Численные модели в интроскопии
10. ЗАДАЧА ВИХРЕТОКОВОГО КОНТРОЛЯ
Численные модели в интроскопии
Вихретоковый неразрушающий контроль основан на анализе
взаимодействия переменного электромагнитного поля,
создаваемого катушкой с током,
с электромагнитным полем вихревых токов,
наводимых в объекте контроля этим полем.
Распределение и плотность вихревых токов определяются
источником поля, геометрическими и электрофизическими
параметрами объекта контроля,
а также
взаимным расположением источника поля и объекта
Численные модели в интроскопии
10.1 Уравнения для задачи анализа поля
Подставляя выражение для векторного потенциала
B A
в уравнение Максвелла
получаем
E
B
t
A
E
.
t
Может быть добавлена составляющая, равная
ротору градиента скалярной функции (потенциала),
как величина, тождественно равная нулю.
В этом случае уравнение принимает вид
A
E
V
t
Численные модели в интроскопии
Напряженность электрического поля определяется
через производную по времени векторного потенциала
и градиент скалярного потенциала
E
A
V
t
Для задачи вихретокового контроля характерно
Гармоническое (синусоидальное) возбуждение
и линейность свойств материала
A
t
jA
V
E jA
V
E jA
все переменные E , A , V - комплексные значения
Численные модели в интроскопии
Второе уравнение Максвелла
D
H J S J e
t
D E
V
E jA
J e E
1
J J j - V
- j A
A
s
e
Уравнение может быть преобразовано,
используя двойную операцию ротора.
При этом предполагаем, что
- кусочно-постоянная функция координат
Численные модели в интроскопии
Уравнение для гармонически изменяющегося во времени поля
2 A
J V
j - V
- jA
- jA
A
s
2 A
J V
jV
+ jA
- 2 A
A
s
При решении большинства задач вихретокового контроля
часто пренебрегают током смещения.
Кроме этого, используют соотношение Лоренца для
определения дивергенции
jV
A
Нередко пренебрегают и членом
V
Численные модели в интроскопии
Подставляя все эти упрощающие соотношения, получаем
наиболее характерное уравнение вихретокового контроля
J jA
2 A
s
2A
2A
2A
2 2 J s jA
2
x
y
z
Это векторное уравнение с комплексными переменными –
координатными составляющими векторного потенциала
и вектора плотности тока источника
Численные модели в интроскопии
10.2 Формулировка задачи для метода конечных элементов
Выражение для полной энергии электромагнитного поля
в заданной области может быть записано следующим образом
we wm wd wi dv
F
V
we - плотность запасенной электрической энергии,
wm - плотность магнитной энергии,
wd - плотность энергии рассеяния (за счет вихревых токов)
wi - плотность энергии внешних (сторонних) источников
Численные модели в интроскопии
Выражение для энергии электромагнитного поля
в задаче вихретокового контроля
F A
H dB jA dA J dA dv
V
B
A
A
плотность энергии имеет вид
f = x Bx dBx y By dBy z Bz dBz jAx dAx jAy dAy
jAz dAz J x dAx J y dAy J z dAz
удельное магнитное сопротивление
1
Численные модели в интроскопии
Плотность энергии по объему можно записать в форме
1
j
f=
2
B H
2
A A
J A
Раскрывая скалярные произведения векторов, получим
B H x B x2 y B y2 z B z2
J A J x Ax J y A y J z Az
A A Ax2 A y2 Az2
составляющие вектора магнитной индукции имеют вид
Az A y
Bx
y
z
A x A z
By
z
x
A y
A x
Bz
x
y
Численные модели в интроскопии
A j
A jk
k
Обозначив
получим для энергетического функционала
x Azy Ayz 2 y Axz Azx 2 z Ayx Axy 2
1
dv
F A
j 2
2
2
2
Ax Ay Az J x Ax J y Ay J z Az
V
2
Чтобы проверить эквивалентность этого функционала
решаемому дифференциальному уравнению в частных
производных, подынтегральное выражение
(плотность энергии f )
подставляется в соответствующее уравнение Эйлера
Численные модели в интроскопии
Уравнение Эйлера выводится при условии,
что в стандартной вариационной форме функционал
представим в виде
F A
f x, y, z, Ax , Ay , Az , Axx , Ayy , Azz , Axy , Axz , Ayz , Ayx , Azx , Azy dxdydz
V
Ax
A
(например, x y
y ).
Чтобы выполнить условие стационарности (устойчивости)
этого функционала (достижение им минимального значения),
первая его вариация должна быть приравнена нулю, то есть
f
f
f
f
f
f
Ax
Ay
Az
Axx
Axy
Axz
Ay
Az
Axx
Axy
Axz
Ax
F A
dxdydz 0
f
f
f
f
f
f
V
Ayx
Ayy
Ayz
Azx
Azy
Azz
A
Ayy
Ayz
Azx
Azy
Azz
yx
Численные модели в интроскопии
Используя очевидное соотношение
f
f
A jk
A j
A jk
A jk k
получаем
f
f
f
F A Ax
Ay
Az dxdydz
A
Ay
Az
x
V
f
f
f
Ax
Ax
Ax dxdydz
A x
Axy y
Axz z
xx
V
f
f
f
Ay
Ay
Ay dxdydz
A x
Ayy y
Ayz z
yx
V
f
f
f
Az
Az
Az dxdydz 0
A x
Azy y
Azz z
zx
V
Численные модели в интроскопии
f
f
f
F A
Ax
Ay
Az dxdydz
A
Ay
Az
x
V
f
f
f
A
A
A
x
x
x dxdydz
A
A
A
x
y
z
xx
xz
V
xy
f
f
f
A
A
A
x
x
x dxdydz
x Axx
y Axy
z Axz
V
f
f
f
Ax
Ax
Ax dxdydz
x Axx
y Axy
z Axz
V
f
f
f
Ay
Ay
Ay dxdydz
y A
z A
V x Ayx
yy
yz
f
Ay f Ay f Ay dxdydz
x Ayx
y Ayy
z Ayz
V
f
f
f
Az
Az
Az dxdydz
A
z A
x
A
y
zz
zx
V
zy
f
f
f
Az dxdydz 0
Az
Az
x Azx
y Azy
z Azz
V
Численные модели в интроскопии
Второй, четвертый и шестой объемные интегралы
могут быть преобразованы с использованием
теоремы Грина по формуле
Qdv
Qds
V
S
Численные модели в интроскопии
f
f
f
F A xˆ
Ax yˆ
Ax zˆ
Ax ds
A
Axy
Axz
xx
S
f
f
f
ˆ
ˆ
ˆ
x
Ay y
Ay z
Ay ds
A
Ayy
Ayz
yx
S
f
f
f
xˆ
Az yˆ
Az zˆ
Az ds
A
Azy
Azz
zx
S
f
f
f
f
Ax
Ax dxdydz
Ax
Ax
Ax
x Axx
y Axy
z Axz
V
f
f
f
f
Ay
Ay
Ay
Ay dxdydz
Ay
x Ayx
y Ayy
z Ayz
V
f
f
f
Az
Az
Az
x Azx
y Azy
V
Az f
A
z
zz
Az dxdydz 0
Численные модели в интроскопии
Поскольку вариации Ax Ay Az
независимы друг от друга во всем объеме,
последние три интеграла должны рассматриваться отдельно
и каждый из них должен быть приравнен нулю.
Таким образом, получаются три уравнения Эйлера
f
f f f
0
Ax x Axx y Axy z Axz
f
f f f
0
Ay x Ayx y Ayy z Ayz
f
f f f
0
Az x Azx y Azy z Azz
Численные модели в интроскопии
Подобным же образом должны быть приравнены
нулю и первые три интеграла, как независимые друг от друга.
Они определяют граничные условия на поверхности S
f
f
f
x
ds 0
y
z
Axy
Axz
Axx
f
f
f
x
ds 0
y
z
Ayy
Ayz
Ayx
f
f
f
x
ds 0
y
z
Azy
Azz
Azx
Эти последние три соотношения определяют естественные
граничные условия задачи - однородные граничные условия
Неймана (нулевые производные по нормали к границе)
Численные модели в интроскопии
Запишем отдельные составляющие уравнений Эйлера,
например,
f
f
f
f
0
Ax x Axx y Axy z Axz
используя выражение
x Azy Ayz 2 y Axz Azx 2 z Ayx Axy 2
1
F A
j 2
dv
2
2
2
Ax Ay Az J x Ax J y Ay J z Az
V
2
Численные модели в интроскопии
Различные составляющие имеют вид
f
f
f
J x jAx ,
J y jAy ,
J z jAz
Ax
Ay
Az
f
0 ,
Axx
f
0 ,
Ayy
f
z Bz ,
Axy
f
y By ,
Axz
f
x Bx ,
Ayz
f
y By ,
Azx
f
0
Azz
f
z Bz
Ayx
f
x Bx
Azy
Численные модели в интроскопии
После подстановки этих выражений в
f
f f f
0
Ax x Axx y Axy z Axz
оно принимает вид
J x jAx
B
y By 0
z z
y
z
или, переставляя члены и записывая
B
через A
z Ayx Axy y Axz Azx J x jAx
y
z
Подобным образом получим
z Azy Ayz
z Ayx Axy J y jAy
z
x
A
A
z Azy Ayz
y
xz
zx
x
y
J
z
jAz
Численные модели в интроскопии
Поскольку полученные выражения идентичны
исходному дифференциальному уравнению
J jA
A
s
2
найденная точка стационарности энергетического
функционала (то есть соответствующее распределение
векторного потенциала в расчетной области)
будет полностью удовлетворять полевому уравнению
в рассматриваемом объеме
Численные модели в интроскопии
Как уже упомянуто ранее, вариации Ax Ay и Az
произвольны и поэтому три объемных интеграла
должны быть приравнены нулю независимо.
При этом условии должны выполняться равенства
f
0
Axx
f
z Bz 0
Ayx
f
0
Ayx
f
0
Azx
f
y By 0
Azx
Таким образом, чтобы удовлетворить этим уравнениям,
B y и Bz должны равняться нулю вдоль границы S.
Естественные (типа Неймана) граничные условия:
Btan gential 0
Численные модели в интроскопии
10.3 Вывод выражений для конечно-элементной матрицы
Чтобы вариационные выражения были
эквивалентны исходному уравнению поля,
необходимо выполнение условия стационарности для
соответствующего функционала.
Это достигается дифференцированием выражения для
функционала по отношению к неизвестным и приравниванием
этих производных нулю для всех неизвестных в области решения,
то есть
F A
0 , i 1,2 ,3... N ; k x , y , z
Aki
Численные модели в интроскопии
Вместо того, чтобы реализовывать эту процедуру сразу
по всей области, удобно сделать это последовательно
для каждого элемента, а затем просуммировать вклады
каждого отдельного элемента для получения 3 N
линейных алгебраических уравнений с 3 N
неизвестными компонентами векторного потенциала
во всей области решения
Численные модели в интроскопии
Производные функционала принимают вид
Az
Az Ay
Ay Ax
Ax
x
y
y x A y
z
A
z
z
A
z
ki
ki
ki
Az
Az Ax
Ax Ay
Ay
y
z
z
x
A
x
y
A
y
y
A
x
ki
ki
ki
F A
Az Ay
Ax Az
Ay Ax
x
y
dxdydz 0
z
Aki
Aki y z
Aki z x
Aki x y
V
A
A
A
y
x
jA
jAy
jAz z
x
Aki
Aki
Aki
A
Az
y
J Ax J
J
x
y
z
Aki
Aki
Aki
Численные модели в интроскопии
Рассчитав производные по формулам, приведенным выше,
и подставив вместо векторного потенциала соответствующее
аппроксимирующее выражение через функцию формы
A x, y, z N i x, y, z A i
в результате для каждого узла элемента получаем
следующие подматрицы
N i N j N i N j
dxdydz
S 3i 2,3 j 2
z
y
y
y
z
z
Vi
N i N j N i N j
dxdydz
S 3i 1,3 j 1
x
z
z
z
x
x
V
i
S 3i , 3 j
N i N j N i N j
dxdydz
x
y
y
y
x
x
Vi
Численные модели в интроскопии
N i N j
dxdydz
S 3i 1,3 j 2
z
x
y
Vi
N i N j
dxdydz
S 3i ,3 j 1
x
y
z
Vi
N i N j
dxdydz
S 3i ,3 j 2
y
x
z
Vi
R3i 2,3 j 2 R3i 1,3 j 1 R3i ,3 j
N i N j dxdydz
Vi
Q3i 1
J y N i dxdydz
Q3i 2
J x N i dxdydz
Vi
Q3i
J z N i dxdydz
Vi
Vi
где индексы i, j изменяются от 1 до M , а все коэффициенты
симметричны относительно диагонали
Численные модели в интроскопии
Каждый коэффициент в этих выражениях получается
либо численным интегрированием с использованием
квадратур Гаусса (например, для гексаэдрального элемента),
или аналитически (для тетраэдрального элемента),
а затем коэффициенты объединяются в глобальную
элементную матрицу, имеющую вид
S j R A Q
S
действительная часть элементной матрицы
R
мнимая часть
Q
вектор источников
Численные модели в интроскопии
Заметим, что в задаче магнитного контроля в статическом
или стационарном поле будет использована лишь
действительная часть глобальной матрицы, а вектора
A и Q действительны.
В этом случае матричное уравнение примет вид
S A Q
В этой постановке магнитная восприимчивость 1 /
может изменяться в пространстве, в то время как
электропроводность предполагается постоянной в каждом
элементе. Электропроводность может также пространственно
изменяться, если ввести ее компоненты в мнимый коэффициент
вместо умножения мнимой части матрицы
Численные модели в интроскопии
Ряд обзорных замечаний:
- Выражение для энергетического функционала должно
быть сначала выведено, а затем проверено на
корректность,
то есть на соответствие уравнению Эйлера
- Этот функционал либо непосредственно отражает
энергетическое состояние системы, либо связан
с этой энергией, то есть является энергозависимым
- Граничные условия Неймана являются естественными
и не требуют специального определения
- Точка стационарности функционала определяется
обращением первых производных функционала
по каждой переменной в нуль
- Получаемая система уравнений симметрична