Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Ильичев,Крапоткин,Савин - Линейные операторы

Ильичев,Крапоткин,Савин - Линейные операторы (МУ - Линейные операторы), страница 2

PDF-файл Ильичев,Крапоткин,Савин - Линейные операторы (МУ - Линейные операторы), страница 2 Линейная алгебра и аналитическая геометрия (8): Книга - 2 семестрИльичев,Крапоткин,Савин - Линейные операторы (МУ - Линейные операторы) - PDF, страница 2 (8) - СтудИзба2019-01-08СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "МУ - Линейные операторы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 2 страницы из PDF

dLQ L@BYH KWADRATNYH MATRIC A I B ODINAKOWOGORAZMERAtr AB tr BA :dOKAZATELXSTWO pO PRAWILU UMNOVENIQ MATRIC I OPREDELENI@ SLEDA MATRICY() =().tr AB() =0X @Xij-101XXaij bjiA = @ bjiaij A = tr (BA):jioPREDELITELX I SLED MATRICY LINEJNOGO OPERATORA A L ! L NE ZAWISIT OT BAZISA BLdOKAZATELXSTWO zAFIKSIRUEM DWA PROIZWOLXNYH BAZISA BLI BL0 W PROSTRANSTWE L pUSTX P M BL ! BL0 MATRICAPEREHODA OT BAZISA BL K BAZISU BL0 TOGDA OPREDELITELX MATRICY A0 LINEJNOGO OPERATORA A W BAZISE BL0 RAWEN OPREDELITEL@MATRICY A LINEJNOGO OPERATORA A W BAZISE BL POSKOLXKUA0P ;1APP ;1 A PA:iSPOLXZUQ LEMMU UBEVDAEMSQ W RAWENSTWE SLEDOW MATRIC A0 IAtEOREMA.-:...=] {,-,det= det() = detdetdet= det,:tr A0 tr P ;1AP=() =tr PP ;1A() =tr A:3.14pREOBRAZOWANIE MATRICYtAKIM OBRAZOM IME@T SMYSL PONQTIQ OPREDELITELX I SLEDLINEJNOGO OPERATORA A L ! L |TI WELI^INY NE IZMENQ@TSQPRI PEREHODE OT ODNOGO BAZISA K DRUGOMU TO ESTX QWLQ@TSQINWARIANTAMI LINEJNOGO OPERATORApRIMER 22 w BAZISE fe1 e2g MATRICA LINEJNOGO OPERATORAA IR2 ! IR2 IMEET WID,:.,..:0A = @23451A:nAJTI MATRICU OPERATORA A W BAZISE fe01 e02g ESLI e01 e1 ; e2e02 e1 e2rEENIE mATRICA PEREHODA OT STAROGO BAZISA fe1 e2g K NOWOMU BAZISU fe01 e02g I OBRATNAQ K NEJ IME@T SOOTWETSTWENNOWID010111;P @ ; A P ;1 @ 12 12 A :,=+=..-,=tOGDA111=1; 12 1A 0@,2234510A@21;A:A0 P ;1AP1;;22zAME^ANIE sRAWNITE OPREDELITELI I SLEDY MATRIC A I012= @1=A0,11111 0A=@0127..pRIMER 23.

w BAZISE fe01 e02g MATRICA LINEJNOGO OPERATORAA IR2 ! IR2 IMEET WID:0A0 = @ 10021A:nAJTI MATRICU A OPERATORA A W BAZISE fe1 e2g ESLI e01 e1 ;e2 e02 e1 e2,,=+.=dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4.15rEENIE mATRICA PEREHODA P OT STAROGO BAZISA fe1 e2g KNOWOMU BAZISU fe01 e02g I OBRATNAQ K NEJ P ;1 NAJDENY W PRIMEREtAKIM OBRAZOM IMEEM01010 11 03 111;0;1@A@A @ 21 1 2 A @ 21 32 A :A PA P;2222zAME^ANIE sRAWNITE OPREDELITELI I SLEDY MATRIC A IA0.22.,==11110102=..dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4oPREDELENIE.

oPERATORY A : L ! M , B : L ! MNAZYWA@TSQRAWNYMI ESLI 8x 2 L Ax Bx pRI \TOM PIUT A BoPREDELENIE sUMMOJ OPERATOROW A L ! M B L !M NAZYWAETSQ OPERATOR A B L ! M DEJSTWU@]IJ POPRAWILUA B x Ax Bx 8x 2 L:oPREDELENIE pROIZWEDENIEM OPERATORA A L ! M NA ^ISLO NAZYWAETSQ OPERATOR A L ! M DEJSTWU@]IJ POPRAWILUA x Ax 8x 2 L:oPREDELENIE pROIZWEDENIEM KOMPOZICIEJ OPERATOROWA K ! M B L ! K NAZYWAETSQ OPERATOR AB L ! MDEJSTWU]IJ PO PRAWILUAB x A Bx 8x 2 L:sTEPENX OPERATORA A L ! L OPREDELQETSQ INDUKTIWNOA0 E A1 A A2 AA : : : An AAn;1,,=.=.:((+)+=) :,.:,+:()=() :().:,,():(()=(=) :,):=-:==dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4.16GDE E L ! L EDINI^NYJ OPERATORzAME^ANIE wOOB]E GOWORQ AB 6 BApRIMER 24 pOKAZATX ^TO ESLI A I B LINEJNYE OPERATORY TO OPERATORY A A B AB TAKVE LINEJNYE PRIUSLOWII ^TO A B I AB SU]ESTWU@TdEJSTWITELXNO 8 2 IRA x y A x y Ax Ay Ax Ay A x A yA B x y A x y B x y Ax AyBx By Ax Bx Ay By A B x A B yAB x y A B x y A Bx ByA B x A By AB x AB yuTWERVDENIE uMNOVENI@ LINEJNYH OPERATOROW NA ^ISLASLOVENI@ I UMNOVENI@ LINEJNYH OPERATOROW SOOTWETSTWU@TTAKIE VE DEJSTWIQ S IH MATRICAMIzAME^ANIE iZ PRIMERA SLEDUET ^TO MNOVESTWO WSEH LINEJNYH OPERATOROW DEJSTWU@]IH IZ LINEJNOGO PROSTRANSTWAL W LINEJNOE PROSTRANSTWO M PREDSTAWLQET SOBOJ LINEJNOEPROSTRANSTWO OTNOSITELXNO SLOVENIQ OPERATOROW I UMNOVENIQIH NA ^ISLApRIMER 25 pUSTX P xa0 a1x : : : anxn MNOGO^LENai 2 IR pO ANALOGII MOVNO OPREDELITX OPERATOR OPERATORNYJ MNOGO^LEN P A a0 a1A : : : anAn GDE A L ! LLINEJNYJ OPERATOR iZ PREDYDU]EGO PRIMERA SLEDUET ^TOOPERATOR P A L ! L LINEJNYJeSLI P ANULEWOJ OPERATOR TO OPERATOR A NAZYWAETSQ NULEM OPERATORNOGO MNOGO^LENA PpRIMER 26 pUSTX DEJSTWIE OPERATORA A IR3 ! IR3 NAPROIZWOLXNYJ WEKTOR IME@]IJ KOORDINATY x y z OPREDELE:{..,..,,{,,=+,-{().+,1) ((2) ()(+) =(+3) (())(+) =))) =(+) =()+) .()+(++(+) =(() =(+(++=)() =(+(+()++(+) =)) =) =((+)+++() ==++) .()+) ..,..24,-,,..() =+++{.,()({) =+++,:.(() :,{) = {-.,-..:,,-dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4.17NO RAWENSTWOM A x y z x y nAJTI A E x y z IA3 x y zrEENIEA E x y z A x y z E x y z x y x y zx x y y zA3 x y z A A A x y z A A x y A x :tAKIM OBRAZOM A3NULEWOJ OPERATORpRIMER 27 pUSTX DEJSTWIE OPERATOROW A IR3 ! IR2B IR3 ! IR2 NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR r S KOORDINATAMI x y zOPREDELENO W NEKOTORYH FIKSIROWANNYH BAZISAH PROSTRANSTWIR3 IR2 RAWENSTWAMIA x y zx y z B x y z x ; z y :nAJTI REZULXTATY DEJSTWIQ OPERATOROW A B A A ; B NAWEKTOR r x y zrEENIEA B x y z A x y z B x y zx y z x ; z yx ; z y zA x y z A x y zx y zx y zA ; B x y z A x y z ; B x y zx y z ;x ; z y x y z ; x ; z y ;x z ; y z :pRIMER 28 pUSTX DEJSTWIE OPERATOROW A IR3 ! IR2B IR2 ! IR2 NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR S KOORDINATAMI x y zOPREDELENO W NEKOTORYH FIKSIROWANNYH BAZISAH PROSTRANSTWIR3 IR2 RAWENSTWAMIA x y zx y z B x y y x :(()=(0).(+)()) +())..(+)()=() += (()=(((+() = (0+)))=()(0))== {(0 0)=(0 0 0)..,::,() = (2+)() = (+= (), 3, 25)..1) (+= (22) (33) (25()(+) =) + ()() +)(() = 2)=(4() = (3) = 35(2+ 2 )) =2) = 3(2((5++)) = (6)5(55 )=(3) = 2(2+ 5.:,) = (2+)() = (+3:(+ 3 )))+ 2 ),dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4.18oPREDELITX DEJSTWIE OPERATOROW BA I B2rEENIEBA x y z B A x y z B x y z y z xB2 x y B B x y B y x x y TO ESTX B2 E GDE E EDINI^NYJ OPERATORpRIMER 29 pUSTX DEJSTWIE OPERATORA A IR2 ! IR2 NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR S KOORDINATAMI x y OPREDELENO W NEKOTOROMBAZISE PROSTRANSTWA IR2 RAWENSTWOM A x y x y x ynAJTI P A A2 ; A ; E GDE E EDINI^NYJ OPERATORrEENIE..1)(2)) =() ==((((,)) =)) =(2(+) = () = (2)){..:((+) =52,-) = (+23+ 4 ).{..1 SPOSOB.A2 x y(((xA A x y(+2 )+2(3APA(5)((x(7Axy x yyx y x yx yx y x yx y A x y x y x y x y x yx y A2; A; E x y A2 x y ; A x y ; E x yy x y ; x y x y ; x y :) =)=5)(+ 10()) =+4 ) 3((515+ 22 )+ 23+2 )+4(3)=5()=((2+23)()=(5+ 10+ 4 ) =+4 ))=(7+4 )=(5()15+10+10(515)(+ 20 )15+22 )+20 ))(22() =2 ) = (0 0)2 SPOSOB.lINEJNOSTX OPERATORA A USTANOWLENA W PRIMERE pODEJSTWOWAW NA BAZISNYE WEKTORY e1 e2 OPERATOROM AAe1 A Ae2 A NAJDEM EGO MATRICU4.,=:(1 0) = (1 3):-=0A = @1324(0 1) = (2 4)1A:pOSKOLXKU DEJSTWIQM NAD LINEJNYMI OPERATORAMI OTWE^A@TTAKIE VE DEJSTWIQ NAD IH MATRICAMI MATRICA P LINEJNOGO,dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4.OPERATORA P A ESTX()02= A ; 5A ; 2E = @P7101522191 0A;5 @ 12341 0A; 2 @ 10011 0A = @00001A:tAKIM OBRAZOM P AGDE NULEWOJ OPERATOR A A ESTXNULX OPERATORNOGO MNOGO^LENA P,() = , {,.pUSTX DEJSTWIE OPERATOROW A IR3 ! IR2B IR3 ! IR2 C IR3 ! IR2 NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR S KOORDINATAMI x y z OPREDELENO W NEKOTORYH FIKSIROWANNYH BAZISAHPROSTRANSTW IR3 IR2 RAWENSTWAMIA x y z x y z x y B x y zx z x y C x y zy x :uBEDIWISX W LINEJNOSTI OPERATOROW A B C POKAZATX ^TOONI LINEJNO NEZAWISIMY KAK \LEMENTY PROSTRANSTWA LINEJNYH OPERATOROW DEJSTWU@]IH IZ IR3 W IR2rEENIE lINEJNOSTX OPERATOROW A B C PROWERQETSQ SAMOSTOQTELXNO pUSTX A B CNULEWOJ OPERATOR tOGDAA B C x y z A x y z B x y z C x y z ILI x y z x y x z x y y xPOKOMPONENTNO8< x y z x z y: x y x y x:|TI RAWENSTWA DOLVNY WYPOLNQTXSQ DLQ L@BYH x y z w ^ASTNOSTI POLOVIW xy ; z ; POLU^IM NAJDEM tAKIM OBRAZOMpOLOVIW xy zOPERATORY A B C LINEJNO NEZAWISIMYpRIMER 30.::,,:-,() = ((+) = (2++)() = (2++)),,,,(-,)..,.(+(+++)(+++) =) +++) +(+) +(.)++(-= {((2,(2+(+) ++) +) +)+(2() = (0 0)(2 ) = 0= 0.,= 1,= 0,,,==1,=) =2,= 1,== 0..-= 0.,2055.sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQsOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ LINEJNOGO OPERATORAnENULEWOJ WEKTOR x 2 L NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM LINEJNOGO OPERATORA A L ! L ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO ^TO Ax x ~ISLO NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM OPERATORA A SOOTWETSTWU@]IM SOBSTWENNOMUWEKTORU xzAME^ANIE sOBSTWENNYE WEKTORY OPREDELQ@TSQ S TO^NOSTX@ DO NENULEWYH ^ISLOWYH MNOVITELEJ eSLI x SOBSTWENNYJWEKTOR LINEJNOGO OPERATORA A SOOTWETSTWU@]IJ SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ TO 8k 6 WEKTOR kx TAKVE QWLQETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM OPERATORA A SOOTWETSTWU@]IM SOBSTWENNOMUZNA^ENI@ POSKOLXKU Ax x ) A kx kxtEOREMA sOBSTWENNYE WEKTORY OTWE^A@]IE RAZLI^NYMSOBSTWENNYM ZNA^ENIQM LINEJNOGO OPERATORA A LINEJNO NEZAWISIMYpRIMER 31 pUSTX E L ! L EDINI^NYJ OPERATOR TOGDA8x 2 L E x x TO ESTX WSQKIJ NENULEWOJ WEKTOR x 2 L QWLQETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM OPERATORA E SOOTWETSTWU@]IMSOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ pRIMER 32 pUSTX U IR2 ! IR2 OPERATOR POWOROTA KAVDOGO WEKTORA IZ IR2 NA UGOL ' = |TOT OPERATOR LINEJNYJ NO NI ODIN NENULEWOJ WEKTOR x 2 IR2 NE PREOBRAZUETSQIM W WEKTOR WIDA x ^TO OZNA^AET OTSUTSTWIE U OPERATORA USOBSTWENNYH WEKTOROW I SOBSTWENNYH ZNA^ENIJpRIMER 33 pUSTX U IR2 ! IR2 OPERATOR POWOROTA KAVDOGO WEKTORA IZ IR2 NA UGOL ' o^EWIDNO DEJSTWIE OPERATORAU OPREDELQETSQ RAWENSTWOM U x ;x ; x IZ KOTOROGO SLEoPREDELENIE.-:=,,-.-,..-{.,,-= 0-,=,=.() =().,,-..= 1:{,,-,= 1..:{=-2.{-,,..:-=.=,= (1),-5.sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ21DUET ^TO WSQKIJ NENULEWOJ WEKTOR IZ IR2 QWLQETSQ SOBSTWENNYMWEKTOROM OPERATORA U SOOTWETSTWU@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ ;d11OPERApRIMER 34 pUSTX Ddt C IR ! C IRTOR DIFFERENCIROWANIQ W LINEJNOM PROSTRANSTWE BESKONE^NODIFFERENCIRUEMYH NA WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ FUNKCIJ TOGDAFUNKCIQt 2 C 1 IR 6ftMOVET RASSMATRIWATXSQ KAK SOBSTWENNYJ WEKTOR OPERATORA D S SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM POSKOLXKU Df ftEOREMA pUSTX LINEJNYJ OPERATOR A L ! L DEJSTWUETW KONE^NOMERNOM LINEJNOM PROSTRANSTWE A M A BL BLMATRICA OPERATORA A W NEKOTOROM BAZISE BL TOGDA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ OPERATORA A I TOLXKO ONI QWLQ@TSQ WE]ESTWENNYMI KORNQMI URAWNENIQ A ; E jA ; E jGDE EEDINI^NAQ MATRICAoPREDELENIE mNOGO^LEN P A ; E jA ; E jNAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKIM MNOGO^LENOM MATRICY AuRAWNENIE jA ; E j NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKIMpRIMER 35 pOKAZATX ^TO HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LENMATRICY LINEJNOGO OPERATORA A L ! L NE ZAWISIT OT BAZISArEENIE eSLI A M A BL BL I A0 M A BL0 BL0 MATRICY OPERATORA A W BAZISAH BL I BL0 SOOTWETSTWENNO PMATRICA PEREHODA OT BAZISA BL K BAZISU BL0 TOjA0 ; E j jP ;1AP ; E j jP ;1AP ; P ;1EP jjP ;1 A ; E P j jP ;1jj A ; E jjP j jA ; E j:tAKIM OBRAZOM HARAKTERISTI^ESKIE MNOGO^LENY MATRICLINEJNOGO OPERATORA A L ! L W PROIZWOLXNYH BAZISAH PRO,,=-1..=:()() {-,( ) = e(),= 0-,=-..:,=] {,--det() == 0,{..() = det() =.= 0..,:.=.]=] {-,{,,===()=(=)=,:-sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ5.22STRANSTWA L SOWPADA@ToPREDELENIE hARAKTERISTI^ESKIM MNOGO^LENOM LINEJNOGO OPERATORA A L ! L NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN EGO MATRICY W KAKOM LIBO BAZISEzAME^ANIE eSLI OPERATOR A L ! L DEJSTWUET W n MERNOMPROSTRANSTWE TO EGO HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN IMEET WIDA ; E ann an;1n;1 : : : a0:kO\FFICIENTY HARAKTERISTI^ESKOGO MNOGO^LENA NE ZAWISQTOT BAZISA TO ESTX QWLQ@TSQ INWARIANTAMI OPERATORA A w^ASTNOSTI a0A an;1 ; n;1tr A an ; n PO\TOMUHARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN OPERATORA A DEJSTWU@]EGO WDWUMERNOM PROSTRANSTWE IMEET WIDA ; E 2 ; tr A A:..-:--..:-,det() =+++,,.= det,= (1),= (1) ,,,det() =()+ detaLGORITM NAHOVDENIQ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ I SOBSTWENNYH WEKTOROW.nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ i KAK WE]ESTWENNYE KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ A ; EdLQ KAVDOGO i REITX ODNORODNU@ SISTEMU LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ A ; iE rEENIQ \TIH SISTEM PREDSTAWLQ@TSOBOJ KOORDINATY SOBSTWENNYH WEKTOROW OTWE^A@]IH SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM i W TOM BAZISE W KOTOROM ZADANA MATRICAA OPERATORA ApRIMER 36 nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYEWEKTORY LINEJNOGO OPERATORA A IR2 ! IR2 ZADANNOGO W NEKOTOROM BAZISE B MATRICEJ1.-det() = 0.2.-.,,-,..:0A = @15,241A:-5.sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ23rEENIE zAPIEM HARAKTERISTI^ESKOEURAWNENIE01;@AA ; E;2 ; tr A A 2 ; ;:nAHODIM KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 12; kOORDINATY x1 x2 SOBSTWENNYH WEKTOROW W BAZISE B OPREDELQ@TSQ KAK REENIQ SISTEM URAWNENIJ8< ; i x1 x2i :: x1; i x2pOSKOLXKU OPREDELITELI \TIH SISTEM RAWNY NUL@ KAVDAQIZ NIH \KWIWALENTNA ODNOMU IZ SWOIH URAWNENIJ pRI 1IZ L@BOGO URAWNENIQ SISTEMY SLEDUET ^TO x1=x2 = SOOTWETSTWU]IJ SOBSTWENNYJ WEKTOR IMEET WID a1 GDE6pRI 2 ; x1=x2 ; SOOTWETSTWU@]IJ SOBSTWENNYJ WEKTOR a2 ; GDE 6pRIMER 37 nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYEWEKTORY LINEJNOGO OPERATORA A IR3 ! IR3 ZADANNOGO W NEKOTOROM BAZISE MATRICEJ 01;;BCA BB@; CCA :;HARAKTERISTI^ESKOE1 URAWNENIErEENIE zAPIEM0; CBB ; ;B@; ; CCA :;;rASKRYW OPREDELITELX PO PERWOJ STROKE PRIWEDEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE K WIDU; 2 ; :.det (1) = det=()25+ det=4=56 = 0:= 6,=1.-(15)+ 2= 0)= 0+ (4= 1 2,.,= 6= 2 5,= (2= 0.=1,== (),1,5-),-= 0..:4=2,1211-211.4det1221121= 01,(1)(5+ 6) = 0-sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ5.24kORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 123kOORDINATY x1 x2 x3 SOBSTWENNOGO WEKTORA ai OTWE^A@]EGOSOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ i i NAHODQTSQ IZ ODNORODNOJSISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ8>>< ; i x1 ; x2 ; x3x1; i x2 ; x3>>: x1 ; x2; i x3 :dLQ SLU^AQ 1 \TA SISTEMA IMEET WID8>>< x1 ; x2 ; x3x1 ; x3>>:x1 ; x2 :wZQW W KA^ESTWE BAZISNYH NEIZWESTNYH x1 x2 I WY^ERKNUW PERWOE URAWNENIE SISTEMY ^TO WOZMOVNO W SILU OTLI^IQ OT NULQ OPREDELITELQ MATRICY SOSTAWLENNOJ IZ KO\FFICIENTOW PRINEIZWESTNYH x1 x2 WO WTOROM I TRETXEM URAWNENIQH POLU^IMSISTEMU DWUH URAWNENIJ8<x1 x3: x1 ; x2 GDE x3 SWOBODNOE NEIZWESTNOE KOTOROE MOVET PRINIMATX PROIZWOLXNOE ZNA^ENIE nETRIWIALXNOE REENIE \TOJ SISTEMYIMEET WID x1 x2 x3 GDE L@BOE ^ISLO OTLI^NOE OT NULQ sLEDOWATELXNO SOBSTWENNYM WEKTOROM OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 1BUDET L@BOJ WEKTOR WIDAa1 6aNALOGI^NO NAHODIM SOBSTWENNYJ WEKTOR a2 6 OTWE^A@]IJ SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@2I SOBSTWENNYJ WEKTOR a3 6 OTWE^A@]IJSOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 3:= 1,= 2,=,3.,(4= 1 2 3,)22+ (1)= 02+ (1)= 0= 0= 1322=02=0=0,-,-,,,2=2=0{,-.===,{,,.,--= 1,= (),= (0= 0.),,-= 0,= (= 2= 3.0 0),= 0,5.sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ25nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYEWEKTORY LINEJNOGO OPERATORA A IR3 ! IR3 ZADANNOGO W NEKOTOROM BAZISE MATRICEJ01;BCCCA :A BB@ ;;rEENIE zAPIEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE01;;BBCCB@ ;CA;:;;rASKRYW OPREDELITELX PO PERWOJ STROKE PRIWEDEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE K WIDU; 2 :kORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 12 ; kOORDINATY x1 x2 x3 SOBSTWENNOGO WEKTORA ai OTWE^A@]EGO SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ i i NAHODQTSQ IZ ODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ01;;iBCCCA :A ; iE BB@ ;; i;; ipRI 1 SISTEMA URAWNENIJ IMEET WID8> x3>< ; x1 x2 x3> ; x1 ; x2>: x1 ; x2 x3 :pOSKOLXKU OPREDELITELX MATRICY SOSTAWLENNOJ IZ KO\FFICIENTOW PRI NEIZWESTNYH x1 x2 W PERWOM I WTOROM URAWNENIQHpRIMER 38.:=,320210157-4.32det2011507= 04,(4)(+ 1)-= 0:= 4,,,--3221.-= 1 2,==0115074= 47+2+ 0=023+ 0=0157+ 0=0,,,sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ5.26OTLI^EN OT NULQ NEIZWESTNYE x1 x2 PRIMEM ZA BAZISNYE A NEIZWESTNOE x3 ZA SWOBODNOE KOTOROE MOVET PRINIMATX PROIZWOLXNOE ZNA^ENIE wY^ERKNUW TRETXE URAWNENIE PRIDEM K ODNORODNOJ SISTEME LINEJNYH URAWNENIJ OTNOSITELXNO NEIZWESTNYH x1 x2 S OTLI^NYM OT NULQ OPREDELITELEM eDINSTWENNOEREENIE TAKOJ SISTEMY x1 x2sLEDOWATELXNO SOBSTWENNYM WEKTOROM OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 1BUDET a1 6aNALOGI^NO NAHODIM SOBSTWENNYJWEKTOR a2 ; 6OTWE^A@]IJ SOBSTWENNOMUZNA^ENI@ 2 ;pRIMER 39 nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYEWEKTORY LINEJNOGO OPERATORA A IR3 ! IR3 ZADANNOGO W NEKOTOROM BAZISE MATRICEJ01;;BCA BB@; CCA :;rEENIE zAPIEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE01;;;BBCB@; ; CCA :;;rASKRYW OPREDELITELX PO PERWOJ STROKE I WYNESQ OB]IJ MNOVITELX ; PRIWEDEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE K WIDU,,{,,-.,--,.:== 0.,,-= 4,= (0 0),= (5= 0.5=8),= 0,1..:4=,11121-112.4det1111211= 02-3,; 2 ; :2kOORDIkORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 1NATY x1 x2 x3 SOBSTWENNOGO WEKTORA ai OTWE^A@]EGO SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ i i NAHODQTSQ IZ ODNORODNOJ SISTEMY(3) (2) = 0:,,,,= 1 2,= 2,= 3.--sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ5.27LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ01;;;iBCA ; iE BB@; i ; CCA :;; ipRI 1 \TA SISTEMA IMEET WID8>>< x1 ; x2 ; x3x1 ; x3>>:x1 ; x2 :oPREDELITELX MATRICY SOSTAWLENNOJ IZ KO\FFICIENTOW PRIPRI NEIZWESTNYH x1 x2 WO WTOROM I TRETXEM URAWNENIQH OTLI^EN OT NULQ PO\TOMU W KA^ESTWE BAZISNYH NEIZWESTNYH WOZXMEMx1 x2 A W KA^ESTWE SWOBODNOGO PRIMEM x3 GDE PROIZWOLXNOE ^ISLO wY^ERKNUW PERWOE URAWNENIE PRIDEM K SISTEMEOTNOSITELXNO BAZISNYH NEIZWESTNYH8<x1 : x1 ; x2 IME@]EJ PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM ZNA^ENII EDINSTWENNOE REENIE x1 x2 tAKIM OBRAZOM SOBSTWENNYM WEKTOROM OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 1BUDETa1 6pRI 2 SISTEMA URAWNENIJ DLQ KOORDINAT x1 x2 x3 SOBSTWENNOGO WEKTORA a2 IMEET WID8>>< x1 ; x2 ; x3x1 ; x2 ; x3>>: x1 ; x2 ; x3 :o^EWIDNO \TA SISTEMA \KWIWALENTNA L@BOMU IZ SWOIH URAWNENIJ wYBIRAEM W KA^ESTWE BAZISNOGO NEIZWESTNOGO x1 TOGDA4=11121112= 22=0=0=0,,,-,,,=.,{-,==0-==.,,= (),-=2,,,= 0.= 3-=0=0=0,.-,6.28lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAHSWOBODNYE NEIZWESTNYE x2 x3 MOGUT PRINIMATX PROIZWOLXNYEZNA^ENIQ x2 x3 iZ PERWOGO URAWNENIQ SISTEMY NAHODIM x1 sLEDOWATELXNO SOBSTWENNYM WEKTOROM OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 2BUDET a2 GDE L@BYE ^ISLA PRI KOTORYH KOMPONENTY SOBSTWENNOGO WEKTORA a2 NE PRINIMA@T ODNOWREMENNO NULEWYE ZNA^ENIQo^EWIDNO \TO USLOWIE MOVNO ZAPISATX W WIDE 2 2 6zAME^ANIE sOBSTWENNYJ WEKTOR a2 MOVNO PREDSTAWITX WWIDE LINEJNOJ KOMBINACIIa2 LINEJNO NEZAWISIMYH WEKTOROW g1 g2 SPROIZWOLXNYMI KO\FFICIENTAMI NE OBRA]A@]IMISQ ODNOWREMENNO W NULX gEOMETRI^ESKI \TO OZNA^AET ^TO WSQKIJNENULEWOJ WEKTOR LEVA]IJ W PLOSKOSTI WEKTOROW g1 g2 BUDETSOBSTWENNYM WEKTOROM OPERATORA A OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 2,==+,=.-.,= 3,,= (,-+),,.,+= 0..=(1 1 0) +(1 0 1)= (1 1 0),,= (1 0 1),-.,,,,,-= 3.6lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAHoPERATOR A IE ! IE NAZYWAETSQ SOPRQVENNYM LINEJNOMU OPERATORU A IE ! IE DEJSTWU@]EMU W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IE ESLI 8x y 2 IEAx y x AytEOREMA kAVDYJ LINEJNYJ OPERATOR A IE ! IE W WE]ESTWENNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IE IMEET EDINSTWENNYJSOPRQVENNYJ EMU LINEJNYJ OPERATOR A IE ! IE MATRICAoPREDELENIE.::-,-,() = ().::-,lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWAH PROSTRANSTWAH6.29KOTOROGO W L@BOM ORTONORMIROWANNOM BAZISE QWLQETSQ TRANSPONIROWANNOJ MATRICEJ OPERATORA A IE ! IE W TOM VE BAZISEpRIMER 40 dOKAZATX ^TOA A A B A B AB BArEENIE dOKAZATELXSTWO OSNOWANO NA IZWESTNOM SWOJSTWESKALQRNOGO PROIZWEDENIQ SOSTOQ]EM W TOM ^TO ESLI 8x 2 IEWYPOLNQETSQ RAWENSTWO x a x b TO a b pO OPREDELENI@SOPRQVENNOGO OPERATORA 8x y 2 IEx Ay Ax y y Ax Ay x x Ayx A B yA B x y Ax y Bx yx Ay x By x A B yx BAy Bx Ay ABx y x AB y :oPREDELENIE lINEJNYJ OPERATOR A IE ! IE DEJSTWU@]IJ W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IE NAZYWAETSQ SAMO OPRQVENNYM ESLI A A TO ESTX 8x y 2 IEAx y x AyoPREDELENIE mATRICA A SOWPADA@]AQ SO SWOEJ TRANSPONIROWANNOJ AT NAZYWAETSQ SIMMETRI^ESKOJtEOREMA mATRICA SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA W L@BOMORTONORMIROWANNOM BAZISE QWLQETSQ SIMMETRI^ESKOJ eSLIMATRICA LINEJNOGO OPERATORA W NEKOTOROM ORTONORMIROWANNNOM BAZISE QWLQETSQ SIMMETRI^ESKOJ TO \TOT OPERATOR SAMOSOPRQVENNYJtEOREMA wSE KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA WE]ESTWENNY-:(-)..1)=, 2) (,+)=+), 3) (=..,(1)(2)() = () = ((+= ()),) = () = (() + () = (3)(,=.) = (+)) = () = ((+) = () + () = () = ((:)),,=) =) ).,)-c-,(.) = (),-,...-,{-..-.lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH6.30sLEDSTWIE eSLI A WE]ESTWENNAQ SIMMETRI^ESKAQ MATRICATO WSE KORNI EE HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ A;EWE]ESTWENNYtEOREMA sOBSTWENNYE WEKTORY SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA OTWE^A@]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM ORTOGONALXNYoPREDELENIE bAZIS PROSTRANSTWA L OBRAZOWANNYJ SOBSTWENNYMI WEKTORAMI LINEJNOGO OPERATORA A L ! L NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM BAZISOM OPERATORA AtEOREMA wSQKIJ SAMOSOPRQVENNYJ OPERATOR W n MERNOMEWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IMEET SOBSTWENNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZIS PRI \TOM KAVDOMU KORN@ KRATNOSTI k EGO HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ OTWE^AET k RAZLI^NYH WEKTOROW \TOGOBAZISAsLEDSTWIE w SOBSTWENNOM ORTONORMIROWANNOM BAZISE MATRICA SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA IMEET DIAGONALXNYJ WIDnA EE GLAWNOJ DIAGONALI STOQT KORNI HARAKTERISTI^ESKOGOURAWNENIQ KAVDYJ IZ KOTORYH POWTORQETSQ STOLXKO RAZ KAKOWA EGO KRATNOSTXpRIMER 41 nAJTI SOBSTWENNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZISOPERATORA A ZADANNOGO W NEKOTOROM ORTONORMIROWANNOM ISHODNOM BAZISE MATRICEJ.{,det() = 0..-,,-..,-:,-..--,-...,,-..,(-)0BB 3A = B@ 222321CC2C:A23rEENIE pOSKOLXKU MATRICA A SIMMETRI^ESKAQ OPERATOR A SAMOSOPRQVENNYJ SLEDOWATELXNO POSTAWLENNAQ ZADA^A.{{,,-6.lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWAH PROSTRANSTWAH31IMEET REENIE zAPIEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE01;BBCCB@CA;:;rASKRYW OPREDELITELX PO PERWOJ STROKE I WYNESQ OB]IJ MNOVITELX ; PRIWEDEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE K WIDU; 2 ; :kORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 1 23nAJDEM KOORDINATY x1 x2 x3 W ISHODNOM BAZISE SOBSTWENNYHWEKTOROW OPERATORA A OTWE^A@]IH SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM iKAK REENIQ ODNORODNYH SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICAMI A ; iE i GDE E EDINI^NAQ MATRICAdLQ DWUKRATNOGO KORNQ 1 2 SOOTWETSTWU@]AQ SISTEMA IMEET WID8>>< x1 x2 x3x1 x2 x3>>: x1 x2 x3 :|TA SISTEMA \KWIWALENTNA L@BOMU IZ SWOIH URAWNENIJ wZQW WKA^ESTWE BAZISNOGO NEIZWESTNOGO x1 I PRISWOIW SWOBODNYM NEIZWESTNYM x2 x3 PROIZWOLXNYE ZNA^ENIQ a b SOOTWETSTWENNOPOLU^IM OB]EE REENIE x1 ;a ; b x2 a x3 b KOTOROEPREDSTAWIM W WIDEx1 x2 x3 a ; b; :|TO OZNA^AET ^TO WSQKIJ NENULEWOJ WEKTOR LEVA]IJ W PODPROSTRANSTWE POROVDAEMOM WEKTORAMI g1 ; I g2; BUDET SOBSTWENNYM WEKTOROM OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ wZAIMNO ORTOGONALXNYE SOBSTWENNYE.3det2223222= 03-1,(1) (7) = 0:,,=(= 1,= 7.),,-,= 1 2 3,.{1)== 1-2+ 2+ 2=02+ 2+ 2=02+ 2+ 2=0.-,=(() =(,1 1 0) +(,,=,,,= (,=1.=,1 0 1),1 0 1),-1 1 0)=-6.32lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAHWEKTORY OTWE^A@]IE SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ MOVNOPOLU^ITX PRIMENIW PROCESS ORTOGONALIZACII K LINEJNO NEZAWISIMYM WEKTORAM g1 g2 pOLOVIM f 1 g1 f 2 g1 g2 ; g1 g2 = g1 g1 ; 21 OTKUDA f 2 ; 12 ; 21 dLQ OPREDELENIQ KOORDINAT x1 x2 x3 SOBSTWENNOGO WEKTORA f 3 OTWE^A@]EGO PROSTOMU KORN@ 3REAEM SISTEMUURAWNENIJ8>>< ; x1 x2 x3; x1 ; x2 x3>>: x1 x2 ; x3 :wYBRAW W KA^ESTWE BAZISNYH NEIZWESTNYH x1 x2 WY^ERKNUWPERWOE URAWNENIE I PRISWOIW SWOBODNOMU NEIZWESTNOMU x3 PROIZWOLXNOE ZNA^ENIE c PRIDEM K SISTEME URAWNENIJ8< x1 ; x2 ;S: x1 x2 SS EDINSTWENNYM REENIEM x1 x2 c tAKIM OBRAZOM OB]EEREENIE ISHODNOJ SISTEMY IMEET WID,= 1,,-,=() (.=,) =,,+,1).= (2)=,-,= 7,4+2+2=024+2=02+24=0,,-,2+==2=(x1 x2 x3) ==.,c (1 1 1) ORTOGONALEN SOBSTWENNYMsOBSTWENNYJ WEKTOR f 3WEKTORAM f 1 f 2 KAK OTWE^A@]IM DRUGOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@sOBSTWENNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZIS feig POLU^AETSQ WREZULXTATE NORMIROWANIQ SOBSTWENNYH WEKTOROW f 1 f 2 f 3 eif i=jjf ijj i =,(1 1 1),-.:e1=,= 1 2 3,!!; p p e2 ; p ; p p e312120=161626==!p p p :1313136.lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWAH PROSTRANSTWAH33w \TOM BAZISE MATRICA OPERATORA A IMEET DIAGONALXNYJ WIDNA GLAWNOJ DIAGONALI STOQT ZNA^ENIQ 1 2 301BB0A = B@ 001001CC0C:A,,,:07wEKTOR e3 ORTONORMIROWANNOGO BAZISA feigMOVNO NAJTI KAK WEKTORNOE PROIZWEDENIE RANEE POSTROENNYHBAZISNYH WEKTOROW e3 e1 e2 PROWERXTEoPREDELENIE lINEJNYJ OPERATOR P IE ! IE W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IE NAZYWAETSQ ORTOGONALXNYM ESLI 8x y 2IE P x P y x yoPREDELENIE oPERATOR A;1 L ! L NAZYWAETSQ OBRATNYMK OPERATORU A L ! L ESLI A;1A AA;1 E GDE E L ! LEDINI^NYJ OPERATORtEOREMA w L@BOM FIKSIROWANNOM BAZISE PROSTRANSTWA LMATRICY OPERATOROW A I A;1 WZAIMNO OBRATNYpRIMER 42 pOKAZATX ^TO LINEJNYJ OPERATOR P IE ! IEW EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IE QWLQETSQ ORTOGONALXNYM TOGDAI TOLXKO TOGDA KOGDA P P ;1rEENIE 8x y 2 IE RAWENSTWAx y P x P y x P P ySPRAWEDLIWY TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA y P P y 8y 2 IE^TO RAWNOSILXNO P P E E EDINI^NYJ OPERATOR ^TO WSWO@ O^EREDX \KWIWALENTNO P P ;1zAME^ANIE oTS@DA SLEDUET ^TO LINEJNYJ OPERATOR PIE ! IE QWLQETSQ ORTOGONALXNYM ESLI W NEKOTOROM ORTONORMIROWANNOM BAZISE EGO MATRICA P OBLADAET SWOJSTWOM P T P ;1zAME^ANIE.:= ] (!)..:-,() = ()..::,{==,:....,,=:..() = () = (),=,({,),=.=,.,:,-=.lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH6.34mATRICA P ORTOGONALXNOGO OPERATORA P IE ! IE OBLADAETSWOJSTWOM P T P ;1 W L@BOM ORTONORMIROWANNOM BAZISEoPREDELENIE mATRICA P DLQ KOTOROJ P T P ;1 NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJtEOREMA mATRICA P QWLQETSQ MATRICEJ PEREHODA OT ODNOGO ORTONORMIROWANNOGO BAZISA K DRUGOMU ORTONORMIROWANNOMUBAZISU TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA ONA ORTOGONALXNAQpRIMER 43 pOKAZATX ^TO ESLI P ORTOGONALXNAQ MATRICA TO j P jrEENIE pUSTX E EDINI^NAQ MATRICA TOGDA POSKOLXKU OPREDELITELX PROIZWEDENIQ MATRIC RAWEN PROIZWEDENI@ IHOPREDELITELEJ I OPREDELITELX MATRICY NE MENQETSQ PRI EETRANSPONIROWANII SPRAWEDLIWA CEPO^KA RAWENSTWEPP ;1PP TP PTP 2IZ KOTOROJ WYTEKAET TREBUEMOE UTWERVDENIEnA RASSMOTRENNYH SWOJSTWAH SAMOSOPRQVENNYH I ORTOGONALXNYH OPERATOROW OSNOWANA PROCEDURA PRIWEDENIQ SIMMETRI^ESKOJ MATRICY K DIAGONALXNOMU WIDU ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIEMtEOREMA eSLI A SIMMETRI^ESKAQ MATRICA TO SU]ESTWUET ORTOGONALXNAQ MATRICA P TAKAQ ^TO P T AP DIAGONALXNAQMATRICAdOKAZATELXSTWO sIMMETRI^ESKAQ MATRICA A MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK MATRICA SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA A WNEKOTOROM ORTONORMIROWANNOM BAZISE feig sAMOSOPRQVENNYJOPERATOR A IMEET SOBSTWENNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZIS fgigW KOTOROM EGO MATRICA A0 DIAGONALXNA I POSKOLXKU MATRICAPEREHODA P OT BAZISA feig K SOBSTWENNOMU BAZISU fgig ORTOGO:=..,=,-..-,.,det.,{-= 1..{,,-,1 = det= det() = det() = detdet= (det).---..{,,-{..-.,,-lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWAH PROSTRANSTWAH6.35NALXNAQ P ;1 P T MATRICA A0 SWQZANA S MATRICEJ A ZAKONOMPREOBRAZOWANIQA0 P ;1AP P T AP:pRIMER 44 pRIWESTI MATRICU(=),=.=0BB 3A = B@ 21CC3CA223223K DIAGONALXNOMU WIDU ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIEM uKAZATX SOOTWETSTWU@]U@ MATRICU PEREHODArEENIE rASSMATRIWAQ SIMMETRI^ESKU@ MATRICU A KAKMATRICU SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA A W NEKOTOROM ISHODNOMORTONORMIROWANNOM BAZISE NAHODIM WEKTORY EGO SOBSTWENNOGOORTONORMIROWANNOGO BAZISA SM PRIMER!!!e1 ; p p e2 ; p ; p p e3 p p p.-..,(1=210.41)1=216261=631133mATRICA P PEREHODA OT ISHODNOGO ORTONORMIROWANNOGO BAZISAK SOBSTWENNOMU ORTONORMIROWANNOMU BAZISU IMEET WID0 p111 1pp;;63CBB 1 211 CpppP B@ 2 ; 6 3 CA=p260p13fORMULA PRIWEDENIQ MATRICY A K DIAGONALXNOMU WIDU A0P T AP nA GLAWNOJ DIAGONALI MATRICY A0 STOQT KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ OPERATORA A NAJDENNYE W PRIMEREPOWTORQQSX STOLXKO RAZ KAKOWA IH KRATNOSTX:.-,41,=,0BB 10A = B@ 0001010CC0C:A7:7.36zADA^I TIPOWOGO RAS^ETA7zADA^I TIPOWOGO RAS^ETAzADA^A uBEDIWISX W LINEJNOSTI OPERATORA A IR3 ! IR3PEREWODQ]EGO WEKTOR x x1 x2 x3 W WEKTOR y Ax NAJTIMATRICU \TOGO OPERATORA W ORTONORMIROWANNOM BAZISE i j k1.:= ()=,,,1)2)3)4)5)6)7)8)9)yyyyyyyyy10)11)12)13)14)15)16)17)18)19)20)21)22)23)x1 ; x2 x1 x3 x1 ; x2 x3x a a x a a a x1 x3 x1 x2 x2 ; x3x a a x a a a x2 x1 ; x3 x2 x3x a a ; ;x a a a ; ;;x1 x2 x2 x3 x1 x2 x3x a a x a a a x1 ; x2 x3 x1 x2 x1 ; x3x a a x a a a x1 x2 x1 ; x2 x3 x2x a a ; ;x a a a ; ;x2 ; x3 x1 x2 x2 x3x a a ; x a a a ; x1 ; x2 x3 x1 x2 x3x a a ; ;= (2= ]= ()= (2+++= (1 2 3)= ]= ()= (1 2 3)+)= (3 2 1)= (3 2 1)= (4+= ]= ()yyyyyyyyyyyyyy= (+= ]= ())2 3= (= (1)2 3++2= ]= ()= (2+ 3]= ()= (]= ()= (32))= (1 5 7)2= (+1 3= (1 3= (1)7)+ 7)2 5)= (1+= (27)+ 32]+ 2= (1 5 7)5= +3= (3 7 5)+ 2= 1)= (3 7 5)= (= )2 5)+ 53 57)),.7.24)25)26)27)28)29)30)zADA^I TIPOWOGO RAS^ETAyyyyyyy37x a a a ; ;x1 ; x2 x2 x3 x1 x2 x3x a a x a a a x2 x3 x1 ; x2 x3 x1 x3x a a ; x a a a ; = ()= (5= ]= ()= (= (]= ()7)+ 7++)= (7 5 3)= (7 5 3)+ 7= 3 553= (7++ 5)3 1)= (73 1)zADA^A pRIWESTI SIMMETRI^ESKU@ MATRICU K DIAGONALXNOMU WIDU ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIEM uKAZATX SOOTWETSTWU@]U@ MATRICU PEREHODA0101;BBCCBBCCB@ ;CAB@CA2.-.-.81)445412)31013000 4 1 5 10 0 411;2;23;11BBCCBBCC3) B ;252 C4) B ;13;1C@A@A10 ;2 2 1 1 01 ;1 3BB 4 0 2 CCBB 0 2 2 CC5) B 0@ 4 4 CA 6) B@ 2 3 4 CA02 4 3102 4 313111;23BBCCBBCC7) B 151C8) B ;22;2C@A@A10 1 1 3 p 1 3 0;2 122;1;120CCBBCCBB2;1C9) B 010) B ;141 CA@A@p2;10;112p 1p10040;1;202CCBBCCBB p211 C12) B 04;1C11) B ;A@pA@01;12;1238zADA^I TIPOWOGO RAS^ETAp p 1001;222420BB pCCBBCCBCB13)@ p2 ;3 1 A 14) @ 2 4 0 CA0 2 1 ;3 100 0 31;2007;20BBBBCCp CCC315) B 0;116) B ;26;2C@A@Ap310 010 0 ;2 51BB 5 ;1 ;1 CCBB ;6 2 3 CC17) B ;15;1 CA 18) B@ 2 ;3 6 CA@360 ;1 ;1 15012BB 1 2 1 CCBB 4 ;2 ;4 CC19) B 2@ ;5 2 CA 20) B@ ;2 1 2 CA;40 2 4 101 2 1 14;5 2 CBB 2 ;1 ;2 CBC 22) BB ;5 4 2 CC21) B ;151 C@A@A;21222;8010122;8210BBCCBBCC23) B 2;710 C24) B 120 C@A@A0 ;8 10 ;140 0 0 1;5BB 2 ;1 0 CCBB 0 1 1 CC25) B ;111C@A 26) B@ 1 0 1 CA0 0 1 2101 1 01BB 5 ;2 4 CCBB 1 0 2 CC27) B ;282C@A 28) B@ 0 3 0 CA20 0 110 4 2 5 12;1;15;2;1CBBC 30) BBB ;1 2 ;1 CCC29) B ;22;2CA@A@7.; ;125; ;112lITERATURAkANATNIKOW a n kRI]ENKO a p lINEJNAQ ALGEBRA miZD mgtu IM n | bAUMANASsBORNIK ZADA^ PO LINEJNOJ ALGEBRE pOD RED s ksOBOLEWA m iZD mgtu IM n | bAUMANASiLXIN w a pOZNQK | g lINEJNAQ ALGEBRA m nAUKASbEKLEMIEW d w kURS ANALITI^ESKOJ GEOMETRII I LINEJNOJ ALGEBRY m nAUKASgOLOWINA l i lINEJNAQ ALGEBRA I NEKOTORYE EE PRILOVENIQ m nAUKAS1.....,...., 1998.

{ 3362..-./.-.:3...1984. { 296..,...-.:.:., 1991. { 155..-..:...,-, 1987. { 320.. -...4.5...:., 1985. { 392.-.40lITERATURAsODERVANIE1234567oPREDELENIE I PRIMERY LINEJNYH I NELINEJNYHOPERATOROW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :mATRICA LINEJNOGO OPERATORA : : : : : : : : : : :pREOBRAZOWANIE MATRICY LINEJNOGO OPERATORAPRI PEREHODE K NOWYM BAZISAM : : : : : : : : : : :dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI : : : : : : :sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQLINEJNOGO OPERATORA : : : : : : : : : : : : : : : :lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAHzADA^I TIPOWOGO RAS^ETA : : : : : : : : : : : : : :lITERATURA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :4148121621293740.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее