Определение внутренних сил (Определение внутренних сил в стержневых систе), страница 5
Описание файла
PDF-файл из архива "Определение внутренних сил в стержневых систе", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "сопротивление материалов" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 5 страницы из PDF
38, а) и D (рис. 38, б). Рассматриваем сечения, бесконечно близкие к узлу, поэтому сумму моментовзаписываем относительно любого сечения вырезанного узла:dz 0;M x 0;11ql 2 ql 2 ql 2 0.22Рис. 3840Пример 4.2. Для рамы (рис. 39) построить эпюру изгибающихмоментов.Решение1. Определяем реакции опор.
Обозначим участки рамы цифрами от 1 до 5, а узлы и сечения в опорах — буквами. Для определения реакции опор используем три уравнения равновесия длявсей рамы и условие равенства нулю суммы моментов от всехвнешних сил относительно врезанного шарнира (в сечении D) длялевой части рамы (рис. 40):M A 0; Fl 2 Fl RB 2l 0;Fz 0; RA RB 0;Fy 0; H A F H B 0;M Dлев 0;Fl RA l H A 2l 0.Рис. 39Рис. 40Решая эту систему уравнений, находимRB 3351F ; RA F ; H A F ; H B F .224441Проверка найденных реакций:M C 0;531 F 2l Fl 2 Fl F 2l F 2l 0.4242.
Строим эпюру изгибающих моментов. Уравнения равновесия отсеченных частей показаны на рис. 41–45.Рис. 41Рис. 4442Рис. 42Рис. 43Рис. 45Первый участок (см. рис. 41): 0 z1 l ;M x 0;5M x1 F z1 0;45F z1 , функция M x1 — линейная функция координа45ты z; при z1 = 0 M x1 0, при z1 = l M x1 Fl.4Второй участок (см. рис.
42): 0 z2 l ;M x1 M x 0;5M x 2 F z2 F l z2 0;451Fl F z2 , функция M x 2 — линейная функция ко4453ординаты z; при z2 = 0 M x 2 Fl , при z2 = l M x 2 Fl.42Третий участок (см. рис. 43): 0 z3 2l ;M x2 M x 0;53M x3 Fl F 2l F z3 0;4233Fl Fz3 , функция M x3 — линейная функция коор223динаты z; при z3 = 0 M x3 Fl , при z3 = l M x3 0, при z3 = 2l23M x3 Fl.2Пятый участок (см. рис. 44): 0 z5 l ;11M x 0; M x5 4 Fz5 0; M x5 4 Fz5 , функция M x5 —линейная функция координаты z; при z5 = 0 M x5 0, при z5 = lM x3 1Fl.4Четвертый участок (см. рис. 45): 0 z4 l ;M x5 43M x 0; M x 4 2 Fl 1F l z4 0;471M x 4 Fl Fz4 , функция M x 4 — линейная функция ко4473ординаты z; при z4 = 0 M x 4 Fl , при z4 = l M x 4 Fl.42Эпюра изгибающих моментов изображена на рис.
46.Рис. 46Пример 4.3. Для рамы (рис. 47) построить эпюру изгибающихмоментов.Решение1. Рама внешним образом не закреплена, находится в равновесии под действием внешних сил. В качестве реактивных факторовопределим горизонтальную X и вертикальную Y реакции в шарнире C (момент в шарнире равен нулю). Для этого разрежем раму пошарниру C.
Неизвестные реакции X и Y в шарнире в этом сеченииопределим из условия равенства нулю суммы моментов от всехвнешних сил в шарнирах А и В для частей рамы АС и ВС (рис. 48):M AAC 0;441ql 2 Y 2l 0; Y ql ;2M BBC 0;11Xl ql l 0; X ql.22Рис. 47Рис. 482. Строим эпюры изгибающих моментов. Рассматривая условия равновесия отсеченных частей, определяем уравнения изгибающих моментов на каждом участке (рис. 49–53).Рис. 49Рис. 50Рис.
51Первый участок (см. рис. 49): 0 z1 2l ;M x 0;11 M x1 qz1 z1 ql z1 0;2211M x1 ql z1 q z12 , функция M x1 — квадратичная функция22координаты z.45Рис. 52Рис. 53Параболу строим по трем точкам: границы участка и сечение,в котором парабола имеет экстремум.Границы участка:при z1 = 0 M x1 0, при z1 = 2l M x1 ql 2 .Исследуем функцию M x1 ( z1 ) на экстремум, для этого приравняем к нулю первую производную функции момента M x1 :dM x111ql qz* 0; z* l — вершина параболы; при22dz111z* l M x1 ql 2 .82В качестве контроля вычислим момент при z l (сечение B,где врезан шарнир):при z l M x1 0.Второй участок (см.
рис. 50): 0 z2 l ;M x 0;1M x 2 ql z2 0;21M x 2 ql z2 , функция M x 2 — линейная функция коорди21наты z; при z2 = 0 M x 2 0, при z2 = l M x 2 ql 2 .2Третий участок (см. рис. 51): 0 z3 l ;46M x 0;1M x3 ql 2 ql l z3 0;211M x3 ql 2 ql z3 , функция M x3 — линейная функция ко221ординаты z; при z3 = 0 M x3 ql 2 , при z3 = l M x3 0.23Четвертый участок (см. рис.
52): 0 z4 l ;2M x 0;11M x 4 ql 2 ql 2l ql z4 0;22111M x 4 ql 2 ql 2l ql z4 ; M x 4 ql z4 , функция M x 4 —2223линейная функция координаты z; при z4 = 0 M x 4 0, при z4 l23 2M x 4 ql .41Пятый участок (см. рис. 53): 0 z5 l ;2M x 0;1ql 3M x5 2ql z5 ql 2 ql 2l l z5 0;22 211 3M x5 2ql z5 ql 2 ql 2l ql l z5 ;22 23 2 3ql ql z5 , функция M x5 — линейная функция ко4231ординаты z; при z5 = 0 M x5 ql 2 , при z5 l M x5 0.42На шестом участке эпюра изгибающих моментов линейная, поэтому соединяем прямой линией эпюру от сечения N до сечения K.Эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 54.M x5 47Рис.
54Пример 4.4. Для рамы (рис. 55) построить эпюры изгибающихмоментов.Решение1. Определяем опорные реакции (рис. 56):M B 0;RA 2r Fr 0; RA 1F;21M A 0; RB 2r Fr 0; RB 2 F ;Fz 0;Рис. 5548 H A F 0;H A F.Рис. 56Проверка найденных реакций:M D 0; RA r RB r H A r 0;11Fr Fr Fr 0.222. Строим эпюру изгибающих моментов.Первый участок (рис. 57): 0 z1 r ;M x 0;1Fz1 , функция M x1 — линейная2функция координаты z; при z1 = 0 M x1 0,M x1 Рис.
571Fr.2Второй участок (рис. 58): 0 z2 r ;при z1 r M x1 M x 0;1Fr , функция M x 2 — постоянная.2Третий участок (рис. 59): криволинейнаячасть рамы, 0 ; находим функцио2нальную зависимость изгибающего моментаот угла φ:M x2 Рис. 58M x 0;1M x Fr sin F r r cos ;2при = 0 M x 0, при 11M x Fr Fr Fr.222Рис. 5949Эпюра M x — нелинейная.Для ее правильного построения исследуем функцию момента M x на экстремум, для чего вычислимпервую производную от этой функции и значение угла * , при которомпроизводная равна нулю:dM x Рис.
60d1 Fr cos * Fr sin * 0;2* 63 30' ;12при * = 6330' M x * Fr 0,895 Fr 1 0, 446 ; M x 6330' 0,618Fr.Эпюра моментов представлена на рис. 60.Пример 4.5. Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов для рамы, представленной на рис. 61.Рама — плоско-пространственная.Заделка в сечении А накладывает шестьсвязей, и реакции в ней могут бытьнайдены из шести уравнений равновесия. Однако вычислять их, чтобы определить внутренние силовые факторы,нет необходимости, так как метод сечений можно применять, отсекая частирамы от ее свободного конца.Рис.
61РешениеОбозначим участки рамы, как показано на рис. 61.Строим эпюры изгибающих и крутящих моментов.На каждом участке вводим местные системы координат: ось z,как обычно, является продольной, положение осей y и x для построения эпюр может быть произвольным, однако для дальнейшихрасчетов они должны быть главными центральными осями текущих поперечных сечений. Эпюры строим по участкам, используя50те же приемы, что и для плоских рам.
Для каждой отсеченной части составляем уравнения равновесия:M x 0; M y 0; M z 0.Первый участок (рис. 62): 0 z1 l ;M x1 Fz1 , функция M x1 — линейная функция координаты z; при z1 = 0 M x1 0, при z1 lM x1 Fl ;M y1 0;M к1 M z1 0.Рис. 62Знак «–» показывает, что момент M x1 направлен в другуюсторону.Второй участок (рис. 63): 0 z2 2l ;M x 2 Fz2 , функция M x 2 — линейная функция координаты z; при z2 = 0M x 2 0, при z2 2l M x 2 F 2l ;M y 2 0;M к 2 M z 2 Fl.Третий участок (рис.
64): 0 z3 2l ;Рис. 63M x3 F l z3 ;M x3 Fl Fz3 , функция M x3 — линейная функция коорди-наты z; при z3 = 0 M x3 Fl , при z3 2l M x3 Fl ;M y 3 0;M к 3 M z 3 2 Fl.Эпюра моментов представлена на рис. 65.Рис. 6451Рис. 65Пример 4.6. Для пространственной рамы, изображенной нарис. 66, построить эпюры изгибающих и крутящих моментов.РешениеОбозначим участки и узлы рамы, как показано на рис. 67.Рис. 66Рис. 67Построим эпюры внутренних силовых факторов(M x , M y , M к ).Рассматривая условия равновесия отсеченных частей, определим уравнения изгибающих и крутящего моментов (рис. 68–72).Первый участок (см.
рис. 68): 0 z1 l ;M x1 Fz1 , функция M x1 — линейная функция координаты z;при z1 = 0 M x1 0, при z1 l M x1 Fl ;52M y1 0;M к1 0.Второй участок (см. рис. 69): 0 z2 2l ;M y 2 Fz2 , функция M y 2 — линейнаяM y 2 0,функция координаты z; при z2 = 0при z2 2l M y 2 2 Fl ;M x 2 0;Рис. 68M к 2 0.Третий участок (см. рис. 70): 0 z3 l ;M x3 Fz3 , функция M x3 — линейная функция координаты z;при z3 = 0M x3 0, при z3 lM x3 Fl ; M y 3 Fl , функцияM y3 — постоянная;M к 3 F 2l.Рис.
69Рис. 70Рис. 71Четвертый участок (см. рис. 71): 0 z4 l ;M x 4 F l z4 , функция M x 4 — линейная функция координаты z; при z4 = 0M x 4 Fl , при z4 lM x 4 2 Fl ; M y 4 F 2l z4 , функция M y 4 — линейная функция координаты y;при z4 = 0 M y 4 2 Fl , при z4 l M y 4 Fl ;M к 4 Fl.53Пятый участок (см. рис. 72): 0 z5 l ;M x5 Fl Fz5 , функция M x5 —линейная функция координаты z; приz5 = 0 M x5 Fl , при z5 l M x5 2 Fl ;M y5 Fl , функция M y5 — постоянная;M к 5 F 2l.Рис. 72Эпюры моментов показаны нарис.
73.Рис. 73В заключение следует проверить равновесие узлов рамы С(рис. 74) и D (рис. 75).Рис. 7454Рис. 75Внутренние силовые факторы являются основным понятием,используемым в расчетах на прочность и жесткость стержневыхсистем. Их значения характеризуют напряженно-деформированноесостояние стержней, и от них зависит выбор пути расчетов напрочность и жесткость. Поэтому определение внутренних силовыхфакторов в различных случаях нагружения стержней является первым этапом любого инженерного расчета стержневых систем.ПРИЛОЖЕНИЕОбразец основной надписи55СОДЕРЖАНИЕПредисловие ..................................................................................Введение ........................................................................................Тема 1.