Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » 4.3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбул

4.3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбул (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

PDF-файл 4.3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбул (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013) Прикладная гидроаэротермогазодинамика (8509): Книга - 4 семестр4.3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбул (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-масс2017-06-17СтудИзба

Описание файла

Файл "4.3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбул" внутри архива находится в папке "Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013". PDF-файл из архива "Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

3. Уравнениедлятурбулентнойкинетическойэнергии.Двухпараметрические модели турбулентности.Одним из важнейших параметров, характеризующих турбулентноедвижение, является турбулентная кинетическая энергия1K = ui′′22Процесс получения дифференциального уравнения переноса этогопараметра называется взятием момента от уравнения количества движения3.1. Вывод уравнения.Очевидно, что∂∂∂  ρ u ′′u ′′  ∂∂ρui′′ui′′ =  ρ ui′′ui′′  =  ρ i i  =  ρ ui′′ui′′  = 2 ( ρ K ) ,∂t∂t ρ  ∂t ∂t ∂t  ∂ ∂∂  ∂ ρ u j ui′′ui′′ = ρ u j ui′′ui′′  + ρ u j′′ui′′ui′′  = ρ u j + u j′′ ui′′ui′′  =∂x j∂x j  ∂x j  ∂x j )()((3.1))(∂∂ ρ u j K ) +=2( ρ u j′′ui′′ui′′ ∂x j∂x j (3.2)То есть,∂ ∂ ∂∂∂ρui′′ui′′ +ρu j ui′′ui′′ = 2  ( ρ K ) +ρ u j K )  +( ρ u j′′ui′′ui′′ ∂t∂x j∂x j ∂t ∂x j )()((3.3)С другой стороны: ∂ρ∂∂∂∂ ′′ ′′ρui′′ui′′ +ρu j ui′′ui′′ = ui′′ui′′  +ρu j ) + ρui ui(∂t∂x j∂t ∂t ∂x j)(()()(3.4) ∂u ′′∂∂u ′′ + ρu jui′′ui′′ = 2 ρ ui′′  i + u j i  ,∂x j∂x j  ∂t∂ui′′∂u ′′ ∂u∂u ∂u∂u ∂u∂u ∂u∂u∂u+ u j i = i + u j i − i − u j i = i + u j i − i − uj i − u j′′ i , (3.5)∂t∂x j∂t∂x j ∂t∂x j ∂t∂x j ∂t∂x j∂x j(откуда) ∂u∂∂∂u ∂u∂u∂u ρ ui′′ui′′ +ρ u j ui′′ui′′ = 2 ρ ui′′  i + u j i − i − uj i − u j′′ i  =∂t∂x j∂x j ∂t∂x j∂x j  ∂t())( ∂u ∂u∂u ∂u ∂u= 2ui′′  ρ i + ρ u j i  − 2 ρ ui′′  i + uj i  − 2 ρ ui′′u j′′ i =∂x j ∂x j ∂x j ∂t ∂t(3.6) ∂u∂u ∂u= 2ui′′  ρ i + ρ u j i  − 2 ρ ui′′u j′′ i∂x j∂x j  ∂tПриравнивая (3.3) и (3.6), получаем:∂ 1 ∂ ∂ρ u j K )  +( (ρK ) + ρ u j′′ui′′ui′′ ∂x j ∂t 2 ∂x j  ∂u∂u ∂u= ui′′  ρ i + ρ u j i  − ρ ui′′u j′′ i∂x j ∂x j ∂t(3.7)Уравнение количества движения (2.3) записано в консервативной форме.Чтобы получить неконсервативную форму вычтем из уравнения (2.3)уравнение неразрывности (2.1), умноженное на ui :∂∂∂ρ∂( ρui ) + ( ρu j ui + δ ji p − τ ij ) − ui − ui ( ρ u j ) = 0,∂t∂x j∂t∂x jρ∂ui∂u∂+ ρu j i +(δ ji p − τ ij ) = 0∂t∂x j ∂x jоткудаρ∂ui∂u∂p ∂τ ij+ ρu j i = −δ ji+∂t∂x j∂x j ∂x j(3.8)Подставляем это выражение в (3.7):∂∂∂1( ρ K ) + ( ρ u j K ) = − ρ u j′′ ui′′∂t∂x j∂x j2( )2− u j′′∂τ∂p∂u+ ui′′ ij − ρ ui′′u j′′ i∂x j∂x j∂x j(3.9)Второй член в правой части расписываем как:u j′′А третий как:∂p∂p∂p′∂p∂  − p′ ∂u j′′′′′= u j′′+ u j′′= u j′′+puj ∂x j∂x j∂x j∂x j ∂x j ∂x j(3.10)ui′′∂τ ij∂x j=∂ ∂ui′′∂ ∂ui′′ ∂ui′′=− τ ijτ ij ui′′  − τ ijτ ij ui′′  − τ ij′′∂x j ∂x j ∂x j ∂x j∂x j(3.11)Подставляем эти выражения в (3.9):∂∂∂ 1 ′′ 2′′′′′′( ρ K ) + ( ρ u j K ) = − ρ u j ui −p′uj + τij ui∂t∂x j∂x j 2 IIIII)(( )(I )( )∂u j′′ ∂ui′′∂u∂u ′′∂p− ρ ui′′u j′′ i − τ ij′′ i −u j′′+ p′− τ ij∂x j∂x j∂x j∂x j∂x j( IV )(V )(VI )(VII )(3.12)(VIII )Физический смысл членов, входящих в правую часть уравнения (3.12),следующий:( I ) - турбулентный диффузионный перенос, обусловленный пульсациямискорости;( II ) - турбулентный диффузионный перенос, обусловленный пульсациямидавления;( III ) - молекулярный диффузионный перенос;( IV ) - генерация турбулентной энергии, обусловленная взаимодействиемнапряжений Рейнольдса и градиента средней скорости;(V ) - вязкая диссипация турбулентной энергии в тепло;(VI ) - работа сил давления;(VII ) - дополнительная диссипация, обусловленная взаимодействиемпульсаций давления с дивергенций пульсаций скорости;(VIII ) - дополнительный член, учитывающий вязкое трение.3.2.Несжимаемая жидкость.

