Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Теория вероятностей и математическая статистикаМетодические указанияМетодические указания 2013-08-20СтудИзба

Книга: Методические указания

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики книги

Учебное заведение
Просмотров
3962
Скачиваний
783
Размер
3,58 Mb

Список файлов

File0001

Распознанный текст из изображения:

УДК 5!9.21

ББК 22.171

М54

Ренензент В.В. Чадов

УДК 5!9.2! ББК 22.171

Издвтовыаю МПУ им. Н.Э. Баумана,

107005, Масввв, 2-я Бвумвисвы, 5.

Рие. 1.3

18ВЫ-5-7038-1958-0

Ф МПУ им. Н Э. Бвгмвнв, 2001

3

1'

М54: Методические указания к выполнению домашнего задания по теории вероятностей /Г.Д. Карташов, Н.Т. Вили-

сова, В.И. Тимонин, Л.Г. Ветров; 2-е иш., доп. и перераб.

Ма Изд-во МГТУ им. Н.З. Баумана, 2001. 36 с.

15ВМ 5-7038-1958-0

Павдешвввин ив бхадиммв творогова юи сведеввд и могадичепше

ух вива в Р иеивю шповнх увдвч, аад рввшвхсв в типовом Расчете ло

вгрсг уваров веровтвсамя

дл» студен пув старших курсов

Табл. 3 Ил. 14 Бвблиагр. 4 нвзв

Гениаанй Дмитриевич Карташов, Ниии Тробвмовна Вилисовв,

Владнмвр Иванович Тимоинв, Леовгш Георгиевич Ветров

Мешднческие указания к выполпепн!о домаишего задании

по теорми вероятиосгей

Релвкгор О,М Килмюв

К РР РМА.Р

Изд дни ЬВ 020523 от 25.04.97 г.

Палписвно в печать 30.1!.2000. Формат 60 841!6. Бумага тмп. М 2.

Печ л. 2,25. Уел поч л. 2,09. Уч-изд л. 2,03. Тираж 300 зкт. Изг. Лэ 6.

Заказ М 94

1 ПРОСТРАНСТВО СОБЪ|ТНЙ

Теория вероятностей изучает математические модели стохастических экспериментов, т.е. таких экспериментовг исход которых неоднозначно определяется условиями альма.

Определение 1.1. Каждый возлгожный исход оу стохастнческага , эксперимента называется элементарны!4 событием.

Определевие 12. Множество й =!а ) всех злсмситарньш событий называется'проашанством элементарных событий

Определение 1„1. Лгобае подмножество пространства элемен» евший

пре слепне .. ама и ожества й называется достоверным событием, так как происходит при любом исходе эксперимента.

Оиределелие 1.5. Пустое множество 1П нюынаегшг неаозможг!ым сабьпием, так как не содержит ни одного элеменшрного события вь

Определение 1.6. Пространство й называется дискретным, если оно конечна, й=! и, и, ..., м ), или счетно,

в

1' 2 -" и''")'

В противном случае оно называется непрерывным.

Пусть эксперимент состоит в том, что в квадрат едуча!2ным образом бросается точка. Пространствон элементарных событий й является множество всех точек квадрата. В даннолг случае й непрерывно. Каждое событие А является некоторым подмножеством й. Событие А наступает в том и только в том случае, когда брошенная тачка попадает в это множество !рис. 1.1).

Определение 1.7, Если А ш В, то говорят, что собьпие А влечет за собой событие В, т.е. прн наступлении А обязательно наступает и В (рнс. 1,2).

Определение 1Х Событил А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно при одном ггсйытайии. ! Прк этом А ш Вх О !рис. 1.3).

File0002

Распознанный текст из изображения:

АлВ=И

1

Рис. 1.т

Рее. 1.В

игл -ь 1<А) при л -г ьх

Оиределеяие 1.Р. События А и В называются несовместнымя, если ани не мог)т произойти одновременно при любом находе оцыга. Прн этом,4 ю В И (рис. !.4).

Определение Е1В, Собьгпгл А н В называются зквивалезпнымн или равными, если они состоят из одних и тех же элементарных событий. При этом А = В.

Олределеиие 1.11.Сух~май событий А и В назыааегся событие А+В, сосщящее в там, чта происхолит хотя бы одно из событий А гщц В. Сумме аобьггий соответствует объединение множеств Ащв (рис. !.5).

' Определение 1.12. П!юизаеденисм событий А и В называется событие,а.в, состоящее в том, что происходят оба собьггия А и В одновременно. Произведению собьггнй соответствует пересечение множеств Лгзв (рис. 1.6).

Ряс. 1.4 Ряе. 1.1 Рае. 1.6 ';./ Оиределеиие 1.15. Рщностью событий А н В назыеаетсв

событие Л(В, состоящее в'том, что событие А произопщо, а событие В не произошло. Событие Атв состоит из элементарных событий, входящих в А и не входящих в В (рис. 15).

Определение 1.14. Событие А=йг,А называется противоположным событию Л. Событие А состоит в ненаступвенин собыпш А цзйс !.8).

Операции над событиями обладают рядом свойств.

!. двойственность (заключается в том, что при переходе к

пр ивополож ым событ м опеРации юженгщ и УмцожениЯ

меняются местами).

А+В=А ° В, А В=АэВ.

2. Коммугативносты

Аев=В+А, А.В=В А.

3. Асаоциативность: <А+В)+С=А+<Вес), <А В) С А <В С),

4. Дистрибугивноать: А (В+С) А В+А С, 1гА+(В ° С)=(А+В) (А+С)

5.АэА=А,Лей=а,АьИ=А,А.А=А,А О=А,А И=И.

'б, О=И, И=О. А=А,

Оиределелие 1.15. Алгеброй событий А над пространством йлеме итар ныл собьпи й О называется такая совокупность собьпий, которая:

!) содержит достоверное и невозможное событии: П =А, И=А;

2) вместе с кажаым событием содержит и противоположное ему событие: УАаА ~ А А;

3) заьгкнута относительно операций сложения и умножения событий: УА,В е А жг А+ В а А, А В е А.

Олределеиие 1.1Е Совокупность (Сь А) называется пространством событий, соответствующим данному стохастнческому эксперименту.

2. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО

2.1. Статистическое понятие вероятности

Пусть А — один из возможньп исходов стохастического эксперимента. Проведем этот эксперимент л раз, и пусть при этом собьпие А произойдет л~ раз. Отношение ю/л есть частота появленил события А. Устойчивость частот состоит в том, что при 'л-ью чаатота а/л стремится к некоторому числу р(А), которое называется вероятностью собьпия А:

File0003

Распознанный текст из изображения:

Р(А) = Л. /(и,)

ех

2.4. Классическая схема

(2.б)

(2А)

Р(Ю) = О;

А 1 В ю Р(А) 5 /(Вй!

0 я Р(А) я 1, ХГА я А;

(2.2)

(2.3)

(2.4)

:7' 2.5. Геомезрнческая схеьш

р = Р(э!), г = 1, 2, .

~,) 2.2. Аксиоматнческое определелие вероятности

ПУсть Ю,А) — пространство событий некоторого стохастического эксперимента, 'и каждому событию А е А соответствует некоторое число,'(А), называеьгое вероятностью события А. ФУнкциа Р(Л), оПРезсленнал на алгебРЕ собьпнй Рь лоажна удовлетворять слелуюшим аксиомам:

1) неотрнцательность — вероятность любого события неотРицательна: чА е А ю И.4) а О;

2) нормированность — вероятность достоверного события равна елнннне: Р(й) = 1;

3) аалнпчвность — вероятность сулгмы любой последователь'ности !конечной или бесконечной) попарно несовместных событий равна сумлгс их вероятностей:

Р!А!+А! ... Аль...)= К4!) е/(Аз) м..ь/(А ) и,., Л74.= О Чг '/

/, Олределелие 2./. Совокупность (гз,А,/) называется вероятностным пространством. Вероятностное пространство является полной математичьюкой моделью стохастнческого эксперимента.

Вероятность уловлетеоряет следующим свойстваьг:

/5А) =' 1 — Р(А);

вераатность суьгл~ы двух любых событий вьшисллется по формуле Р(А . В) = /(А) ъ Р(В) — Р(А: Б), (2.5)

называемой формулой сложения вероятностей.

2.3. Дискретное вероятностное пространство

Если пространство элементарных собьпий й = (а и ..., ез,...~

е'"' лискретно, то вероятности достаточно задать лишь лля элементарных событий:

Тогда, в силу аксиомы аллнтивности, веролтность любого

события А равна сумме вероятностей алев!сигарных событий,

составляющих собьпие А:

Если пространство элеыентарных событий конечно, Й =(и! мз ...,а„), и все элементарные события и, равновероятны, то в силу аксиоьгы нормирпванности вероятность кажлого элементарного событил м/равна 1/л, если собьпие А содержит в себе т элелшнтарных событий, то

Злементарные события, входящие в А, называются благоприятствующими событию А, и, такиьг образом, в рамках классической схемы веролтнасть л!обого события А вычнсяяется как отношение числа элементарных событий, благоприлтствуюших событиго А, к общему числу элементарных событий

27ргфгеР 2.7. Из полного комю!екта домино наугал выбирается одна кость. Определить вероятность того, что; а) сумма очков на этой кости равна б; б) сумма очков меньше 5.

Решение. а) Пространство элементарных событий П состоит из л = 28 равновероятных исходов. Событие А состоит в том фто сумлга оЧков равна шести. Такиьг образолг, А = ((О;6), (1;5), (2;4), (3!3)), число исхолов, благоприятствующих событию А, т = 4, и, следовательно, Р(А) = ю/л = 4/28 = 1/7.

б) Собьпие В = ((0)0), (О;1), (О;2), (О;3), (О;4), (1;1), (1;2), (1;3), (2;2)) состоит нз 9 элементарных событий, очедавателыго, У(53 =

9/28.

Если пространство элементарных событий й является некоторой областью прямой (плоскости, пространства), а верояююс! ь папздания точки, брошенной наугад в пространство П, в любое подьхножестао А Щ пропорциональна длине (плошади, объему) области А и не завксит от формы и положения подмножества А в (2, то вероятность лгобого события А задаетсл формулой

Р(А) гл(А)/т(й),

File0004

Распознанный текст из изображения:

где т(А) и т(й) — ллины (плошали, объемы) областей А и й.

В этом олучае алгебра собьпий А состоит из всех измеримых (имеющих длину, площадь, объем) подмножеств области й.

Притер 2 2. На разные дорожки магнитофонной лен~ы ллинай 100 и записаны два сообщения Начало калщай записи осуществлялось в . случайный момент времени. Первое сообщение записано 'на участке длиной 20 м, а второе — ЗО и. Найти вероятность того, что оба сообщения записаны на общем учас~ке ленты длиной не менее 5 и (событие А).

Ртиеиие. Пусть х — координата начала записи первого сообщения, а у — второго (в метрах). Очевидно, что Оя:хяЗОг ОЯУЭ70. Таким образом, начало записи обоих сообщений характеризуется случайной точкой (ху), равномерно распределенной в прямоугольнике й со сторонами 80 и 70 м. Площадь прямоугольника равна т(й) = 5600 м .

2 Рассматрилг леа случал. 1. Начало записи первого сообщенил осуществилось раньше, челг начало записи второго сообщения. В этом случае для того,

что бы произошло событие А у (длина общего участка записи не

менее 5 м), необходимо и лоста- 70 точно, чтобы хяуях+ 15. Пусть

А ((х,у):хэуях +15). ! 2. Если начала записи первого сообщения наступило позже, чем начало записи второго сообще15г ~ 2 ния, то для того, чтобы праизоВэ щло событие А, необходимо и

достаточно, чтобы уях<уь25. 25 60 х Если А2 — — ((х,у):уяхяу+25),

ю А=А, .эА . В соответствии с Рт. 2Л

геометрической схемой (рис, 2.1) Р(А) = т(А) 'т(йт '(т(й) — т(В ) — т(В )[/т(й) = 2575/5600 и 0,46.

3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

3.1. Попятяе условной веровтиастн

Определение 3.7. Условной вероятностью сабьпия А при

условии, что произошла событие В (в том же испытании), называется число

Р(А [ 20 = Р(А В)/Р(В)„

(3А) определяемое в случае, когда РЩ > О. Аналогично выражению (3.1),

Р(В[А) - Р(А. В)/Р(А), (Р(А) ь О). ', (3.2)

Рассмотрим пример со случайным бросанием точки в кщдрат (рис. 3.1).

Вероятность собьгпш А вычисляется по формуле Р(А)

т(А)/т(й), где т(А) и т(й) — плошали множеств А и й соответственно( Тогда Р(А [ В) Р(А ° 20/Р(>)> ' [т(А ° Щ/иг(й)[/[т(В)/т(й)! - (А В) (ВВ

(3.3)

, Таким образом, если вероятность события,4 есть отношение плошади А к плошади всего квадрата й, та условная вероятность Р(А[В) есть отношение плошади Ат В к плошади области В.

Умножая обе части равенства (3.1) на 7(В), а равенства (3.2) на Р(А), получаем формулу умножения вероятностей

Уис. 3.2

>УА 20 = >УА) ° Р(В [ А) = )УВ) ° Р(А [ В>. (3.4)

Эта формула обобщается на произведение произвольного конечного числа собьпий:

>(А, А .... А„) Р(А1)-Р(А [А,) Р(А [А А) ... Р(Аи[А А ... А„,). (3.5)

3.2. Зависимость и везаткиыость сабытяй

Олределеяие 3,2. События А и В называются независимыми, если справедливо соотношение

File0005

Распознанный текст из изображения:

<3 б)

. )тА < В) = ).1А), Р(В ~ А) = 75 В)

уи . з з

Р(А, 1) = У(А,) Р(А) Н 1, 1(гхоз.

(33)

Ч=)л)й = Р(А,) Рлд,) Р(В),

12

1

!1

10

в противном случае события А и В называются зависимыми.

Если собьпня независиыы, то наступление или ненаступление

алнаго из ниХ не, влияет на вероятность наступления второго

сабьпия:

Те!Репи 3.1. Если события А и В независимы, то также независимы и пары событий А и В, А и В, А и В.

В примере с бросанием тачки на квалрат (см. рис. 3.1) независимость событий А и В овна ~ает, что доля пяощаци области А в плошали О такая же, как и доля плошади области А гл В в плошади области В Действительно,

Р(А В) = /~А) Р<Щ ~ т(А)ам<О) = т(А В) 'гл(В)

Риределеллие 3.3. События А, А, ..., А„называются попарно

незавнснмымн, если

бмлредееэлгие 3.4. События Ап А, ..., А называются незавнсии

мыми в совокупности, если для любой подгруппы событий А.,

1

А,, ..., А (1, х ! при г 5)

!

1(А! А, .... А,) =Р<А,.). Р(А,). „, Р(А.) (3 В) л

Из независимости в совокупности следует попарная независимость событий. Обратное утверждение не верно.

Лрциер 3.1. Изделия, из которых собрана схема (рис. 3.2), хранились длительное время на складе, в силу чего они лгогли утратить свою работоспособность. Вероятность того, что изделие и,, утратило свою работоспособность (событие А,), равна р,= Р(А1) П = 1, 2, ..., 6). Надежность элемента а, равна Чг= ИА,) = 1-рг Найти надежность схемы, если отказы изделий при хранении проиаходят независимо друг от друга и отказ схемы означает разрыв цепи между точками М и Аг.

Решение. Рассмотрим, блок,'состоящий из элементов из, из и

ил. его отказ (собь2гне..йлз) выражается через аобытия Аз, Аз и

Аа В андс В! =ил (А24 АЗ).. По принципу'двойственности В! А44А2 Аз. Аналогично выражается отказ и безотказная работа блока,

солержащега элементы из и и .

В!=Аз Аы Вз=А54А6.

Отказ и безотказная работа всей схемы:

В=А,еВ,лВ, В=А .В В.

Собьпия А, В н В независимы (блоки состоят из различных

элементов), поэтому надежность всей схемы вычисляется по

формуле

где Х(А !) = В1,'

Р(В!) = Р(А4 л Аз Аз) = )тА4) 4 Р(А2 Аз) — 1(А4 Аз Аз) =

че 4 рзтз 64'12651

""В2) = Р(А5+ 6) Р( 5) + Р(А6) Р( 5 6)

т5+ 66 т5та'

Окончательно получаел!

Л!(йе чзйЗ чег)зйи(и5+ иа е5<<6)

File0006

Распознанный текст из изображения:

Окончательно ямеем

)5)0 = 4 (1 /8) = 0,5

Вероятность события 8:

)Щ=4 0,1029=0,41!6

13

Пркнел 3.2. Из партии, содержащей 10 детзлей, среди которых 3 бракоеанные, лля контроля цаугэд последосательно выбирают 4 летали. Набти вероятность того, что ровно 3 детали окажутся качественными (нс бракованными) при условии, что выборка провалится: 1) с аозврашениелг (еыбранная деталь после проверки возарашается в партию); 2) без аозврапгення (выбранная деталь е партию не возарашается). '

Ремесле. Пусть собьвне А, — извлечение не бракованной летали в ьй попытке П = 1, 2, 3, 4). Тогда событие А, изляеченне бракованной летали в 1-и попЫтке. Выразим интересуюшее нас событие В (из 4 детэлеа 3 качестаенныс) через события А!

8 =А!АэАзА4+А!А!А!Аз+А!ЛзлзА4+А!АзАзА4,

Так кэк слагаемые составляют попарно несовместные события, то

эероятность суммы событиб равна сумме нх вероятностей:

>5>О = ПА,АэлзА4) Р(А!ЛзАзА„) Р(А!АтчзА4) Р(А!А!А!А ).

Эта часть решения опюсится как к условию 1, так и к условию 2.

В условии 1 еыборка аыполняется с еозерашением, следоиательно, вероятность выбора качественной или бракоаанной детали прн любой попытке постоянна,

Р(А,) = Р(А ) = Р(Аз) = Р(А > = 7/10 = 0,7,

так как среди 10 деталей 7 качественных. Соответственно 75А !) = ПАз) = ПЛз) = Р(А4) = 1 — 0,7 = 0,3.

Собьпия Ар А, Аз и Лз независимы, поэтому

Р(А!АзАзА4) = Р(Л!)Р(Лз)Р(Аз)Р(А4) =-(0,7) 0,3 = 0,1029.

Аналогичные преобразования прнаодят к Р(А!А!А!А ) = Р(А,А 4 А ) = Р(А А АзА ) = 0 1029

В условии 2 выборка осушесталястся без,возврашения,

следовательно, вероятность событгш А! зависит от тоггз.. какие

детали бьши изелечены в предыдуших попыткахгт.е. пэбытия

Ан А, Аз, А„И СООтлстетВУЮШНЕ ИМ ПРОтнаОПОЛОжНЫС СООЬПИЯ

зависимы. Поэтому

Р(А А243А4) = Р(Л!) Р(Аз ( А () Р(Аз ! А !Аз) >(Аэ > А!ЛзАз).

Вероятность язэлеченил качественной детали при первой попытке Р(А ) = 0,7. Вероятность иэалечения качественной детади' прзг

!

второй попытке, при услоаии, что в первой попытке извлечена качестиеннал деталь, Р(Аз ) А ) = 6/9, так как в партии осталось 9 деталей, среди которых 6 качестаенньж. Аналогичные преобразования приводят к

Р(Аз)А!лз) = 5/8, ПА4)А!Азлз) 3/7.

Подставляя найденные условные вероятности, получаем >тЛ А А .4„) = (7/10)(6/9)(5/8)(3/7) = 1 '8.

Для других слагаемых Р(А!А А Аа>= Р(Л!> Р(А (А) Р(Л ! Л<Л ) Р(Л4! Л>А Л ) =

(7/10)(6/9)(3/8)(5/7) = 1/8;

Е(А ! Атлучс) = Р(А1) Р(Лз ! А !) гтлз ( А !Аз) Утлэ ! А !Атлз)

(7/10)(3/9)(6 '8)(5/7) = 1;8;

' А!А24344> = Р(А!) Г(Лз ~ Л!) Р(Аз ~ Л Лз> /3Л4 ( А !Лзлз) =

= (3/! 0)(7/9>(6 '8)(5 '7) = 1/8.

>ТРлмеР 3.3. Бросаетсл монетэ до первого иыпадсния "герба".

Определить вероятность того, что монету придется подбрасывать

не менее 5 раз.

File0007

Распознанный текст из изображения:

3.4. Формула Байеса

3,3. Формула полной вероятности

Р(Н„(А>=Р(Н) У(А(Н>/Р(А>=

(3.9)

14

Региеиие. Построим проатранство элементарных собьпий Гь Первый возможный исход состоит в том, что "герб" появится при первом подбрасыванииг и, "Г( Второй возможный исход состоит в том, что "герб" появится впервые при атаров! полбрасыванни, а зто значит, что при первом подбрасывании выпала р" щка, иэ — — РГ, Третлглг возможныи исход состоит в том, что "герб" появится впервые при третьем полбрасыванни: и> = "РРГ и тд. Пространство зщментарных собьпий О = ("Г', "!'Г, "РРГ. .> дискретно и счетно, следовательно, лля паетраеиия вероятностного Пространства достаточна определить вероятности элементарных собьпай (слц подреза. 2.2 . Очевидно

>

что ч

Р("Г) = 0,5, Р("РГ) =(0,5)1, Р("РРГ') = (0,5)з,

Сумма вероятностей всех элементарных событий, как и положено,

равна единице

гт а!> ' Р(от) + Низ) л ... = О 5 л (О 5) + (О 5)1 = ... = О 5;(1 — 0 5) = 1

Интересующее нас событие А сосголп в толп что лю нету придется

подбрасывать не менее 5 раз, поэтому 1 =(и, и, о, ...) и

л

Р(А) = (0,5) (0,5) л (0,5)т + ... = ((0,5)1) '(1 — 0,5) = (0,5)4 = 0,0625.

Определение 3.5. События Н, Н', ..., Н образуют полную группу попарно несовместных событий, если опи попарно несовлгестны и их сумма равна достоверному событию:

Н, + Нз + ... 4 Ни = СЬ Н! Н.= !В У! и/

В этолг случае собьпил Нп Н, ..., Н называют гипотещми.

!' 2'"' и

Теорема 3.2. Если известны вероятности гипотез Р(Н) > 0 и условные вероятности некоторого события А относйтвльно гипотез НА(Н), ! 1,2,...,л, то вероятность этогб события может быть найдена по формуле

>(А) = Р(Ц) . Р(А(Н ) + Р(Н) /(А(Н1) л ... + Р(Ни) /(Л(Ни>, (310)

называемой формулой полной вероятности.

Нример 3.4. Имеются две урны 1-го пша, в кюгдой из которых находится 3 белых и 7 черных шаров, три урны 2-щ типа, в калгдой из которых — 4 белых и 16 черных шаров, и пять урн 3-га типа, а каждой из которых — 6 белых и 15 черных шаров. Наугад выбирается урна, а из нее шар. Найти вероятность события А, соатоящего в том, что извлечен шар белого цвещ.

Решение, ПУсть Нг — событие (гипотеза), састоащее В том, что была выбрана урна 1-го типа (1= 1, 2, 3). Найлем вероятность гипотез. Всего урн 2+3+5 = 10; урн 1-го типа 2, следовательно, Р(Н '> = 2/10 = 0,2; урн 2-го типа — 3, поэтому Р', Ц! = 3/10 =.О;3; для урн 3-го типа Р(Н1) = 5/!0 0,5. Так как в урнах 1-го типа из 10 шараа 3 белых, то Р(А ( Н,) = 3/(3+7) 0,3. Аналогична находим Р(А ) Нт) 4/(4+!6) = 0,2; Р(А ( Н ) = 6/(6+9) = 0,4. Подставляя найленнью вероятности в фармуау полной веооятности, получаел!

>(А) = >(Н!) /(А( Н,) + Р(Н1) ° У(А( Н ) ч- Р(Н,) Р(А( Н ) = 0,37.

Так как гипотезы образуют полную группу попарно несовместных событиИ, то прн каждом испытании происходит одна и тояько одна нз гипотез.

Теорема 3.3. Пусть событие А произошло (Р(А)>0). Тогда вероятность того, что при этом произошла и гипотеза Н (й 1, 2, ..., л), определяется по формуле, называемой формулои байеса:

->УН,> Р(А(н,>~ ~ЛН~.Р(А(Н/.

!

Н .1,5. В условиях примера 3.4 извлеченный шар

оказался белым. Определить вероятность того, что он бьщ

извлечен из урны 2-го типа

Рещение. Событие А произошло (извлеченнмй щар — белый).

Вероатность того, что ПРи этом пРоизощаа и гипотеза Нз (выбРана

урна 2-го типа) определяетсд по формуле Байесв

Р(Н ( О 3(У).Р(А(Н)/Р( 03 ° 02/032-

>1ГТР

' ' рй~ Д1й!Об ! ~Я

File0008

Распознанный текст из изображения:

4. ПОВТОРНЪ|Е ИСПЫТАНИЯ

Схемой Бернулли называется посдедовательность п независимых испытаний, в каждоьг,из которых некоторое собьпие А наступает с олной и той же вероятностью р = Р(А). Наступление ЕабытЫ И Принято называть успехом, а наступление сабытгщ .4 — .неудачей.,Вероятность.неуаачи в каждом опыте равна 4 = Р(А)т.1.— р.

,Тиарами 4.1. Если провелено л независимых испытаний с вейоятностью успеха (появтення события А) р, то вероятность того, что в этой серии из и испытаний событие А наступит ровно гл раз, вычисляется по формуле Бернулли

Р(т) С т (и — )

тле С"=п(п-!) ...(п-т !)гпд =и!'(т!(и-пб!) — числосочетаи

ннй из л по т (С вЂ” число т-элеыентных подмножеств во ьп~ожестве, состоягпем из и алел~сигов).

Вероятности Рп(т) называююя бщзолпищьными, так как представляют собой члены разложения бинома Ньютона:

(р 4)п = Х С„" рт 41п "'.

г =а

Измеримость означает, что при любом действительном х множество (ы: Ца) <х) приналле;кит алгебре событий А, и, следовательно, определена вероятность Р(ч < х) Р!щ ч(о) < х).

Определение 5.2. Функция Р(х), определенная дла, любого действительного чиода х равенством

1(х) = Р((<х),

(5,!)

называется функцией распрелеленил с.в Е

Функция распределения облздает следующими свойствами;

1) 0 я Р(х) 5 1;

2) Р(х) не убывает, т.е. х < у ю Р(х) в Ну);

3) Р(т) непрерывна слева." Р(х - 0) = Р(т);

4) Н- а) = !пп Р(х) = О, Р(+ т) = Вщ Р(х) = 1;

ты- л

5) Р(ок (<Ь)=Р(Ь) — Р(и).

Определепие 55. Случайная величина ( называется лискрегной, если Мнажество ее значений (х,) конечно Или счетно распрелелением дискретной случайной величины называется совокУпность паР чисел Цхл Р(х,])), где хг — всеВозможные зна щнюг с.в. (, а р(х) = )(Ч =х) — вероятность, с которой с.в. ( принимает

!

значение х При этом

2 р(т,.) = !.

Лркнер 4.1 (см, пример 3.2). Из партии, содержащей !О деталей, из которых 3 бракованные, в случайном порядке последовательно (с возвращениеи) намекаются 4 летали. Найти Вероятность того, па 3 из них окажутся годными.

Ретеггие. Так как выборка осуществляется с возвращением, то результаты испытаний независимы. При каждом испытании вероятность извлечения годной детали (вероятность успеха) р = 0,7, и соответственна д = 0,3. Количество испьпаний и = 4, а нас интересует вероятность того, что число успехов будет равно т = 3. По формуле Бернулли нзходим

Р (3) = Сп (0,7)з (0,3)1 1 и 0,41.

5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

5Н. Распределение случай!пах величии

Олределеиие 5.1. Случайной величиной (с.в.) ч называется любая измеримая числовая функция (=г(и), определенная на пространстве элементарных событий П вероятностного пространства (П, А, Р).

Вероятность попадания дискретной с.в. в любое подмножество

2) числовой прямой вычисллется по формуле

Р(4 е О) = 2„р(х,).

Функция распрелеления дискретной с.в. (

Р(х) = Р(( < х) = д. Р(х ) .

(5.2)

1:х,п»

График функции распределения дискрспюй св. имеет ступенчатый вид со скачками величины р(х) в тачках х1(рис. 5!).

Олредсесггие 5.4. Случайная величина б называсюя непрерывной, если ее функция распределения Р(х) может быль представлена в виде:

17

File0009

Распознанный текст из изображения:

М(б) =2 х р(х)

х

Дх) = )Яб д/.

(5.4)

(5.3)

.(5.5)

3 1/32

26/32 ~

д((6) = )/хЯх) д

16/32

б/32

1/32

О

1 2 3 4 5

Рас. 5.!

(5.10)

Фу//кп//я Ях) называется плотностью распределения вероятное~ей непрерывной а;в. Рг

Свойства плотности распределения вероятностей:

!) Ях) Л 0 'т'х е (- а, ь <);

2) )Ях) д 1;

3)/ц( а /)) = )ях) дх, (Юсй~), в частности, р(а < ( < д)

л

Ь

)(а я с я Ь) = )Ях) дх;

а

4) Г'(х) =Ях) всюду, где производная существует,

5.2. Чмсловые характерна/мки случайной величины

Олределеяие 5.5. Математическим ожиданием (средним значением) дискретной с.в. Р называется число

Если множество значений с.в. (х ) бесконечно, математическое

ожилапие является суммой ряда и опрелеляетея в том случае,

когда этот рял сходится абсолютно.

Олределеяие 5.6. Математическим ожиданием непрерывной

с.в. ( называется число

(если несобственный интеграл сходится абсолютно).

Для характеристики рассеивания с.в. около своего математического ожидания вводится'понятие дисперсии.

Определение 5.у. Дисперсией Ю(6) с.в. 6 иазьиается математическое ожидание квадрата отклонения с.в: 6 от своего среднего:

' 2)(6) 'д/!ч-.д((6))з: (5.6)

Для днскретной с,в. дисперсия выражается в виде ауммы

сходящегося ряда

2)($) =,Г (х,. —,Щ))т р(х). (5.7)

l

Для непрерывной с.в. дисперсия выражается значением

сходящегося интеграла

(5.8)

;. ~(х ~(.)зЯх„,

Из формулы (5.6) можно получить более удобную двя

вычислений формулу

))(6) - ду(Й вЂ” ! Ж))2. (5.9)

Определение 5.5. Величина

~(6) = 4%6

называется среднеквалратическим отклонением с,в. Е

File0010

Распознанный текст из изображения:

Таа чп 5.1

хе ~'/4, х> О,

О, х< 0.

20

Пример 5ыб Симметричная монета полбрасывается 5 раз. Случайной величиной является количество гл выпадений герба. Найти:

1) распределение вероятностей с.в„

2) функцию распределения о.в. и построить ее график;

3) вероятноогь попадания дакной с.в, в интервал (1,5; 4);

4) математическое ожидание,.дисперсию и среднеквалратическое отклонение с.в,

Решеааш 1. Поставим в соответствие событию (непоявление герба) - число О, собьгппо (появление герба один раз) — число 1, еббытию (появление герба два раза) — число 2 и тл. Такилг образом, на пространстве злелшнтарных событий и построена числовая функция (с.в.) 4, принимаюшая значения О, 1, 2, 3, 4, 5. Для построения распределения вероятностей с.в. ( нужно каждому ее значению поставить в соответствие вероятность, с которой с.в. 4 принимает зто значение.

При каждом подбрасывании симметричной монеты возможны только два исхода и каждый исход имеет постоянную вероятность Р(") ')=0,5 и Р("Р")=0,5. Следовательно, мы илгеем дело с испытаниями Бернулли, и вероятности различных значений с.в.

4 могут быть найдены по формуле Бернулли

Рз(е)= 65 (0,5) (0,5)(5 ег, а=О, 1, ...,5

Результаты подсчета приведены в табл. 5.1.

2. Значение функции распределения Р(х) есть веррягноать того,

что с.в. 4 принимает значение меньше ж Р(х) = Р(б'<х). Найдем

значения функции распределения для различных значений х

1) хя О ю Р(х) =0 (событие (4 <0) невозможно);

2) О<як!ю Р(х) Р(4<х) г(4=0) =!/32;

3) ! < х к 2 ю Р(х) = Р(4 < х) = Р(О = О) ч ЕК 1) 1/22+5г(за=6/32;

4) 2<хк3= У(х) )(( 0)+Р(6=1)ьР((=2)=16/32;

>г 3<хя4 "~Х(х) )Я» 0)ь)(4=1)+ДНЯО 2)-~-гг(6=3) 26/32;

6) 4<хаба>Р(х)=Н4)+Р(4=4) 26/32+5'32=31/32;

7) х > 5 ю Р(х) =! .

при построении графика функции Распределения будем учитывать, что в точкак разрыва она непрерывна слева и поэтому справа от точки разрыва следует поставить стрелки (см. Рис. 5.!).

3, Найдем вероятность попалания с.в. 4 в интернал (1;5; 4). Эту задачу люжно решить двумл способами:

Р(1,5 < б < 4) = Р(( = 2) '- Р(( = 3) =! О/32 а 1О '32 = 5/О

Р(1,5 < ( < 4) = Р(4) — Р(1,5) = 26 '32 — б/32 = 5/8.

4. Для вычисленьи ьгатематического ожидания с.в. 4 восполг;

зуелгся формулой (5.4):

5

Щ) =,), х р(х.) = 2.гггР (т) ЯглР (е) = 2,5.

Для вьпгисления дисперсии воспользуемся формулой (5.9):

Ю(() = М(чг) (М((дг чг тгР (т) — [М(9))г 7 5 (2 5)г ! 25

Среднеквадратическое отклонение в соответствии с (5.10)

а(4) = чгг<6 = 'Й,25 в 1,! 2.

)урииер 5.2. Непрерывная с.в. 9 имеет платность распределения вероятностей

Найти: 1) вероятность попадания с.в. 4 в интервал (1; 3),' 2) функцию распределенгш Р(х) с.в, ( и построить графики функшгй Ях) и Р(х); 3) вычислить математическое ожилание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение с.а. ф

Решеаае. Функцию распределения найдем по' формуле (5,3):

б

Р(х) = !)(О й= ) (1/4)ге гг сгг = ( — ! /2) 1 Ще / ) = (- 1/2)(ге (—

О О

О

х

— /е г"г ау) = 1 — (х/2) е х г — е шг, х> О. о

File0011

Распознанный текст из изображения:

80)=Яс '0')))(с '(у)! ),

(6.1)

2е'

м(ч) = )у 80') 4',

х О 2

0 2

(6.3)

Рас. 5.3

У(1 < 6 < 3) И3) — У(1) 0,3515.

М(ч) = )с(х)Ях) сх,

(6.5)

Дисперсия с.в. б

23

22

:из. у

Графики Функций ях) и у(х) изображены на рнс. 5.2

Вероятность попадания с.в. д в интервал (1; 3)

Математическое озощание с.а. С

мй) »хЯх) дх= ~(1/з)хте хгздх

с

Лд>-.МЕЛ-(М(О! .'»()М)~е- тд -Зз-8

о

Среднеквадратическое отклонение с.в. 8 о Г8 2,8. б. ФУНЕЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Если С(х) — дифференцируемал функция, 6 — непрерывнал с.в., то и = с(х) также будет непрерьгвной случайной величиной. Пусгь функции з(х) лвллетсл монотонной и с.в. б имеет плотность распрелеления вероатностей Ях). Тогда с.в. а в(х) имеет плотность распределения веролтностей

где с ~(У) — функция, обратная к Функции с(х). Если у = с(х) — кусочно-монотонная, та плотность сд, 11 л(у) = ХЯсь ~0>) ! К10)! ! (6.2)

где т 1(у) — Функции, обратные к функции ф(х) на каждом участке монотонности, и суммирование ведется по всем участкам мсис. тонности функции С(х).

Математическое ожидание а дисперсию с.в. и вычислшот по Формулам

»)(Ч) = »(У вЂ” М(П))~((У) 4' )Утл(У) 4'-(МРО)З (6.4)

Можно вычислить числовые характеристики с.в, го и не отыскивал плотности распределения 8(у) (используя лишь плотность Ях)):

2)(п) ! (т(х) — М(11))тяк) лх = ! Зт(х) Ях) сх - (М(11))З. (б 6)

Пример б.У..Пусть с.вкй имеет плотность

1

Ях) = екр(- зл/2)/ )2к

и с.в. ц 82. Найти: 1» математическое ожидание и дисперсию с.в. П, использун плотность распределения вероятностей с.в. (;

2) плотность раопрсделснил веролтностей с;в. з); 3) математическоее ожидание и дисперсшо с.в. гь использул найденную плотносп распределении вероятностей с.в. П.

File0012

Распознанный текст из изображения:

!!(ч) = М(чт)-(М(ч))2=3- ! =2,

= Д/Жл) ! тт ехр(- тт/2) Аг 1. о

Р(х,у) = Р (х)Р„(у).

24

25

Решение. 1. С помощью.формулы (6.5) находим

М(ч) = )х7 схр(акт/2)/~7л лил = (1,"Г2л) 1- х ехр(- хт/2)! ! +

+ ! ехр(- хз/2)/тйл лАх = тгйл л/'/йл л= 1.

, "Для аычисления дисперсии воспользуемся формуяой (6.6),

предаарительно вычислив М(чт),

м(ч ) = )х ехр(-хт/2)/~2л лАх (1'ч2л) (-хтехр(-хт/2)! ! +

т 3)лз ехр(- хз/2)/т(йл лАх = (3/ттйл л) ~хт ехр(- хт/2) Ах = 3.

Отсюда 2)(ч) = м(п-! — (м(ч))т = 3 — 1 = 2.

2. Для нахолщения плотности с.в. П необходимо выделить интервалы монотонности функции л(х) хт. таких интераала два: (-ьт; О) и (О; + те). На интервале (- ек 0) обратной к функции у хтяаляетсяфункциях=- Гу,анаинтераале(0;+ а)-функция х= Гу. Тогда, согласно (6.2), плотность с.в. л

д(у) =Я-оу) ((-'Гу) (+/(Гу) )(Гу) ! е ут/Г2луу, 0 <ус+ лт

3. Используя платность д(у), по формулам (6.3) и (6.4) найдем

математическое ожидание и дисперсито с.в. тр

М(п) ! у ехр(- у/2)/зт2лу т(у= (1/ т2л) ) Гу ехр(- у/2) т(у = о а

Мч ) = 152 ехр(- у/2)/42лму уАу (2/ч2л) ! Р ехр(- тт/2) т(у = 3 о о

Мы видим, что числовые характеристики с.в. ч, опРеделенные

различными способами, совпадают.

7. СИСТЕМЫ СЛУЧ/тйН(т)Х БЕЛИт!ИН

7.1. Зштоиы распределения системы случайных селичнп

Оттртеделеттие 7.6 Системой даух случайных величин (случайным вектором на плоскости) называется пара измеримых функций ((о) и П(о), определенных на пространстве элементарных собьггий а аероятностного пространства (О,АтР).

Оиределетттта 22. Совместной функцией распределения системы с.а, (бьп) называется фут!кина дяух переьтенных Р(х,у), определяемая равенством

'Р(х,У) )(6 <к, и < 3) Р((б,ц) я (2(х,у)/,

где Д(х,у) — квадрант на' плоскости, правая верхняя вершина которого находится в точке с координатами (х,у).

Квкдая компонента случайного вектора (бщ) является случайной аелнчннай, определенной на (О,А,Р). Распрсдсяеиил с.в.

6 'и ц ныьтвакшся маргинальными распределениями с.в. 6 и ч и обозначаются сдедующим образом: Р(х) н Р (у).

ч

Совместная функщш распределения пары с.а. обладает следующимк саойстаами;

1) О л Р(х,у) < 1;

2) Х(- т, у) = )т(х, — то) = Р(- с, — е) = 0;

3) Р(х,у) — нсубыватощая по каждоьту аргументу;

4) Р(х,у) — непрерывна слеза по каждому аргументу;

5) Р(ьте, 4 с) = 1;

6) У(х, + а) = Р'(х), Р(+ то,у) = Р (у)

Олрет)стет!ил 7,3. Случайные величины 6 и П называются независимыми, если

File0013

Распознанный текст из изображения:

Гцл гп

р(х, ) Ь(~ ха ц =у).

27

Опреоелеяие у.е» Ковариацией сот(а,п), или корреляционным

моментом К„, е.в: б и'П называегса число

сот(бц) )(' ' 'М)(б — М(ц)(ч — М(п))] = МОИ М(б)М(п).

Олребеаеяяе 7.5. коэффициентом корреляции р((.п) с.в. г, и называется отношение их ковариация к произведению маргинальных среднеквадратических отклонений:

р = сот(Ь,П)'о,о сот(Г,П)/'(2)(6Ю(Ч).

( ч

Если р =0 (со»(ч,п) =О), то с.в. с и ч называются некорре(ч

лированными.

Свойства коэффициента корреляции:

1) !р(„!к1;

2) если с.в. с и и независимы, то р„„= 0 (обратное неверно);

3) если (Р ( 1,тол = ач+ Ь, причем знаки р н асоападают.

(ч сч

Последнее свойство указывает на то, что коэффициент корреляции отражает степень линейной связи между с.в.

7.2. Система двух дискретных случайных величш~

Овредеаелле у.б. Система с.в. ((ш) называется дискретной, если обе с.в. б 'и и являются дискретными случайными величинами.'

Распределением дискретной системы с,в. (Ь,п) называется совокупность ((хгу)),р(хау)), где (х1,у)) — всевозмолсные значения пары (ь„п), а р(х,,у.) — соответствующие вероятности,

При этом,» р(х„у) = 1.

а

Если глучайные величины с и и принимают конечное число значений, то распределение(с,п) пришпо записывать в табличном виде (табл. 7.1), где одновременно удобно записывать и марпы нальные распределения р( и р„ с.в. б и г).

Вероятность попадания точки (Ь,П) в некоторую область Ю

на плоскости (»Оу) вычисляется по формуле

Р((с„п) е 2)) = х р(х.,уу),

сап(»„,) ° и

В частности,

р(ху) =,'Г р(хлу) (сумма по всем(ну таким, что х<х, у <у).

Для маргинальных функций распредсдения

р(х)=,~ р(х у) (сумма по всем гиутаким, что х <х); рч(у)--2 р(хру) (сумма по всем(и)таким, что у.<у),

Маргннальнме распределения вычисляются по формулам

Р (х)= 2 Р(хлУ~, Р (У.) = 2,Р(х,У).

1 !

Условие независилгостн дискретных сл. С и П принимает вил р(хлу) = р,(х) р„(у~ (1= 1, 2, ..., л;) = 1, 2, ..., т).

Числовые характеристики:

1) математические ожидания

М(ч) = т дт, х р (х) ~ х р(хгу),

! М

File0014

Распознанный текст из изображения:

М(п) атаеву)рчЬ)-Ху)р(хгу/),

ь/

(точка (м(,мч) НаъЫаастса центРом Рассеиааниа паРы с.в. (б,п))

2) дисперсии

'.2)(4) о( 2 (хг ис) Р((«Г» = Д (хг и() Р(х у/),

г г,/

2)() 2 ~'Ь „)т»Ь) 2 ( )2

) ь/

3) коаариация и коэффициент кг цнн

(сч) й =Х(х-м)Ь м)р(«у»

4 ) ч г/ г/ г »

4)

4)

Р(ч сот((,Ч)/оеоч;

4) условные распределения:

а) условное распределение с.в. б при условии, что и у,

р (х,)у) Р(б х,~ Ч =у) р(х,у)/р (у), если р (у) е 0;

б) условное распределение с.а. П при Условии, что б ха

р (у ) х) )тч у ) б хй р(х„у~/р (х), если р (х,) е О;

5) Условные математические ожидания:

а) .условное математическое ожидание с.в. б при условии,

что Ч =у„

Щ ! У) = ~, х р (х ( у.);

(урюиер 7.0 Распределение дискретной системы с.а. (б,ч)

приведено в табл. 7.2. Найти: 1) маргинальные распредеамйгя

каждой из с.в. г, и ч; 2) математические ожидания и дисперсии

с.в. с и ч; 3) коаариацию и коэффнциецт корреляции с.а. д и

и; 4) условное распределение сл. 4 при условии, что ч =у», и

условное распрелелсние Ч при Условии, что б = ха! 5) Условные

математические ожилания М(4 ~У!) и МО) ~хэ)

Ре»ление. 1. Найдем марпгнальные распределения;

., р (х ) =р (1),» р(1У) =0 05+0 06+0 09+0,1чО 3;

у

Р (хт) =Р (2) Д, Р(2 У) — О+ 0 1+ О+ О 2 — О 3

Р (хт) =Р((4) = БР(4,У)) 0,15+0„'14+ 0,11+0 = 0,4;

РЬ!) = Р (- 2) = Х Р(ха-2) = 005 + 0 + 015 = 02;

г

Р„Ьт) = р„(0) = Х Р(хаО) = 0,06+ 0,1+ 0,14 = 0,3;

г

РчЬт) =1» (1) =,»,Р(Хр!) =0,09+ О+ 0,11 0,2;

!

Рч(уе) Рч(3) Х 1»(«РЗ) 0 ! + 0 2 + 0 0 3

б) условное математическое ожидание с.а. Ч при услоаии,

что б хл

М(п ~ х» ~ у р (» ( х,).

l

2 определим маргинальные средние и лиепе! ии с.в б и ч: М(4)=т =Х«Р(х) 1 ° 0,3+2 ° 0,3+4 ° 0,4 2,5; г с

File0015

Распознанный текст из изображения:

к у

у(т у) 1 1/(и у) Ни гЬ

Рч(3 (4) Р(3,4)/Р„(4) = О/0,4 = О

31

30

ЖЧ)=ма=Бур(уз (-2) ° 02+0 03е! 02е3 03 07; ч /ч/

Щ) м.~д ~. хт р (х,) — (т„) = 1,65

2)(Ч) оз = Ху~ р„Ь) — (юч) 3,21. /

'' 3, Вычислим

-'соу(4/4)=К ХХх,у р(хуу) — т,т =0,73-1,75 -0,98;

! /

Р( =соУЯЧ)/осоч=(-098)/4,65 3,2! -042б.

4. Условный закон распределения с.в. 4 при условии, что

ч=-2:

р(11-2)=р(1,-2)/р (-2) 0,05/0,2 0,25,

с ' ч

р !л1-2) =р(2, -2) 'р (-2) =О/0,2 О,

(

р (4 !72) =/(4, -2)/р (-2) = 0,15/0,2 = 0,75.

ч

Аналогично находим условный закон распределения с.в. ч

при услонии, что 4=4:

рч(- 2 ! 4) р(- 2, 4)/р (4) = 0,15'0,4 = 0,375;

4

р (О ) 4) = р(0,4)/р (4) = 0,14/0,4 = 0,35;

ч ' (

Р (1! 4) = Р(1,4)/р (4) = 0,11/0,4 = О 275

5. Условное математическое ожидание с.в. с при условии,

что ч= — 2:

Л/(~ ~ - 2) Х х, р (х, ! — 2) = 1 0,25 + 2 0 + 4 0,75 = 3,25.

Аналогично вычисляем матеыатическое ожидание с.в. ч:

М(Ч14) =/ у р (у )х) = — О,!75..'

/

7.3. Система двух непрерывных случайных велнчюг

0лредегеггие 7.7. Система с.в. ((щ) называется непрерывной,

если ее совместная функпня распределения /(х,у) представь!ма

а виде:

где/(и, у) называется совместной плотностью распрелелення вероятностей системы двух случайных величин ((,ч).

Свойства плоьюстн распределения:

!) /(ы,у) а 0 чи,ге (-ез, + е);

2) 1,/Яи, у) г/и г/у = 1;

3) /((Ч,Ч) е 2)) = Ц/(цу) г/и гЬ, (/дда);

Ю

4) /(х,у) =87/(х,у)/дхду, всюду, где смешанная частная производная существует.

Маргинальные распределенил и плотности с.в. С и Ч:

г" (х) = тгх, ь ег) =~ /(/(л,у) г(илу, / (х) = г" (х) = /1/(х,у) гЬ,

е '

у

р„(у) = /(+,у) = ~ !Гдл,у) сл Ь, /'(у) = р„'(у) = (//(цу) О .

Условие независимости с.в. ч и ч — /(ху) = Г(х) уч(у), что эквивалентно условию /(х,у) =/((х) / (у) (если плотности сущеч

ствуют).

Числовые характеристики:

File0016

Распознанный текст из изображения:

С, если (хрб е )3,

Ях,у) = О, если (х,у) я 2),

)х)3(х,у) ох гф — ге м;

ч'

Р(ч = сот(С.Ч)ге(оч.

в е

фу]х) =3[ху)/3(х), сечку(х) еО

3(х[у) =3[ху)//'„(у), есаи~„'(у) еО.

3 (у) ])[и,у) г(и= ]1/(е-2) г(и=

ч

ь(!+и

33

33

*

М(О) и ):(Г(х) г(х [ )гр(х,у) е]е гО". й

+

. Я([П) т„]33"„(У) г)У [ ])Ях,У) дхф",

2)(Д) от 31(х-т ) г (х) гй 3( 31(х-и )3Яху) г(ге)г,

1 1

33(п) от 3(у-т )~/(у) гф 3 3(у-т )~3[ху) охну;

сот(б,ч) Л' ] ](х- т )(у- и )3(х,у) гйг еу

1 ч

Условная плотность распределения с.в, ч при условии, что ч х,

Аналогично находим условную плотность с.в. Ч при условии, что

("у

Условные математические ожидания:

М(Ч [ х) = М(Ч [ С = «) = ] )у'„(у[ х) еу О (х)

МА[у)-:М(([п=у)-[ЛГЕ(Х[у)4)г и'Ы.

Функция р„(х) [О (у)[ называется регрессией с.в. Ч, на о.в. а

[с.в. Ч на с.в, г) соответственно[. Графики Функций у И (х) и

я=о (у) на плоскости хОу называкптл линиями регрессии,.

еи Пример 7.2. Система двух с.в. (ч,ч) имеет плоппють

распределения вероятностей

где 23 [(х,у): 0 ах я 1, О куя е"- Ц. Такое распределение называется равномерным в области )3.

' Найти: 1) постоянную С; 2) маргинальюяе плотности распределения кюкдой из с.в. ч и ч; 3) математические ожидания и дисперсии с.в. Ч и Ч; 4) ковариацию и коэффициент корреляции с.в. ( и Ч; 5) условные плотности распрелеления ~~(х[у) и /(у[х); 6) уравнения линий регрессии и построить их графики.

Ремеяее. 1. Постоянная С определяется из свойства плотности распределения вероятностей:

е — Г

1 = ] ]Яиг) Ые дт = С ] г(х ~оУ = С(е ч 2), откуда С = 1 / (е — 2).

2. Марцгнальные плотности вероятностей с.в. ч и ч

+ Р-1

Г(х) ~3[х,г) па= ]1/(е-2) гЬ=(ет-1)I(е-2) при хе [О; ц;

о

[1 — 1п(1+у)]'(е — 2) прн хе [О; е — Ц. '

3. Средние и дисперсии с.в. с и гр

File0017

Распознанный текст из изображения:

.> 1

м(О = т = )х/ (х) г(т= ]х(ьх-1)/(е-2) пх 1/[2(е — 2)] 0,691

а

е-1

М(ч) т ~уГ(у) с1у= ]у[1 — !о(! + у)]/(е-2) ау=

ч

а

= [(е - 2)1+ Ц/[4(Е - 2)] 0,521

1

])(4) = ат= ] ха/ (х) сх — (т )1= ! х!(е*- 1)/(е — 2) г]х — 1/[4(е — 2) ]=

а

=[!2ет-52ее53]Ц12(е-2)! О,!1,'

])(Ч) = а = Я (у) г(у - (т ) = ] у![1 -! п(1 + у)!/(е - 2) Пуа

— [[(е-2) + ц/[4(е-2)]) =[(е-1) /3-(е-1)!/2+(е-2)]/[3 (е — 2)]—

— [[(е - 2)! + Ц/]4(е — 2)]~ 0,156.

4. Корреляционный момент

1 Е'- !

сот((/0) = к =)1 31ту)(ху) г!хг)у — т т 11 31«у/(е-2) ох ау- т т =

!« ' !« ! «

а а

=(ет-5)/Ке-2) «Ц/[8(е-2)~] 006.

5. Условные плотности. Условная плотность распределения

с.в. ч прн условии, что 6 = х, /'„(у] х) =)(ху)// (х) = !/(ет — 1), если

у [01 "-ц.

Аналогична находим у~~о~~у~ ила~~~от~ с.в. 6 нрв условии, «то

4=У,

у(х]у)=)(х,ун„'О»= !/[1 -Пг(!+у)], л х [1 И -у) ц.

6. Условныс арелнис:

е -1

(Х) = М(ч ] Х) = ] У/(У ] Х) 1(У = ] [У/(Е" — !)] с!У =

а

=(е"-1)/2 при хе [О; ц;

у

а (у) =МИ]у) =,]ьу'(х[у) Их=

! =,]]х/[1-(о(! +у)]) ~х=

ге(! «у!

='Н -01(!'+у)]/2 при у а [О; е- ц

0 !

уес. 7.1

К ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКГЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

х Графики функций у= а, (х) и х=ас(у) приведены на рнс. 7.1. Особенность рис. 7.1 соатовт в там, что графики линий регрессии являются "среднимн линиями" области ]), что характерно д«я равномерного распределения.

Коэффициент корреляции

р „= К„'а а„0,06/(0,33 0,4) 0,46

(р„О, следовательно, с.в. 6 и 1! эависимы). !«

34

Свойатва математического ожидания с.вл

ц М(с) = с (с салаг)1

2) М(с 6) с М(6);

3) М(6+ 1!) М(Г) + М(Ч);

4) М(6 и) М(О) ° М(п) + Х(ч, где 3~« — корреляционный

момент.

File0018

Распознанный текст из изображения:

(3(6 ь Ч) = П(Ц) ° 1)(э)) + 2К,ч

и длл некоррелнрованных с.в

36

Если с в. 6 и ч некоррелированы (в частности, незанисимы), то

ЛГ(6 ч) = Лу(6) . ЛГ(п).

Свойства дисперсии'.

1) 2)(ч) й О;

2) 27(с) = О;

3) 2)(с 6) = с . П(6)

4) 2)(~ 6 ) = ~' 23(6,> 4 г Х К( „, в а

Свойства кавариации:

1) соь(6 о, Ч 4 Ь) = соу(бгй)1

2) соу(а. 4, Ь Ч) = аЬ . соу(8,9).

Сваг(стоу коэффициента корреляции'

Р( ° а,ч + е Рйч(

2) р„„в Ийп(аЬ) р,ы где 8)йп(а) — знак числа а

Прнээер В.у, В услоаиял приьгера 7.1 вычислить математическое

ожилание и дисперсию с в. С = 26 — 30 + 4.

Решелне. Согласно свойству 3 математического ожидания

ЛГ(Г) = 2ЛГ(9) — ЗэИ(й)+ 4 2 0 69 — 3 О 52+ 4 = 3 82,

а согласно свойству 4 дисперсии

2)(С) = 2~2)(6) 4 (- 3)~()(й) + 0 э-2 (2 (-3)соч((гй)4 0 4-0) 4 0,114 9 0,156 — 12 0,06 =0,794 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРЛТУРВ1

1 Заырав ВК,С васмы в ВА, Ча еиааэ ВП Теорня аеропносэ й М. Н ука, 1989 159 с

2 В атв ль Б С Теор>м аетоятностей М Фнзматгнэ, 1962 564 с.

3 Ба аров ПП,Пыщэю АВ Теорна вероятнычей. М Иэв.во РУДН, 1994 172 с.

4 Сборник э лач ло математике. (Дла ьнуэов) Т 3 Специальные «урсьэ Уйфььмовлп ялр М Наука,1984.608с

Огннннвуые

1 Пзэ(о)с)Р(вэнетвээ '~Мьэтнй: ':"."' "' ":: ';.,"."" "", „... 5

р г оу свучайээой величины

С ' 'с,'эк' РВИ мывэуе юй литч'юурсы'..Ьь е йч2 '!' 'т:::~".г"Р"" "'"""""""

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг5,00
0
0
0
0
2
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее