FEM_lecture_10 (Лекции в Power Pointe)

2015-08-22СтудИзба

Описание презентации

Файл "FEM_lecture_10" внутри архива находится в папке "Лекции в Power Point'e". Презентация из архива "Лекции в Power Pointe", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "численные методы в интроскопии" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "численные методы в интроскопии" в общих файлах.

Просмотр презентации онлайн

Текст из слайда

Численные модели в интроскопии
10. ЗАДАЧА ВИХРЕТОКОВОГО КОНТРОЛЯ

Численные модели в интроскопии
Вихретоковый неразрушающий контроль основан на анализе
взаимодействия переменного электромагнитного поля,
создаваемого катушкой с током,
с электромагнитным полем вихревых токов,
наводимых в объекте контроля этим полем.
Распределение и плотность вихревых токов определяются
источником поля, геометрическими и электрофизическими
параметрами объекта контроля,
а также
взаимным расположением источника поля и объекта

Численные модели в интроскопии
10.1 Уравнения для задачи анализа поля
Подставляя выражение для векторного потенциала
B A
в уравнение Максвелла
получаем
 E 
B
t
 A 
E  
.
 t 
Может быть добавлена составляющая, равная
ротору градиента скалярной функции (потенциала),
как величина, тождественно равная нулю.
В этом случае уравнение принимает вид
 A

E  
 V
 t

Численные модели в интроскопии
Напряженность электрического поля определяется
через производную по времени векторного потенциала
и градиент скалярного потенциала
E 
A
 V
t
Для задачи вихретокового контроля характерно
Гармоническое (синусоидальное) возбуждение
и линейность свойств материала
A
t

jA
  V

E   jA

  V

E  jA
все переменные E , A , V  - комплексные значения

Численные модели в интроскопии
Второе уравнение Максвелла

D



H J S  J e 
t
D E 
  V

E  jA

J e E
1
  J  J  j - V

 - j A
 A
s
e





Уравнение может быть преобразовано,
используя двойную операцию ротора.
При этом предполагаем, что 
- кусочно-постоянная функция координат

Численные модели в интроскопии
Уравнение для гармонически изменяющегося во времени поля







  2 A
 J    V
  j - V

 - jA
 - jA
 A
s

  2 A
  J  V
  jV

 + jA
 -  2 A
  A
s
При решении большинства задач вихретокового контроля
часто пренебрегают током смещения.
Кроме этого, используют соотношение Лоренца для
определения дивергенции
  jV

 A
Нередко пренебрегают и членом

V

Численные модели в интроскопии
Подставляя все эти упрощающие соотношения, получаем
наиболее характерное уравнение вихретокового контроля
  J  jA

2 A
s
  2A
  2A

 2A

 2  2  J s  jA
2
x
y
z
Это векторное уравнение с комплексными переменными –
координатными составляющими векторного потенциала
и вектора плотности тока источника

Численные модели в интроскопии
10.2 Формулировка задачи для метода конечных элементов
Выражение для полной энергии электромагнитного поля
в заданной области может быть записано следующим образом
 we  wm  wd  wi dv
F  
V
we - плотность запасенной электрической энергии,
wm - плотность магнитной энергии,
wd - плотность энергии рассеяния (за счет вихревых токов)
wi - плотность энергии внешних (сторонних) источников

Численные модели в интроскопии
Выражение для энергии электромагнитного поля
в задаче вихретокового контроля


F  A  
H dB   jA dA  J dA dv
V
B
A
A
плотность энергии имеет вид
f =  x Bx dBx  y By dBy  z Bz dBz jAx dAx jAy dAy 
 jAz dAz  J x dAx  J y dAy  J z dAz
удельное магнитное сопротивление
 1 

Численные модели в интроскопии
Плотность энергии по объему можно записать в форме
1
j
f=
2
 B H  
2
 A A  
J A
Раскрывая скалярные произведения векторов, получим
B H  x B x2   y B y2   z B z2
J A J x Ax  J y A y  J z Az
A A  Ax2  A y2  Az2
составляющие вектора магнитной индукции имеют вид
Az A y
Bx 

y
z
A x A z
By 

z
x
A y
A x
Bz 

x
y

Численные модели в интроскопии
A j
A jk 
k
Обозначив
получим для энергетического функционала
  x  Azy  Ayz  2  y  Axz  Azx  2  z  Ayx  Axy  2  
1 
 dv
F  A  
  j 2


2
2
2 
Ax  Ay  Az   J x Ax  J y Ay  J z Az   
V 

2

 


Чтобы проверить эквивалентность этого функционала
решаемому дифференциальному уравнению в частных
производных, подынтегральное выражение
(плотность энергии f )
подставляется в соответствующее уравнение Эйлера

Численные модели в интроскопии
Уравнение Эйлера выводится при условии,
что в стандартной вариационной форме функционал
представим в виде
F  A 
f  x, y, z, Ax , Ay , Az , Axx , Ayy , Azz , Axy , Axz , Ayz , Ayx , Azx , Azy dxdydz
V
Ax
A

(например, x y
y ).
Чтобы выполнить условие стационарности (устойчивости)
этого функционала (достижение им минимального значения),
первая его вариация должна быть приравнена нулю, то есть
f
f
f
f
f
 f

Ax 
Ay 
Az 
Axx 
Axy 
Axz  

Ay
Az
Axx
Axy
Axz
 Ax

F  A 
dxdydz 0
 f

f
f
f
f
f
V 

Ayx 

Ayy 

Ayz 

Azx 

Azy 
Azz 
 A
Ayy
Ayz
Azx
Azy
Azz
 yx

Численные модели в интроскопии
Используя очевидное соотношение
f
f 

A jk 
A j 
A jk
A jk k
получаем
 f

f
f

F  A   Ax 
Ay 
Az dxdydz 
 A

Ay
Az
x
V 

 f 

f 
f 

Ax  
Ax  
Ax   dxdydz 
 
 A x
Axy y
Axz z
xx
V 

 f 

f 
f 




 
Ay  
Ay  
Ay   dxdydz 
 A x

Ayy y
Ayz z
yx
V 

 f 


f


f


Az  
Az  
Az  dxdydz 0
 
 A x
Azy y
Azz z
zx
V 

Численные модели в интроскопии
 f

f
f

F  A  
Ax 
Ay 
Az dxdydz
 A

Ay
Az
x
V 

   f
   f
   f
 
 





 

A


A


A
x
x
x  dxdydz 
 A
 A
 A


x

y

z
 xx

 xz
 
V 
 xy

   f 

  f 
  f 
 





A


A


A
x
x
x dxdydz 









x  Axx 
y  Axy 
z  Axz 
V 

   f 

  f 
  f 





  
Ax 
Ax  
Ax dxdydz 






x  Axx 
y  Axy 
z  Axz 
V 


   f
   f
   f

 
 
Ay   
Ay   
Ay  dxdydz 
 y  A
 z  A

 
V  x  Ayx

 yy

 yz

   f 





 
Ay    f Ay    f Ay dxdydz 
 
 x  Ayx 

y  Ayy 
z  Ayz 
V 



   f
   f
   f
 



  
Az  
Az  
Az  dxdydz 
 A
 z A


x

A

y
 zz
 
 zx

V 
 zy

   f 
  f 
  f  



Az dxdydz 0
  
Az 
Az  




x  Azx 
y  Azy 
z  Azz  
V 

Численные модели в интроскопии
Второй, четвертый и шестой объемные интегралы
могут быть преобразованы с использованием
теоремы Грина по формуле
Qdv 
Qds

V
S

Численные модели в интроскопии
 f

f
f

F  A  xˆ
Ax  yˆ
Ax  zˆ
Ax ds 
 A

Axy
Axz
xx
S 

 f

f
f

ˆ
ˆ
ˆ
 x
Ay  y
Ay  z
Ay ds 
 A

Ayy
Ayz
yx
S 

 f

f
f

 xˆ
Az  yˆ
Az  zˆ
Az ds 
 A

Azy
Azz
zx
S 

 f
  f 
  f 
  f  


Ax 
Ax dxdydz 
  Ax 
Ax  



Ax
x  Axx 
y  Axy 
z  Axz  
V 
 f

  f 
  f 
  f 

  Ay 
Ay 
Ay 
Ay dxdydz 
 Ay

x  Ayx 
y  Ayy 
z  Ayz 
V 

 f
  f 
  f


Az 
  Az 

Az
x  Azx 
y  Azy
V 


Az    f
 A


z
 zz



Az dxdydz 0


Численные модели в интроскопии
Поскольку вариации Ax Ay Az
независимы друг от друга во всем объеме,
последние три интеграла должны рассматриваться отдельно
и каждый из них должен быть приравнен нулю.
Таким образом, получаются три уравнения Эйлера
f
  f    f    f 






 0
Ax x  Axx  y  Axy  z  Axz 
f
  f    f    f 

 

 

 0

Ay x  Ayx  y  Ayy  z  Ayz 
f
  f    f    f 

 




 0
Az x  Azx  y  Azy  z  Azz 

Численные модели в интроскопии
Подобным же образом должны быть приравнены
нулю и первые три интеграла, как независимые друг от друга.
Они определяют граничные условия на поверхности S
 f
f
f 
 x
 ds 0
 y
 z
Axy
Axz 
 Axx
 f
f
f 
 x
 ds 0
 y
 z
Ayy
Ayz 
 Ayx
 f
f
f 


 x
 ds 0
y
z
Azy
Azz 
 Azx
Эти последние три соотношения определяют естественные
граничные условия задачи - однородные граничные условия
Неймана (нулевые производные по нормали к границе)

Численные модели в интроскопии
Запишем отдельные составляющие уравнений Эйлера,
например,






f
 f
 f
 f







 0


Ax x  Axx  y  Axy  z  Axz 
используя выражение
  x  Azy  Ayz  2  y  Axz  Azx  2  z  Ayx  Axy  2  
1 


F  A  
  j 2
dv

2
2
2 

Ax  Ay  Az    J x Ax  J y Ay  J z Az   
V 

2

 

Численные модели в интроскопии
Различные составляющие имеют вид
f
f
f
 J x  jAx ,
 J y  jAy ,
 J z  jAz
Ax
Ay
Az
f
0 ,
Axx
f
0 ,
Ayy
f
  z Bz ,
Axy
f
 y By ,
Axz
f
  x Bx ,
Ayz
f
  y By ,
Azx
f
0
Azz
f
 z Bz
Ayx
f
 x Bx
Azy

Численные модели в интроскопии
После подстановки этих выражений в
f
  f    f    f 

 




 0
Ax x  Axx  y  Axy  z  Axz 
оно принимает вид
J x  jAx 




B

 y By  0
 z z

y
z
или, переставляя члены и записывая
B
через A


 z  Ayx  Axy     y  Axz  Azx    J x  jAx
y
z


Подобным образом получим


 z  Azy  Ayz  
 z  Ayx  Axy   J y  jAy
z
x






A

A

 z  Azy  Ayz



y
xz
zx 
x
y


 J
z
 jAz

Численные модели в интроскопии
Поскольку полученные выражения идентичны
исходному дифференциальному уравнению
  J  jA

A
s
2
найденная точка стационарности энергетического
функционала (то есть соответствующее распределение
векторного потенциала в расчетной области)
будет полностью удовлетворять полевому уравнению
в рассматриваемом объеме

Численные модели в интроскопии
Как уже упомянуто ранее, вариации Ax Ay и Az
произвольны и поэтому три объемных интеграла
должны быть приравнены нулю независимо.
При этом условии должны выполняться равенства
f
0
Axx
f
 z Bz 0
Ayx
f
0
Ayx
f
0
Azx
f
  y By 0
Azx
Таким образом, чтобы удовлетворить этим уравнениям,
B y и Bz должны равняться нулю вдоль границы S.
Естественные (типа Неймана) граничные условия:
Btan gential 0

Численные модели в интроскопии
10.3 Вывод выражений для конечно-элементной матрицы
Чтобы вариационные выражения были
эквивалентны исходному уравнению поля,
необходимо выполнение условия стационарности для
соответствующего функционала.
Это достигается дифференцированием выражения для
функционала по отношению к неизвестным и приравниванием
этих производных нулю для всех неизвестных в области решения,
то есть
F  A 
0 , i 1,2 ,3... N ; k  x , y , z
Aki

Численные модели в интроскопии
Вместо того, чтобы реализовывать эту процедуру сразу
по всей области, удобно сделать это последовательно
для каждого элемента, а затем просуммировать вклады
каждого отдельного элемента для получения 3 N
линейных алгебраических уравнений с 3 N
неизвестными компонентами векторного потенциала
во всей области решения

Численные модели в интроскопии
Производные функционала принимают вид
 Az

 Az Ay
 Ay Ax
 Ax






x
y
 y x A y


z

A

z

z

A

z
ki
ki
ki


 Az

 Az Ax
 Ax Ay
 Ay
y

z

z




x

A

x

y

A

y

y

A

x
ki
ki
ki



F  A 
  Az Ay 
  Ax Az 
  Ay Ax  
 x

   y

  dxdydz 0


  z
Aki
Aki  y z 
Aki  z x 
Aki  x y  
V 



A

A

A
y
x
  jA

 jAy
 jAz z
x


Aki
Aki
Aki



A
Az
y
  J Ax  J


J
x
y
z


Aki
Aki
Aki

Численные модели в интроскопии
Рассчитав производные по формулам, приведенным выше,
и подставив вместо векторного потенциала соответствующее
аппроксимирующее выражение через функцию формы
A x, y, z   N i  x, y, z  A i
в результате для каждого узла элемента получаем
следующие подматрицы
 N i N j N i N j 

dxdydz
S 3i  2,3 j  2 
z

y
y
y
z
z 
Vi 
 N i N j N i N j 

dxdydz
S 3i  1,3 j  1 
x

z
z
z
x
x 
V 
i
S 3i , 3 j
 N i N j N i N j 

dxdydz

x

y
y
y
x
x 
Vi 

Численные модели в интроскопии
 N i N j 

dxdydz
S 3i  1,3 j  2  
z
x
y 
Vi 
 N i N j 

dxdydz
S 3i ,3 j  1  
x
y
z 
Vi 
 N i N j 

dxdydz
S 3i ,3 j  2  
y
x
z 
Vi 
R3i  2,3 j  2 R3i  1,3 j  1 R3i ,3 j 
N i N j dxdydz
Vi
Q3i  1 
J y N i dxdydz
Q3i  2 
J x N i dxdydz
Vi
Q3i 
J z N i dxdydz
Vi
Vi
где индексы i, j изменяются от 1 до M , а все коэффициенты
симметричны относительно диагонали

Численные модели в интроскопии
Каждый коэффициент в этих выражениях получается
либо численным интегрированием с использованием
квадратур Гаусса (например, для гексаэдрального элемента),
или аналитически (для тетраэдрального элемента),
а затем коэффициенты объединяются в глобальную
элементную матрицу, имеющую вид
  S   j  R   A  Q
S
действительная часть элементной матрицы
 R
мнимая часть
 Q
вектор источников

Численные модели в интроскопии
Заметим, что в задаче магнитного контроля в статическом
или стационарном поле будет использована лишь
действительная часть глобальной матрицы, а вектора
 A и  Q действительны.
В этом случае матричное уравнение примет вид
 S   A  Q
В этой постановке магнитная восприимчивость  1 / 
может изменяться в пространстве, в то время как
электропроводность предполагается постоянной в каждом
элементе. Электропроводность может также пространственно
изменяться, если ввести ее компоненты в мнимый коэффициент
вместо умножения мнимой части матрицы

Численные модели в интроскопии
Ряд обзорных замечаний:
- Выражение для энергетического функционала должно
быть сначала выведено, а затем проверено на
корректность,
то есть на соответствие уравнению Эйлера
- Этот функционал либо непосредственно отражает
энергетическое состояние системы, либо связан
с этой энергией, то есть является энергозависимым
- Граничные условия Неймана являются естественными
и не требуют специального определения
- Точка стационарности функционала определяется
обращением первых производных функционала
по каждой переменной в нуль
- Получаемая система уравнений симметрична

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее