не убывает, т.е. х < у ю Р(х) в Ну);

3) Р(т) непрерывна слева." Р(х - 0) = Р(т);

4) Н- а) = !пп Р(х) = О, Р(+ т) = Вщ Р(х) = 1;

ты- л

5) Р(ок (<Ь)=Р(Ь) — Р(и).

Определепие 55. Случайная величина ( называется лискрегной, если Мнажество ее значений (х,) конечно Или счетно распрелелением дискретной случайной величины называется совокУпность паР чисел Цхл Р(х,])), где хг — всеВозможные зна щнюг с.в. (, а р(х) = )(Ч =х) — вероятность, с которой с.в. ( принимает

!

значение х При этом

2 р(т,.) = !.

Лркнер 4.1 (см, пример 3.2). Из партии, содержащей !О деталей, из которых 3 бракованные, в случайном порядке последовательно (с возвращениеи) намекаются 4 летали. Найти Вероятность того, па 3 из них окажутся годными.

Ретеггие. Так как выборка осуществляется с возвращением, то результаты испытаний независимы. При каждом испытании вероятность извлечения годной детали (вероятность успеха) р = 0,7, и соответственна д = 0,3. Количество испьпаний и = 4, а нас интересует вероятность того, что число успехов будет равно т = 3. По формуле Бернулли нзходим

Р (3) = Сп (0,7)з (0,3)1 1 и 0,41.

5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

5Н. Распределение случай!пах величии

Олределеиие 5.1. Случайной величиной (с.в.) ч называется любая измеримая числовая функция (=г(и), определенная на пространстве элементарных событий П вероятностного пространства (П, А, Р).

Вероятность попадания дискретной с.в. в любое подмножество

2) числовой прямой вычисллется по формуле

Р(4 е О) = 2„р(х,).

Функция распрелеления дискретной с.в. (

Р(х) = Р(( < х) = д. Р(х ) .

(5.2)

1:х,п»

График функции распределения дискрспюй св. имеет ступенчатый вид со скачками величины р(х) в тачках х1(рис. 5!).

Олредсесггие 5.4. Случайная величина б называсюя непрерывной, если ее функция распределения Р(х) может быль представлена в виде:

17

File0009

Распознанный текст из изображения:

М(б) =2 х р(х)

х

Дх) = )Яб д/.

(5.4)

(5.3)

.(5.5)

3 1/32

26/32 ~

д((6) = )/хЯх) д

16/32

б/32

1/32

О

1 2 3 4 5

Рас. 5.!

(5.10)

Фу//кп//я Ях) называется плотностью распределения вероятное~ей непрерывной а;в. Рг

Свойства плотности распределения вероятностей:

!) Ях) Л 0 'т'х е (- а, ь <);

2) )Ях) д 1;

3)/ц( а /)) = )ях) дх, (Юсй~), в частности, р(а < ( < д)

л

Ь

)(а я с я Ь) = )Ях) дх;

а

4) Г'(х) =Ях) всюду, где производная существует,

5.2. Чмсловые характерна/мки случайной величины

Олределеяие 5.5. Математическим ожиданием (средним значением) дискретной с.в. Р называется число

Если множество значений с.в. (х ) бесконечно, математическое

ожилапие является суммой ряда и опрелеляетея в том случае,

когда этот рял сходится абсолютно.

Олределеяие 5.6. Математическим ожиданием непрерывной

с.в. ( называется число

(если несобственный интеграл сходится абсолютно).

Для характеристики рассеивания с.в. около своего математического ожидания вводится'понятие дисперсии.

Определение 5.у. Дисперсией Ю(6) с.в. 6 иазьиается математическое ожидание квадрата отклонения с.в: 6 от своего среднего:

' 2)(6) 'д/!ч-.д((6))з: (5.6)

Для днскретной с,в. дисперсия выражается в виде ауммы

сходящегося ряда

2)($) =,Г (х,. —,Щ))т р(х). (5.7)

l

Для непрерывной с.в. дисперсия выражается значением

сходящегося интеграла

(5.8)

;. ~(х ~(.)зЯх„,

Из формулы (5.6) можно получить более удобную двя

вычислений формулу

))(6) - ду(Й вЂ” ! Ж))2. (5.9)

Определение 5.5. Величина

~(6) = 4%6

называется среднеквалратическим отклонением с,в. Е

File0010

Распознанный текст из изображения:

Таа чп 5.1

хе ~'/4, х> О,

О, х< 0.

20

Пример 5ыб Симметричная монета полбрасывается 5 раз. Случайной величиной является количество гл выпадений герба. Найти:

1) распределение вероятностей с.в„

2) функцию распределения о.в. и построить ее график;

3) вероятноогь попадания дакной с.в, в интервал (1,5; 4);

4) математическое ожидание,.дисперсию и среднеквалратическое отклонение с.в,

Решеааш 1. Поставим в соответствие событию (непоявление герба) - число О, собьгппо (появление герба один раз) — число 1, еббытию (появление герба два раза) — число 2 и тл. Такилг образом, на пространстве злелшнтарных событий и построена числовая функция (с.в.) 4, принимаюшая значения О, 1, 2, 3, 4, 5. Для построения распределения вероятностей с.в. ( нужно каждому ее значению поставить в соответствие вероятность, с которой с.в. 4 принимает зто значение.

При каждом подбрасывании симметричной монеты возможны только два исхода и каждый исход имеет постоянную вероятность Р(") ')=0,5 и Р("Р")=0,5. Следовательно, мы илгеем дело с испытаниями Бернулли, и вероятности различных значений с.в.

4 могут быть найдены по формуле Бернулли

Рз(е)= 65 (0,5) (0,5)(5 ег, а=О, 1, ...,5

Результаты подсчета приведены в табл. 5.1.

2. Значение функции распределения Р(х) есть веррягноать того,

что с.в. 4 принимает значение меньше ж Р(х) = Р(б'<х). Найдем

значения функции распределения для различных значений х

1) хя О ю Р(х) =0 (событие (4 <0) невозможно);

2) О<як!ю Р(х) Р(4<х) г(4=0) =!/32;

3) ! < х к 2 ю Р(х) = Р(4 < х) = Р(О = О) ч ЕК 1) 1/22+5г(за=6/32;

4) 2<хк3= У(х) )(( 0)+Р(6=1)ьР((=2)=16/32;

>г 3<хя4 "~Х(х) )Я» 0)ь)(4=1)+ДНЯО 2)-~-гг(6=3) 26/32;

6) 4<хаба>Р(х)=Н4)+Р(4=4) 26/32+5'32=31/32;

7) х > 5 ю Р(х) =! .

при построении графика функции Распределения будем учитывать, что в точкак разрыва она непрерывна слева и поэтому справа от точки разрыва следует поставить стрелки (см. Рис. 5.!).

3, Найдем вероятность попалания с.в. 4 в интернал (1;5; 4). Эту задачу люжно решить двумл способами:

Р(1,5 < б < 4) = Р(( = 2) '- Р(( = 3) =! О/32 а 1О '32 = 5/О

Р(1,5 < ( < 4) = Р(4) — Р(1,5) = 26 '32 — б/32 = 5/8.

4. Для вычисленьи ьгатематического ожидания с.в. 4 восполг;

зуелгся формулой (5.4):

5

Щ) =,), х р(х.) = 2.гггР (т) ЯглР (е) = 2,5.

Для вьпгисления дисперсии воспользуемся формулой (5.9):

Ю(() = М(чг) (М((дг чг тгР (т) — [М(9))г 7 5 (2 5)г ! 25

Среднеквадратическое отклонение в соответствии с (5.10)

а(4) = чгг<6 = 'Й,25 в 1,! 2.

)урииер 5.2. Непрерывная с.в. 9 имеет платность распределения вероятностей

Найти: 1) вероятность попадания с.в. 4 в интервал (1; 3),' 2) функцию распределенгш Р(х) с.в, ( и построить графики функшгй Ях) и Р(х); 3) вычислить математическое ожилание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение с.а. ф

Решеаае. Функцию распределения найдем по' формуле (5,3):

б

Р(х) = !)(О й= ) (1/4)ге гг сгг = ( — ! /2) 1 Ще / ) = (- 1/2)(ге (—

О О

О

х

— /е г"г ау) = 1 — (х/2) е х г — е шг, х> О. о

File0011

Распознанный текст из изображения:

80)=Яс '0')))(с '(у)! ),

(6.1)

2е'

м(ч) = )у 80') 4',

х О 2

0 2

(6.3)

Рас. 5.3

У(1 < 6 < 3) И3) — У(1) 0,3515.

М(ч) = )с(х)Ях) сх,

(6.5)

Дисперсия с.в. б

23

22

:из. у

Графики Функций ях) и у(х) изображены на рнс. 5.2

Вероятность попадания с.в. д в интервал (1; 3)

Математическое озощание с.а. С

мй) »хЯх) дх= ~(1/з)хте хгздх

с

Лд>-.МЕЛ-(М(О! .'»()М)~е- тд -Зз-8

о

Среднеквадратическое отклонение с.в. 8 о Г8 2,8. б. ФУНЕЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Если С(х) — дифференцируемал функция, 6 — непрерывнал с.в., то и = с(х) также будет непрерьгвной случайной величиной. Пусгь функции з(х) лвллетсл монотонной и с.в. б имеет плотность распрелеления вероатностей Ях). Тогда с.в. а в(х) имеет плотность распределения веролтностей

где с ~(У) — функция, обратная к Функции с(х). Если у = с(х) — кусочно-монотонная, та плотность сд, 11 л(у) = ХЯсь ~0>) ! К10)! ! (6.2)

где т 1(у) — Функции, обратные к функции ф(х) на каждом участке монотонности, и суммирование ведется по всем участкам мсис. тонности функции С(х).

Математическое ожидание а дисперсию с.в. и вычислшот по Формулам

»)(Ч) = »(У вЂ” М(П))~((У) 4' )Утл(У) 4'-(МРО)З (6.4)

Можно вычислить числовые характеристики с.в, го и не отыскивал плотности распределения 8(у) (используя лишь плотность Ях)):

2)(п) ! (т(х) — М(11))тяк) лх = ! Зт(х) Ях) сх - (М(11))З. (б 6)

Пример б.У..Пусть с.вкй имеет плотность

1

Ях) = екр(- зл/2)/ )2к

и с.в. ц 82. Найти: 1» математическое ожидание и дисперсию с.в. П, использун плотность распределения вероятностей с.в. (;

2) плотность раопрсделснил веролтностей с;в. з); 3) математическоее ожидание и дисперсшо с.в. гь использул найденную плотносп распределении вероятностей с.в. П.

File0012

Распознанный текст из изображения:

!!(ч) = М(чт)-(М(ч))2=3- ! =2,

= Д/Жл) ! тт ехр(- тт/2) Аг 1. о

Р(х,у) = Р (х)Р„(у).

24

25

Решение. 1. С помощью.формулы (6.5) находим

М(ч) = )х7 схр(акт/2)/~7л лил = (1,"Г2л) 1- х ехр(- хт/2)! ! +

+ ! ехр(- хз/2)/тйл лАх = тгйл л/'/йл л= 1.

, "Для аычисления дисперсии воспользуемся формуяой (6.6),

предаарительно вычислив М(чт),

м(ч ) = )х ехр(-хт/2)/~2л лАх (1'ч2л) (-хтехр(-хт/2)! ! +

т 3)лз ехр(- хз/2)/т(йл лАх = (3/ттйл л) ~хт ехр(- хт/2) Ах = 3.

Отсюда 2)(ч) = м(п-! — (м(ч))т = 3 — 1 = 2.

2. Для нахолщения плотности с.в. П необходимо выделить интервалы монотонности функции л(х) хт. таких интераала два: (-ьт; О) и (О; + те). На интервале (- ек 0) обратной к функции у хтяаляетсяфункциях=- Гу,анаинтераале(0;+ а)-функция х= Гу. Тогда, согласно (6.2), плотность с.в. л

д(у) =Я-оу) ((-'Гу) (+/(Гу) )(Гу) ! е ут/Г2луу, 0 <ус+ лт

3. Используя платность д(у), по формулам (6.3) и (6.4) найдем

математическое ожидание и дисперсито с.в. тр

М(п) ! у ехр(- у/2)/зт2лу т(у= (1/ т2л) ) Гу ехр(- у/2) т(у = о а

Мч ) = 152 ехр(- у/2)/42лму уАу (2/ч2л) ! Р ехр(- тт/2) т(у = 3 о о

Мы видим, что числовые характеристики с.в. ч, опРеделенные

различными способами, совпадают.

7. СИСТЕМЫ СЛУЧ/тйН(т)Х БЕЛИт!ИН

7.1. Зштоиы распределения системы случайных селичнп

Оттртеделеттие 7.6 Системой даух случайных величин (случайным вектором на плоскости) называется пара измеримых функций ((о) и П(о), определенных на пространстве элементарных собьггий а аероятностного пространства (О,АтР).

Оиределетттта 22. Совместной функцией распределения системы с.а, (бьп) называется фут!кина дяух переьтенных Р(х,у), определяемая равенством

'Р(х,У) )(6 <к, и < 3) Р((б,ц) я (2(х,у)/,

где Д(х,у) — квадрант на' плоскости, правая верхняя вершина которого находится в точке с координатами (х,у).

Квкдая компонента случайного вектора (бщ) является случайной аелнчннай, определенной на (О,А,Р). Распрсдсяеиил с.в.

6 'и ц ныьтвакшся маргинальными распределениями с.в. 6 и ч и обозначаются сдедующим образом: Р(х) н Р (у).

ч

Совместная функщш распределения пары с.а. обладает следующимк саойстаами;

1) О л Р(х,у) < 1;

2) Х(- т, у) = )т(х, — то) = Р(- с, — е) = 0;

3) Р(х,у) — нсубыватощая по каждоьту аргументу;

4) Р(х,у) — непрерывна слеза по каждому аргументу;

5) Р(ьте, 4 с) = 1;

6) У(х, + а) = Р'(х), Р(+ то,у) = Р (у)

Олрет)стет!ил 7,3. Случайные величины 6 и П называются независимыми, если

File0013

Распознанный текст из изображения:

Гцл гп

р(х, ) Ь(~ ха ц =у).

27

Опреоелеяие у.е» Ковариацией сот(а,п), или корреляционным

моментом К„, е.в: б и'П называегса число

сот(бц) )(' ' 'М)(б — М(ц)(ч — М(п))] = МОИ М(б)М(п).

Олребеаеяяе 7.5. коэффициентом корреляции р((.п) с.в. г, и называется отношение их ковариация к произведению маргинальных среднеквадратических отклонений:

р = сот(Ь,П)'о,о сот(Г,П)/'(2)(6Ю(Ч).

( ч

Если р =0 (со»(ч,п) =О), то с.в. с и ч называются некорре(ч

лированными.

Свойства коэффициента корреляции:

1) !р(„!к1;

2) если с.в. с и и независимы, то р„„= 0 (обратное неверно);

3) если (Р ( 1,тол = ач+ Ь, причем знаки р н асоападают.

(ч сч

Последнее свойство указывает на то, что коэффициент корреляции отражает степень линейной связи между с.в.

7.2. Система двух дискретных случайных величш~

Овредеаелле у.б. Система с.в. ((ш) называется дискретной, если обе с.в. б 'и и являются дискретными случайными величинами.'

Распределением дискретной системы с,в. (Ь,п) называется совокупность ((хгу)),р(хау)), где (х1,у)) — всевозмолсные значения пары (ь„п), а р(х,,у.) — соответствующие вероятности,

При этом,» р(х„у) = 1.

а

Если глучайные величины с и и принимают конечное число значений, то распределение(с,п) пришпо записывать в табличном виде (табл. 7.1), где одновременно удобно записывать и марпы нальные распределения р( и р„ с.в. б и г).

Вероятность попадания точки (Ь,П) в некоторую область Ю

на плоскости (»Оу) вычисляется по формуле

Р((с„п) е 2)) = х р(х.,уу),

сап(»„,) ° и

В частности,

р(ху) =,'Г р(хлу) (сумма по всем(ну таким, что х<х, у <у).

Для маргинальных функций распредсдения

р(х)=,~ р(х у) (сумма по всем гиутаким, что х <х); рч(у)--2 р(хру) (сумма по всем(и)таким, что у.<у),

Маргннальнме распределения вычисляются по формулам

Р (х)= 2 Р(хлУ~, Р (У.) = 2,Р(х,У).

1 !

Условие независилгостн дискретных сл. С и П принимает вил р(хлу) = р,(х) р„(у~ (1= 1, 2, ..., л;) = 1, 2, ..., т).

Числовые характеристики:

1) математические ожидания

М(ч) = т дт, х р (х) ~ х р(хгу),

! М

File0014

Распознанный текст из изображения:

М(п) атаеву)рчЬ)-Ху)р(хгу/),

ь/

(точка (м(,мч) НаъЫаастса центРом Рассеиааниа паРы с.в. (б,п))

2) дисперсии

'.2)(4) о( 2 (хг ис) Р((«Г» = Д (хг и() Р(х у/),

г г,/

2)() 2 ~'Ь „)т»Ь) 2 ( )2

) ь/

3) коаариация и коэффициент кг цнн

(сч) й =Х(х-м)Ь м)р(«у»

4 ) ч г/ г/ г »

4)

4)

Р(ч сот((,Ч)/оеоч;

4) условные распределения:

а) условное распределение с.в. б при условии, что и у,

р (х,)у) Р(б х,~ Ч =у) р(х,у)/р (у), если р (у) е 0;

б) условное распределение с.а. П при Условии, что б ха

р (у ) х) )тч у ) б хй р(х„у~/р (х), если р (х,) е О;

5) Условные математические ожидания:

а) .условное математическое ожидание с.в. б при условии,

что Ч =у„

Щ ! У) = ~, х р (х ( у.);

(урюиер 7.0 Распределение дискретной системы с.а. (б,ч)

приведено в табл. 7.2. Найти: 1) маргинальные распредеамйгя

каждой из с.в. г, и ч; 2) математические ожидания и дисперсии

с.в. с и ч; 3) коаариацию и коэффнциецт корреляции с.а. д и

и; 4) условное распределение сл. 4 при условии, что ч =у», и

условное распрелелсние Ч при Условии, что б = ха! 5) Условные

математические ожилания М(4 ~У!) и МО) ~хэ)

Ре»ление. 1. Найдем марпгнальные распределения;

., р (х ) =р (1),» р(1У) =0 05+0 06+0 09+0,1чО 3;

у

Р (хт) =Р (2) Д, Р(2 У) — О+ 0 1+ О+ О 2 — О 3

Р (хт) =Р((4) = БР(4,У)) 0,15+0„'14+ 0,11+0 = 0,4;

РЬ!) = Р (- 2) = Х Р(ха-2) = 005 + 0 + 015 = 02;

г

Р„Ьт) = р„(0) = Х Р(хаО) = 0,06+ 0,1+ 0,14 = 0,3;

г

РчЬт) =1» (1) =,»,Р(Хр!) =0,09+ О+ 0,11 0,2;

!

Рч(уе) Рч(3) Х 1»(«РЗ) 0 ! + 0 2 + 0 0 3

б) условное математическое ожидание с.а. Ч при услоаии,

что б хл

М(п ~ х» ~ у р (» ( х,).

l

2 определим маргинальные средние и лиепе! ии с.в б и ч: М(4)=т =Х«Р(х) 1 ° 0,3+2 ° 0,3+4 ° 0,4 2,5; г с

File0015

Распознанный текст из изображения:

к у

у(т у) 1 1/(и у) Ни гЬ

Рч(3 (4) Р(3,4)/Р„(4) = О/0,4 = О

31

30

ЖЧ)=ма=Бур(уз (-2) ° 02+0 03е! 02е3 03 07; ч /ч/

Щ) м.~д ~. хт р (х,) — (т„) = 1,65

2)(Ч) оз = Ху~ р„Ь) — (юч) 3,21. /

'' 3, Вычислим

-'соу(4/4)=К ХХх,у р(хуу) — т,т =0,73-1,75 -0,98;

! /

Р( =соУЯЧ)/осоч=(-098)/4,65 3,2! -042б.

4. Условный закон распределения с.в. 4 при условии, что

ч=-2:

р(11-2)=р(1,-2)/р (-2) 0,05/0,2 0,25,

с ' ч

р !л1-2) =р(2, -2) 'р (-2) =О/0,2 О,

(

р (4 !72) =/(4, -2)/р (-2) = 0,15/0,2 = 0,75.

ч

Аналогично находим условный закон распределения с.в. ч

при услонии, что 4=4:

рч(- 2 ! 4) р(- 2, 4)/р (4) = 0,15'0,4 = 0,375;

4

р (О ) 4) = р(0,4)/р (4) = 0,14/0,4 = 0,35;

ч ' (

Р (1! 4) = Р(1,4)/р (4) = 0,11/0,4 = О 275

5. Условное математическое ожидание с.в. с при условии,

что ч= — 2:

Л/(~ ~ - 2) Х х, р (х, ! — 2) = 1 0,25 + 2 0 + 4 0,75 = 3,25.

Аналогично вычисляем матеыатическое ожидание с.в. ч:

М(Ч14) =/ у р (у )х) = — О,!75..'

/

7.3. Система двух непрерывных случайных велнчюг

0лредегеггие 7.7. Система с.в. ((щ) называется непрерывной,

если ее совместная функпня распределения /(х,у) представь!ма

а виде:

где/(и, у) называется совместной плотностью распрелелення вероятностей системы двух случайных величин ((,ч).

Свойства плоьюстн распределения:

!) /(ы,у) а 0 чи,ге (-ез, + е);

2) 1,/Яи, у) г/и г/у = 1;

3) /((Ч,Ч) е 2)) = Ц/(цу) г/и гЬ, (/дда);

Ю

4) /(х,у) =87/(х,у)/дхду, всюду, где смешанная частная производная существует.

Маргинальные распределенил и плотности с.в. С и Ч:

г" (х) = тгх, ь ег) =~ /(/(л,у) г(илу, / (х) = г" (х) = /1/(х,у) гЬ,

е '

у

р„(у) = /(+,у) = ~ !Гдл,у) сл Ь, /'(у) = р„'(у) = (//(цу) О .

Условие независимости с.в. ч и ч — /(ху) = Г(х) уч(у), что эквивалентно условию /(х,у) =/((х) / (у) (если плотности сущеч

ствуют).

Числовые характеристики:

File0016

Распознанный текст из изображения:

С, если (хрб е )3,

Ях,у) = О, если (х,у) я 2),

)х)3(х,у) ох гф — ге м;

ч'

Р(ч = сот(С.Ч)ге(оч.

в е

фу]х) =3[ху)/3(х), сечку(х) еО

3(х[у) =3[ху)//'„(у), есаи~„'(у) еО.

3 (у) ])[и,у) г(и= ]1/(е-2) г(и=

ч

ь(!+и

33

33

*

М(О) и ):(Г(х) г(х [ )гр(х,у) е]е гО". й

+

. Я([П) т„]33"„(У) г)У [ ])Ях,У) дхф",

2)(Д) от 31(х-т ) г (х) гй 3( 31(х-и )3Яху) г(ге)г,

1 1

33(п) от 3(у-т )~/(у) гф 3 3(у-т )~3[ху) охну;

сот(б,ч) Л' ] ](х- т )(у- и )3(х,у) гйг еу

1 ч

Условная плотность распределения с.в, ч при условии, что ч х,

Аналогично находим условную плотность с.в. Ч при условии, что

("у

Условные математические ожидания:

М(Ч [ х) = М(Ч [ С = «) = ] )у'„(у[ х) еу О (х)

МА[у)-:М(([п=у)-[ЛГЕ(Х[у)4)г и'Ы.

Функция р„(х) [О (у)[ называется регрессией с.в. Ч, на о.в. а

[с.в. Ч на с.в, г) соответственно[. Графики Функций у И (х) и

я=о (у) на плоскости хОу называкптл линиями регрессии,.

еи Пример 7.2. Система двух с.в. (ч,ч) имеет плоппють

распределения вероятностей

где 23 [(х,у): 0 ах я 1, О куя е"- Ц. Такое распределение называется равномерным в области )3.

' Найти: 1) постоянную С; 2) маргинальюяе плотности распределения кюкдой из с.в. ч и ч; 3) математические ожидания и дисперсии с.в. Ч и Ч; 4) ковариацию и коэффициент корреляции с.в. ( и Ч; 5) условные плотности распрелеления ~~(х[у) и /(у[х); 6) уравнения линий регрессии и построить их графики.

Ремеяее. 1. Постоянная С определяется из свойства плотности распределения вероятностей:

е — Г

1 = ] ]Яиг) Ые дт = С ] г(х ~оУ = С(е ч 2), откуда С = 1 / (е — 2).

2. Марцгнальные плотности вероятностей с.в. ч и ч

+ Р-1

Г(х) ~3[х,г) па= ]1/(е-2) гЬ=(ет-1)I(е-2) при хе [О; ц;

о

[1 — 1п(1+у)]'(е — 2) прн хе [О; е — Ц. '

3. Средние и дисперсии с.в. с и гр

File0017

Распознанный текст из изображения:

.> 1

м(О = т = )х/ (х) г(т= ]х(ьх-1)/(е-2) пх 1/[2(е — 2)] 0,691

а

е-1

М(ч) т ~уГ(у) с1у= ]у[1 — !о(! + у)]/(е-2) ау=

ч

а

= [(е - 2)1+ Ц/[4(Е - 2)] 0,521

1

])(4) = ат= ] ха/ (х) сх — (т )1= ! х!(е*- 1)/(е — 2) г]х — 1/[4(е — 2) ]=

а

=[!2ет-52ее53]Ц12(е-2)! О,!1,'

])(Ч) = а = Я (у) г(у - (т ) = ] у![1 -! п(1 + у)!/(е - 2) Пуа

— [[(е-2) + ц/[4(е-2)]) =[(е-1) /3-(е-1)!/2+(е-2)]/[3 (е — 2)]—

— [[(е - 2)! + Ц/]4(е — 2)]~ 0,156.

4. Корреляционный момент

1 Е'- !

сот((/0) = к =)1 31ту)(ху) г!хг)у — т т 11 31«у/(е-2) ох ау- т т =

!« ' !« ! «

а а

=(ет-5)/Ке-2) «Ц/[8(е-2)~] 006.

5. Условные плотности. Условная плотность распределения

с.в. ч прн условии, что 6 = х, /'„(у] х) =)(ху)// (х) = !/(ет — 1), если

у [01 "-ц.

Аналогична находим у~~о~~у~ ила~~~от~ с.в. 6 нрв условии, «то

4=У,

у(х]у)=)(х,ун„'О»= !/[1 -Пг(!+у)], л х [1 И -у) ц.

6. Условныс арелнис:

е -1

(Х) = М(ч ] Х) = ] У/(У ] Х) 1(У = ] [У/(Е" — !)] с!У =

а

=(е"-1)/2 при хе [О; ц;

у

а (у) =МИ]у) =,]ьу'(х[у) Их=

! =,]]х/[1-(о(! +у)]) ~х=

ге(! «у!

='Н -01(!'+у)]/2 при у а [О; е- ц

0 !

уес. 7.1

К ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКГЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

х Графики функций у= а, (х) и х=ас(у) приведены на рнс. 7.1. Особенность рис. 7.1 соатовт в там, что графики линий регрессии являются "среднимн линиями" области ]), что характерно д«я равномерного распределения.

Коэффициент корреляции

р „= К„'а а„0,06/(0,33 0,4) 0,46

(р„О, следовательно, с.в. 6 и 1! эависимы). !«

34

Свойатва математического ожидания с.вл

ц М(с) = с (с салаг)1

2) М(с 6) с М(6);

3) М(6+ 1!) М(Г) + М(Ч);

4) М(6 и) М(О) ° М(п) + Х(ч, где 3~« — корреляционный

момент.

File0018

Распознанный текст из изображения:

(3(6 ь Ч) = П(Ц) ° 1)(э)) + 2К,ч

и длл некоррелнрованных с.в

36

Если с в. 6 и ч некоррелированы (в частности, незанисимы), то

ЛГ(6 ч) = Лу(6) . ЛГ(п).

Свойства дисперсии'.

1) 2)(ч) й О;

2) 27(с) = О;

3) 2)(с 6) = с . П(6)

4) 2)(~ 6 ) = ~' 23(6,> 4 г Х К( „, в а

Свойства кавариации:

1) соь(6 о, Ч 4 Ь) = соу(бгй)1

2) соу(а. 4, Ь Ч) = аЬ . соу(8,9).

Сваг(стоу коэффициента корреляции'

Р( ° а,ч + е Рйч(

2) р„„в Ийп(аЬ) р,ы где 8)йп(а) — знак числа а

Прнээер В.у, В услоаиял приьгера 7.1 вычислить математическое

ожилание и дисперсию с в. С = 26 — 30 + 4.

Решелне. Согласно свойству 3 математического ожидания

ЛГ(Г) = 2ЛГ(9) — ЗэИ(й)+ 4 2 0 69 — 3 О 52+ 4 = 3 82,

а согласно свойству 4 дисперсии

2)(С) = 2~2)(6) 4 (- 3)~()(й) + 0 э-2 (2 (-3)соч((гй)4 0 4-0) 4 0,114 9 0,156 — 12 0,06 =0,794 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРЛТУРВ1

1 Заырав ВК,С васмы в ВА, Ча еиааэ ВП Теорня аеропносэ й М. Н ука, 1989 159 с

2 В атв ль Б С Теор>м аетоятностей М Фнзматгнэ, 1962 564 с.

3 Ба аров ПП,Пыщэю АВ Теорна вероятнычей. М Иэв.во РУДН, 1994 172 с.

4 Сборник э лач ло математике. (Дла ьнуэов) Т 3 Специальные «урсьэ Уйфььмовлп ялр М Наука,1984.608с

Огннннвуые

1 Пзэ(о)с)Р(вэнетвээ '~Мьэтнй: ':"."' "' ":: ';.,"."" "", „... 5

р г оу свучайээой величины

С ' 'с,'эк' РВИ мывэуе юй литч'юурсы'..Ьь е йч2 '!' 'т:::~".г"Р"" "'"""""""

Комментарии

Сопутствующие материалы
Дата публикации 20 августа 2013 в 00:16
Рейтинг 5,00
0
0
0
0
1
Автор zzyxel (4,53 из 5)
Цена Бесплатно
Скачивания 763
Просмотры 3752
Размер 3,58 Mb
Безопасность Файл был вручную проверен администрацией в том числе и на вирусы
Поделитесь ссылкой:
Свежие статьи
Популярно сейчас