2.1. Обобщенное дифференциальное уравнение (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)
Описание файла
Файл "2.1. Обобщенное дифференциальное уравнение" внутри архива находится в папке "Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013". PDF-файл из архива "Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
1.Обобщенное дифференциальное уравнение.Основныеуравнения,описывающиединамикувязкойжидкости,подчиняются некому обобщенному закону сохранения.Уравнение энергии в декартовой системе координат имеет вид (см.глава1):∂∂dp ∂q∂u( ρ h ) + ( ρu j h ) = − j + τ ij i∂t∂x jdt ∂x j∂x j(1.1)С учетом представления плотности теплового потока в виде закона Фурьеqi = −λ∂T,∂xi(1.2)используя понятия дивергенции и градиента, а также того, чтоgrad h = C p grad T ,(1.3)уравнение энергии можно представить как λ∂( ρ h ) + div ( ρ vh ) = div grad h + Sh∂t CP(1.4)где S h - член, учитывающий работу сил внутренних напряженийSh =dp∂u+ τ ij idt∂x j(1.5)Аналогично поступаем с уравнением количества движения в проекции,например, на продольную ось x = x1 . Проекция скорости на эту осьобозначается как u = u1 .Это уравнение имеет вид∂∂∂p ∂( ρu ) + ( ρ uiu ) = − + (τ i1 ) + ρ F1 ,∂t∂xi∂x ∂xiа компоненты тензора вязких напряжений определяются как(1.6) ∂uiτ i1 = µ ∂x1+ ∂u ∂u1 2 ∂ui 2 − δ i1µ div v = µ + µ − δ i1µ div v∂xi 3 ∂x 3 ∂xi (1.7)Подставляя последнее выражение в (1.6), получаем:∂∂ ∂u ∂ ∂u( ρ u ) + div ( ρ vu ) = µ + µ i∂t∂xi ∂xi ∂xi ∂x∂p 2 − δ i1µ div v + ρ F1 −∂x 3(1.8)или∂( ρ u ) + div ( ρ vu ) = div ( µ grad u ) + Su∂tгдеSu -(1.9)член, учитывающий градиент давления, объемные силы идополнительные вязкие силыSu =∂ ∂ui 2∂pµ − δ i1µ div v + ρ F1 −∂xi ∂x 3∂x(1.10)Таким образом, все уравнения динамики вязкой жидкости можнозаписать в обобщенном виде∂( ρΦ ) + div ( ρ vΦ ) = div ( Γ grad Φ ) + S∂t(1.11)где Γ - коэффициент, учитывающий переносные свойства (вязкость,теплопроводность, диффузии); S - источниковый член.
Конкретный вид Γ иS зависит от смысла переменной ΦУравнениеΦΓSУравнение100uµФормула (1.10)неразрывностиУравнениеколичествадвижениявпроекции на ось xУравнениеλhФормула (1.5)CPэнергииВ обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена:нестационарный, конвективный, диффузионный и источниковый.Такая форма записи основных уравнений называется консервативной.Если уравнение неразрывности∂ρ+ div ( ρ v ) = 0∂t(1.12)домножить на Φ и вычесть результат из уравнения (1.11), то получитсяобобщенное уравнение в неконсервативной формеρ∂Φ+ ρ v igrad Φ = div ( Γ grad Φ ) + S∂t(1.13)Задача, в которой физические величины зависят только от однойпространственной координаты, называется одномерной.
Зависимость от двухпространственных координат приводит к двумерной задаче, а от трех — ктрехмерной. Если задача не включает в себя зависимость от времени, онаназываетсястационарной.Впротивномслучаеонаназываетсянестационарной.В двумерном случае уравнение (1.13) имеет видρ∂Φ∂Φ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ + ρu+ ρv= Γ+S + Γ∂t∂x∂y ∂x ∂x ∂y ∂y (1.14)Анализируя это уравнение, можно получить несколько предельныхслучаев.1) Если конвективные и диффузионные члены равны нулю, получаетсяобыкновенное дифференциальное уравнениеdΦ S=dtρ(1.15)2) Если конвективные и источниковые члены равны нулю, получаетсяуравнение параболического типаρ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ = Γ + Γ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y (1.16)3) Если диффузионные и источниковые члены равны нулю, получаетсяуравнение гиперболического типа∂Φ∂Φ∂Φ+u+v=0∂t∂x∂y(1.17)4) В стационарном случае, при отсутствии конвективных и источниковыхчленов, обобщенное уравнение является эллиптическим∂ ∂Φ ∂ ∂Φ =0Γ + Γ∂x ∂x ∂y ∂y 5) Встационарномслучаеприиспользовании(1.18)приближенийпограничного слоя уравнение (1.14) принимает видρu∂Φ∂Φ ∂ ∂Φ + ρv= Γ∂x∂y ∂y ∂y (1.19)В такой форме это уравнение также приводится к параболическому типус точки зрения продольной координаты.В каждом из этих пяти случаев применяются разные численные методырешения.
Отличаются и граничные условия.В различных областях реальных течений в различные моменты времениопределяющую роль могут играть разные члены обобщенного уравнения(1.11). Еще в большей степени это утверждение относится ко всей системеуравнений динамики вязкого газа.Поэтому выбор метода численной интерпретации лучше использовать недля всего уравнения в целом, а для отдельных его частей.С этой точки зрения удобно использовать предложенную С.Патанкаром[1] трактовку свойств координат, как пространственных, так и временной.Двухсторонней координатой называется координата, для которойпротекание процессов в рассматриваемойслева,такисправапокоординатнойточке зависит от условий каклинииотэтойточки.Впротивоположном случае координата называется односторонней.Рассмотрим одномерную стационарную теплопроводность в плоскойстенке. На температуру в каждой точке стенки могут влиять изменениятемпературы, как на левой стороне стенки, так и на правой стороне.Обычно пространственные координаты являются двухсторонними, время- всегда односторонняя координата.
В течение нестационарного охлаждениятвердого тела на значение температуры в данный момент времени можетоказать влияние только то, что происходило перед этим моментом.Математическиеиспользуемыедлятерминыпараболическийклассификациииэллиптический,дифференциальныхуравнений,соответствуют нашим вычислительным концепциям односторонней идвухстороннейкоординат.Первыйтерминозначаетодностороннееповедение, второй — двухстороннее.Имело бы больше смысла определять задачи как параболические илиэллиптические по данной координате. Таким образом, нестационарная задачатеплопроводности, которую обычно называют параболической, на самомделе параболична по времени и эллиптична по пространственнымкоординатам. Стационарная задача теплопроводности эллиптична по всемкоординатам. Двумерный пограничный слой параболичен по направленнойвдоль течения координате и эллиптичен по поперечной координате.Гиперболические задачи имеют в некотором роде одностороннееповедение,однако,невдолькоординатныхспециальных линий, называемых характеристиками.направлений,авдоль.