Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Презентация 5. Обратная матрица

Презентация 5. Обратная матрица (Лекции в виде презентаций)

PDF-файл Презентация 5. Обратная матрица (Лекции в виде презентаций) Линейная алгебра и аналитическая геометрия (8349): Лекции - 1 семестрПрезентация 5. Обратная матрица (Лекции в виде презентаций) - PDF (8349) - СтудИзба2017-06-17СтудИзба

Описание файла

Файл "Презентация 5. Обратная матрица" внутри архива находится в папке "Лекции в виде презентаций". PDF-файл из архива "Лекции в виде презентаций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "аналитическая геометрия" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ9.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ9.1.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕКПусть в пространстве фиксирована точка O . Совокупность точки O и базисаназывается аффинной (декартовой) системой координат, а точка O – началомкоординат.

Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисныхвекторов, называются координатными осями.Для любой точки A в заданной аффинной системе координат можно рассмотретьвектор OA , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой A (рис.9.1–9.3). Этот вектор называется радиус-вектором точки A .Аффинная система координат называется прямоугольной, если ее базисортонормированный (см. разд.8.3.5).Координатами вектора в прямоугольной системе координат называютсякоэффициенты в разложении вектора по стандартному базису (см. разд. 8.3.5).Координатами точки A в прямоугольной системе координат называютсякоординаты ее радиус-вектора OA в стандартном базисе.

В пространстве это коэффициентыx , y , z в разложении OA = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k , на плоскости – коэффициенты x , y в разложенииOA = x ⋅ i + y ⋅ j , на прямой – коэффициент x в разложении OA = x ⋅ i . При этом используютсяобозначения A( x, y, z ) , A( x, y ) , A(x ) соответственно. Прямоугольные координаты точки (илиее радиус-вектора) можно представить координатным столбцом: x  y  в пространстве,z  x  на плоскости. yКоординаты векторов и точек в прямоугольной системе координат называютсяпрямоугольными координатами.1Выбирая стандартные базисы (см. разд.8.3.5), получаем:Oi – прямоугольную систему координат на прямой – это точка O и единичный векторi на прямой.

Точки O и A (рис.9.1) на координатной оси Ox обозначаются O(0 ) и A(1) ;−2−1O0iA12 xРис.9.1– прямоугольную систему координат на–плоскостиэтоточка Oидвавзаимноперпендикулярных единичных вектора i и j наплоскости (вектор i – первый базисный вектор, а j –второй; пара векторов i , j – правая). Координатные осиOx (абсцисс) и Oy (ординат) разбивают плоскость на 4части, называемые четвертями (рис.9.2).

Точка A(1, 1) ,например, принадлежит I четверти;yOi j2IIA(1, 1)1Iji−2−1IIIO−112xIVРис.9.22– прямоугольную систему координат в пространстве – это точка O и трипопарно перпендикулярных единичных вектора i , j , k (вектор i – первый базисный вектор,j – второй, а k – третий; тройка векторов i , j , k – правая). Координатные осиобозначаются: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат.Координатные плоскости Oxy , Oxz , Oyz , проходящие через пары координатныхосей, разбивают пространство на 8 октантов (рис.9.3). Точка A(1, 2, 2) , например,принадлежит I октанту.Oi j kIIIOyIIz2IVI1k−2−1iA(1, 2, 2 )jO211VII2yVI−1OxxVIIIVРис.9.33Прямоугольные системы координат обозначают также указанием начала координат икоординатных осей, например Ox , Oxy , Oxyz .Чтобы найти координаты вектора AB с началом в точке A(x A , y A , z A ) и концом вточке B(xB , y B , z B ) , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координатыего начала:AB = (xB − x A )⋅ i + ( y B − y A )⋅ j + (z B − z A )⋅ k .Это же правило справедливо для прямоугольных систем координат на плоскости и напрямой.Координаты точки M , которая делит отрезок AB в отношенииβ > 0 ),AM β=MB α(α > 0,определяются по координатам его концов A(x A , y A , z A ) и B(xB , y B , z B ) (см.

разд.2.1.1): α ⋅ x A + β ⋅ xB α ⋅ y A + β ⋅ y B α ⋅ z A + β ⋅ z B  .M ;;α+βα+βα+β(9.1)В частности: x A + xB y A + y B z A + z B ;;222– точка M – середина отрезка AB ; x A + xB + xС y A + y B + yС z A + z B + zС;;333– точка M – точка пересечения медиантреугольника ABC .Аналогичные формулы справедливы для координат точек на плоскости и на прямой.4В прямоугольной системе координат расстояние AB между точками A(x A , y A , z A ) иB (xB , y B , z B ) находится по формулеAB =(xB − x A )2 + (y B − y A )2 + (z B − z A )2 .(9.2)Для координатной плоскости и координатной прямой соответственно получаем:AB =(xB − x A )2 + (yB − y A )2 ;AB = xB − x A .Если на плоскости известны прямоугольные координаты вершин A(x A , y A ) , B(xB , y B ) ,^, гдеC (xC , yC ) треугольника ABC , то его площадь вычисляется по формуле S ABC = S ABC∧S ABCxA1= ⋅ xB2xCyA 1yB 1 .(9.3)yC 1Если известны прямоугольные координаты вершин A(x A , y A , z A ) , B(xB , y B , z B ) ,C (xC , yC , zC ) , D (xD , y D , z D ) треугольной пирамиды ABCD , то ее объем вычисляется по∧формуле VABCD = VABCD, где∧V ABCDxA1 x= ⋅ B6 xCxDyAyByCyDzAzBzCzD11.11(9.4)5Пример 9.1.

Известны прямоугольные координаты вершин A(1,1) , B(4, 5) , C (13, 6) треугольникаABC (рис.9.4). Найти:Aа) длину медианы AM ;б) длину биссектрисы AL ;haв) высоту ha , опущенную из вершины A . а) По формуле (9.1) определяем координаты точки M –середины стороны BC : M (4 +213 , 5 +2 6 ) , т.е. M (172 , 112 ) . Используя частныйBРис.9.4случай формулы (9.2) для плоскости, вычисляем длину медианы:б) ОпределяемBL : LC = AB : ACAC =22306.AM =  17 − 1 +  11 − 1 =22 2координаты точки L , которая делит сторону BCL MСв отношении(свойство биссектрисы треугольника).

Так как AB = (4 − 1)2 + (5 − 1)2 = 5 и(13 − 1)2 + (6 − 1)2= 13 , то по формуле (9.1), учитывая, что BL : LC = 5 : 13 ⇒ α = 13 , β = 5 ,находим L 13 ⋅ 4 + 5 ⋅ 13 , 13 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6  , т.е. L 13 , 95  . Вычисляем длину биссектрисы:13 + 513 + 5 2 18 2211 ⋅ 130.AL =  13 − 1 +  95 − 1 =182  18 в) По формуле (9.3) имеем:треугольника ABCBC =(13 − 4)2 + (6 − 5)2∧S ABC^S ABC = S ABC= 33 ,2= 82 .1 1 1133= ⋅ 4 5 1 =− .2213 6 1тогда ha =Следовательно, площадь2 ⋅ S ABC= = 33BC82, поскольку6Пример 9.2. Известны прямоугольные координаты вершин A(1,1,3) , B(3, 5, 4) , C (− 1, 3, 2) ,D(5, 3, − 1) треугольной пирамиды ABCD .

Найти:а) длину отрезка DM , соединяющего вершину D пирамиды с точкой M пересечениямедиан грани ABC ;б) объем V ABCD пирамиды. а) Определяем координаты точки M пересечения медиан треугольника ABC ,используя частный случай формулы (9.1): 1 + 3 + (−1) 1 + 5 + 3 3 + 4 + 2 M;; , т.е. M (1, 3, 3) .333По формуле (9.2) находимDM =(1 − 5)2 + (3 − 3)2 + (3 + 1)2=4 2.б) Находим объем пирамиды ABCD . По формуле (9.4), вычитая первую строку изостальных строк и раскладывая определитель по последнему столбцу (см. разд.2.2),получаем∧V ABCD11 3=6 −151 35 43 23 −1111 1 2=1 6 −2411 34 12 −12 −412 4 10 1= ⋅ (− 1)1+ 4 ⋅ 1 ⋅ − 2 2 − 1 =0 64 2 −401= − ⋅ (− 16 − 16 − 4 − 8 − 32 + 4 ) = 12 .6^Следовательно, VABCD = VABCD= 12 . 79.1.2.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕПреобразования прямоугольных координат на плоскостиПриведем формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системыкоординат к другой прямоугольной системе координат. Рассмотрим три типа преобразований:а) параллельный перенос;б) поворот;в) зеркальное отражение в оси абсцисс (изменение направления оси ординат на противоположное).Координаты x , y точки в старой системе O i j и координаты x′ , y ′ в новой системе координат O′ i ′ j ′связаны следующими формулами:а) При параллельном переносе системы координат (рис.9.5,а) на вектор s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j : x = xs + x′ , y = y s + y′ .б) При повороте системы координат на угол ϕ (рис.9.5,б): x = x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ , y = x′ ⋅ sin ϕ + y′ ⋅ cos ϕ .y′ jyysjOO′ isxsiаy′xϕ jj′OРис.9.5y y′AyAx′x′i′ϕiбjOj′xAx′i xвв) При зеркальном отражении в оси абсцисс (изменении направления оси ординат напротивоположное) (рис.9.5,в): x = x′ , y = − y′ .8Любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости сводитсяк композиции преобразований, каждое из которых является либо параллельным переносом,либо поворотом, либо зеркальным отражением в оси координат.Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат O i j и O′ i ′ j ′ .Формулы, связывающие старые и новые координаты точки, имеют вид:– при одноименных системах координат, т.е при переходе от правой системык правой или от левой к левой (рис.9.6,а): x = xs + x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ ,′′ y = y s + x ⋅ sin ϕ + y ⋅ cos ϕ ,(9.5)– при разноименных системах координат (рис.9.6,б): x = xs + x′ ⋅ cos ϕ + y′ ⋅ sin ϕ ,′′ y = y s + x ⋅ sin ϕ − y ⋅ cos ϕ .(9.6)x′Ayy′ysjj′sO iϕjO′ ixsаi′ϕx′j ′′ysjxAyO iРис.9.6sϕ jϕi′O′ ′ ijy′xsбx9Для рассмотренных выше преобразований координат точек соответствующиевыражения новых координат через старые: x′ = x − x s ,а)  ′ y = y − ys , x′ = x ⋅ cos ϕ + y ⋅ sin ϕ ,б)  y′ = − x ⋅ sin ϕ + y ⋅ cos ϕ , x′ = x ,в)  y′ = − y .Для преобразования (9.5) аналогичные формулы имеют вид: x′ = ( x − xs ) ⋅ cos ϕ + ( y − y s ) ⋅ sin ϕ , ′ y = − ( x − xs ) ⋅ sin ϕ + ( y − y s ) ⋅ cos ϕ .(9.7)При xs = 0 , y s = 0 и ϕ = π из соотношений (9.6) получается преобразование2 x = y′ , y = x′ ,изменяющее названия координатных осей (зеркальное отражение в прямой, содержащейбиссектрису первого координатного угла).10Преобразования прямоугольных координат в пространствеРассмотрим три типа преобразований прямоугольной системы координат:а) параллельный перенос;б) поворот вокруг координатной оси;в) зеркальное отражение в координатной плоскости (изменение направления однойкоординатной оси на противоположное).Координаты x , y , z точки в старой системе координат O i j k и координаты x′ , y ′ , z ′в новой системе координат O′ i ′ j′ k ′ связаны формулами:а) При параллельном переносе системы координат на вектор переноса началакоординат s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j + z s ⋅ k : x = x s + x′ , y = ys + y′ , z = z + z′ .sб) При повороте системы координат на угол ϕ вокруг оси аппликат: x = x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ , y = x′ ⋅ sin ϕ + y′ ⋅ cos ϕ ,z = z′ .Очевидно, что система координат на плоскости Oxy при этом преобразованииповорачивается на угол ϕ .в) При зеркальном отражении в плоскости Oxy (изменении направления оси аппликатна противоположное): x = x′ , y = y′ , z = − z′ .Аналогично определяются зеркальные отражения в других координатных плоскостях(изменение направлений осей абсцисс или ординат на противоположные).11Любое преобразование прямоугольной системы координатв пространстве сводится к композиции преобразований, каждое изкоторых является либо параллельным переносом, либо поворотомвокруг координатной оси, либо зеркальным отражениемв координатной плоскости.В частности, при композиции поворота на угол ϕ вокруг оси Ozи параллельного переноса на вектор s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j + z s ⋅ k формулыпреобразования координат имеют вид: x = xs + x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ , y = y s + x′ ⋅ sin ϕ + y′ ⋅ cos ϕ ,z = zs + z′ .(9.8)Формулы, выражающие новые координаты точек через старые,имеют вид: x ′ = ( x − x s ) ⋅ cos ϕ + ( y − y s ) ⋅ sin ϕ , ′ y = − ( x − x s ) ⋅ sin ϕ + ( y − y s ) ⋅ cos ϕ ,z′ = z − zs .(9.9)12Аналогичные формулы можно записать для других композиций преобразований.Например, чтобы получить формулы преобразования координат для композиции поворотана угол ϕ вокруг оси абсцисс и параллельного переноса на вектор s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j + z s ⋅ k , нужнозаписать формулы (9.8) или (9.9), сделав циклическую замену букв x на y , y на z , z на x :x = x s + x′ , y = y s + y′ ⋅ cos ϕ − z ′ ⋅ sin ϕ , z = z + y′ ⋅ sin ϕ + z ′ ⋅ cos ϕsилиx′ = x − xs , y ′ = ( y − y s ) ⋅ cos ϕ + ( z − z s ) ⋅ sin ϕ , z ′ = − ( y − y ) ⋅ sin ϕ + ( z − z ) ⋅ cos ϕ .ss(9.10)13Пример 9.3.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее