Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Линейная алгебра и аналитическая геометрияВопросы к РКВопросы к РК 2013-09-28СтудИзба

Вопросы/задания: Вопросы к РК

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики вопросов/заданий

Учебное заведение
Семестр
Просмотров
2019
Скачиваний
875
Размер
1,8 Mb

Список файлов

1

Распознанный текст из изображения:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

';? ь? ь' с' е Х б/2» Ц

( ?г'уЗсзля?С. ? 1 -'? з я Вопросы и задачи.

аттестация М1

Е Линейные пространства. Базис и

размерность линейного пространства.

!. Сформулируйте аксиомы линейного пространства. Убедитесь, что множество матриц размера т х и образует линейное пространство.

2. Дайте определение размерности и базиса линейного пространства. В пространстве К' заданы векторы: 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ' 1 ' 1 ' 0

ая —— аз = а4 =

1 0 1 О Образуют лп они базис?

3. Сформулируйте правило: а) умножения вектора на число; б) сложения векторов, задшшых своими коорди ватами в некотором базисе.

— 1 0 0 В линейном пространстве заданы базис е~ = 0; ез = 2, ез —— 0

1 — 1

0 и вектор а = 0 своими координатами в некотором базисе. Найдите коорди-

3 наты вектора а в базисе (е, ея ез).

4. Чему равна размерность линейного пространства. состоящего из решений системы линейных однородных уравнений". Как связаны между собой понятия: а)базис линейного пространства решений и фундаментальная система решений; б)размерность линейного пространства решений и ранг матрицы системы.

5. Какую матрицу называют матрицей перехода от одного базиса линейного пространства к другому?

2 2 — 1 Является ли матрица 1 — 3 2 матрицей перехода от одного базиса трехмер-

2 — 3 ного линейного пространства к другому его базису?

б. Дайте определение базиса .линейного пространства. Сформулируйте теорему о разложении вектора по базису.

0 0 2 В пространстве х~ задала система векторов 6~ — — 1: й = 3: йз — — 0

— 1 0 0

Докажите, что зта система векторов является базисом. Чему равны координаты вектора ио, — Ооз в базисе ~ ~ 'э

2

Распознанный текст из изображения:

П, Евклидовы линейные пространства.

7. Лайте определение евклидова линейного пространства. Выясните, является ,пи линейное пространство всех квадратных матриц второго порядка евклидовым от/ ац и1я носительно операции (А, В) = ацбм+а1з51з+а,Ы,+а збзз, где А = ~

~, азз аз ('

В ц 12

8. Что понимают под: а) евклидовой нормой: б) углом между двумя векторами

в евклидовом пространстве" .Обосновать корректность этих понятий.

9 Лайте определение ортогональности двух векторов евклидова пространства.

1 2 0

— 1 0 6

Убедитесь, что в К' а1 —— , ия — — . из ——

я

— 2 ' ' — 1 ' — 2

2 — 2 1

ортогональных векторов. Является ли эта система векторов линейно независимой .'

— система

10. Лайте определение ортонормированного базиса. Запишите для вычисления в ортонормированном базисе; а) формулу скалярного произведения; б) формулу евклидовой нормы: в) выражение координат вектора через скалярное произведение.

П1. Линейные операторы.

11. Лайте определение линейного оператора. Покажите. что в хшожестве всех

матрип второго порядка умножение слева любой матрицы этого пространства па

/! з'!

матриду есть линейный оператор.

12. Лайте определение матрицы линейного оператора. Сформулируйте правила; а! умножения линейного оператора на число: б) сложения операторов; в) умножения операторов, заданных своими матрицами.

13. Лайте определение матрипы линейного оператора. Запишите матрицу линейного оператора, действуюшего в пространстве ~'з, — оператора проектирования на плоскость хор в базисе г, з, кэ

14. Лайте определение матрицы линейного оператора. Запишите правило преобразования матрицы линейного оператора при переходе к другому базису. Линей-

— 18 15

— 22 15 . Найдите -25 22

!

ный оператор в оазисе (е1 ез ез) имеет матрицу А = — — 1

!

матрицу этого оператора в базисе 11 — — Зея, Уя = 2ез: !з = 8е1

15. Лайте определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора. Сформулируйте правила их нахождения.

Пусть линейный оператор действует в трехмерном линейном пространстве. Запизпите характеристический многочлеп линейного оператора в базисе е' = (е1 е', ез), если в базисе е = (е1 ез ез! характеристический многочлен имеет вид Лз — 4йз+5й+2.

.ашейные операторы Б евклидово."! Прост1занстве

3

Распознанный текст из изображения:

16. Дайте определение самосопряженного оператора. Сформулируйте свойства

собственных значений и собственных векторов самосопряженпого оператора.

Линейный оператор в некотором ортонормированпом базисе имеет матрицу

3 0 — 1

А = Π— 2 1 . Можно.пи утверждать, что оператор самосопряженный? — 1 1 0

17. Дайте определение ортогонального линейного оператора (преобразования).

Линейный оператор в некотором ортонормировапном базисе имеет матрицу

3 4 0

— 4 — 3 О . Можно ли утверждать, что оператор является ортогональным' ? 0 0 5

Какую ыатрицу называют ортогональной? Перечислите ее свойства

18. Изложите схеыу приведения симметрической матрицы к диагональному

виду с помошью ортогонального преобразования.

|У. Квадратичные формы.

19. Запишите: а) квадратичную форму от и переменных; б) матрицу квадратичной форх|ы: в) квадратичную форму в матричнох| виде.

Представте матричную запись квадратичной формы Зж,'+Злз+4тьтз+4хпвз — 2хят, от трех переменных.

20. Как преобразуется матрица квадратичной формы при переходе к другому базисуз

Изложите схему приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

21, Дайте определение ранга квадратичной формы. Зависит ли ранг от выбора базиса.'

Найдите ранг квадратичной формы 2хпвз от трех переменных. Чему равно число отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде?

22. Дайте определение: а) положительно определенной формы: б) отрицательно определенной формы. Сформулируйте критерий Сильвестра. Является ли положител|,но определенной квадратичная форма 4х', + 2х',+ 3х',+ 2х,тя + бх|хз?

23. Запишите уравнение второго порядка от трех переменных в координатной и матричной формах.

Квадратичная форма в уравнении второго порядка от трех переменных является по.ложительно определенной. Какую поверхность может описывать данное уравнение'?

24. Запишите уравнение второго порядка от трех переменных в координатной и матричной формах.

Квадратичная форма в уравнении.второго порядка от трех переменных является отрицательно определенной. Какую поверхность может описывать данное уравнение?

4

Распознанный текст из изображения:

1. Задан базис е,. ез, ез. Найти координаты вектора х в базисе если 1~ — — е~ + е + ез,, ~з = — ез+ Зез .~з = — е~ — ез+ бхз, х = е~ + Зев + 5ез

2. Применив пропесс ортогонализации к системе векторов 1;: уя: 1з, построить ортонормированный базис линейной оболочки этой системы, если

2 8 — 2 — 1 — 1 5 — — 5

1 — 2 9 3. Найти все собственные числа и собственные векторы линсйного оператора,

— 4 1 — 2 заданного в некотором базисе своей матрицей 1 — 4 — 2

— 2 — 2 — 1

4. Квадратичную форму 4х~~ + 16х~ + 4х~~ + 16х~хз — 8хзхз — 15хяхз привести методом Лагранжа к каноническому виду. Указать соответствуюгцее преобразование координат.

5. Квадратичная форма в некотором ортонормированном базисе имеет вид 5х'-, -~- 5х~ ~+ 5хзз — 8х,хз + 8х,хз — 8хяхз. Найти ортонормированный базис. в котором эта квадратичная форма имеет канонический вид, и записать ее в найденном базисе.

6. Для кривой второго порядка 10хз — 12ху + буз — 4х + 8у — 8 = 0 найти каноническую систему координат, записать каноническое уравнение, определить тип кривой. Сделать чертеж.

Вопросы ко 2 аттестации

Распознанный текст из изображения:

1курс 2сем. "

ФНП" для спец. ИУ, РЛ, БЪ?Т.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К АТТЕСТАЦИИ Ха2.

1. Дать определения окрестности в Ус", открытых и замкнутых множеств в К". Привести примеры таких множеств. Дать определения линейно связных множеств. Дать определение области в яс . Привести примеры.

2. Дать определения предела и непрерывности функции нескольких переменных,

3. Записать свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом

множестве в К".

4. Дать определение частных производных функции нескольких переменных. Их геометрическая интерпретация. Сформулировать теорему о равенстве смегпанных частных производных.

5. Дать определение дифференцируемости функции нескольких переменных. Сформулировать необходимые условия и достаточное условие дифференцируемости ф.н.п.

б. Дать определение дифференциала функции нескольких переменных. Сформулировать свойство инвариантности формы первого дифференциала.

7. Дать определение неявно заданной функции нескольких переменных. Сформулировать теорему о неявной функции. Записать формулу для производной функции у(т), заданной уравнением

8, Дать определение производной по направлению. Градиент функции нескольких

переменных и его свойства.

9. Дать определения касательной плоскости и нормали к поверхности г'(х,у,з) = О.

Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностям Г(т,у, -) =- 0 и

1 (х. 7/).

10. Записать формулу Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным

членом в форме Пеано. Сформулировать теорему Тейлора.

11. Дать определение экстремума функции нескольких переменных. Сформулировать необходимое условие эстремума. Сформулировать достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

12. Дать определение условного экстремума функции двух переменных. Записать

функдию Лагранжа. Сформулировать необходимое условие условного экстремума.

13. Дать определение условного экстремума функции двух переменных. Сформулировать достаточное условие условного экстремума.

Картинка-подпись
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг5,00
0
0
0
0
1
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
456
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее