Книга: Методические указания
Описание
Характеристики книги
Список файлов
- метода
- File0001.jpg 216,42 Kb
- File0002.jpg 225,19 Kb
- File0003.jpg 231,68 Kb
- File0004.jpg 230,95 Kb
- File0005.jpg 201,92 Kb
- File0006.jpg 218,89 Kb
- File0007.jpg 246,81 Kb
- File0008.jpg 232,56 Kb
- File0009.jpg 171,91 Kb
- File0010.jpg 235,02 Kb
- File0011.jpg 184,65 Kb
- File0012.jpg 208,97 Kb
- File0013.jpg 199,98 Kb
- File0014.jpg 191,32 Kb
- File0015.jpg 171,21 Kb
- File0016.jpg 175,92 Kb
- File0017.jpg 168,57 Kb
- File0018.jpg 140,56 Kb
- Thumbs.db 60 Kb
- метода.exe 0 b
- метода.rar 0 b
Распознанный текст из изображения:
УДК 5!9.21
ББК 22.171
М54
Ренензент В.В. Чадов
УДК 5!9.2! ББК 22.171
Издвтовыаю МПУ им. Н.Э. Баумана,
107005, Масввв, 2-я Бвумвисвы, 5.
Рие. 1.3
18ВЫ-5-7038-1958-0
Ф МПУ им. Н Э. Бвгмвнв, 2001
3
1'
М54: Методические указания к выполнению домашнего задания по теории вероятностей /Г.Д. Карташов, Н.Т. Вили-
сова, В.И. Тимонин, Л.Г. Ветров; 2-е иш., доп. и перераб.
Ма Изд-во МГТУ им. Н.З. Баумана, 2001. 36 с.
15ВМ 5-7038-1958-0
Павдешвввин ив бхадиммв творогова юи сведеввд и могадичепше
ух вива в Р иеивю шповнх увдвч, аад рввшвхсв в типовом Расчете ло
вгрсг уваров веровтвсамя
дл» студен пув старших курсов
Табл. 3 Ил. 14 Бвблиагр. 4 нвзв
Гениаанй Дмитриевич Карташов, Ниии Тробвмовна Вилисовв,
Владнмвр Иванович Тимоинв, Леовгш Георгиевич Ветров
Мешднческие указания к выполпепн!о домаишего задании
по теорми вероятиосгей
Релвкгор О,М Килмюв
К РР РМА.Р
Изд дни ЬВ 020523 от 25.04.97 г.
Палписвно в печать 30.1!.2000. Формат 60 841!6. Бумага тмп. М 2.
Печ л. 2,25. Уел поч л. 2,09. Уч-изд л. 2,03. Тираж 300 зкт. Изг. Лэ 6.
Заказ М 94
1 ПРОСТРАНСТВО СОБЪ|ТНЙ
Теория вероятностей изучает математические модели стохастических экспериментов, т.е. таких экспериментовг исход которых неоднозначно определяется условиями альма.
Определение 1.1. Каждый возлгожный исход оу стохастнческага , эксперимента называется элементарны!4 событием.
Определевие 12. Множество й =!а ) всех злсмситарньш событий называется'проашанством элементарных событий
Определение 1„1. Лгобае подмножество пространства элемен» евший
пре слепне .. ама и ожества й называется достоверным событием, так как происходит при любом исходе эксперимента.
Оиределелие 1.5. Пустое множество 1П нюынаегшг неаозможг!ым сабьпием, так как не содержит ни одного элеменшрного события вь
Определение 1.6. Пространство й называется дискретным, если оно конечна, й=! и, и, ..., м ), или счетно,
в
1' 2 -" и''")'
В противном случае оно называется непрерывным.
Пусть эксперимент состоит в том, что в квадрат едуча!2ным образом бросается точка. Пространствон элементарных событий й является множество всех точек квадрата. В даннолг случае й непрерывно. Каждое событие А является некоторым подмножеством й. Событие А наступает в том и только в том случае, когда брошенная тачка попадает в это множество !рис. 1.1).
Определение 1.7, Если А ш В, то говорят, что собьпие А влечет за собой событие В, т.е. прн наступлении А обязательно наступает и В (рнс. 1,2).
Определение 1Х Событил А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно при одном ггсйытайии. ! Прк этом А ш Вх О !рис. 1.3).
Распознанный текст из изображения:
АлВ=И
1
Рис. 1.т
Рее. 1.В
игл -ь 1<А) при л -г ьх
Оиределеяие 1.Р. События А и В называются несовместнымя, если ани не мог)т произойти одновременно при любом находе оцыга. Прн этом,4 ю В И (рис. !.4).
Определение Е1В, Собьгпгл А н В называются зквивалезпнымн или равными, если они состоят из одних и тех же элементарных событий. При этом А = В.
Олределеиие 1.11.Сух~май событий А и В назыааегся событие А+В, сосщящее в там, чта происхолит хотя бы одно из событий А гщц В. Сумме аобьггий соответствует объединение множеств Ащв (рис. !.5).
' Определение 1.12. П!юизаеденисм событий А и В называется событие,а.в, состоящее в том, что происходят оба собьггия А и В одновременно. Произведению собьггнй соответствует пересечение множеств Лгзв (рис. 1.6).
Ряс. 1.4 Ряе. 1.1 Рае. 1.6 ';./ Оиределеиие 1.15. Рщностью событий А н В назыеаетсв
событие Л(В, состоящее в'том, что событие А произопщо, а событие В не произошло. Событие Атв состоит из элементарных событий, входящих в А и не входящих в В (рис. 15).
Определение 1.14. Событие А=йг,А называется противоположным событию Л. Событие А состоит в ненаступвенин собыпш А цзйс !.8).
Операции над событиями обладают рядом свойств.
!. двойственность (заключается в том, что при переходе к
пр ивополож ым событ м опеРации юженгщ и УмцожениЯ
меняются местами).
А+В=А ° В, А В=АэВ.
2. Коммугативносты
Аев=В+А, А.В=В А.
3. Асаоциативность: <А+В)+С=А+<Вес), <А В) С А <В С),
4. Дистрибугивноать: А (В+С) А В+А С, 1гА+(В ° С)=(А+В) (А+С)
5.АэА=А,Лей=а,АьИ=А,А.А=А,А О=А,А И=И.
'б, О=И, И=О. А=А,
Оиределелие 1.15. Алгеброй событий А над пространством йлеме итар ныл собьпи й О называется такая совокупность собьпий, которая:
!) содержит достоверное и невозможное событии: П =А, И=А;
2) вместе с кажаым событием содержит и противоположное ему событие: УАаА ~ А А;
3) заьгкнута относительно операций сложения и умножения событий: УА,В е А жг А+ В а А, А В е А.
Олределеиие 1.1Е Совокупность (Сь А) называется пространством событий, соответствующим данному стохастнческому эксперименту.
2. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
2.1. Статистическое понятие вероятности
Пусть А — один из возможньп исходов стохастического эксперимента. Проведем этот эксперимент л раз, и пусть при этом собьпие А произойдет л~ раз. Отношение ю/л есть частота появленил события А. Устойчивость частот состоит в том, что при 'л-ью чаатота а/л стремится к некоторому числу р(А), которое называется вероятностью собьпия А:
Распознанный текст из изображения:
Р(А) = Л. /(и,)
ех
2.4. Классическая схема
(2.б)
(2А)
Р(Ю) = О;
А 1 В ю Р(А) 5 /(Вй!
0 я Р(А) я 1, ХГА я А;
(2.2)
(2.3)
(2.4)
:7' 2.5. Геомезрнческая схеьш
р = Р(э!), г = 1, 2, .
~,) 2.2. Аксиоматнческое определелие вероятности
ПУсть Ю,А) — пространство событий некоторого стохастического эксперимента, 'и каждому событию А е А соответствует некоторое число,'(А), называеьгое вероятностью события А. ФУнкциа Р(Л), оПРезсленнал на алгебРЕ собьпнй Рь лоажна удовлетворять слелуюшим аксиомам:
1) неотрнцательность — вероятность любого события неотРицательна: чА е А ю И.4) а О;
2) нормированность — вероятность достоверного события равна елнннне: Р(й) = 1;
3) аалнпчвность — вероятность сулгмы любой последователь'ности !конечной или бесконечной) попарно несовместных событий равна сумлгс их вероятностей:
Р!А!+А! ... Аль...)= К4!) е/(Аз) м..ь/(А ) и,., Л74.= О Чг '/
/, Олределелие 2./. Совокупность (гз,А,/) называется вероятностным пространством. Вероятностное пространство является полной математичьюкой моделью стохастнческого эксперимента.
Вероятность уловлетеоряет следующим свойстваьг:
/5А) =' 1 — Р(А);
вераатность суьгл~ы двух любых событий вьшисллется по формуле Р(А . В) = /(А) ъ Р(В) — Р(А: Б), (2.5)
называемой формулой сложения вероятностей.
2.3. Дискретное вероятностное пространство
Если пространство элементарных собьпий й = (а и ..., ез,...~
е'"' лискретно, то вероятности достаточно задать лишь лля элементарных событий:
Тогда, в силу аксиомы аллнтивности, веролтность любого
события А равна сумме вероятностей алев!сигарных событий,
составляющих собьпие А:
Если пространство элеыентарных событий конечно, Й =(и! мз ...,а„), и все элементарные события и, равновероятны, то в силу аксиоьгы нормирпванности вероятность кажлого элементарного событил м/равна 1/л, если собьпие А содержит в себе т элелшнтарных событий, то
Злементарные события, входящие в А, называются благоприятствующими событию А, и, такиьг образом, в рамках классической схемы веролтнасть л!обого события А вычнсяяется как отношение числа элементарных событий, благоприлтствуюших событиго А, к общему числу элементарных событий
27ргфгеР 2.7. Из полного комю!екта домино наугал выбирается одна кость. Определить вероятность того, что; а) сумма очков на этой кости равна б; б) сумма очков меньше 5.
Решение. а) Пространство элементарных событий П состоит из л = 28 равновероятных исходов. Событие А состоит в том фто сумлга оЧков равна шести. Такиьг образолг, А = ((О;6), (1;5), (2;4), (3!3)), число исхолов, благоприятствующих событию А, т = 4, и, следовательно, Р(А) = ю/л = 4/28 = 1/7.
б) Собьпие В = ((0)0), (О;1), (О;2), (О;3), (О;4), (1;1), (1;2), (1;3), (2;2)) состоит нз 9 элементарных событий, очедавателыго, У(53 =
9/28.
Если пространство элементарных событий й является некоторой областью прямой (плоскости, пространства), а верояююс! ь папздания точки, брошенной наугад в пространство П, в любое подьхножестао А Щ пропорциональна длине (плошади, объему) области А и не завксит от формы и положения подмножества А в (2, то вероятность лгобого события А задаетсл формулой
Р(А) гл(А)/т(й),
Распознанный текст из изображения:
где т(А) и т(й) — ллины (плошали, объемы) областей А и й.
В этом олучае алгебра собьпий А состоит из всех измеримых (имеющих длину, площадь, объем) подмножеств области й.
Притер 2 2. На разные дорожки магнитофонной лен~ы ллинай 100 и записаны два сообщения Начало калщай записи осуществлялось в . случайный момент времени. Первое сообщение записано 'на участке длиной 20 м, а второе — ЗО и. Найти вероятность того, что оба сообщения записаны на общем учас~ке ленты длиной не менее 5 и (событие А).
Ртиеиие. Пусть х — координата начала записи первого сообщения, а у — второго (в метрах). Очевидно, что Оя:хяЗОг ОЯУЭ70. Таким образом, начало записи обоих сообщений характеризуется случайной точкой (ху), равномерно распределенной в прямоугольнике й со сторонами 80 и 70 м. Площадь прямоугольника равна т(й) = 5600 м .
2 Рассматрилг леа случал. 1. Начало записи первого сообщенил осуществилось раньше, челг начало записи второго сообщения. В этом случае для того,
что бы произошло событие А у (длина общего участка записи не
менее 5 м), необходимо и лоста- 70 точно, чтобы хяуях+ 15. Пусть
А ((х,у):хэуях +15). ! 2. Если начала записи первого сообщения наступило позже, чем начало записи второго сообще15г ~ 2 ния, то для того, чтобы праизоВэ щло событие А, необходимо и
достаточно, чтобы уях<уь25. 25 60 х Если А2 — — ((х,у):уяхяу+25),
ю А=А, .эА . В соответствии с Рт. 2Л
геометрической схемой (рис, 2.1) Р(А) = т(А) 'т(йт '(т(й) — т(В ) — т(В )[/т(й) = 2575/5600 и 0,46.
3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
3.1. Попятяе условной веровтиастн
Определение 3.7. Условной вероятностью сабьпия А при
условии, что произошла событие В (в том же испытании), называется число
Р(А [ 20 = Р(А В)/Р(В)„
(3А) определяемое в случае, когда РЩ > О. Аналогично выражению (3.1),
Р(В[А) - Р(А. В)/Р(А), (Р(А) ь О). ', (3.2)
Рассмотрим пример со случайным бросанием точки в кщдрат (рис. 3.1).
Вероятность собьгпш А вычисляется по формуле Р(А)
т(А)/т(й), где т(А) и т(й) — плошали множеств А и й соответственно( Тогда Р(А [ В) Р(А ° 20/Р(>)> ' [т(А ° Щ/иг(й)[/[т(В)/т(й)! - (А В) (ВВ
(3.3)
, Таким образом, если вероятность события,4 есть отношение плошади А к плошади всего квадрата й, та условная вероятность Р(А[В) есть отношение плошади Ат В к плошади области В.
Умножая обе части равенства (3.1) на 7(В), а равенства (3.2) на Р(А), получаем формулу умножения вероятностей
Уис. 3.2
>УА 20 = >УА) ° Р(В [ А) = )УВ) ° Р(А [ В>. (3.4)
Эта формула обобщается на произведение произвольного конечного числа собьпий:
>(А, А .... А„) Р(А1)-Р(А [А,) Р(А [А А) ... Р(Аи[А А ... А„,). (3.5)
3.2. Зависимость и везаткиыость сабытяй
Олределеяие 3,2. События А и В называются независимыми, если справедливо соотношение
Распознанный текст из изображения:
<3 б)
. )тА < В) = ).1А), Р(В ~ А) = 75 В)
уи . з з
Р(А, 1) = У(А,) Р(А) Н 1, 1(гхоз.
(33)
Ч=)л)й = Р(А,) Рлд,) Р(В),
12
1
!1
10
в противном случае события А и В называются зависимыми.
Если собьпня независиыы, то наступление или ненаступление
алнаго из ниХ не, влияет на вероятность наступления второго
сабьпия:
Те!Репи 3.1. Если события А и В независимы, то также независимы и пары событий А и В, А и В, А и В.
В примере с бросанием тачки на квалрат (см. рис. 3.1) независимость событий А и В овна ~ает, что доля пяощаци области А в плошали О такая же, как и доля плошади области А гл В в плошади области В Действительно,
Р(А В) = /~А) Р<Щ ~ т(А)ам<О) = т(А В) 'гл(В)
Риределеллие 3.3. События А, А, ..., А„называются попарно
незавнснмымн, если
бмлредееэлгие 3.4. События Ап А, ..., А называются незавнсии
мыми в совокупности, если для любой подгруппы событий А.,
1
А,, ..., А (1, х ! при г 5)
!
1(А! А, .... А,) =Р<А,.). Р(А,). „, Р(А.) (3 В) л
Из независимости в совокупности следует попарная независимость событий. Обратное утверждение не верно.
Лрциер 3.1. Изделия, из которых собрана схема (рис. 3.2), хранились длительное время на складе, в силу чего они лгогли утратить свою работоспособность. Вероятность того, что изделие и,, утратило свою работоспособность (событие А,), равна р,= Р(А1) П = 1, 2, ..., 6). Надежность элемента а, равна Чг= ИА,) = 1-рг Найти надежность схемы, если отказы изделий при хранении проиаходят независимо друг от друга и отказ схемы означает разрыв цепи между точками М и Аг.
Решение. Рассмотрим, блок,'состоящий из элементов из, из и
ил. его отказ (собь2гне..йлз) выражается через аобытия Аз, Аз и
Аа В андс В! =ил (А24 АЗ).. По принципу'двойственности В! А44А2 Аз. Аналогично выражается отказ и безотказная работа блока,
солержащега элементы из и и .
В!=Аз Аы Вз=А54А6.
Отказ и безотказная работа всей схемы:
В=А,еВ,лВ, В=А .В В.
Собьпия А, В н В независимы (блоки состоят из различных
элементов), поэтому надежность всей схемы вычисляется по
формуле
где Х(А !) = В1,'
Р(В!) = Р(А4 л Аз Аз) = )тА4) 4 Р(А2 Аз) — 1(А4 Аз Аз) =
че 4 рзтз 64'12651
""В2) = Р(А5+ 6) Р( 5) + Р(А6) Р( 5 6)
т5+ 66 т5та'
Окончательно получаел!
Л!(йе чзйЗ чег)зйи(и5+ иа е5<<6)
Распознанный текст из изображения:
Окончательно ямеем
)5)0 = 4 (1 /8) = 0,5
Вероятность события 8:
)Щ=4 0,1029=0,41!6
13
Пркнел 3.2. Из партии, содержащей 10 детзлей, среди которых 3 бракоеанные, лля контроля цаугэд последосательно выбирают 4 летали. Набти вероятность того, что ровно 3 детали окажутся качественными (нс бракованными) при условии, что выборка провалится: 1) с аозврашениелг (еыбранная деталь после проверки возарашается в партию); 2) без аозврапгення (выбранная деталь е партию не возарашается). '
Ремесле. Пусть собьвне А, — извлечение не бракованной летали в ьй попытке П = 1, 2, 3, 4). Тогда событие А, изляеченне бракованной летали в 1-и попЫтке. Выразим интересуюшее нас событие В (из 4 детэлеа 3 качестаенныс) через события А!
8 =А!АэАзА4+А!А!А!Аз+А!ЛзлзА4+А!АзАзА4,
Так кэк слагаемые составляют попарно несовместные события, то
эероятность суммы событиб равна сумме нх вероятностей:
>5>О = ПА,АэлзА4) Р(А!ЛзАзА„) Р(А!АтчзА4) Р(А!А!А!А ).
Эта часть решения опюсится как к условию 1, так и к условию 2.
В условии 1 еыборка аыполняется с еозерашением, следоиательно, вероятность выбора качественной или бракоаанной детали прн любой попытке постоянна,
Р(А,) = Р(А ) = Р(Аз) = Р(А > = 7/10 = 0,7,
так как среди 10 деталей 7 качественных. Соответственно 75А !) = ПАз) = ПЛз) = Р(А4) = 1 — 0,7 = 0,3.
Собьпия Ар А, Аз и Лз независимы, поэтому
Р(А!АзАзА4) = Р(Л!)Р(Лз)Р(Аз)Р(А4) =-(0,7) 0,3 = 0,1029.
Аналогичные преобразования прнаодят к Р(А!А!А!А ) = Р(А,А 4 А ) = Р(А А АзА ) = 0 1029
В условии 2 выборка осушесталястся без,возврашения,
следовательно, вероятность событгш А! зависит от тоггз.. какие
детали бьши изелечены в предыдуших попыткахгт.е. пэбытия
Ан А, Аз, А„И СООтлстетВУЮШНЕ ИМ ПРОтнаОПОЛОжНЫС СООЬПИЯ
зависимы. Поэтому
Р(А А243А4) = Р(Л!) Р(Аз ( А () Р(Аз ! А !Аз) >(Аэ > А!ЛзАз).
Вероятность язэлеченил качественной детали при первой попытке Р(А ) = 0,7. Вероятность иэалечения качественной детади' прзг
!
второй попытке, при услоаии, что в первой попытке извлечена качестиеннал деталь, Р(Аз ) А ) = 6/9, так как в партии осталось 9 деталей, среди которых 6 качестаенньж. Аналогичные преобразования приводят к
Р(Аз)А!лз) = 5/8, ПА4)А!Азлз) 3/7.
Подставляя найденные условные вероятности, получаем >тЛ А А .4„) = (7/10)(6/9)(5/8)(3/7) = 1 '8.
Для других слагаемых Р(А!А А Аа>= Р(Л!> Р(А (А) Р(Л ! Л<Л ) Р(Л4! Л>А Л ) =
(7/10)(6/9)(3/8)(5/7) = 1/8;
Е(А ! Атлучс) = Р(А1) Р(Лз ! А !) гтлз ( А !Аз) Утлэ ! А !Атлз)
(7/10)(3/9)(6 '8)(5/7) = 1;8;
' А!А24344> = Р(А!) Г(Лз ~ Л!) Р(Аз ~ Л Лз> /3Л4 ( А !Лзлз) =
= (3/! 0)(7/9>(6 '8)(5 '7) = 1/8.
>ТРлмеР 3.3. Бросаетсл монетэ до первого иыпадсния "герба".
Определить вероятность того, что монету придется подбрасывать
не менее 5 раз.
Распознанный текст из изображения:
3.4. Формула Байеса
3,3. Формула полной вероятности
Р(Н„(А>=Р(Н) У(А(Н>/Р(А>=
(3.9)
14
Региеиие. Построим проатранство элементарных собьпий Гь Первый возможный исход состоит в том, что "герб" появится при первом подбрасыванииг и, "Г( Второй возможный исход состоит в том, что "герб" появится впервые при атаров! полбрасыванни, а зто значит, что при первом подбрасывании выпала р" щка, иэ — — РГ, Третлглг возможныи исход состоит в том, что "герб" появится впервые при третьем полбрасыванни: и> = "РРГ и тд. Пространство зщментарных собьпий О = ("Г', "!'Г, "РРГ. .> дискретно и счетно, следовательно, лля паетраеиия вероятностного Пространства достаточна определить вероятности элементарных собьпай (слц подреза. 2.2 . Очевидно
>
что ч
Р("Г) = 0,5, Р("РГ) =(0,5)1, Р("РРГ') = (0,5)з,
Сумма вероятностей всех элементарных событий, как и положено,
равна единице
гт а!> ' Р(от) + Низ) л ... = О 5 л (О 5) + (О 5)1 = ... = О 5;(1 — 0 5) = 1
Интересующее нас событие А сосголп в толп что лю нету придется
подбрасывать не менее 5 раз, поэтому 1 =(и, и, о, ...) и
л
Р(А) = (0,5) (0,5) л (0,5)т + ... = ((0,5)1) '(1 — 0,5) = (0,5)4 = 0,0625.
Определение 3.5. События Н, Н', ..., Н образуют полную группу попарно несовместных событий, если опи попарно несовлгестны и их сумма равна достоверному событию:
Н, + Нз + ... 4 Ни = СЬ Н! Н.= !В У! и/
В этолг случае собьпил Нп Н, ..., Н называют гипотещми.
!' 2'"' и
Теорема 3.2. Если известны вероятности гипотез Р(Н) > 0 и условные вероятности некоторого события А относйтвльно гипотез НА(Н), ! 1,2,...,л, то вероятность этогб события может быть найдена по формуле
>(А) = Р(Ц) . Р(А(Н ) + Р(Н) /(А(Н1) л ... + Р(Ни) /(Л(Ни>, (310)
называемой формулой полной вероятности.
Нример 3.4. Имеются две урны 1-го пша, в кюгдой из которых находится 3 белых и 7 черных шаров, три урны 2-щ типа, в калгдой из которых — 4 белых и 16 черных шаров, и пять урн 3-га типа, а каждой из которых — 6 белых и 15 черных шаров. Наугад выбирается урна, а из нее шар. Найти вероятность события А, соатоящего в том, что извлечен шар белого цвещ.
Решение, ПУсть Нг — событие (гипотеза), састоащее В том, что была выбрана урна 1-го типа (1= 1, 2, 3). Найлем вероятность гипотез. Всего урн 2+3+5 = 10; урн 1-го типа 2, следовательно, Р(Н '> = 2/10 = 0,2; урн 2-го типа — 3, поэтому Р', Ц! = 3/10 =.О;3; для урн 3-го типа Р(Н1) = 5/!0 0,5. Так как в урнах 1-го типа из 10 шараа 3 белых, то Р(А ( Н,) = 3/(3+7) 0,3. Аналогична находим Р(А ) Нт) 4/(4+!6) = 0,2; Р(А ( Н ) = 6/(6+9) = 0,4. Подставляя найленнью вероятности в фармуау полной веооятности, получаел!
>(А) = >(Н!) /(А( Н,) + Р(Н1) ° У(А( Н ) ч- Р(Н,) Р(А( Н ) = 0,37.
Так как гипотезы образуют полную группу попарно несовместных событиИ, то прн каждом испытании происходит одна и тояько одна нз гипотез.
Теорема 3.3. Пусть событие А произошло (Р(А)>0). Тогда вероятность того, что при этом произошла и гипотеза Н (й 1, 2, ..., л), определяется по формуле, называемой формулои байеса:
/и
->УН,> Р(А(н,>~ ~ЛН~.Р(А(Н/.
!
Н .1,5. В условиях примера 3.4 извлеченный шар
оказался белым. Определить вероятность того, что он бьщ
извлечен из урны 2-го типа
Рещение. Событие А произошло (извлеченнмй щар — белый).
Вероатность того, что ПРи этом пРоизощаа и гипотеза Нз (выбРана
урна 2-го типа) определяетсд по формуле Байесв
Р(Н ( О 3(У).Р(А(Н)/Р( 03 ° 02/032-
>1ГТР
' ' рй~ Д1й!Об ! ~Я
Распознанный текст из изображения:
4. ПОВТОРНЪ|Е ИСПЫТАНИЯ
Схемой Бернулли называется посдедовательность п независимых испытаний, в каждоьг,из которых некоторое собьпие А наступает с олной и той же вероятностью р = Р(А). Наступление ЕабытЫ И Принято называть успехом, а наступление сабытгщ .4 — .неудачей.,Вероятность.неуаачи в каждом опыте равна 4 = Р(А)т.1.— р.
,Тиарами 4.1. Если провелено л независимых испытаний с вейоятностью успеха (появтення события А) р, то вероятность того, что в этой серии из и испытаний событие А наступит ровно гл раз, вычисляется по формуле Бернулли
Р(т) С т (и — )
тле С"=п(п-!) ...(п-т !)гпд =и!'(т!(и-пб!) — числосочетаи
ннй из л по т (С вЂ” число т-элеыентных подмножеств во ьп~ожестве, состоягпем из и алел~сигов).
Вероятности Рп(т) называююя бщзолпищьными, так как представляют собой члены разложения бинома Ньютона:
(р 4)п = Х С„" рт 41п "'.
г =а
Измеримость означает, что при любом действительном х множество (ы: Ца) <х) приналле;кит алгебре событий А, и, следовательно, определена вероятность Р(ч < х) Р!щ ч(о) < х).
Определение 5.2. Функция Р(х), определенная дла, любого действительного чиода х равенством
1(х) = Р((<х),
(5,!)
называется функцией распрелеленил с.в Е
Функция распределения облздает следующими свойствами;
1) 0 я Р(х) 5 1;
2) Р(х) не убывает, т.е. х < у ю Р(х) в Ну);
3) Р(т) непрерывна слева." Р(х - 0) = Р(т);
4) Н- а) = !пп Р(х) = О, Р(+ т) = Вщ Р(х) = 1;
ты- л
5) Р(ок (<Ь)=Р(Ь) — Р(и).
Определепие 55. Случайная величина ( называется лискрегной, если Мнажество ее значений (х,) конечно Или счетно распрелелением дискретной случайной величины называется совокУпность паР чисел Цхл Р(х,])), где хг — всеВозможные зна щнюг с.в. (, а р(х) = )(Ч =х) — вероятность, с которой с.в. ( принимает
!
значение х При этом
2 р(т,.) = !.
Лркнер 4.1 (см, пример 3.2). Из партии, содержащей !О деталей, из которых 3 бракованные, в случайном порядке последовательно (с возвращениеи) намекаются 4 летали. Найти Вероятность того, па 3 из них окажутся годными.
Ретеггие. Так как выборка осуществляется с возвращением, то результаты испытаний независимы. При каждом испытании вероятность извлечения годной детали (вероятность успеха) р = 0,7, и соответственна д = 0,3. Количество испьпаний и = 4, а нас интересует вероятность того, что число успехов будет равно т = 3. По формуле Бернулли нзходим
Р (3) = Сп (0,7)з (0,3)1 1 и 0,41.
5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
5Н. Распределение случай!пах величии
Олределеиие 5.1. Случайной величиной (с.в.) ч называется любая измеримая числовая функция (=г(и), определенная на пространстве элементарных событий П вероятностного пространства (П, А, Р).
1б
Вероятность попадания дискретной с.в. в любое подмножество
2) числовой прямой вычисллется по формуле
Р(4 е О) = 2„р(х,).
Функция распрелеления дискретной с.в. (
Р(х) = Р(( < х) = д. Р(х ) .
(5.2)
1:х,п»
График функции распределения дискрспюй св. имеет ступенчатый вид со скачками величины р(х) в тачках х1(рис. 5!).
Олредсесггие 5.4. Случайная величина б называсюя непрерывной, если ее функция распределения Р(х) может быль представлена в виде:
17
Распознанный текст из изображения:
М(б) =2 х р(х)
х
Дх) = )Яб д/.
(5.4)
(5.3)
.(5.5)
3 1/32
26/32 ~
д((6) = )/хЯх) д
16/32
б/32
1/32
О
1 2 3 4 5
Рас. 5.!
(5.10)
Фу//кп//я Ях) называется плотностью распределения вероятное~ей непрерывной а;в. Рг
Свойства плотности распределения вероятностей:
!) Ях) Л 0 'т'х е (- а, ь <);
2) )Ях) д 1;
3)/ц( а /)) = )ях) дх, (Юсй~), в частности, р(а < ( < д)
л
Ь
)(а я с я Ь) = )Ях) дх;
а
4) Г'(х) =Ях) всюду, где производная существует,
5.2. Чмсловые характерна/мки случайной величины
Олределеяие 5.5. Математическим ожиданием (средним значением) дискретной с.в. Р называется число
Если множество значений с.в. (х ) бесконечно, математическое
ожилапие является суммой ряда и опрелеляетея в том случае,
когда этот рял сходится абсолютно.
Олределеяие 5.6. Математическим ожиданием непрерывной
с.в. ( называется число
(если несобственный интеграл сходится абсолютно).
Для характеристики рассеивания с.в. около своего математического ожидания вводится'понятие дисперсии.
Определение 5.у. Дисперсией Ю(6) с.в. 6 иазьиается математическое ожидание квадрата отклонения с.в: 6 от своего среднего:
' 2)(6) 'д/!ч-.д((6))з: (5.6)
Для днскретной с,в. дисперсия выражается в виде ауммы
сходящегося ряда
2)($) =,Г (х,. —,Щ))т р(х). (5.7)
l
Для непрерывной с.в. дисперсия выражается значением
сходящегося интеграла
(5.8)
;. ~(х ~(.)зЯх„,
Из формулы (5.6) можно получить более удобную двя
вычислений формулу
))(6) - ду(Й вЂ” ! Ж))2. (5.9)
Определение 5.5. Величина
~(6) = 4%6
называется среднеквалратическим отклонением с,в. Е
Распознанный текст из изображения:
Таа чп 5.1
хе ~'/4, х> О,
О, х< 0.
20
Пример 5ыб Симметричная монета полбрасывается 5 раз. Случайной величиной является количество гл выпадений герба. Найти:
1) распределение вероятностей с.в„
2) функцию распределения о.в. и построить ее график;
3) вероятноогь попадания дакной с.в, в интервал (1,5; 4);
4) математическое ожидание,.дисперсию и среднеквалратическое отклонение с.в,
Решеааш 1. Поставим в соответствие событию (непоявление герба) - число О, собьгппо (появление герба один раз) — число 1, еббытию (появление герба два раза) — число 2 и тл. Такилг образом, на пространстве злелшнтарных событий и построена числовая функция (с.в.) 4, принимаюшая значения О, 1, 2, 3, 4, 5. Для построения распределения вероятностей с.в. ( нужно каждому ее значению поставить в соответствие вероятность, с которой с.в. 4 принимает зто значение.
При каждом подбрасывании симметричной монеты возможны только два исхода и каждый исход имеет постоянную вероятность Р(") ')=0,5 и Р("Р")=0,5. Следовательно, мы илгеем дело с испытаниями Бернулли, и вероятности различных значений с.в.
4 могут быть найдены по формуле Бернулли
Рз(е)= 65 (0,5) (0,5)(5 ег, а=О, 1, ...,5
Результаты подсчета приведены в табл. 5.1.
2. Значение функции распределения Р(х) есть веррягноать того,
что с.в. 4 принимает значение меньше ж Р(х) = Р(б'<х). Найдем
значения функции распределения для различных значений х
1) хя О ю Р(х) =0 (событие (4 <0) невозможно);
2) О<як!ю Р(х) Р(4<х) г(4=0) =!/32;
3) ! < х к 2 ю Р(х) = Р(4 < х) = Р(О = О) ч ЕК 1) 1/22+5г(за=6/32;
4) 2<хк3= У(х) )(( 0)+Р(6=1)ьР((=2)=16/32;
>г 3<хя4 "~Х(х) )Я» 0)ь)(4=1)+ДНЯО 2)-~-гг(6=3) 26/32;
6) 4<хаба>Р(х)=Н4)+Р(4=4) 26/32+5'32=31/32;
7) х > 5 ю Р(х) =! .
при построении графика функции Распределения будем учитывать, что в точкак разрыва она непрерывна слева и поэтому справа от точки разрыва следует поставить стрелки (см. Рис. 5.!).
3, Найдем вероятность попалания с.в. 4 в интернал (1;5; 4). Эту задачу люжно решить двумл способами:
Р(1,5 < б < 4) = Р(( = 2) '- Р(( = 3) =! О/32 а 1О '32 = 5/О
Р(1,5 < ( < 4) = Р(4) — Р(1,5) = 26 '32 — б/32 = 5/8.
4. Для вычисленьи ьгатематического ожидания с.в. 4 восполг;
зуелгся формулой (5.4):
5
Щ) =,), х р(х.) = 2.гггР (т) ЯглР (е) = 2,5.
Для вьпгисления дисперсии воспользуемся формулой (5.9):
Ю(() = М(чг) (М((дг чг тгР (т) — [М(9))г 7 5 (2 5)г ! 25
Среднеквадратическое отклонение в соответствии с (5.10)
а(4) = чгг<6 = 'Й,25 в 1,! 2.
)урииер 5.2. Непрерывная с.в. 9 имеет платность распределения вероятностей
Найти: 1) вероятность попадания с.в. 4 в интервал (1; 3),' 2) функцию распределенгш Р(х) с.в, ( и построить графики функшгй Ях) и Р(х); 3) вычислить математическое ожилание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение с.а. ф
Решеаае. Функцию распределения найдем по' формуле (5,3):
б
Р(х) = !)(О й= ) (1/4)ге гг сгг = ( — ! /2) 1 Ще / ) = (- 1/2)(ге (—
О О
О
х
— /е г"г ау) = 1 — (х/2) е х г — е шг, х> О. о
Распознанный текст из изображения:
80)=Яс '0')))(с '(у)! ),
(6.1)
2е'
м(ч) = )у 80') 4',
х О 2
0 2
(6.3)
Рас. 5.3
У(1 < 6 < 3) И3) — У(1) 0,3515.
М(ч) = )с(х)Ях) сх,
(6.5)
Дисперсия с.в. б
23
22
:из. у
Графики Функций ях) и у(х) изображены на рнс. 5.2
Вероятность попадания с.в. д в интервал (1; 3)
Математическое озощание с.а. С
мй) »хЯх) дх= ~(1/з)хте хгздх
с
Лд>-.МЕЛ-(М(О! .'»()М)~е- тд -Зз-8
о
Среднеквадратическое отклонение с.в. 8 о Г8 2,8. б. ФУНЕЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Если С(х) — дифференцируемал функция, 6 — непрерывнал с.в., то и = с(х) также будет непрерьгвной случайной величиной. Пусгь функции з(х) лвллетсл монотонной и с.в. б имеет плотность распрелеления вероатностей Ях). Тогда с.в. а в(х) имеет плотность распределения веролтностей
где с ~(У) — функция, обратная к Функции с(х). Если у = с(х) — кусочно-монотонная, та плотность сд, 11 л(у) = ХЯсь ~0>) ! К10)! ! (6.2)
где т 1(у) — Функции, обратные к функции ф(х) на каждом участке монотонности, и суммирование ведется по всем участкам мсис. тонности функции С(х).
Математическое ожидание а дисперсию с.в. и вычислшот по Формулам
»)(Ч) = »(У вЂ” М(П))~((У) 4' )Утл(У) 4'-(МРО)З (6.4)
Можно вычислить числовые характеристики с.в, го и не отыскивал плотности распределения 8(у) (используя лишь плотность Ях)):
2)(п) ! (т(х) — М(11))тяк) лх = ! Зт(х) Ях) сх - (М(11))З. (б 6)
Пример б.У..Пусть с.вкй имеет плотность
1
Ях) = екр(- зл/2)/ )2к
и с.в. ц 82. Найти: 1» математическое ожидание и дисперсию с.в. П, использун плотность распределения вероятностей с.в. (;
2) плотность раопрсделснил веролтностей с;в. з); 3) математическоее ожидание и дисперсшо с.в. гь использул найденную плотносп распределении вероятностей с.в. П.
Распознанный текст из изображения:
!!(ч) = М(чт)-(М(ч))2=3- ! =2,
= Д/Жл) ! тт ехр(- тт/2) Аг 1. о
Р(х,у) = Р (х)Р„(у).
24
25
Решение. 1. С помощью.формулы (6.5) находим
М(ч) = )х7 схр(акт/2)/~7л лил = (1,"Г2л) 1- х ехр(- хт/2)! ! +
+ ! ехр(- хз/2)/тйл лАх = тгйл л/'/йл л= 1.
, "Для аычисления дисперсии воспользуемся формуяой (6.6),
предаарительно вычислив М(чт),
м(ч ) = )х ехр(-хт/2)/~2л лАх (1'ч2л) (-хтехр(-хт/2)! ! +
т 3)лз ехр(- хз/2)/т(йл лАх = (3/ттйл л) ~хт ехр(- хт/2) Ах = 3.
Отсюда 2)(ч) = м(п-! — (м(ч))т = 3 — 1 = 2.
2. Для нахолщения плотности с.в. П необходимо выделить интервалы монотонности функции л(х) хт. таких интераала два: (-ьт; О) и (О; + те). На интервале (- ек 0) обратной к функции у хтяаляетсяфункциях=- Гу,анаинтераале(0;+ а)-функция х= Гу. Тогда, согласно (6.2), плотность с.в. л
д(у) =Я-оу) ((-'Гу) (+/(Гу) )(Гу) ! е ут/Г2луу, 0 <ус+ лт
3. Используя платность д(у), по формулам (6.3) и (6.4) найдем
математическое ожидание и дисперсито с.в. тр
М(п) ! у ехр(- у/2)/зт2лу т(у= (1/ т2л) ) Гу ехр(- у/2) т(у = о а
Мч ) = 152 ехр(- у/2)/42лму уАу (2/ч2л) ! Р ехр(- тт/2) т(у = 3 о о
Мы видим, что числовые характеристики с.в. ч, опРеделенные
различными способами, совпадают.
7. СИСТЕМЫ СЛУЧ/тйН(т)Х БЕЛИт!ИН
7.1. Зштоиы распределения системы случайных селичнп
Оттртеделеттие 7.6 Системой даух случайных величин (случайным вектором на плоскости) называется пара измеримых функций ((о) и П(о), определенных на пространстве элементарных собьггий а аероятностного пространства (О,АтР).
Оиределетттта 22. Совместной функцией распределения системы с.а, (бьп) называется фут!кина дяух переьтенных Р(х,у), определяемая равенством
'Р(х,У) )(6 <к, и < 3) Р((б,ц) я (2(х,у)/,
где Д(х,у) — квадрант на' плоскости, правая верхняя вершина которого находится в точке с координатами (х,у).
Квкдая компонента случайного вектора (бщ) является случайной аелнчннай, определенной на (О,А,Р). Распрсдсяеиил с.в.
6 'и ц ныьтвакшся маргинальными распределениями с.в. 6 и ч и обозначаются сдедующим образом: Р(х) н Р (у).
ч
Совместная функщш распределения пары с.а. обладает следующимк саойстаами;
1) О л Р(х,у) < 1;
2) Х(- т, у) = )т(х, — то) = Р(- с, — е) = 0;
3) Р(х,у) — нсубыватощая по каждоьту аргументу;
4) Р(х,у) — непрерывна слеза по каждому аргументу;
5) Р(ьте, 4 с) = 1;
6) У(х, + а) = Р'(х), Р(+ то,у) = Р (у)
Олрет)стет!ил 7,3. Случайные величины 6 и П называются независимыми, если
Распознанный текст из изображения:
Гцл гп
р(х, ) Ь(~ ха ц =у).
27
Опреоелеяие у.е» Ковариацией сот(а,п), или корреляционным
моментом К„, е.в: б и'П называегса число
сот(бц) )(' ' 'М)(б — М(ц)(ч — М(п))] = МОИ М(б)М(п).
Олребеаеяяе 7.5. коэффициентом корреляции р((.п) с.в. г, и называется отношение их ковариация к произведению маргинальных среднеквадратических отклонений:
р = сот(Ь,П)'о,о сот(Г,П)/'(2)(6Ю(Ч).
( ч
Если р =0 (со»(ч,п) =О), то с.в. с и ч называются некорре(ч
лированными.
Свойства коэффициента корреляции:
1) !р(„!к1;
2) если с.в. с и и независимы, то р„„= 0 (обратное неверно);
3) если (Р ( 1,тол = ач+ Ь, причем знаки р н асоападают.
(ч сч
Последнее свойство указывает на то, что коэффициент корреляции отражает степень линейной связи между с.в.
7.2. Система двух дискретных случайных величш~
Овредеаелле у.б. Система с.в. ((ш) называется дискретной, если обе с.в. б 'и и являются дискретными случайными величинами.'
Распределением дискретной системы с,в. (Ь,п) называется совокупность ((хгу)),р(хау)), где (х1,у)) — всевозмолсные значения пары (ь„п), а р(х,,у.) — соответствующие вероятности,
При этом,» р(х„у) = 1.
а
Если глучайные величины с и и принимают конечное число значений, то распределение(с,п) пришпо записывать в табличном виде (табл. 7.1), где одновременно удобно записывать и марпы нальные распределения р( и р„ с.в. б и г).
Вероятность попадания точки (Ь,П) в некоторую область Ю
на плоскости (»Оу) вычисляется по формуле
Р((с„п) е 2)) = х р(х.,уу),
сап(»„,) ° и
В частности,
р(ху) =,'Г р(хлу) (сумма по всем(ну таким, что х<х, у <у).
Для маргинальных функций распредсдения
р(х)=,~ р(х у) (сумма по всем гиутаким, что х <х); рч(у)--2 р(хру) (сумма по всем(и)таким, что у.<у),
Маргннальнме распределения вычисляются по формулам
Р (х)= 2 Р(хлУ~, Р (У.) = 2,Р(х,У).
1 !
Условие независилгостн дискретных сл. С и П принимает вил р(хлу) = р,(х) р„(у~ (1= 1, 2, ..., л;) = 1, 2, ..., т).
Числовые характеристики:
1) математические ожидания
М(ч) = т дт, х р (х) ~ х р(хгу),
! М
Распознанный текст из изображения:
М(п) атаеву)рчЬ)-Ху)р(хгу/),
ь/
(точка (м(,мч) НаъЫаастса центРом Рассеиааниа паРы с.в. (б,п))
2) дисперсии
'.2)(4) о( 2 (хг ис) Р((«Г» = Д (хг и() Р(х у/),
г г,/
2)() 2 ~'Ь „)т»Ь) 2 ( )2
) ь/
3) коаариация и коэффициент кг цнн
(сч) й =Х(х-м)Ь м)р(«у»
4 ) ч г/ г/ г »
4)
4)
Р(ч сот((,Ч)/оеоч;
4) условные распределения:
а) условное распределение с.в. б при условии, что и у,
р (х,)у) Р(б х,~ Ч =у) р(х,у)/р (у), если р (у) е 0;
б) условное распределение с.а. П при Условии, что б ха
р (у ) х) )тч у ) б хй р(х„у~/р (х), если р (х,) е О;
5) Условные математические ожидания:
а) .условное математическое ожидание с.в. б при условии,
что Ч =у„
Щ ! У) = ~, х р (х ( у.);
(урюиер 7.0 Распределение дискретной системы с.а. (б,ч)
приведено в табл. 7.2. Найти: 1) маргинальные распредеамйгя
каждой из с.в. г, и ч; 2) математические ожидания и дисперсии
с.в. с и ч; 3) коаариацию и коэффнциецт корреляции с.а. д и
и; 4) условное распределение сл. 4 при условии, что ч =у», и
условное распрелелсние Ч при Условии, что б = ха! 5) Условные
математические ожилания М(4 ~У!) и МО) ~хэ)
Ре»ление. 1. Найдем марпгнальные распределения;
., р (х ) =р (1),» р(1У) =0 05+0 06+0 09+0,1чО 3;
у
Р (хт) =Р (2) Д, Р(2 У) — О+ 0 1+ О+ О 2 — О 3
Р (хт) =Р((4) = БР(4,У)) 0,15+0„'14+ 0,11+0 = 0,4;
РЬ!) = Р (- 2) = Х Р(ха-2) = 005 + 0 + 015 = 02;
г
Р„Ьт) = р„(0) = Х Р(хаО) = 0,06+ 0,1+ 0,14 = 0,3;
г
РчЬт) =1» (1) =,»,Р(Хр!) =0,09+ О+ 0,11 0,2;
!
Рч(уе) Рч(3) Х 1»(«РЗ) 0 ! + 0 2 + 0 0 3
б) условное математическое ожидание с.а. Ч при услоаии,
что б хл
М(п ~ х» ~ у р (» ( х,).
l
2 определим маргинальные средние и лиепе! ии с.в б и ч: М(4)=т =Х«Р(х) 1 ° 0,3+2 ° 0,3+4 ° 0,4 2,5; г с
Распознанный текст из изображения:
к у
у(т у) 1 1/(и у) Ни гЬ
Рч(3 (4) Р(3,4)/Р„(4) = О/0,4 = О
31
30
ЖЧ)=ма=Бур(уз (-2) ° 02+0 03е! 02е3 03 07; ч /ч/
Щ) м.~д ~. хт р (х,) — (т„) = 1,65
2)(Ч) оз = Ху~ р„Ь) — (юч) 3,21. /
'' 3, Вычислим
-'соу(4/4)=К ХХх,у р(хуу) — т,т =0,73-1,75 -0,98;
! /
Р( =соУЯЧ)/осоч=(-098)/4,65 3,2! -042б.
4. Условный закон распределения с.в. 4 при условии, что
ч=-2:
р(11-2)=р(1,-2)/р (-2) 0,05/0,2 0,25,
с ' ч
р !л1-2) =р(2, -2) 'р (-2) =О/0,2 О,
(
р (4 !72) =/(4, -2)/р (-2) = 0,15/0,2 = 0,75.
ч
Аналогично находим условный закон распределения с.в. ч
при услонии, что 4=4:
рч(- 2 ! 4) р(- 2, 4)/р (4) = 0,15'0,4 = 0,375;
4
р (О ) 4) = р(0,4)/р (4) = 0,14/0,4 = 0,35;
ч ' (
Р (1! 4) = Р(1,4)/р (4) = 0,11/0,4 = О 275
5. Условное математическое ожидание с.в. с при условии,
что ч= — 2:
Л/(~ ~ - 2) Х х, р (х, ! — 2) = 1 0,25 + 2 0 + 4 0,75 = 3,25.
Аналогично вычисляем матеыатическое ожидание с.в. ч:
М(Ч14) =/ у р (у )х) = — О,!75..'
/
7.3. Система двух непрерывных случайных велнчюг
0лредегеггие 7.7. Система с.в. ((щ) называется непрерывной,
если ее совместная функпня распределения /(х,у) представь!ма
а виде:
где/(и, у) называется совместной плотностью распрелелення вероятностей системы двух случайных величин ((,ч).
Свойства плоьюстн распределения:
!) /(ы,у) а 0 чи,ге (-ез, + е);
2) 1,/Яи, у) г/и г/у = 1;
3) /((Ч,Ч) е 2)) = Ц/(цу) г/и гЬ, (/дда);
Ю
4) /(х,у) =87/(х,у)/дхду, всюду, где смешанная частная производная существует.
Маргинальные распределенил и плотности с.в. С и Ч:
г" (х) = тгх, ь ег) =~ /(/(л,у) г(илу, / (х) = г" (х) = /1/(х,у) гЬ,
е '
у
р„(у) = /(+,у) = ~ !Гдл,у) сл Ь, /'(у) = р„'(у) = (//(цу) О .
Условие независимости с.в. ч и ч — /(ху) = Г(х) уч(у), что эквивалентно условию /(х,у) =/((х) / (у) (если плотности сущеч
ствуют).
Числовые характеристики:
Распознанный текст из изображения:
С, если (хрб е )3,
Ях,у) = О, если (х,у) я 2),
)х)3(х,у) ох гф — ге м;
ч'
Р(ч = сот(С.Ч)ге(оч.
в е
фу]х) =3[ху)/3(х), сечку(х) еО
3(х[у) =3[ху)//'„(у), есаи~„'(у) еО.
3 (у) ])[и,у) г(и= ]1/(е-2) г(и=
ч
ь(!+и
33
33
*
М(О) и ):(Г(х) г(х [ )гр(х,у) е]е гО". й
+
. Я([П) т„]33"„(У) г)У [ ])Ях,У) дхф",
2)(Д) от 31(х-т ) г (х) гй 3( 31(х-и )3Яху) г(ге)г,
1 1
33(п) от 3(у-т )~/(у) гф 3 3(у-т )~3[ху) охну;
сот(б,ч) Л' ] ](х- т )(у- и )3(х,у) гйг еу
1 ч
Условная плотность распределения с.в, ч при условии, что ч х,
Аналогично находим условную плотность с.в. Ч при условии, что
("у
Условные математические ожидания:
М(Ч [ х) = М(Ч [ С = «) = ] )у'„(у[ х) еу О (х)
МА[у)-:М(([п=у)-[ЛГЕ(Х[у)4)г и'Ы.
Функция р„(х) [О (у)[ называется регрессией с.в. Ч, на о.в. а
[с.в. Ч на с.в, г) соответственно[. Графики Функций у И (х) и
.ч
я=о (у) на плоскости хОу называкптл линиями регрессии,.
еи Пример 7.2. Система двух с.в. (ч,ч) имеет плоппють
распределения вероятностей
где 23 [(х,у): 0 ах я 1, О куя е"- Ц. Такое распределение называется равномерным в области )3.
' Найти: 1) постоянную С; 2) маргинальюяе плотности распределения кюкдой из с.в. ч и ч; 3) математические ожидания и дисперсии с.в. Ч и Ч; 4) ковариацию и коэффициент корреляции с.в. ( и Ч; 5) условные плотности распрелеления ~~(х[у) и /(у[х); 6) уравнения линий регрессии и построить их графики.
Ремеяее. 1. Постоянная С определяется из свойства плотности распределения вероятностей:
е — Г
1 = ] ]Яиг) Ые дт = С ] г(х ~оУ = С(е ч 2), откуда С = 1 / (е — 2).
2. Марцгнальные плотности вероятностей с.в. ч и ч
+ Р-1
Г(х) ~3[х,г) па= ]1/(е-2) гЬ=(ет-1)I(е-2) при хе [О; ц;
о
[1 — 1п(1+у)]'(е — 2) прн хе [О; е — Ц. '
3. Средние и дисперсии с.в. с и гр
Распознанный текст из изображения:
.> 1
м(О = т = )х/ (х) г(т= ]х(ьх-1)/(е-2) пх 1/[2(е — 2)] 0,691
а
е-1
М(ч) т ~уГ(у) с1у= ]у[1 — !о(! + у)]/(е-2) ау=
ч
а
= [(е - 2)1+ Ц/[4(Е - 2)] 0,521
1
])(4) = ат= ] ха/ (х) сх — (т )1= ! х!(е*- 1)/(е — 2) г]х — 1/[4(е — 2) ]=
а
=[!2ет-52ее53]Ц12(е-2)! О,!1,'
])(Ч) = а = Я (у) г(у - (т ) = ] у![1 -! п(1 + у)!/(е - 2) Пуа
— [[(е-2) + ц/[4(е-2)]) =[(е-1) /3-(е-1)!/2+(е-2)]/[3 (е — 2)]—
— [[(е - 2)! + Ц/]4(е — 2)]~ 0,156.
4. Корреляционный момент
1 Е'- !
сот((/0) = к =)1 31ту)(ху) г!хг)у — т т 11 31«у/(е-2) ох ау- т т =
!« ' !« ! «
а а
=(ет-5)/Ке-2) «Ц/[8(е-2)~] 006.
5. Условные плотности. Условная плотность распределения
с.в. ч прн условии, что 6 = х, /'„(у] х) =)(ху)// (х) = !/(ет — 1), если
у [01 "-ц.
Аналогична находим у~~о~~у~ ила~~~от~ с.в. 6 нрв условии, «то
4=У,
у(х]у)=)(х,ун„'О»= !/[1 -Пг(!+у)], л х [1 И -у) ц.
6. Условныс арелнис:
е -1
(Х) = М(ч ] Х) = ] У/(У ] Х) 1(У = ] [У/(Е" — !)] с!У =
а
=(е"-1)/2 при хе [О; ц;
у
а (у) =МИ]у) =,]ьу'(х[у) Их=
! =,]]х/[1-(о(! +у)]) ~х=
ге(! «у!
='Н -01(!'+у)]/2 при у а [О; е- ц
0 !
уес. 7.1
К ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКГЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
х Графики функций у= а, (х) и х=ас(у) приведены на рнс. 7.1. Особенность рис. 7.1 соатовт в там, что графики линий регрессии являются "среднимн линиями" области ]), что характерно д«я равномерного распределения.
Коэффициент корреляции
р „= К„'а а„0,06/(0,33 0,4) 0,46
(р„О, следовательно, с.в. 6 и 1! эависимы). !«
34
Свойатва математического ожидания с.вл
ц М(с) = с (с салаг)1
2) М(с 6) с М(6);
3) М(6+ 1!) М(Г) + М(Ч);
4) М(6 и) М(О) ° М(п) + Х(ч, где 3~« — корреляционный
момент.
Распознанный текст из изображения:
(3(6 ь Ч) = П(Ц) ° 1)(э)) + 2К,ч
и длл некоррелнрованных с.в
36
Если с в. 6 и ч некоррелированы (в частности, незанисимы), то
ЛГ(6 ч) = Лу(6) . ЛГ(п).
Свойства дисперсии'.
1) 2)(ч) й О;
2) 27(с) = О;
3) 2)(с 6) = с . П(6)
4) 2)(~ 6 ) = ~' 23(6,> 4 г Х К( „, в а
Свойства кавариации:
1) соь(6 о, Ч 4 Ь) = соу(бгй)1
2) соу(а. 4, Ь Ч) = аЬ . соу(8,9).
Сваг(стоу коэффициента корреляции'
Р( ° а,ч + е Рйч(
2) р„„в Ийп(аЬ) р,ы где 8)йп(а) — знак числа а
Прнээер В.у, В услоаиял приьгера 7.1 вычислить математическое
ожилание и дисперсию с в. С = 26 — 30 + 4.
Решелне. Согласно свойству 3 математического ожидания
ЛГ(Г) = 2ЛГ(9) — ЗэИ(й)+ 4 2 0 69 — 3 О 52+ 4 = 3 82,
а согласно свойству 4 дисперсии
2)(С) = 2~2)(6) 4 (- 3)~()(й) + 0 э-2 (2 (-3)соч((гй)4 0 4-0) 4 0,114 9 0,156 — 12 0,06 =0,794 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРЛТУРВ1
1 Заырав ВК,С васмы в ВА, Ча еиааэ ВП Теорня аеропносэ й М. Н ука, 1989 159 с
2 В атв ль Б С Теор>м аетоятностей М Фнзматгнэ, 1962 564 с.
3 Ба аров ПП,Пыщэю АВ Теорна вероятнычей. М Иэв.во РУДН, 1994 172 с.
4 Сборник э лач ло математике. (Дла ьнуэов) Т 3 Специальные «урсьэ Уйфььмовлп ялр М Наука,1984.608с
Огннннвуые
1 Пзэ(о)с)Р(вэнетвээ '~Мьэтнй: ':"."' "' ":: ';.,"."" "", „... 5
р г оу свучайээой величины
С ' 'с,'эк' РВИ мывэуе юй литч'юурсы'..Ьь е йч2 '!' 'т:::~".г"Р"" "'"""""""
Начать зарабатывать