Презентация 5. Обратная матрица (Лекции в виде презентаций)
Описание файла
Файл "Презентация 5. Обратная матрица" внутри архива находится в папке "Лекции в виде презентаций". PDF-файл из архива "Лекции в виде презентаций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "аналитическая геометрия" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ9.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ9.1.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕКПусть в пространстве фиксирована точка O . Совокупность точки O и базисаназывается аффинной (декартовой) системой координат, а точка O – началомкоординат.
Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисныхвекторов, называются координатными осями.Для любой точки A в заданной аффинной системе координат можно рассмотретьвектор OA , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой A (рис.9.1–9.3). Этот вектор называется радиус-вектором точки A .Аффинная система координат называется прямоугольной, если ее базисортонормированный (см. разд.8.3.5).Координатами вектора в прямоугольной системе координат называютсякоэффициенты в разложении вектора по стандартному базису (см. разд. 8.3.5).Координатами точки A в прямоугольной системе координат называютсякоординаты ее радиус-вектора OA в стандартном базисе.
В пространстве это коэффициентыx , y , z в разложении OA = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k , на плоскости – коэффициенты x , y в разложенииOA = x ⋅ i + y ⋅ j , на прямой – коэффициент x в разложении OA = x ⋅ i . При этом используютсяобозначения A( x, y, z ) , A( x, y ) , A(x ) соответственно. Прямоугольные координаты точки (илиее радиус-вектора) можно представить координатным столбцом: x y в пространстве,z x на плоскости. yКоординаты векторов и точек в прямоугольной системе координат называютсяпрямоугольными координатами.1Выбирая стандартные базисы (см. разд.8.3.5), получаем:Oi – прямоугольную систему координат на прямой – это точка O и единичный векторi на прямой.
Точки O и A (рис.9.1) на координатной оси Ox обозначаются O(0 ) и A(1) ;−2−1O0iA12 xРис.9.1– прямоугольную систему координат на–плоскостиэтоточка Oидвавзаимноперпендикулярных единичных вектора i и j наплоскости (вектор i – первый базисный вектор, а j –второй; пара векторов i , j – правая). Координатные осиOx (абсцисс) и Oy (ординат) разбивают плоскость на 4части, называемые четвертями (рис.9.2).
Точка A(1, 1) ,например, принадлежит I четверти;yOi j2IIA(1, 1)1Iji−2−1IIIO−112xIVРис.9.22– прямоугольную систему координат в пространстве – это точка O и трипопарно перпендикулярных единичных вектора i , j , k (вектор i – первый базисный вектор,j – второй, а k – третий; тройка векторов i , j , k – правая). Координатные осиобозначаются: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат.Координатные плоскости Oxy , Oxz , Oyz , проходящие через пары координатныхосей, разбивают пространство на 8 октантов (рис.9.3). Точка A(1, 2, 2) , например,принадлежит I октанту.Oi j kIIIOyIIz2IVI1k−2−1iA(1, 2, 2 )jO211VII2yVI−1OxxVIIIVРис.9.33Прямоугольные системы координат обозначают также указанием начала координат икоординатных осей, например Ox , Oxy , Oxyz .Чтобы найти координаты вектора AB с началом в точке A(x A , y A , z A ) и концом вточке B(xB , y B , z B ) , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координатыего начала:AB = (xB − x A )⋅ i + ( y B − y A )⋅ j + (z B − z A )⋅ k .Это же правило справедливо для прямоугольных систем координат на плоскости и напрямой.Координаты точки M , которая делит отрезок AB в отношенииβ > 0 ),AM β=MB α(α > 0,определяются по координатам его концов A(x A , y A , z A ) и B(xB , y B , z B ) (см.
разд.2.1.1): α ⋅ x A + β ⋅ xB α ⋅ y A + β ⋅ y B α ⋅ z A + β ⋅ z B .M ;;α+βα+βα+β(9.1)В частности: x A + xB y A + y B z A + z B ;;222– точка M – середина отрезка AB ; x A + xB + xС y A + y B + yС z A + z B + zС;;333– точка M – точка пересечения медиантреугольника ABC .Аналогичные формулы справедливы для координат точек на плоскости и на прямой.4В прямоугольной системе координат расстояние AB между точками A(x A , y A , z A ) иB (xB , y B , z B ) находится по формулеAB =(xB − x A )2 + (y B − y A )2 + (z B − z A )2 .(9.2)Для координатной плоскости и координатной прямой соответственно получаем:AB =(xB − x A )2 + (yB − y A )2 ;AB = xB − x A .Если на плоскости известны прямоугольные координаты вершин A(x A , y A ) , B(xB , y B ) ,^, гдеC (xC , yC ) треугольника ABC , то его площадь вычисляется по формуле S ABC = S ABC∧S ABCxA1= ⋅ xB2xCyA 1yB 1 .(9.3)yC 1Если известны прямоугольные координаты вершин A(x A , y A , z A ) , B(xB , y B , z B ) ,C (xC , yC , zC ) , D (xD , y D , z D ) треугольной пирамиды ABCD , то ее объем вычисляется по∧формуле VABCD = VABCD, где∧V ABCDxA1 x= ⋅ B6 xCxDyAyByCyDzAzBzCzD11.11(9.4)5Пример 9.1.
Известны прямоугольные координаты вершин A(1,1) , B(4, 5) , C (13, 6) треугольникаABC (рис.9.4). Найти:Aа) длину медианы AM ;б) длину биссектрисы AL ;haв) высоту ha , опущенную из вершины A . а) По формуле (9.1) определяем координаты точки M –середины стороны BC : M (4 +213 , 5 +2 6 ) , т.е. M (172 , 112 ) . Используя частныйBРис.9.4случай формулы (9.2) для плоскости, вычисляем длину медианы:б) ОпределяемBL : LC = AB : ACAC =22306.AM = 17 − 1 + 11 − 1 =22 2координаты точки L , которая делит сторону BCL MСв отношении(свойство биссектрисы треугольника).
Так как AB = (4 − 1)2 + (5 − 1)2 = 5 и(13 − 1)2 + (6 − 1)2= 13 , то по формуле (9.1), учитывая, что BL : LC = 5 : 13 ⇒ α = 13 , β = 5 ,находим L 13 ⋅ 4 + 5 ⋅ 13 , 13 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 , т.е. L 13 , 95 . Вычисляем длину биссектрисы:13 + 513 + 5 2 18 2211 ⋅ 130.AL = 13 − 1 + 95 − 1 =182 18 в) По формуле (9.3) имеем:треугольника ABCBC =(13 − 4)2 + (6 − 5)2∧S ABC^S ABC = S ABC= 33 ,2= 82 .1 1 1133= ⋅ 4 5 1 =− .2213 6 1тогда ha =Следовательно, площадь2 ⋅ S ABC= = 33BC82, поскольку6Пример 9.2. Известны прямоугольные координаты вершин A(1,1,3) , B(3, 5, 4) , C (− 1, 3, 2) ,D(5, 3, − 1) треугольной пирамиды ABCD .
Найти:а) длину отрезка DM , соединяющего вершину D пирамиды с точкой M пересечениямедиан грани ABC ;б) объем V ABCD пирамиды. а) Определяем координаты точки M пересечения медиан треугольника ABC ,используя частный случай формулы (9.1): 1 + 3 + (−1) 1 + 5 + 3 3 + 4 + 2 M;; , т.е. M (1, 3, 3) .333По формуле (9.2) находимDM =(1 − 5)2 + (3 − 3)2 + (3 + 1)2=4 2.б) Находим объем пирамиды ABCD . По формуле (9.4), вычитая первую строку изостальных строк и раскладывая определитель по последнему столбцу (см. разд.2.2),получаем∧V ABCD11 3=6 −151 35 43 23 −1111 1 2=1 6 −2411 34 12 −12 −412 4 10 1= ⋅ (− 1)1+ 4 ⋅ 1 ⋅ − 2 2 − 1 =0 64 2 −401= − ⋅ (− 16 − 16 − 4 − 8 − 32 + 4 ) = 12 .6^Следовательно, VABCD = VABCD= 12 . 79.1.2.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕПреобразования прямоугольных координат на плоскостиПриведем формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системыкоординат к другой прямоугольной системе координат. Рассмотрим три типа преобразований:а) параллельный перенос;б) поворот;в) зеркальное отражение в оси абсцисс (изменение направления оси ординат на противоположное).Координаты x , y точки в старой системе O i j и координаты x′ , y ′ в новой системе координат O′ i ′ j ′связаны следующими формулами:а) При параллельном переносе системы координат (рис.9.5,а) на вектор s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j : x = xs + x′ , y = y s + y′ .б) При повороте системы координат на угол ϕ (рис.9.5,б): x = x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ , y = x′ ⋅ sin ϕ + y′ ⋅ cos ϕ .y′ jyysjOO′ isxsiаy′xϕ jj′OРис.9.5y y′AyAx′x′i′ϕiбjOj′xAx′i xвв) При зеркальном отражении в оси абсцисс (изменении направления оси ординат напротивоположное) (рис.9.5,в): x = x′ , y = − y′ .8Любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости сводитсяк композиции преобразований, каждое из которых является либо параллельным переносом,либо поворотом, либо зеркальным отражением в оси координат.Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат O i j и O′ i ′ j ′ .Формулы, связывающие старые и новые координаты точки, имеют вид:– при одноименных системах координат, т.е при переходе от правой системык правой или от левой к левой (рис.9.6,а): x = xs + x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ ,′′ y = y s + x ⋅ sin ϕ + y ⋅ cos ϕ ,(9.5)– при разноименных системах координат (рис.9.6,б): x = xs + x′ ⋅ cos ϕ + y′ ⋅ sin ϕ ,′′ y = y s + x ⋅ sin ϕ − y ⋅ cos ϕ .(9.6)x′Ayy′ysjj′sO iϕjO′ ixsаi′ϕx′j ′′ysjxAyO iРис.9.6sϕ jϕi′O′ ′ ijy′xsбx9Для рассмотренных выше преобразований координат точек соответствующиевыражения новых координат через старые: x′ = x − x s ,а) ′ y = y − ys , x′ = x ⋅ cos ϕ + y ⋅ sin ϕ ,б) y′ = − x ⋅ sin ϕ + y ⋅ cos ϕ , x′ = x ,в) y′ = − y .Для преобразования (9.5) аналогичные формулы имеют вид: x′ = ( x − xs ) ⋅ cos ϕ + ( y − y s ) ⋅ sin ϕ , ′ y = − ( x − xs ) ⋅ sin ϕ + ( y − y s ) ⋅ cos ϕ .(9.7)При xs = 0 , y s = 0 и ϕ = π из соотношений (9.6) получается преобразование2 x = y′ , y = x′ ,изменяющее названия координатных осей (зеркальное отражение в прямой, содержащейбиссектрису первого координатного угла).10Преобразования прямоугольных координат в пространствеРассмотрим три типа преобразований прямоугольной системы координат:а) параллельный перенос;б) поворот вокруг координатной оси;в) зеркальное отражение в координатной плоскости (изменение направления однойкоординатной оси на противоположное).Координаты x , y , z точки в старой системе координат O i j k и координаты x′ , y ′ , z ′в новой системе координат O′ i ′ j′ k ′ связаны формулами:а) При параллельном переносе системы координат на вектор переноса началакоординат s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j + z s ⋅ k : x = x s + x′ , y = ys + y′ , z = z + z′ .sб) При повороте системы координат на угол ϕ вокруг оси аппликат: x = x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ , y = x′ ⋅ sin ϕ + y′ ⋅ cos ϕ ,z = z′ .Очевидно, что система координат на плоскости Oxy при этом преобразованииповорачивается на угол ϕ .в) При зеркальном отражении в плоскости Oxy (изменении направления оси аппликатна противоположное): x = x′ , y = y′ , z = − z′ .Аналогично определяются зеркальные отражения в других координатных плоскостях(изменение направлений осей абсцисс или ординат на противоположные).11Любое преобразование прямоугольной системы координатв пространстве сводится к композиции преобразований, каждое изкоторых является либо параллельным переносом, либо поворотомвокруг координатной оси, либо зеркальным отражениемв координатной плоскости.В частности, при композиции поворота на угол ϕ вокруг оси Ozи параллельного переноса на вектор s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j + z s ⋅ k формулыпреобразования координат имеют вид: x = xs + x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ , y = y s + x′ ⋅ sin ϕ + y′ ⋅ cos ϕ ,z = zs + z′ .(9.8)Формулы, выражающие новые координаты точек через старые,имеют вид: x ′ = ( x − x s ) ⋅ cos ϕ + ( y − y s ) ⋅ sin ϕ , ′ y = − ( x − x s ) ⋅ sin ϕ + ( y − y s ) ⋅ cos ϕ ,z′ = z − zs .(9.9)12Аналогичные формулы можно записать для других композиций преобразований.Например, чтобы получить формулы преобразования координат для композиции поворотана угол ϕ вокруг оси абсцисс и параллельного переноса на вектор s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j + z s ⋅ k , нужнозаписать формулы (9.8) или (9.9), сделав циклическую замену букв x на y , y на z , z на x :x = x s + x′ , y = y s + y′ ⋅ cos ϕ − z ′ ⋅ sin ϕ , z = z + y′ ⋅ sin ϕ + z ′ ⋅ cos ϕsилиx′ = x − xs , y ′ = ( y − y s ) ⋅ cos ϕ + ( z − z s ) ⋅ sin ϕ , z ′ = − ( y − y ) ⋅ sin ϕ + ( z − z ) ⋅ cos ϕ .ss(9.10)13Пример 9.3.