Зорина ФНП (И.Г. Зорина, Т.И. Лапшенкова, А.Л. Сунчалина - Функции нескольких переменных - Методические указания к выполнению типового расчета)
Описание файла
PDF-файл из архива "И.Г. Зорина, Т.И. Лапшенкова, А.Л. Сунчалина - Функции нескольких переменных - Методические указания к выполнению типового расчета", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
УДК 517.9 ББК 22.161 Ф94 Рецензент ИД Покровска й ВВЕДЕНИЕ УДК 517,9 ББК 22Д 6! О МГТУ юь Нкх Баумана, 2013 ГБВН 978-5-7038-3677-4 Ф94 Функции нескольких переменных: метод. указания к выполнению типового расчета! И. Г. Зорина, Т. И. Лапшенкоаа, А. Л, Гунчалива; пад ред. И. О. Янова. М.: Изл-во МГТУ ям. Н.Э. Баумана, 2013. — 61, ~З) сл ил. 1БВЛ' 978-5-7038-3677-4 Приведены краткие теоретические сведения по теме «Функция нескольких переменных», разобрано бальпюе число детально решенных типовых примеров, которые предполагают глубокое понимание теоретического материала, Приведены задачи типового расчета. Для самостоятельной работы студентов, изучающих функции нескольких переменных. Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учебного комплекса «Фундаментальные наую»> МГТУ нм.
Н.Э. Баумана. Раздел математического анализа «Функции нескольких переменных», который более точно можно назвать «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных», является продолжением раздела «Дифференциальное исчисление (функции одной переменной)» и служит фундаментом при изучении последующих частей математического анализа, таких как «Кратные интегралы», «Численные методы», «Уравнения математической физики» и др. Кроме того, некоторые задачи раздела «Функции нескольких переменных» могут найти непосредственное применение на практике„ например, поиск экстремума функции нескольких переменных, интерполирование функций по методу наименьших квадратов и интерполирование сплайнами, вариациощюе исчисление и т.
д. 1. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Определение. Сизлирпой функиивй векторного аргумента называют закон Г, по которому каждой точке Х =(х,,..., х„) некотарага множества ХЭ из и-мернага вещественного арифметического пространства К" поставлено в соответствие единственное вещественное число у = Г'(Х). Функцию у = 3" (х,,..., х„), где 7: 23 -+ 1к, также называют функцией п переменных, или фуикт!ивй нескольких переменных ГФНП). Множество 23 называют областью определении ФНП, а множество Е =(у!у = 7 (х!,...,х„)„(х,,...,х„) и В) — областью зпаче- вий ФНП. Гели ФНП задана формулой, то можно найти ее естественную область определения, состояп2ую из всех Х = (х, „...,х„), для которых определена Г(Х), т.
е. справедлива формула„ задак2щая эту функцию, так как в нее входят только известные элементарные функции, введенные для одной переменной. Используя известные области допустимых значений этих элементарных функций, получаем область определения ФНП в пространстве И, записанную в виде системы неравенств. Изобразить зту область можно на плоскости для в =2 или в обычном трехмерном пространстве для и = 3. Пример 1. Найти область определения функции 4:х,/Гу 1п(х+ у) Решение. Запишем систему ограничений х+у>0, х .~- у е 1, Изобразим эту систему на плоскости.
д Для этого заменим все неравенства на равенства, по полученным уравнениям построим соответствующие линии, затем с помощью пробных точек установим, где лежит искомая область О а,, ' ~ 1 (рис. 1). Линии, входящие в область О, изобразим сплошными линиями, а не входящие — пунктирными. Точки А(1; О) Рис. 1 и В(0; 1) — точки разрыва, отрезок АВ целиком состоит из точек разрыва и называется ливией Разрыва.
Определение. Графиком функции Г: О -+ И называется мно- жество Г = ((х,, ..., х„, у) е Иан ~'Ф(хо ..., х„) е Й, у = Г(х2, ..., х„)) График Г описывает множество точек в (и + 1)-мерном пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению у= = Г(х,, х,, ..., х„). Графиком функции двух переменных, т. е. х = ~'(х, у), является поверхность. Например, для функции 2,2 х = х + у — это параболоид вращения с осью вращения ОЛ. Существует и другой способ графической интерпретации ФНП. Определение. Пусть дана функция и-переменных у = Яхь х2„ х„). Множество ~(хо х2, ..., х„) н О ~ И" фх„х2, ..., х„) = сопз1~ называется поверхностью уровня.
Д2гя функции двух переменных х = Г(х, у) получаем линии уровня Г, =((х у)фх у)=С,Се Е~:И). Каждая из этих линий представляет собой кривую на плоскости ХОР, лежащую в области П„во всех точках которой функция х =- ~(х„у) имеет постоянное значение С Линии уровня 1", можно получить из графика фушщии Г путем сечения его плоскостями я = С, проецируя полученные линии пересечения на плоскость ХОК По линиям уровня иа плоскости, наоборот, можно представить себе график функции в пространстве, если каж20ю линию уровня Гг на плоскости г =0 поднять на С единиц, т.
е. расположить ее на плоскости я = С Таким образом, моясно изобразить любую поверхность в пространстве в виде семейства линий уровня на плоскости. Это используется, например, в географических картах для изображения рельефа местности. рассмотрим функцию х=х +у . Линии уровня для этой функции — окружности х2 ' у =С(С > О) с центрам в начале координат и радиусами /С. Если каждую окружность радиусом /С поднять иа С (по оси О2), то можно представить себе параболоид вращения, т. е, график исходной функции.
Для функции трех переменных и = Г(х,у,г) получаем поверхности уровня Г =((х,у,г)~/(х,у,х)=С, СнЕ<:И). Например, функция и=х+у+х имеет поверхности уровня х+у+ я=С, С и Ж. Они представляют собой параллельные плоскости, отсекающие от осей координат одинаковые отрезки, равные С Если изобразить эти плоскости и указать на каждой значение С, т. е. н (и =: С), то можно получить какое-то представление о распределении физического параметра и (например, температуры) по всему пространству квк о функции трех переменных.
Пример 2. Используя линии уровня, найти минимальное и 3 максимальное значения функции х = х" + у в области определе- ния'функции б(х,у) = агсз(п(х — 2) + агссоз —, у 2 Решение. Линии уровня функции х = х + у есть окружности 2 2 х'+у' =С(С>0). Запишем область допустимых значений дру- ~х — 2(<1, гой функции: у или — <1 (-2<у<2. 2 Получим прямоугольник со сторонами х=-!, х=З, у= — 2, у = 2, причем границы входят в область 13. Изобразим зту область и линии уровня для С = 0 и С = 1 на плоскости (рис. 2).
Рис. 2 Линии уровня С = 1 касаются границы области Х) и соответ. ствуют минимальному значению функции х,„= 1, так как меньшие значения не входят в область 23. Иа рис. 2 пунктиром показана ли- ния уровня, соответствующая С < 1 (х < 1). Она не пересекается с областью, позтому не существует значения х < 1, т. е.
минимум функции в области 13 е и = 1. Для определения х„, надо найти линию уровня с максимальным С', которая пересекает область 0 хотя бы в одной точке, а любая линия уровня, соответствующая большему значению С, не пересекает область 13. Такой линией уровня является х' +у~ = 13, т. е. окружность радиусом «1г!3. Радиус равен длине ОА или ОВ.
Координаты точки А(3; 2), отсюда ОА = = «/3+2' = /13, х =13. Этот максимум достигается в точке А(3; 2) или В(3; — 2). Минимум хав = 1 достигается в точке (1; О). 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Пусть внутренняя точка М = (х, „..., х„) принадлежит области П<:Ж" задания функции у=Г"(х,,...,х„). Если всем аргументам придать произвольные приращения Лх„Лх,р ..., Лхд так, чтобы точка (х, + Лх„х, + Лхм.-~ хи '~- Ахи) оставалась в области задания функции, то величина Лу = = 1'(х« -ь Л х„, х„~- Лх„...,х, + Лх„) -г (х„, х„..., х„) получит название полного приращения или просто приращения функции у = г (хо, х„) в точке М = (х„..., х„). Зафиксируем все аргументы, кроме одного, например, х, (1=1 ...
и), и аргументу х, придавим произвольное приращение Лх, так, чтобы точка Х=(х, х,. +Лх„...,х„) находилась в области задания втой функции. Определение, Величина Лу„= Г (х„, ...„х, + Лх„..., х„)— -~(хо ..., х„..., х„) называется частным приращением функции нескольких переменных по х,. Если же всем аргументам придать произвольные приращения Лье Ат,, „Лх„так, чтобы точка (х,+Ахпх +Лз",...,х„+Лх,) оста- валась в области задания фуню~ии, то полным приращением или просто приращением функции у.= «(хо...,х,) в точке М=(х„...,х,) называется величина Лу = «'(х, + Лх,, ..., х, ч Лх„..., хо + Лх„)— — «(х„..., х„..., х„).
Определение. Частной производной функции у = «'(хн ..., х, ) в точке М(х„..., хо) по аргументу х, называется предел (если он существует и конечен) отношения частного приращения Лу, функции в точке М к соответствующему приращению Лх, аргуду мента в этой точке при Лх, -+ О: — = 1пп — '.
дх оь- о Лх Помимо — применяют также обозначения —, уь „«; . од' дх, дх, Видим, что частная производная по аргументу х, представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной х, при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому вычисление частных производных проводится по обычным прави- лам дифференцирования функции одной переменной, Рассмотрим примеры для функций двух переменных г= = «(х, у) и трех переменных и = ~(х, у, х).
Пример 1. Найти частные производные от функции я= = (яп х) Решение. Вычисляя частную производную по переменной х, рассматриваем х =(япх) х как сложную степенную функцию вида и', где и = з1п х и со = соку. Так как производная и ) =пи" ~и', ау= сопз1, то ( дх — = созу(япх)о"х соя х. дх При нахождении частной производной по переменной у заданную функцию рассматриваем как показательную вида а', где — =(япх) «1п(япх)( — япу). ф Пример 2. Найти значение частной производной функции г = агс1я — в точке М (1„2). у Решение. Найдем сначала все частные производные заданной функции в произвольной точке М(х; у): ду у х х ьу х хз и подставим в них координаты точки Мо (1; 2): де 2 дг 1 ~ио ' ~ио дх " 5 ду ' 5 Пример 3. Найти частные производные от функции и =2у«х+Зу'(«г"-.