4.3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбул (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)
Описание файла
Файл "4.3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбул" внутри архива находится в папке "Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013". PDF-файл из архива "Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
3. Уравнениедлятурбулентнойкинетическойэнергии.Двухпараметрические модели турбулентности.Одним из важнейших параметров, характеризующих турбулентноедвижение, является турбулентная кинетическая энергия1K = ui′′22Процесс получения дифференциального уравнения переноса этогопараметра называется взятием момента от уравнения количества движения3.1. Вывод уравнения.Очевидно, что∂∂∂ ρ u ′′u ′′ ∂∂ρui′′ui′′ = ρ ui′′ui′′ = ρ i i = ρ ui′′ui′′ = 2 ( ρ K ) ,∂t∂t ρ ∂t ∂t ∂t ∂ ∂∂ ∂ ρ u j ui′′ui′′ = ρ u j ui′′ui′′ + ρ u j′′ui′′ui′′ = ρ u j + u j′′ ui′′ui′′ =∂x j∂x j ∂x j ∂x j )()((3.1))(∂∂ ρ u j K ) +=2( ρ u j′′ui′′ui′′ ∂x j∂x j (3.2)То есть,∂ ∂ ∂∂∂ρui′′ui′′ +ρu j ui′′ui′′ = 2 ( ρ K ) +ρ u j K ) +( ρ u j′′ui′′ui′′ ∂t∂x j∂x j ∂t ∂x j )()((3.3)С другой стороны: ∂ρ∂∂∂∂ ′′ ′′ρui′′ui′′ +ρu j ui′′ui′′ = ui′′ui′′ +ρu j ) + ρui ui(∂t∂x j∂t ∂t ∂x j)(()()(3.4) ∂u ′′∂∂u ′′ + ρu jui′′ui′′ = 2 ρ ui′′ i + u j i ,∂x j∂x j ∂t∂ui′′∂u ′′ ∂u∂u ∂u∂u ∂u∂u ∂u∂u∂u+ u j i = i + u j i − i − u j i = i + u j i − i − uj i − u j′′ i , (3.5)∂t∂x j∂t∂x j ∂t∂x j ∂t∂x j ∂t∂x j∂x j(откуда) ∂u∂∂∂u ∂u∂u∂u ρ ui′′ui′′ +ρ u j ui′′ui′′ = 2 ρ ui′′ i + u j i − i − uj i − u j′′ i =∂t∂x j∂x j ∂t∂x j∂x j ∂t())( ∂u ∂u∂u ∂u ∂u= 2ui′′ ρ i + ρ u j i − 2 ρ ui′′ i + uj i − 2 ρ ui′′u j′′ i =∂x j ∂x j ∂x j ∂t ∂t(3.6) ∂u∂u ∂u= 2ui′′ ρ i + ρ u j i − 2 ρ ui′′u j′′ i∂x j∂x j ∂tПриравнивая (3.3) и (3.6), получаем:∂ 1 ∂ ∂ρ u j K ) +( (ρK ) + ρ u j′′ui′′ui′′ ∂x j ∂t 2 ∂x j ∂u∂u ∂u= ui′′ ρ i + ρ u j i − ρ ui′′u j′′ i∂x j ∂x j ∂t(3.7)Уравнение количества движения (2.3) записано в консервативной форме.Чтобы получить неконсервативную форму вычтем из уравнения (2.3)уравнение неразрывности (2.1), умноженное на ui :∂∂∂ρ∂( ρui ) + ( ρu j ui + δ ji p − τ ij ) − ui − ui ( ρ u j ) = 0,∂t∂x j∂t∂x jρ∂ui∂u∂+ ρu j i +(δ ji p − τ ij ) = 0∂t∂x j ∂x jоткудаρ∂ui∂u∂p ∂τ ij+ ρu j i = −δ ji+∂t∂x j∂x j ∂x j(3.8)Подставляем это выражение в (3.7):∂∂∂1( ρ K ) + ( ρ u j K ) = − ρ u j′′ ui′′∂t∂x j∂x j2( )2− u j′′∂τ∂p∂u+ ui′′ ij − ρ ui′′u j′′ i∂x j∂x j∂x j(3.9)Второй член в правой части расписываем как:u j′′А третий как:∂p∂p∂p′∂p∂ − p′ ∂u j′′′′′= u j′′+ u j′′= u j′′+puj ∂x j∂x j∂x j∂x j ∂x j ∂x j(3.10)ui′′∂τ ij∂x j=∂ ∂ui′′∂ ∂ui′′ ∂ui′′=− τ ijτ ij ui′′ − τ ijτ ij ui′′ − τ ij′′∂x j ∂x j ∂x j ∂x j∂x j(3.11)Подставляем эти выражения в (3.9):∂∂∂ 1 ′′ 2′′′′′′( ρ K ) + ( ρ u j K ) = − ρ u j ui −p′uj + τij ui∂t∂x j∂x j 2 IIIII)(( )(I )( )∂u j′′ ∂ui′′∂u∂u ′′∂p− ρ ui′′u j′′ i − τ ij′′ i −u j′′+ p′− τ ij∂x j∂x j∂x j∂x j∂x j( IV )(V )(VI )(VII )(3.12)(VIII )Физический смысл членов, входящих в правую часть уравнения (3.12),следующий:( I ) - турбулентный диффузионный перенос, обусловленный пульсациямискорости;( II ) - турбулентный диффузионный перенос, обусловленный пульсациямидавления;( III ) - молекулярный диффузионный перенос;( IV ) - генерация турбулентной энергии, обусловленная взаимодействиемнапряжений Рейнольдса и градиента средней скорости;(V ) - вязкая диссипация турбулентной энергии в тепло;(VI ) - работа сил давления;(VII ) - дополнительная диссипация, обусловленная взаимодействиемпульсаций давления с дивергенций пульсаций скорости;(VIII ) - дополнительный член, учитывающий вязкое трение.3.2.Несжимаемая жидкость.
Уравнение для скорости диссипации.Уравнение для турбулентной кинетической энергии наиболее хорошоизучено для несжимаемой жидкости, т.е. для случая, когда ρ = const . Обычнопри этом полагается постоянным коэффициент динамической вязкости:µ = const .Средние по Рейнольдсу и по Фавру при этом совпадаютT = T(3.13)Совпадают и соответствующие пульсации(3.14)T ′′ = T ′Очевидно, что в несжимаемой жидкости справедливо:ui′′ = −ρ ′ui′=0ρ(3.15)Легко показать, что дивергенция пульсаций скорости равна нулю.Действительно, из (2.1) и (2.2) следует:∂u j∂x j= 0;∂u j∂x j(3.16)=0Отсюда∂u j′∂x j=(∂ uj − uj∂x j) = ∂uj∂x j−∂u j∂x j(3.17)=0Таким образом, в несжимаемой жидкости три последних члена уравнения(3.12) - (VI ) , (VII ) , (VIII ) тождественно равны нулю.Дляпредставлениядиссипативногочлена(V )уравнения(3.12)рассмотрим несколько промежуточных формул.Прежде всего) ∂u ′ ∂u ′ ∂u ∂ u ∂ui ∂u j +− µ i + j = µ i + j = 2 µ Sij′ , ∂x ∂x j ∂xi ∂x j∂xi j ∂xi 1 ∂uгде Sij′ = i +∂u j′ - тензор пульсаций скоростей деформаций.∂xi (τ ij′′ = τ ij′ = τ ij − τ ij = µ ′2 ∂x j(3.18)Вследствие симметрии тензора τ ij′ с помощью перестановки индексовможно получить:τ ij′∂u j′∂u j′∂ui′= τ ji′= τ ij′∂x j∂xi∂xi(3.19)Отсюда получаем:2∂u ′ 1 ∂u ′∂u ′ 1 ∂u ′ ∂u ′ 1 ∂u ′ ∂u ′ τ ij′ i = τ ij′ j + τ ij′ i = τ ij′ j + i = µ i + j = 2 µ Sij′∂x j 2 ∂xi∂x j 2 ∂xi∂x j 2 ∂x j∂xi ( )2(3.20)После осреднения:2∂u ′ 1 ∂u ′ ∂u ′ 1 ∂u ′ ∂u ′ ∂u ′ ∂u j′∂u ′ ∂u j′ τ ij′ i = µ i + j = µ i i + j+2 i∂x j 2 ∂x j∂xi 2 ∂x j ∂x j∂xi ∂xi∂x j ∂xi =µ(3.21)∂ui′ ∂ui′∂u ′ ∂u j′+µ i∂x j ∂x j∂x j ∂xiДокажем, что: ∂u ′ ∂u ′ 2′′∂u∂ui∂ ∂ ′ ′∂ jj j=+ ui u j − 2 ui′∂x j ∂xi ∂xi ∂x j ∂xi∂x j ∂x j (3.22)Доказательство: ∂ ∂ui∂u j∂ ∂ui u j ) =+ ui u j(∂xi ∂x j∂x j ∂xi ∂x j= uj∂ ∂ui ∂ui ∂u j∂ ∂u j+ ui+∂x j ∂xi ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j∂ ∂u j= ui∂xi ∂x j∂ ∂ui = u j∂xi ∂x j ∂u ∂u j∂ ∂u j+ + i ui ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j =∂ ∂u j ∂ui ∂u j∂ ∂u j+ ui = ui +∂xi ∂x j ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j = ∂u ∂u j ∂ui ∂u j∂ ∂u ju++ − i i ∂x∂x∂x∂x∂x∂xijjiij∂ ∂u j = 2 ui∂xi ∂x j ∂u ∂u j ∂ui − + i∂x∂xji ∂xi (3.23)2При однородной турбулентности первые два члена в правой частиформулы (3.22) обращаются в нуль.Для несжимаемой жидкости третий член в правой части формулы (3.22)также равен нулю.Таким образом, в случае однородной турбулентности получаем:µ∂ui′ ∂u j′=0∂x j ∂xi(3.24)В работе [3] показано, что и для неоднородной турбулентности прибольших значениях чисел Рейнольдса ассимптотически справедливо этовыражение.Таким образом, член, характеризующий вязкую диссипацию в уравнении(3.12), при больших числах Re может быть записан как:ρε ≡ τ ij′Здесь черезε∂ui′∂u ′ ∂ui′=µ i∂x j∂x j ∂x j(3.25)обозначена так называемая скорость диссипациитурбулентной кинетической энергии.
Ее физический смысл – скорость, скоторой турбулентная кинетическая энергия K превращается в тепловследствие вязкого трения. Размерность ε - м 2 / с 3 .Длянесжимаемойжидкостиуравнениепереносатурбулентнойкинетической энергии имеет вид:∂∂∂ρu j K =(ρK ) +∂t∂x j∂x j() µT ∂K +µ + Ρ K − ρε , σ K ∂x j (3.26)где∂uΡ K = − ρ ui′u j′ i - генерация K∂x j(3.27)Здесь использовались допущения о градиентном характере турбулентнойи молекулярной диффузии турбулентной кинетической энергии:− ρ u j′ K − p′u j′ =∂Kτ ijui′ = µ∂x jµT ∂K,σ K ∂x j(3.28)Уравнение переноса ε можно строго получить, используя ту же методику,что и для вывода уравнения переноса K , только вместо ui′′ui′′ в формулах (3.1)-(3.6) необходимо использовать ν∂ui′ ∂ui′. Здесь ν = µ / ρ∂x j ∂x j- коэффициенткинематической вязкости.В результате получается уравнение, содержащее большое количестводостаточно сложных корреляций пульсаций, для которых при большихзначениях чисел Рейнольдса получаются некоторые асимптотическиезависимости.Автор не будет утомлять читателей этими выкладками, а переадресуетинтересующихся к книге [4].Дело в том, что в результате получается уравнение по структуре подобноеуравнению переноса K : µT ∂ε ε+µ + ( Cε 1Ρ K − Cε 2 ρε ) , σ ε ∂x j K∂∂∂ρ u jε =( ρε ) +∂t∂x j∂x j()(3.29)где σ ε , Cε 1 , Cε 2 - числовые константы.Представляется очень удачным представление, предложенное в [5].Смысл этого представления состоит в том, что можно использоватьнеобязательно уравнения именно для K и ε , а для любой их степеннойфункции:Z = C Z K mε n(3.30)Уравнение переноса этой функции и имеет вид:∂∂∂ρu jZ =( ρZ ) +∂t∂x j∂x j() µT ∂Z Z+µ + ( CZ 1Ρ K − CZ 2 ρε ) , ∂x j K σ Z(3.31)где σ Z , CZ 1, CZ 2 - числовые коэффициенты.3.3.
Двухпараметрические модели турбулентности для несжимаемойжидкости. Kε-модель, Kω - модель Уилкокса, модель SST Ментера.В этом разделе приводятся некоторые наиболее часто используемыемодели турбулентности для несжимаемой жидкости.Как уже говорилось, в системе уравнений Рейнольдса, описывающихосредненноетечениежидкостипритурбулентномрежиметечения,появляются дополнительные неизвестные параметры, имеющие физическийсмысл тензора турбулентных напряжений трения.