Уравнение для скорости диссипации.Уравнение для турбулентной кинетической энергии наиболее хорошоизучено для несжимаемой жидкости, т.е. для случая, когда ρ = const . Обычнопри этом полагается постоянным коэффициент динамической вязкости:µ = const .Средние по Рейнольдсу и по Фавру при этом совпадаютT = T(3.13)Совпадают и соответствующие пульсации(3.14)T ′′ = T ′Очевидно, что в несжимаемой жидкости справедливо:ui′′ = −ρ ′ui′=0ρ(3.15)Легко показать, что дивергенция пульсаций скорости равна нулю.Действительно, из (2.1) и (2.2) следует:∂u j∂x j= 0;∂u j∂x j(3.16)=0Отсюда∂u j′∂x j=(∂ uj − uj∂x j) = ∂uj∂x j−∂u j∂x j(3.17)=0Таким образом, в несжимаемой жидкости три последних члена уравнения(3.12) - (VI ) , (VII ) , (VIII ) тождественно равны нулю.Дляпредставлениядиссипативногочлена(V )уравнения(3.12)рассмотрим несколько промежуточных формул.Прежде всего) ∂u ′ ∂u ′  ∂u ∂ u  ∂ui ∂u j +− µ  i + j  = µ  i + j  = 2 µ Sij′ , ∂x ∂x j ∂xi  ∂x j∂xi  j ∂xi 1 ∂uгде Sij′ =  i +∂u j′  - тензор пульсаций скоростей деформаций.∂xi (τ ij′′ = τ ij′ = τ ij − τ ij = µ ′2  ∂x j(3.18)Вследствие симметрии тензора τ ij′ с помощью перестановки индексовможно получить:τ ij′∂u j′∂u j′∂ui′= τ ji′= τ ij′∂x j∂xi∂xi(3.19)Отсюда получаем:2∂u ′ 1  ∂u ′∂u ′  1  ∂u ′ ∂u ′  1  ∂u ′ ∂u ′ τ ij′ i = τ ij′ j + τ ij′ i  = τ ij′  j + i  = µ  i + j  = 2 µ Sij′∂x j 2 ∂xi∂x j  2  ∂xi∂x j  2  ∂x j∂xi ( )2(3.20)После осреднения:2∂u ′ 1  ∂u ′ ∂u ′ 1  ∂u ′ ∂u ′ ∂u ′ ∂u j′∂u ′ ∂u j′  τ ij′ i = µ  i + j  = µ  i i + j+2 i∂x j 2  ∂x j∂xi 2  ∂x j ∂x j∂xi ∂xi∂x j ∂xi  =µ(3.21)∂ui′ ∂ui′∂u ′ ∂u j′+µ i∂x j ∂x j∂x j ∂xiДокажем, что: ∂u ′   ∂u ′ 2′′∂u∂ui∂ ∂  ′ ′∂ jj j=+ ui u j   − 2  ui′∂x j ∂xi ∂xi  ∂x j ∂xi∂x j   ∂x j  (3.22)Доказательство: ∂  ∂ui∂u j∂  ∂ui u j )  =+ ui u j(∂xi  ∂x j∂x j ∂xi  ∂x j= uj∂  ∂ui  ∂ui ∂u j∂  ∂u j+ ui+∂x j  ∂xi  ∂x j ∂xi ∂xi  ∂x j∂  ∂u j= ui∂xi  ∂x j∂  ∂ui = u j∂xi  ∂x j ∂u ∂u j∂  ∂u j+ + i ui ∂x j ∂xi ∂xi  ∂x j =∂  ∂u j  ∂ui ∂u j∂  ∂u j+ ui = ui +∂xi  ∂x j  ∂x j ∂xi ∂xi  ∂x j = ∂u ∂u j ∂ui ∂u j∂  ∂u ju++ − i i ∂x∂x∂x∂x∂x∂xijjiij∂  ∂u j = 2  ui∂xi  ∂x j ∂u ∂u j  ∂ui − + i∂x∂xji ∂xi (3.23)2При однородной турбулентности первые два члена в правой частиформулы (3.22) обращаются в нуль.Для несжимаемой жидкости третий член в правой части формулы (3.22)также равен нулю.Таким образом, в случае однородной турбулентности получаем:µ∂ui′ ∂u j′=0∂x j ∂xi(3.24)В работе [3] показано, что и для неоднородной турбулентности прибольших значениях чисел Рейнольдса ассимптотически справедливо этовыражение.Таким образом, член, характеризующий вязкую диссипацию в уравнении(3.12), при больших числах Re может быть записан как:ρε ≡ τ ij′Здесь черезε∂ui′∂u ′ ∂ui′=µ i∂x j∂x j ∂x j(3.25)обозначена так называемая скорость диссипациитурбулентной кинетической энергии.

Ее физический смысл – скорость, скоторой турбулентная кинетическая энергия K превращается в тепловследствие вязкого трения. Размерность ε -  м 2 / с 3  .Длянесжимаемойжидкостиуравнениепереносатурбулентнойкинетической энергии имеет вид:∂∂∂ρu j K =(ρK ) +∂t∂x j∂x j() µT ∂K +µ + Ρ K − ρε , σ K ∂x j (3.26)где∂uΡ K = − ρ ui′u j′ i - генерация K∂x j(3.27)Здесь использовались допущения о градиентном характере турбулентнойи молекулярной диффузии турбулентной кинетической энергии:− ρ u j′ K − p′u j′ =∂Kτ ijui′ = µ∂x jµT ∂K,σ K ∂x j(3.28)Уравнение переноса ε можно строго получить, используя ту же методику,что и для вывода уравнения переноса K , только вместо ui′′ui′′ в формулах (3.1)-(3.6) необходимо использовать ν∂ui′ ∂ui′. Здесь ν = µ / ρ∂x j ∂x j- коэффициенткинематической вязкости.В результате получается уравнение, содержащее большое количестводостаточно сложных корреляций пульсаций, для которых при большихзначениях чисел Рейнольдса получаются некоторые асимптотическиезависимости.Автор не будет утомлять читателей этими выкладками, а переадресуетинтересующихся к книге [4].Дело в том, что в результате получается уравнение по структуре подобноеуравнению переноса K : µT ∂ε  ε+µ + ( Cε 1Ρ K − Cε 2 ρε ) , σ ε ∂x j  K∂∂∂ρ u jε =( ρε ) +∂t∂x j∂x j()(3.29)где σ ε , Cε 1 , Cε 2 - числовые константы.Представляется очень удачным представление, предложенное в [5].Смысл этого представления состоит в том, что можно использоватьнеобязательно уравнения именно для K и ε , а для любой их степеннойфункции:Z = C Z K mε n(3.30)Уравнение переноса этой функции и имеет вид:∂∂∂ρu jZ =( ρZ ) +∂t∂x j∂x j() µT ∂Z  Z+µ + ( CZ 1Ρ K − CZ 2 ρε ) , ∂x j  K σ Z(3.31)где σ Z , CZ 1, CZ 2 - числовые коэффициенты.3.3.

Двухпараметрические модели турбулентности для несжимаемойжидкости. Kε-модель, Kω - модель Уилкокса, модель SST Ментера.В этом разделе приводятся некоторые наиболее часто используемыемодели турбулентности для несжимаемой жидкости.Как уже говорилось, в системе уравнений Рейнольдса, описывающихосредненноетечениежидкостипритурбулентномрежиметечения,появляются дополнительные неизвестные параметры, имеющие физическийсмысл тензора турбулентных напряжений трения.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее