2.2. Дискретизация исходного уравнения (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)
Описание файла
Файл "2.2. Дискретизация исходного уравнения" внутри архива находится в папке "Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013". PDF-файл из архива "Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
2.Дискретизация исходного уравнения.Для простоты в этом разделе предположено, что переменная Φ являетсяфункцией только одной независимой переменной x . Однако разработанныездесь идеи будут применимы также в случае зависимости более чем от однойнезависимой переменной.Пусть у нас есть некоторой отрезок D на оси x , и на этом отрезкепоставлена некоторая дифференциальная краевая задача. Это значит, чтозадано дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворятьрешение Φ на отрезке D и дополнительное условие для Φ на одном или наобоих концах отрезка.
Дифференциальную краевую задачу можно записать ввиде символического равенстваLφ = f ,(2.1)где L - заданный дифференциальный оператор, f - заданная праваячасть. Например, для задачиdφx+= cos ( x ) , 0 ≤ x ≤ 1,dx 1 + φ 2(2.2)φ (0) = 3достаточно положить:x dφ dx + 1 + φ 2 , 0 ≤ x ≤ 1,Lφ ≡ φ ( 0 )(2.3)cos ( x ) , 0 ≤ x ≤ 1,f ≡3Для вычисления φ численным методом надо прежде всего выбрать наотрезкеDконечное число точек, совокупность которых называетсясеточными узламии обозначается через Dh . Вводится шаг сетки h .Например, если в качестве D используется отрезок [ 0,1] , и число узлов сеткиравно N , то можно положить, что шаг равенh=1N −1(2.4)Узлы сетки в этом случае это совокупность точек:x1 = 0, x2 = h, x3 = 2h, …, xN = ( N − 1) h = 1(2.5)Таким образом, в качестве основных неизвестных в численном методерассматриваются значения зависимой переменной в конечном числе точекрасчетнойобласти.Методвключаетвсебяполучениесистемыалгебраических уравнений для этих неизвестных и алгоритм решения этихуравнений.
Будем обозначать набор решений этих алгебраических уравненийчерез φ ( h) . Обозначим через φn решение в точке xn , т.е.φ ( h) = (φ1 ,φ2 ,φ3 ,...,φN )(2.6)Рассматривая значения в узловых точках, мы заменили непрерывнуюинформацию,содержащуюсявточномрешениидифференциальногоуравнения, дискретными значениями. Таким образом, мы дискретизировалираспределение Ф, и этот класс численных методов назовем методамидискретизации. Возможные дискретные аналоги данного дифференциальногоуравнения являются неединственными, хотя предполагается, что в пределеочень большого числа узловых точек все типы дискретных аналогов даютодно и то же решение.Дискретный аналог задачи (2.1) можно символически записать в виде:Lhφ ( h) = f ( h )Дискретизациюзаданногодифференциального(2.7)уравненияосуществить множеством способов.
Рассмотрим некоторые из них.можно2.1. Использование рядов Тейлора.Разложение в ряд Тэйлора около узловой точки n , расположеннойпосередине между точками ( n − 1) и ( n + 1) дает:1 ∂ 2φ 2 ∂φ h+ h − ...2 ∂x 2 n ∂x nφn −1 = φn − (2.8)1 ∂ 2φ ∂φ φn +1 = φn + h + 2 h 2 − ...2 ∂x n ∂x nЕсли во втором из этих уравнения отбросить всечлены, начиная стретьего, то получим: ∂φ φn +1 − φn ≈h ∂x n(2.9)Если отбросить все члены рядов (2.8) начиная с четвертого и сложить их,получим: ∂ 2φ φn +1 − 2φn + φn −1 2 ≈h2 ∂x n(2.10)Если же в этом случае вычесть первое из уравнений (2.8) из второго, тополучится еще одна формула для аппроксимации первой производной: ∂φ φn +1 − φn −1 ≈2h ∂x n(2.11)Таким образом, дискретный аналог задачи (2.3) можно представить в видеLhφ(h)xn φn + 1 − φn+, 1 ≤ n ≤ N − 1,1 + φn 2≡ hφ 1cos ( xn ) , 1 ≤ n ≤ N − 1,hf( ) ≡32.2.
Метод контрольного объема.(2.12)Основная идея метода контрольного объема легко понятна и поддаетсяпрямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают нанекоторое число непересекающихся контрольных объемов таким образом,что каждая узловая точка содержится в одном контрольном объеме.Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольномуобъему.
Для вычисления интегралов используют кусочные профили, которыеописывают изменение Ф между узловыми точками. В результате находятдискретный аналог дифференциального уравнения, в который входятзначения Ф в нескольких узловых точках.Полученный подобным образом дискретный аналог выражает законсохранения Ф для конечного контрольного объема точно так же, какдифференциальное уравнение выражает закон сохранения для бесконечномалогоконтрольногообъема.Однимизважныхсвойствметодаконтрольного объема является то, что в нем заложено точное интегральноесохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия налюбой группе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетнойобласти.
Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а нетолько в предельном случае очень большого их числа. Таким образом, дажерешение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам.Рассмотримстационарнуюодномернуюзадачутеплопроводности,описываемую уравнениемd dTλdx dx+S =0(2.13)где λ — коэффициент теплопроводности; T — температура; S —скорость выделения теплоты в единице объема.Подготовка. Для получения дискретного аналога будет использованопоказанное на рис. 1 расположение узловых точек.Рис. 1. Шаблон узловых точек для одномерной задачиИспользуем при этом обозначения С.Патанкара [1].
В центре нашеговнимания оказывается точка P , окруженная точками E и W ( E — восточнаясторона, т. е. направление вдоль оси x , W —западная сторона, т. е.направление, обратное направлению оси x ). Штрихом показаны границыконтрольного объема; сейчас нас не интересует их точное расположение. Этиграницы обозначены буквами e и w .Для рассматриваемой одномерной задачи предположим, что размерыконтрольного объема в направлениях y и z равны единице. Таким образом,объем показанного контрольного объема равен h ×1×1.
Интегрируя (2.13) поконтрольному объему, получаемe dT dT λ −λ + ∫ Sdx = 0 dx e dx w w(2.14)Если интерполировать температуру T между узлами линейной функцией,то из (2.14) получим:λeВажнымвопросомTE − TPT −T− λw P W + Sh = 0hhявляетсяаппроксимация(2.15)источника.Частоисточниковый член является функцией самой зависимой переменной T , итогда желательно учесть эту зависимость при построении дискретногоаналога. Однако формально можем учитывать только линейную зависимость,так как решение дискретных уравнений будет осуществляться, как увидимпозже, с помощью методов решения систем линейных алгебраическихуравнений.
Запишем среднее значение S в видеS = SC + S PTP(2.16)где SC представляет собой постоянную составляющую S , a S P —коэффициент (очевидно, что S P не есть значение S в точке Р).В результате получаем:aPTP = aETE + aW TW + b(2.17)гдеaP =aE =λehλeh+λwh− S P h = aE + aW − S P h,, aW =λwh(2.18), b = SC h2.3. Основные правила, вытекающие из физического смысла методаконтрольного объемаСтоит учесть некоторые правила, которые следуют из физическогосмысла метода контрольного объема [1].1) Выражение потока через границу, общую для двух прилегающихконтрольных объемов, при записи дискретных аналогов уравнения для этихобъемов должно быть одним и тем же.2) В большинстве из интересующих нас задач влияние значениязависимой переменной в точках, соседних с некоторой узловой, на значениев этой узловой точке обусловлено процессами конвекции и диффузии.Следовательно, увеличение значения в одной узловой точке должно, припрочих равных условиях, привести к увеличению (а не уменьшению)значения в соседней узловой точке.
Тогда, как видно из уравнения (2.17), изувеличения TP при увеличении TE следует, что коэффициенты aP и aEдолжны иметь одинаковый знак. Другими словами, в общем случае,описываемом уравнением (2.17), знаки коэффициентов перед значениямизависимой переменной в соседних точках aE и aW и коэффициента перед еезначением в центральной точке aP должны быть одинаковыми.3) В формуле (2.16) коэффициент S P должен быть либо отрицательным,либо равным нулю.Действительно, если бы S P был положительным, физический процесс могбы стать неустойчивым. Положительность S P свидетельствует о ростеисточникового члена при увеличении TP , а это, в свою очередь, можетпривести, если нет эффективного механизма отвода теплоты, к возрастаниюTP и т.д.
С вычислительной точки зрения во избежание неустойчивостей ифизически нереальных решений целесообразно сохранять S P отрицательным.4) Уравнение (2.17) выведено для одномерного случая. В общем случаеудобно представить это уравнение в видеaPTP = ∑ anbTnb + b(2.19)где индекс nb обозначает соседние точки, и суммирование производитсяпо всем соседним точкам.Для случаев, когда дифференциальное уравнение удовлетворяется такжепри добавлении к зависимой переменной постоянной величины, необходимо,чтобыaP = ∑ anb(2.20).