Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Дискретная математикаАрхив шпаргалок для РК и экзаменаАрхив шпаргалок для РК и экзамена 2018-01-10СтудИзба

Ответы: Архив шпаргалок для РК и экзамена

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики ответов (шпаргалок)

Учебное заведение
Семестр
Просмотров
1218
Скачиваний
259
Размер
3,72 Mb

Список файлов

Свойства операций над множествами

Распознанный текст из изображения:

Свонства оверацнн над нножес4ванн

1) АОВ=ВОА;

2) АПВ=ВПА,

3) АО)ВОС) = )АОВ)ОС!

4) АП)ВпС)=)АПВ)ПС;

3) АП)ВОС)=)АПВ)О)АПС);

4) АО(ВПС)=)АОВ)П)АОС),

1) ХОЗ=АПВ;

8) АПВ= АОВ;

9) А О В = А,

10) АПВ=В;

!1) АСС=А;

!2) АСС=С;

13) АОА — С,

14) АПА=В,

13) АОА= А;

16) АПА= А;

12) А=А;

18) А)В=АПВ;

!8) АЬВ=)АОВ)ЦАПВ),

Ю) )АЬВ)ЬС=АЬ)ВЬС2

21) АЬВ=ВЬА;

22) АП)ВЬС) = )АПВ) Ь)АСС)

img007

Распознанный текст из изображения:

Множества

Понятие множества является исходным, для него нельзя дать строгого

математического определения. Множество состоит из элементов, !';

Основоположник теории множеств Георг Кантор, поясняя интуитивную

идею множества, писал: ~':

„Под ... множеством, я понимаю вообще все многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определенных элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое."

Принадлежность элемента ге множеству А обозначается с помощью знака

Е ~„принадлежит"): х Е А.

img008

Распознанный текст из изображения:

Элеыентьг формальной лвгнк»

Ляя сокраогення записи мы булем использовать элементы формальной

логики. оперирующей с высказыванннмв. ".

Вьгсказыаянне это предюжение. которое нпжез быль истинно или ложно

Д»я записи иыскюываний нсполюупзт готические синкопы. г

° Символ Л )коньюикпня) заьгеияст в речи союз „в".

° Символ р )дизьюикпня) — сазов,или". '

° Символ ::ь (импзнкапия) — слова „сслп ..., го"

° Символ Оь — слово,рапносильно".

° Символ — слова „нс". б

Будем шкжс пользоваться кванторами з) )всеобшносги) и Э )существова-

ния).

Равенства мимкеств. Подмножества

Два чнолмсзва А п В считаютсл рввныии, саги любой элемент х нз множества 1 )гс с А) является элементом миажеспю В )х б В) и наоборот:

А = В оз ))гх)ьг и Л со з' б В).

уоаарят, что В есть подмножество множества А, если всякий эземент В есть элемент .4 1)ггх))х с В ю х и А)). Йсггозгьзуютзапись: В С А. Символ С пазьгвают симеоном «квюченвя. 1

бели В С А, но В и' А, зо пишу~ В с А, п В называют строгим, или собственным иоливожеством множесзва з1, а симвоя С вЂ” еимаоюм строило «ключевп».

Пустое множества есп. подмножество любого множества, те.

)з)А))гб С А),

н собственное падиножсство любого непусюго множества.

img009

Распознанный текст из изображения:

Теоретико-множественные операнин

Дла любых двух множеств А н В определены новые множества, называемые обьедипением, пересечением, разностью и симметрической разностью. 1

° АО — — )л ) э' Е АУн б В) — обьслинение А и В есть множество

всех таких .г,, что т «влвется элементом хотя бы одного из множеств

А. В;г,

° АйВ == (т ~ к б Адг Е В) — пересечение А и В есгь множсство

асах таких х, что з' — олноврсменно элемент А и элемент В;с

° А ~ В = (з:)х б А д х ф В) — разность А н В есть множества

всех таких х, что э --элемеат А, нонс элемент В г.г ф В); з

° А Л В = (А ~ В) а (В г, А), асимметрнчсскав разность А и В—

множество всех эаких х, что к — элемент А, но пе элемент В пли

х — элемент В,но не элемент А .

Удобно рассматривать все множества как подмножества некоторого универсального множества В. В этом случае можно оггрегзелгпь дополнение мнмкеетвв А:

А = )к~к ф А)..:

Дополнение А состоит из всех элементов универсального множества гг,

«старые ие явлюотся элементамн множества А . У

Другимнсловамн А =. В'гА. В общем случае разность В~А,тле А ~ В

называют дополненислг множеспа А до множества В .

img010

Распознанный текст из изображения:

Свойстве теорецгке-множественных операций

Введенные операции над чножсствамн, обладают следующими свойстюьги.

2) ЛГ) В = ВГ)А

а)АВ()зсс) =(Асв)сс

Метод щрактеристическпх функций

Харвлырнстическан функции 1» мнюкества 4 С В, гле В унивсрсалыкю множество, есть фупкциа, отображающее универсальное чно кестен С в лвухэламситнае ьгножоство (О. 1) .

) 1, если «б А.

( О, сслп т й А.

Справедливы следующие равенства;

(в) 1 (г)' =- й»(')В

(б) т».а(т) = Х»(г))в(г) б

(в1 й»ов(т):: Д»гэ) ' До(л) — Д»(т)йв(,.г1;г

(г) х В«):= 1 — й г(л) .

Хараюсристнческис функции множеств ноюогцют докаэыв«гь теоретнкочножесиенныеюждоства

Метод харакгсрисгических функпий лонююсаьотва тсоретиюиножествснного тождества эаклгочается в аычнслсани характеристические фунюгигг обеих его истой.

Гождсс! во верно тогда и тольао тогдк когда эти фун клан совпадают.

1) ЛОВ =- ВО»!

3)»! О (В ' С) =- (.4 ' В) О С

3) А Гт)ВО С) = (А В В) О (АГ1С)

б) А О (В 1Ч С') =- (А О (3) С (.4 О С)

7) А '.! В =- А Г) В

9) А О ю = А

11) А Г) С -- А

!3) А О А = ГГ

15) А О А =: А

!7).4 = А

М) А В В = (А О В) г, (А Г) В)

81 А АГэ В = А О В

! О) А Г! ю = з

12)АОВ=В

14) А Г'. А =. Ю

16) А!14.= А

1В) А 'г В = А Г! В

img031

Распознанный текст из изображения:

ОТНОШЕНИЯ И СООТВЕТСТВИЯ

1. Основные определения

Определение ЗЛ. и -арным (или и -местным ) отношением

н( ин((я(сотнях А(,..., А„, на(ынаст(я пззо(гзн(зп(н(х' подмны!пс11ю (3

дскарто(м пр(жзнед('шы А, х... х Л„:

НСА, х...хЛ„.:.

В гнктн(етп. ПРП Р = Е ПОД1"(аеи НУСтОЕ ОТНОШЕНИЕ, а ПРП

р (онпядаюпяы (о всем уыиянпым д(юцлоным пронзведенжм

универсальное отношение

Вя кнып нитный гпучай попузяем прн и =- '1 тогда шяорят о

соответствии из множества Л( в множество Ая.,"

Ес.зп Л, .=- Аз — — ... =. А„, =.- А, то р называют и -арным отношением на множестве А, прп п =. 2 попу ыеи бинарное отношение на множестве А

img032

Распознанный текст из изображения:

Рассмотрим более подробно соответствия и бнпорныс отношения Лаос соответствие эта множества упорядо ннснык пвр. Например, егли А = Й' сясножсство денствнтсльных пнзл), то быанрное отношение нв Ж' . это лессага)хк. множество 10 !ск плоскити 2

Определение 3.2. Область определения соответствия из множестве А, в множества Аг р С А, х А — ж ть множество

'Рхсд) =- сх )ДУ Е Агсгссг, У) Е Р) г

Область значения соответствия р зто множс ство

Я~Ф = Ь Нбх б АсНх, у) б д) "

Из олрсдсления вытеки г, что ьсс,'р) С А,, сссг6а) С Аг -."!

СЪответствссе явзыввкзг всюду определенным., если гсср) =- Ас

Определение 3.3. Сс сснысм ссоатвегствия р дзя фньснроввннога

х с А, называют множество

рсх) = 'су ! 'сх.у) Е р).

img033

Распознанный текст из изображения:

2. Операции над соответствиями

Поскольку соответствия являются множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т.д.) применимы и к соответствиям. Однако для соответствий можно определить специальные операции: композицию соответствий и получение обратного соответствия 1

1) Композиция соответствий.::

Если р С А, х Ае, о. С Аг х А,, то композиция (произведение)

соответствий р и а есть соответствие рог, определяемое как

Р о т = 1(х, Я) ~ (ЭУ)((х, У) Е Р) Л ИУ, -) Е а)1.~:

Пример 2. Соответствие р берем из предыдущего примера. а соответствие п С 11, 2, 3, 4)' зададим непосредственно как множество пар и = ((1,2), (1,3), (3,4)1.':

Задание. Построить граф композиции р о и.

img034

Распознанный текст из изображения:

Коьсссозсссси«з отношении с самим содсзй вшывают квадратом отно-

шении

Определение 3.4. Отношение к) с = ((«, х) ) Е А) называют

диагонапъю множества А

Снойетва композидиис

с ц р о (о о т) = (р о о) о т.

(2) роЗ=З»Р= О,

(3) р о (о СЗ т) =- р о и О р о т, с

(1) ро (о ССт) Е ро о ус рот

(равенство в обще«с случае не имеет места')

(сд) росс(а = к)вор = р, где РС Ав . Езснарссоеотнашеша на А

Рассмотрим доказательство свокства (1) Используем метод двух

вкпюченид „.

Псразе вклкс инно.

(«, «) ер о (о о тА~ Яу)(((«, у) е р) Л ((у, ) Е и о ти м:

=" (пзу)(Зт) И(«, у) е р) л (((ссл й е ст) л ((д «) е т))) ~ в

-' (пуйзс)((((г, у) е Р) л ((сл 6 е и)) л ((д «) е т)) м з

~ (пг)(((«г) е ран) л ((г «) е т)) =ь «

~ («,«) Е (роо)

Второе вклю'к ние

(«,«) европ) от ы (ег)(((г, с) е ров) л ((с,«) е т)) м

м (Зу)91)((((« у) е р) л ((уй е а)) л ((т, «) е т)) ю '

м (Зу)(Эг)(((и, сс) е р) л (((у. О е о) л ((е «)» т))) м с

М (Ну)(((т,ус Е р) Л ((у,«) Е о т)) М

(««) Е р О (о О т).

img037

Распознанный текст из изображения:

отношкния и соотвктствия

Специальные свойства

бинарных отношений

Бинарное отнопзенза р С Аа называется .',

Ц рефлексивным. если (Чг Е Аах. и) Е р),

тс. )я С р

2) иррофлексннным, есле (ух Е А)((х, х) т р),

те, нзаезр =: СЛ,

3) симметричным, если (ухяу)((та у) Е р =.а (у, х) Е р)

т' Р '=-РА

-)) антисимметричным, если

(Чхуу)(((а: у) Е р Л (:у, и) Е р) — (т = у)).

т.е. РО р ' С н)а (в лестности, и. б., лто ре р ' =- я !).'

Эквивалентное определение.

(ахи) ((х, У) е Р л х т- У) ~ ((У., х)) а Р):!

img038

Распознанный текст из изображения:

5) транзитивным, сслп

ФвЮ~вНйя р) р д ~ р я~ 6 Гг) =в ГГг .1 Е рБ ':

те. рсрС р. а

6г плотным. если

РГтГрИИв М 6 р~ ЯвИ~яФх1д~лФд~лйт,гз 6гг) Л(Гя,Ф Е ГзБ

Бинарное отношение называется:

Г) эквивалентностью, сслв оно рсфлекснвно. сик.к1стр~гшо я

тр,гнзптивно:

2) толерантностью, если опо рефлексивно н симметрично. ',

3) порядком Гни частичным порядком), если оно рефлезгнвно,

антнснммегрнзно н транзнтивнор

Ц предпорядком Гялгг квазипорядком). осли оно рефлексивно и

транзитнвно„:.

5) строгим порядком, если оно иррсфлсггсшзно. ан пк вмметрпзно н

граызггтзгвпо:

6) строгим предпорядком, если оно нррвфлексивно н транзитивно,".'

Боворят , отношение эквивалентности, толерантности. порядка, пред-

порядка .,'и т.п

img043

Распознанный текст из изображения:

Индексированное семейство множеств ~В;)„у называется разбиением множества А, если:

1) 0В,=

~с!

2) если г ~ э', то В; Г~ В, = Я::

Таким образом, разбиение множества А зто семейство попарно не пересекающихся подмножеств А., объединснис которых равно А.:: Например, множества [О, 1/3), [1/3,2/?) и [2/3,1) образуют разбиение отрезка [О, 1] .

Теорема. Любое отношение эквивалентности определяет однозначно пекоторос разбиение данпого множества и обратно, любое разбиение множества однозначно определяет некоторое отношение эквивалентности на нем.."

img045

Распознанный текст из изображения:

Полугруппы и группы

Пусть на множестве А определена бинарная операдия, обозначаемая е Определение 7Л. Бинарная опсрапня а называется;:,,:

)) ассоциатавной, если ддя любых т, у „- ~нар) я=хе~рва);

2) коммутативиой, если для любых х, у

л е ф =- П е х:

3) илемнотентной, если для гпобого т

img049

Распознанный текст из изображения:

Определение 7.5. Полуцэуппа называстс» мапопдом, сали в ней существует нейтральный элемент относи шльна операции (етгиггпгга).) Пример 75. а) Алгебра ~ 2'. ()) является ыоноидом, поскочьку операция О ассоциативна и Π— ие(пральиьш элсмегп относительно онерапии объединения множсстн. б) Множество всех бинарных отношений н» множестве .1 с операцией композиции булет монондом, поскольку операция композиции оннарвых отношений ассоциативна (гр о г) оп .=- р а '(г о о)), а единицей служит диагональ п)ч (н!гор = р о Ыл = р)д Задача 5. Пусть .4 = (.г„р,, ) — ыножсс~во букв, а А" — множество всех азов, которые можно состав~гть нз этих букв с повторениями. Конкатенмгггей двух алов называется слово, полученное их .сжгеиванием", например гзд + рлззг .= ггтррллг. Пустое слово обозначагот Л. Показать, что

(А', -:) — моноид.

Определение 7.5. Элемент й множества А называегс» ясным (правым) ябратиыьг к ээемегпу л относительно данной операции, если р *,г = 1 гз * у = 1). 'Элемент у, который является одновременно левым и правым обратным, называется ггросго обратным к т относптелыю данной эпсрацпи.

Опрелелепие 7.7. Монокл называется группой. если в нем для кажного

элемента существует обратный.

ейобы проверить. что гшгебра (А, * ) является группой, нужно—

П проверить ассодиативность операции гга множестве А; )

2) найти элемент мвожества А — единицу отвосительна операции

3) убедиться, что для каждого эленеюа из,4 сушествуег образный..

Полугрупда (в частности, грушга) называешн поммутативной (абелевой).

соли сс операция комиупппвна.

img051

Распознанный текст из изображения:

7.1. Региеиие уравиевеие в группах

img053

Распознанный текст из изображения:

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

Циклические полугруппы и группы

Определение 8.1.

В поп)труппз ',А, *) и, -я степень элемента а егггь згюмснт ь'— '-: — " 'з

и раз

а=2,3,... -:

Если (А,*,1) . моноид, то вводят пудовую степень а" = 1.

Если (А, ем 1) —. группа, то дпя любого элемента а вводят отрипатепьную ~теионь согласно равенству: а ' = (а ')" и, = 1,2.... (Отрипатеаьвэя степень элемента а группы есть попожнтеаьн,1я степень элемента, обратно!в я а .) ':

Свойства степеней

Утверждение 8.1.

!) Лпя пязбой попугруппы а'" * ау =- а '": (а")"' =- а"'" (т. и б И) .

2) пая любой группы а " = !а") ' (и Е И), а," з а" =-. а"""

(т,п б Е)

img054

Распознанный текст из изображения:

Определение 8.2. !1опугрз пну (гришу) (Л, *) называют пикнической, если ш"ществует твкои зпсмент а, гго лкйой элемент :с полэтруппы (грзппы) «впяется нокотори (ценой) спепеззью эдемецтв и Элемент а нвзывьвзт образующим элементом полугруппы '(группы)

Замечание. П1ш зддитцвной форме звшюи вместо а" пишут и а. Пример 1. и) !)опзтруззив (((, т, 0) - цикинзоскья, с обр,жюощим элементом 1

Гзсиуя опредозению В 1. подучим б 1 = б 1

авды 1 1=1з2 1=1-1-1=2 итд

11пя произвольного и имеем

и, 1=.~~,. т =и,.'.

рвз

б) Грз'ппа (Уо. щм 1) цнкли веская с (ябзразующнм з.жментом 2 1 Лействитс"льна дпя 2 ю.осм 2о = 1.:2' .= 2 узз =

"2" =- 2 г1з 2' — — 2 Зз 4 = 3 . )2' =. 2 Рз 3 = 1

Порядком конечной группы вкзыввют количегтж сс ззементов Аде)записная группа аьз ~сизов по модулю 1 имеет порядок 1с Группа аодсшаиоеоя Я„есть группа ос рядка п! .. й!уяьптпязскаглпоиая еруппа еызстов гьо жос(уяю р (р - простое пнпо!) нмжт порядыс р — 1

Определение 8.3.

Гру:пгг Х =- (Н, з. ', 1) называют подгруппой группы (С,, ',1).сопи

Н ать попмпожощво С . жыкнутое относитщьно операции ь. 1 же(аквшес едпшщу 1 группы и э

и вщты г кв.ьдым злемюггом х б Н содерзкюце" злеысгп обратный к я

Определение 8.4.

(!одгруппу группы й, задвинь ю на зсноже~ з не вссх отепснеи фикстйюванного элемента а, ивзыввют циклэзческой подгруппой грузшы а, порожденной элементом а

img055

Распознанный текст из изображения:

Пусть Д = ГС, Н 1~ -- еруппа, а 'Ц = ГН, э,!) . сс подврутта Определение 8,8. Левым смежным классом подгруппы Я по элементу а е С наэывавэт множество

аН = ~ГГ)у = а *6, Ь б Н'у.':.

Соответственно, правый смежный класс подгруппы 'Н по элементу п Е С это ьпгожссгво Па = (у ~ у =- й * и, 6 Е ПГ Задача 2. Найти ясный смюкный класс оЧ пиьлиэескои подгруппы 'Н с обраэуюипгм элементом 6 = 4 мультнплнкативпой группы У;, по элементу и = 3

Теорема 1. ~Лагранж) Порядок нонниной группы делится на порядок

любой ее подгруппы.

img056

Распознанный текст из изображения:

Кольца. Поля. Решение СЛАУ

Определение В.б. Кольпо зто алгебра с двумя бинарными н двумя

нульарпымп оиорациямн

такса !то:::

Ц алгебра (22, +,0~ комиттзпивная группа;:.

2~~ алгебра (и, ь Н вЂ”. ьюнонд,

3) имеет тюгто дистрпбутивногть операдии н- (сложения кольца) относительно операции ~уз|поженив кольца)

а ° (бес)=-о, 6~о с, (бес) а=6 пес об

Операцию -~- пазыва|от сложением кольца, '' умножением кольца, элемент 0 — нулем кольца, элемент 1 — — единицей кольца.

Определение В.Т. Кольцо называют коммутативным. еслп

операция умножения в нем коммутатииы

img057

Распознанный текст из изображения:

Пример 2.

е~ Ллгебра ГК. ', .О, 11 есть коммутатниное кольцоЗ

б) Ллгебра 1И, ';.,0,1~ кольцом не будет, поскольку (М, <-)

татианый моноид, ио нс Пзуппад

б)Л б1

комму-

Определение 8.8. Нснулепы~ злементы а н Ь кольца гь назыпаюз

делителями нуля. если а б = О '.

ж, =: ЯО.1,У,....~ — 1),бм,ебыО,Ц

(при й > 1ь аддитианая группа которого ость аддаглиатая еруппа выметав ао модули 1с;й операция ушиокення по иодулзо 1с определена

гнелопгчно сложснгпо по ыодулкз 1с, зсс л~ сб 71 раино остатку от

леления на 1с *пыла т л,есть коммугатнаног кольцо. Гго иазылсип кольцом вычетов по модулю Ф

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг-
0
0
0
0
0
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее