Ильичев,Крапоткин,Савин - Линейные операторы (МУ - Линейные операторы), страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "МУ - Линейные операторы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
dLQ L@BYH KWADRATNYH MATRIC A I B ODINAKOWOGORAZMERAtr AB tr BA :dOKAZATELXSTWO pO PRAWILU UMNOVENIQ MATRIC I OPREDELENI@ SLEDA MATRICY() =().tr AB() =0X @Xij-101XXaij bjiA = @ bjiaij A = tr (BA):jioPREDELITELX I SLED MATRICY LINEJNOGO OPERATORA A L ! L NE ZAWISIT OT BAZISA BLdOKAZATELXSTWO zAFIKSIRUEM DWA PROIZWOLXNYH BAZISA BLI BL0 W PROSTRANSTWE L pUSTX P M BL ! BL0 MATRICAPEREHODA OT BAZISA BL K BAZISU BL0 TOGDA OPREDELITELX MATRICY A0 LINEJNOGO OPERATORA A W BAZISE BL0 RAWEN OPREDELITEL@MATRICY A LINEJNOGO OPERATORA A W BAZISE BL POSKOLXKUA0P ;1APP ;1 A PA:iSPOLXZUQ LEMMU UBEVDAEMSQ W RAWENSTWE SLEDOW MATRIC A0 IAtEOREMA.-:...=] {,-,det= det() = detdetdet= det,:tr A0 tr P ;1AP=() =tr PP ;1A() =tr A:3.14pREOBRAZOWANIE MATRICYtAKIM OBRAZOM IME@T SMYSL PONQTIQ OPREDELITELX I SLEDLINEJNOGO OPERATORA A L ! L |TI WELI^INY NE IZMENQ@TSQPRI PEREHODE OT ODNOGO BAZISA K DRUGOMU TO ESTX QWLQ@TSQINWARIANTAMI LINEJNOGO OPERATORApRIMER 22 w BAZISE fe1 e2g MATRICA LINEJNOGO OPERATORAA IR2 ! IR2 IMEET WID,:.,..:0A = @23451A:nAJTI MATRICU OPERATORA A W BAZISE fe01 e02g ESLI e01 e1 ; e2e02 e1 e2rEENIE mATRICA PEREHODA OT STAROGO BAZISA fe1 e2g K NOWOMU BAZISU fe01 e02g I OBRATNAQ K NEJ IME@T SOOTWETSTWENNOWID010111;P @ ; A P ;1 @ 12 12 A :,=+=..-,=tOGDA111=1; 12 1A 0@,2234510A@21;A:A0 P ;1AP1;;22zAME^ANIE sRAWNITE OPREDELITELI I SLEDY MATRIC A I012= @1=A0,11111 0A=@0127..pRIMER 23.
w BAZISE fe01 e02g MATRICA LINEJNOGO OPERATORAA IR2 ! IR2 IMEET WID:0A0 = @ 10021A:nAJTI MATRICU A OPERATORA A W BAZISE fe1 e2g ESLI e01 e1 ;e2 e02 e1 e2,,=+.=dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4.15rEENIE mATRICA PEREHODA P OT STAROGO BAZISA fe1 e2g KNOWOMU BAZISU fe01 e02g I OBRATNAQ K NEJ P ;1 NAJDENY W PRIMEREtAKIM OBRAZOM IMEEM01010 11 03 111;0;1@A@A @ 21 1 2 A @ 21 32 A :A PA P;2222zAME^ANIE sRAWNITE OPREDELITELI I SLEDY MATRIC A IA0.22.,==11110102=..dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4oPREDELENIE.
oPERATORY A : L ! M , B : L ! MNAZYWA@TSQRAWNYMI ESLI 8x 2 L Ax Bx pRI \TOM PIUT A BoPREDELENIE sUMMOJ OPERATOROW A L ! M B L !M NAZYWAETSQ OPERATOR A B L ! M DEJSTWU@]IJ POPRAWILUA B x Ax Bx 8x 2 L:oPREDELENIE pROIZWEDENIEM OPERATORA A L ! M NA ^ISLO NAZYWAETSQ OPERATOR A L ! M DEJSTWU@]IJ POPRAWILUA x Ax 8x 2 L:oPREDELENIE pROIZWEDENIEM KOMPOZICIEJ OPERATOROWA K ! M B L ! K NAZYWAETSQ OPERATOR AB L ! MDEJSTWU]IJ PO PRAWILUAB x A Bx 8x 2 L:sTEPENX OPERATORA A L ! L OPREDELQETSQ INDUKTIWNOA0 E A1 A A2 AA : : : An AAn;1,,=.=.:((+)+=) :,.:,+:()=() :().:,,():(()=(=) :,):=-:==dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4.16GDE E L ! L EDINI^NYJ OPERATORzAME^ANIE wOOB]E GOWORQ AB 6 BApRIMER 24 pOKAZATX ^TO ESLI A I B LINEJNYE OPERATORY TO OPERATORY A A B AB TAKVE LINEJNYE PRIUSLOWII ^TO A B I AB SU]ESTWU@TdEJSTWITELXNO 8 2 IRA x y A x y Ax Ay Ax Ay A x A yA B x y A x y B x y Ax AyBx By Ax Bx Ay By A B x A B yAB x y A B x y A Bx ByA B x A By AB x AB yuTWERVDENIE uMNOVENI@ LINEJNYH OPERATOROW NA ^ISLASLOVENI@ I UMNOVENI@ LINEJNYH OPERATOROW SOOTWETSTWU@TTAKIE VE DEJSTWIQ S IH MATRICAMIzAME^ANIE iZ PRIMERA SLEDUET ^TO MNOVESTWO WSEH LINEJNYH OPERATOROW DEJSTWU@]IH IZ LINEJNOGO PROSTRANSTWAL W LINEJNOE PROSTRANSTWO M PREDSTAWLQET SOBOJ LINEJNOEPROSTRANSTWO OTNOSITELXNO SLOVENIQ OPERATOROW I UMNOVENIQIH NA ^ISLApRIMER 25 pUSTX P xa0 a1x : : : anxn MNOGO^LENai 2 IR pO ANALOGII MOVNO OPREDELITX OPERATOR OPERATORNYJ MNOGO^LEN P A a0 a1A : : : anAn GDE A L ! LLINEJNYJ OPERATOR iZ PREDYDU]EGO PRIMERA SLEDUET ^TOOPERATOR P A L ! L LINEJNYJeSLI P ANULEWOJ OPERATOR TO OPERATOR A NAZYWAETSQ NULEM OPERATORNOGO MNOGO^LENA PpRIMER 26 pUSTX DEJSTWIE OPERATORA A IR3 ! IR3 NAPROIZWOLXNYJ WEKTOR IME@]IJ KOORDINATY x y z OPREDELE:{..,..,,{,,=+,-{().+,1) ((2) ()(+) =(+3) (())(+) =))) =(+) =()+) .()+(++(+) =(() =(+(++=)() =(+(+()++(+) =)) =) =((+)+++() ==++) .()+) ..,..24,-,,..() =+++{.,()({) =+++,:.(() :,{) = {-.,-..:,,-dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4.17NO RAWENSTWOM A x y z x y nAJTI A E x y z IA3 x y zrEENIEA E x y z A x y z E x y z x y x y zx x y y zA3 x y z A A A x y z A A x y A x :tAKIM OBRAZOM A3NULEWOJ OPERATORpRIMER 27 pUSTX DEJSTWIE OPERATOROW A IR3 ! IR2B IR3 ! IR2 NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR r S KOORDINATAMI x y zOPREDELENO W NEKOTORYH FIKSIROWANNYH BAZISAH PROSTRANSTWIR3 IR2 RAWENSTWAMIA x y zx y z B x y z x ; z y :nAJTI REZULXTATY DEJSTWIQ OPERATOROW A B A A ; B NAWEKTOR r x y zrEENIEA B x y z A x y z B x y zx y z x ; z yx ; z y zA x y z A x y zx y zx y zA ; B x y z A x y z ; B x y zx y z ;x ; z y x y z ; x ; z y ;x z ; y z :pRIMER 28 pUSTX DEJSTWIE OPERATOROW A IR3 ! IR2B IR2 ! IR2 NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR S KOORDINATAMI x y zOPREDELENO W NEKOTORYH FIKSIROWANNYH BAZISAH PROSTRANSTWIR3 IR2 RAWENSTWAMIA x y zx y z B x y y x :(()=(0).(+)()) +())..(+)()=() += (()=(((+() = (0+)))=()(0))== {(0 0)=(0 0 0)..,::,() = (2+)() = (+= (), 3, 25)..1) (+= (22) (33) (25()(+) =) + ()() +)(() = 2)=(4() = (3) = 35(2+ 2 )) =2) = 3(2((5++)) = (6)5(55 )=(3) = 2(2+ 5.:,) = (2+)() = (+3:(+ 3 )))+ 2 ),dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4.18oPREDELITX DEJSTWIE OPERATOROW BA I B2rEENIEBA x y z B A x y z B x y z y z xB2 x y B B x y B y x x y TO ESTX B2 E GDE E EDINI^NYJ OPERATORpRIMER 29 pUSTX DEJSTWIE OPERATORA A IR2 ! IR2 NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR S KOORDINATAMI x y OPREDELENO W NEKOTOROMBAZISE PROSTRANSTWA IR2 RAWENSTWOM A x y x y x ynAJTI P A A2 ; A ; E GDE E EDINI^NYJ OPERATORrEENIE..1)(2)) =() ==((((,)) =)) =(2(+) = () = (2)){..:((+) =52,-) = (+23+ 4 ).{..1 SPOSOB.A2 x y(((xA A x y(+2 )+2(3APA(5)((x(7Axy x yyx y x yx yx y x yx y A x y x y x y x y x yx y A2; A; E x y A2 x y ; A x y ; E x yy x y ; x y x y ; x y :) =)=5)(+ 10()) =+4 ) 3((515+ 22 )+ 23+2 )+4(3)=5()=((2+23)()=(5+ 10+ 4 ) =+4 ))=(7+4 )=(5()15+10+10(515)(+ 20 )15+22 )+20 ))(22() =2 ) = (0 0)2 SPOSOB.lINEJNOSTX OPERATORA A USTANOWLENA W PRIMERE pODEJSTWOWAW NA BAZISNYE WEKTORY e1 e2 OPERATOROM AAe1 A Ae2 A NAJDEM EGO MATRICU4.,=:(1 0) = (1 3):-=0A = @1324(0 1) = (2 4)1A:pOSKOLXKU DEJSTWIQM NAD LINEJNYMI OPERATORAMI OTWE^A@TTAKIE VE DEJSTWIQ NAD IH MATRICAMI MATRICA P LINEJNOGO,dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI4.OPERATORA P A ESTX()02= A ; 5A ; 2E = @P7101522191 0A;5 @ 12341 0A; 2 @ 10011 0A = @00001A:tAKIM OBRAZOM P AGDE NULEWOJ OPERATOR A A ESTXNULX OPERATORNOGO MNOGO^LENA P,() = , {,.pUSTX DEJSTWIE OPERATOROW A IR3 ! IR2B IR3 ! IR2 C IR3 ! IR2 NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR S KOORDINATAMI x y z OPREDELENO W NEKOTORYH FIKSIROWANNYH BAZISAHPROSTRANSTW IR3 IR2 RAWENSTWAMIA x y z x y z x y B x y zx z x y C x y zy x :uBEDIWISX W LINEJNOSTI OPERATOROW A B C POKAZATX ^TOONI LINEJNO NEZAWISIMY KAK \LEMENTY PROSTRANSTWA LINEJNYH OPERATOROW DEJSTWU@]IH IZ IR3 W IR2rEENIE lINEJNOSTX OPERATOROW A B C PROWERQETSQ SAMOSTOQTELXNO pUSTX A B CNULEWOJ OPERATOR tOGDAA B C x y z A x y z B x y z C x y z ILI x y z x y x z x y y xPOKOMPONENTNO8< x y z x z y: x y x y x:|TI RAWENSTWA DOLVNY WYPOLNQTXSQ DLQ L@BYH x y z w ^ASTNOSTI POLOVIW xy ; z ; POLU^IM NAJDEM tAKIM OBRAZOMpOLOVIW xy zOPERATORY A B C LINEJNO NEZAWISIMYpRIMER 30.::,,:-,() = ((+) = (2++)() = (2++)),,,,(-,)..,.(+(+++)(+++) =) +++) +(+) +(.)++(-= {((2,(2+(+) ++) +) +)+(2() = (0 0)(2 ) = 0= 0.,= 1,= 0,,,==1,=) =2,= 1,== 0..-= 0.,2055.sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQsOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ LINEJNOGO OPERATORAnENULEWOJ WEKTOR x 2 L NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM LINEJNOGO OPERATORA A L ! L ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO ^TO Ax x ~ISLO NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM OPERATORA A SOOTWETSTWU@]IM SOBSTWENNOMUWEKTORU xzAME^ANIE sOBSTWENNYE WEKTORY OPREDELQ@TSQ S TO^NOSTX@ DO NENULEWYH ^ISLOWYH MNOVITELEJ eSLI x SOBSTWENNYJWEKTOR LINEJNOGO OPERATORA A SOOTWETSTWU@]IJ SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ TO 8k 6 WEKTOR kx TAKVE QWLQETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM OPERATORA A SOOTWETSTWU@]IM SOBSTWENNOMUZNA^ENI@ POSKOLXKU Ax x ) A kx kxtEOREMA sOBSTWENNYE WEKTORY OTWE^A@]IE RAZLI^NYMSOBSTWENNYM ZNA^ENIQM LINEJNOGO OPERATORA A LINEJNO NEZAWISIMYpRIMER 31 pUSTX E L ! L EDINI^NYJ OPERATOR TOGDA8x 2 L E x x TO ESTX WSQKIJ NENULEWOJ WEKTOR x 2 L QWLQETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM OPERATORA E SOOTWETSTWU@]IMSOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ pRIMER 32 pUSTX U IR2 ! IR2 OPERATOR POWOROTA KAVDOGO WEKTORA IZ IR2 NA UGOL ' = |TOT OPERATOR LINEJNYJ NO NI ODIN NENULEWOJ WEKTOR x 2 IR2 NE PREOBRAZUETSQIM W WEKTOR WIDA x ^TO OZNA^AET OTSUTSTWIE U OPERATORA USOBSTWENNYH WEKTOROW I SOBSTWENNYH ZNA^ENIJpRIMER 33 pUSTX U IR2 ! IR2 OPERATOR POWOROTA KAVDOGO WEKTORA IZ IR2 NA UGOL ' o^EWIDNO DEJSTWIE OPERATORAU OPREDELQETSQ RAWENSTWOM U x ;x ; x IZ KOTOROGO SLEoPREDELENIE.-:=,,-.-,..-{.,,-= 0-,=,=.() =().,,-..= 1:{,,-,= 1..:{=-2.{-,,..:-=.=,= (1),-5.sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ21DUET ^TO WSQKIJ NENULEWOJ WEKTOR IZ IR2 QWLQETSQ SOBSTWENNYMWEKTOROM OPERATORA U SOOTWETSTWU@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ ;d11OPERApRIMER 34 pUSTX Ddt C IR ! C IRTOR DIFFERENCIROWANIQ W LINEJNOM PROSTRANSTWE BESKONE^NODIFFERENCIRUEMYH NA WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ FUNKCIJ TOGDAFUNKCIQt 2 C 1 IR 6ftMOVET RASSMATRIWATXSQ KAK SOBSTWENNYJ WEKTOR OPERATORA D S SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM POSKOLXKU Df ftEOREMA pUSTX LINEJNYJ OPERATOR A L ! L DEJSTWUETW KONE^NOMERNOM LINEJNOM PROSTRANSTWE A M A BL BLMATRICA OPERATORA A W NEKOTOROM BAZISE BL TOGDA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ OPERATORA A I TOLXKO ONI QWLQ@TSQ WE]ESTWENNYMI KORNQMI URAWNENIQ A ; E jA ; E jGDE EEDINI^NAQ MATRICAoPREDELENIE mNOGO^LEN P A ; E jA ; E jNAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKIM MNOGO^LENOM MATRICY AuRAWNENIE jA ; E j NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKIMpRIMER 35 pOKAZATX ^TO HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LENMATRICY LINEJNOGO OPERATORA A L ! L NE ZAWISIT OT BAZISArEENIE eSLI A M A BL BL I A0 M A BL0 BL0 MATRICY OPERATORA A W BAZISAH BL I BL0 SOOTWETSTWENNO PMATRICA PEREHODA OT BAZISA BL K BAZISU BL0 TOjA0 ; E j jP ;1AP ; E j jP ;1AP ; P ;1EP jjP ;1 A ; E P j jP ;1jj A ; E jjP j jA ; E j:tAKIM OBRAZOM HARAKTERISTI^ESKIE MNOGO^LENY MATRICLINEJNOGO OPERATORA A L ! L W PROIZWOLXNYH BAZISAH PRO,,=-1..=:()() {-,( ) = e(),= 0-,=-..:,=] {,--det() == 0,{..() = det() =.= 0..,:.=.]=] {-,{,,===()=(=)=,:-sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ5.22STRANSTWA L SOWPADA@ToPREDELENIE hARAKTERISTI^ESKIM MNOGO^LENOM LINEJNOGO OPERATORA A L ! L NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN EGO MATRICY W KAKOM LIBO BAZISEzAME^ANIE eSLI OPERATOR A L ! L DEJSTWUET W n MERNOMPROSTRANSTWE TO EGO HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN IMEET WIDA ; E ann an;1n;1 : : : a0:kO\FFICIENTY HARAKTERISTI^ESKOGO MNOGO^LENA NE ZAWISQTOT BAZISA TO ESTX QWLQ@TSQ INWARIANTAMI OPERATORA A w^ASTNOSTI a0A an;1 ; n;1tr A an ; n PO\TOMUHARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN OPERATORA A DEJSTWU@]EGO WDWUMERNOM PROSTRANSTWE IMEET WIDA ; E 2 ; tr A A:..-:--..:-,det() =+++,,.= det,= (1),= (1) ,,,det() =()+ detaLGORITM NAHOVDENIQ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ I SOBSTWENNYH WEKTOROW.nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ i KAK WE]ESTWENNYE KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ A ; EdLQ KAVDOGO i REITX ODNORODNU@ SISTEMU LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ A ; iE rEENIQ \TIH SISTEM PREDSTAWLQ@TSOBOJ KOORDINATY SOBSTWENNYH WEKTOROW OTWE^A@]IH SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM i W TOM BAZISE W KOTOROM ZADANA MATRICAA OPERATORA ApRIMER 36 nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYEWEKTORY LINEJNOGO OPERATORA A IR2 ! IR2 ZADANNOGO W NEKOTOROM BAZISE B MATRICEJ1.-det() = 0.2.-.,,-,..:0A = @15,241A:-5.sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ23rEENIE zAPIEM HARAKTERISTI^ESKOEURAWNENIE01;@AA ; E;2 ; tr A A 2 ; ;:nAHODIM KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 12; kOORDINATY x1 x2 SOBSTWENNYH WEKTOROW W BAZISE B OPREDELQ@TSQ KAK REENIQ SISTEM URAWNENIJ8< ; i x1 x2i :: x1; i x2pOSKOLXKU OPREDELITELI \TIH SISTEM RAWNY NUL@ KAVDAQIZ NIH \KWIWALENTNA ODNOMU IZ SWOIH URAWNENIJ pRI 1IZ L@BOGO URAWNENIQ SISTEMY SLEDUET ^TO x1=x2 = SOOTWETSTWU]IJ SOBSTWENNYJ WEKTOR IMEET WID a1 GDE6pRI 2 ; x1=x2 ; SOOTWETSTWU@]IJ SOBSTWENNYJ WEKTOR a2 ; GDE 6pRIMER 37 nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYEWEKTORY LINEJNOGO OPERATORA A IR3 ! IR3 ZADANNOGO W NEKOTOROM BAZISE MATRICEJ 01;;BCA BB@; CCA :;HARAKTERISTI^ESKOE1 URAWNENIErEENIE zAPIEM0; CBB ; ;B@; ; CCA :;;rASKRYW OPREDELITELX PO PERWOJ STROKE PRIWEDEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE K WIDU; 2 ; :.det (1) = det=()25+ det=4=56 = 0:= 6,=1.-(15)+ 2= 0)= 0+ (4= 1 2,.,= 6= 2 5,= (2= 0.=1,== (),1,5-),-= 0..:4=2,1211-211.4det1221121= 01,(1)(5+ 6) = 0-sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ5.24kORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 123kOORDINATY x1 x2 x3 SOBSTWENNOGO WEKTORA ai OTWE^A@]EGOSOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ i i NAHODQTSQ IZ ODNORODNOJSISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ8>>< ; i x1 ; x2 ; x3x1; i x2 ; x3>>: x1 ; x2; i x3 :dLQ SLU^AQ 1 \TA SISTEMA IMEET WID8>>< x1 ; x2 ; x3x1 ; x3>>:x1 ; x2 :wZQW W KA^ESTWE BAZISNYH NEIZWESTNYH x1 x2 I WY^ERKNUW PERWOE URAWNENIE SISTEMY ^TO WOZMOVNO W SILU OTLI^IQ OT NULQ OPREDELITELQ MATRICY SOSTAWLENNOJ IZ KO\FFICIENTOW PRINEIZWESTNYH x1 x2 WO WTOROM I TRETXEM URAWNENIQH POLU^IMSISTEMU DWUH URAWNENIJ8<x1 x3: x1 ; x2 GDE x3 SWOBODNOE NEIZWESTNOE KOTOROE MOVET PRINIMATX PROIZWOLXNOE ZNA^ENIE nETRIWIALXNOE REENIE \TOJ SISTEMYIMEET WID x1 x2 x3 GDE L@BOE ^ISLO OTLI^NOE OT NULQ sLEDOWATELXNO SOBSTWENNYM WEKTOROM OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 1BUDET L@BOJ WEKTOR WIDAa1 6aNALOGI^NO NAHODIM SOBSTWENNYJ WEKTOR a2 6 OTWE^A@]IJ SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@2I SOBSTWENNYJ WEKTOR a3 6 OTWE^A@]IJSOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 3:= 1,= 2,=,3.,(4= 1 2 3,)22+ (1)= 02+ (1)= 0= 0= 1322=02=0=0,-,-,,,2=2=0{,-.===,{,,.,--= 1,= (),= (0= 0.),,-= 0,= (= 2= 3.0 0),= 0,5.sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ25nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYEWEKTORY LINEJNOGO OPERATORA A IR3 ! IR3 ZADANNOGO W NEKOTOROM BAZISE MATRICEJ01;BCCCA :A BB@ ;;rEENIE zAPIEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE01;;BBCCB@ ;CA;:;;rASKRYW OPREDELITELX PO PERWOJ STROKE PRIWEDEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE K WIDU; 2 :kORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 12 ; kOORDINATY x1 x2 x3 SOBSTWENNOGO WEKTORA ai OTWE^A@]EGO SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ i i NAHODQTSQ IZ ODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ01;;iBCCCA :A ; iE BB@ ;; i;; ipRI 1 SISTEMA URAWNENIJ IMEET WID8> x3>< ; x1 x2 x3> ; x1 ; x2>: x1 ; x2 x3 :pOSKOLXKU OPREDELITELX MATRICY SOSTAWLENNOJ IZ KO\FFICIENTOW PRI NEIZWESTNYH x1 x2 W PERWOM I WTOROM URAWNENIQHpRIMER 38.:=,320210157-4.32det2011507= 04,(4)(+ 1)-= 0:= 4,,,--3221.-= 1 2,==0115074= 47+2+ 0=023+ 0=0157+ 0=0,,,sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ5.26OTLI^EN OT NULQ NEIZWESTNYE x1 x2 PRIMEM ZA BAZISNYE A NEIZWESTNOE x3 ZA SWOBODNOE KOTOROE MOVET PRINIMATX PROIZWOLXNOE ZNA^ENIE wY^ERKNUW TRETXE URAWNENIE PRIDEM K ODNORODNOJ SISTEME LINEJNYH URAWNENIJ OTNOSITELXNO NEIZWESTNYH x1 x2 S OTLI^NYM OT NULQ OPREDELITELEM eDINSTWENNOEREENIE TAKOJ SISTEMY x1 x2sLEDOWATELXNO SOBSTWENNYM WEKTOROM OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 1BUDET a1 6aNALOGI^NO NAHODIM SOBSTWENNYJWEKTOR a2 ; 6OTWE^A@]IJ SOBSTWENNOMUZNA^ENI@ 2 ;pRIMER 39 nAJTI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ I SOBSTWENNYEWEKTORY LINEJNOGO OPERATORA A IR3 ! IR3 ZADANNOGO W NEKOTOROM BAZISE MATRICEJ01;;BCA BB@; CCA :;rEENIE zAPIEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE01;;;BBCB@; ; CCA :;;rASKRYW OPREDELITELX PO PERWOJ STROKE I WYNESQ OB]IJ MNOVITELX ; PRIWEDEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE K WIDU,,{,,-.,--,.:== 0.,,-= 4,= (0 0),= (5= 0.5=8),= 0,1..:4=,11121-112.4det1111211= 02-3,; 2 ; :2kOORDIkORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 1NATY x1 x2 x3 SOBSTWENNOGO WEKTORA ai OTWE^A@]EGO SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ i i NAHODQTSQ IZ ODNORODNOJ SISTEMY(3) (2) = 0:,,,,= 1 2,= 2,= 3.--sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ5.27LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ01;;;iBCA ; iE BB@; i ; CCA :;; ipRI 1 \TA SISTEMA IMEET WID8>>< x1 ; x2 ; x3x1 ; x3>>:x1 ; x2 :oPREDELITELX MATRICY SOSTAWLENNOJ IZ KO\FFICIENTOW PRIPRI NEIZWESTNYH x1 x2 WO WTOROM I TRETXEM URAWNENIQH OTLI^EN OT NULQ PO\TOMU W KA^ESTWE BAZISNYH NEIZWESTNYH WOZXMEMx1 x2 A W KA^ESTWE SWOBODNOGO PRIMEM x3 GDE PROIZWOLXNOE ^ISLO wY^ERKNUW PERWOE URAWNENIE PRIDEM K SISTEMEOTNOSITELXNO BAZISNYH NEIZWESTNYH8<x1 : x1 ; x2 IME@]EJ PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM ZNA^ENII EDINSTWENNOE REENIE x1 x2 tAKIM OBRAZOM SOBSTWENNYM WEKTOROM OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 1BUDETa1 6pRI 2 SISTEMA URAWNENIJ DLQ KOORDINAT x1 x2 x3 SOBSTWENNOGO WEKTORA a2 IMEET WID8>>< x1 ; x2 ; x3x1 ; x2 ; x3>>: x1 ; x2 ; x3 :o^EWIDNO \TA SISTEMA \KWIWALENTNA L@BOMU IZ SWOIH URAWNENIJ wYBIRAEM W KA^ESTWE BAZISNOGO NEIZWESTNOGO x1 TOGDA4=11121112= 22=0=0=0,,,-,,,=.,{-,==0-==.,,= (),-=2,,,= 0.= 3-=0=0=0,.-,6.28lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAHSWOBODNYE NEIZWESTNYE x2 x3 MOGUT PRINIMATX PROIZWOLXNYEZNA^ENIQ x2 x3 iZ PERWOGO URAWNENIQ SISTEMY NAHODIM x1 sLEDOWATELXNO SOBSTWENNYM WEKTOROM OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 2BUDET a2 GDE L@BYE ^ISLA PRI KOTORYH KOMPONENTY SOBSTWENNOGO WEKTORA a2 NE PRINIMA@T ODNOWREMENNO NULEWYE ZNA^ENIQo^EWIDNO \TO USLOWIE MOVNO ZAPISATX W WIDE 2 2 6zAME^ANIE sOBSTWENNYJ WEKTOR a2 MOVNO PREDSTAWITX WWIDE LINEJNOJ KOMBINACIIa2 LINEJNO NEZAWISIMYH WEKTOROW g1 g2 SPROIZWOLXNYMI KO\FFICIENTAMI NE OBRA]A@]IMISQ ODNOWREMENNO W NULX gEOMETRI^ESKI \TO OZNA^AET ^TO WSQKIJNENULEWOJ WEKTOR LEVA]IJ W PLOSKOSTI WEKTOROW g1 g2 BUDETSOBSTWENNYM WEKTOROM OPERATORA A OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 2,==+,=.-.,= 3,,= (,-+),,.,+= 0..=(1 1 0) +(1 0 1)= (1 1 0),,= (1 0 1),-.,,,,,-= 3.6lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAHoPERATOR A IE ! IE NAZYWAETSQ SOPRQVENNYM LINEJNOMU OPERATORU A IE ! IE DEJSTWU@]EMU W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IE ESLI 8x y 2 IEAx y x AytEOREMA kAVDYJ LINEJNYJ OPERATOR A IE ! IE W WE]ESTWENNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IE IMEET EDINSTWENNYJSOPRQVENNYJ EMU LINEJNYJ OPERATOR A IE ! IE MATRICAoPREDELENIE.::-,-,() = ().::-,lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWAH PROSTRANSTWAH6.29KOTOROGO W L@BOM ORTONORMIROWANNOM BAZISE QWLQETSQ TRANSPONIROWANNOJ MATRICEJ OPERATORA A IE ! IE W TOM VE BAZISEpRIMER 40 dOKAZATX ^TOA A A B A B AB BArEENIE dOKAZATELXSTWO OSNOWANO NA IZWESTNOM SWOJSTWESKALQRNOGO PROIZWEDENIQ SOSTOQ]EM W TOM ^TO ESLI 8x 2 IEWYPOLNQETSQ RAWENSTWO x a x b TO a b pO OPREDELENI@SOPRQVENNOGO OPERATORA 8x y 2 IEx Ay Ax y y Ax Ay x x Ayx A B yA B x y Ax y Bx yx Ay x By x A B yx BAy Bx Ay ABx y x AB y :oPREDELENIE lINEJNYJ OPERATOR A IE ! IE DEJSTWU@]IJ W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IE NAZYWAETSQ SAMO OPRQVENNYM ESLI A A TO ESTX 8x y 2 IEAx y x AyoPREDELENIE mATRICA A SOWPADA@]AQ SO SWOEJ TRANSPONIROWANNOJ AT NAZYWAETSQ SIMMETRI^ESKOJtEOREMA mATRICA SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA W L@BOMORTONORMIROWANNOM BAZISE QWLQETSQ SIMMETRI^ESKOJ eSLIMATRICA LINEJNOGO OPERATORA W NEKOTOROM ORTONORMIROWANNNOM BAZISE QWLQETSQ SIMMETRI^ESKOJ TO \TOT OPERATOR SAMOSOPRQVENNYJtEOREMA wSE KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA WE]ESTWENNY-:(-)..1)=, 2) (,+)=+), 3) (=..,(1)(2)() = () = ((+= ()),) = () = (() + () = (3)(,=.) = (+)) = () = ((+) = () + () = () = ((:)),,=) =) ).,)-c-,(.) = (),-,...-,{-..-.lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH6.30sLEDSTWIE eSLI A WE]ESTWENNAQ SIMMETRI^ESKAQ MATRICATO WSE KORNI EE HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ A;EWE]ESTWENNYtEOREMA sOBSTWENNYE WEKTORY SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA OTWE^A@]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM ORTOGONALXNYoPREDELENIE bAZIS PROSTRANSTWA L OBRAZOWANNYJ SOBSTWENNYMI WEKTORAMI LINEJNOGO OPERATORA A L ! L NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM BAZISOM OPERATORA AtEOREMA wSQKIJ SAMOSOPRQVENNYJ OPERATOR W n MERNOMEWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IMEET SOBSTWENNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZIS PRI \TOM KAVDOMU KORN@ KRATNOSTI k EGO HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ OTWE^AET k RAZLI^NYH WEKTOROW \TOGOBAZISAsLEDSTWIE w SOBSTWENNOM ORTONORMIROWANNOM BAZISE MATRICA SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA IMEET DIAGONALXNYJ WIDnA EE GLAWNOJ DIAGONALI STOQT KORNI HARAKTERISTI^ESKOGOURAWNENIQ KAVDYJ IZ KOTORYH POWTORQETSQ STOLXKO RAZ KAKOWA EGO KRATNOSTXpRIMER 41 nAJTI SOBSTWENNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZISOPERATORA A ZADANNOGO W NEKOTOROM ORTONORMIROWANNOM ISHODNOM BAZISE MATRICEJ.{,det() = 0..-,,-..,-:,-..--,-...,,-..,(-)0BB 3A = B@ 222321CC2C:A23rEENIE pOSKOLXKU MATRICA A SIMMETRI^ESKAQ OPERATOR A SAMOSOPRQVENNYJ SLEDOWATELXNO POSTAWLENNAQ ZADA^A.{{,,-6.lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWAH PROSTRANSTWAH31IMEET REENIE zAPIEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE01;BBCCB@CA;:;rASKRYW OPREDELITELX PO PERWOJ STROKE I WYNESQ OB]IJ MNOVITELX ; PRIWEDEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE K WIDU; 2 ; :kORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ 1 23nAJDEM KOORDINATY x1 x2 x3 W ISHODNOM BAZISE SOBSTWENNYHWEKTOROW OPERATORA A OTWE^A@]IH SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM iKAK REENIQ ODNORODNYH SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICAMI A ; iE i GDE E EDINI^NAQ MATRICAdLQ DWUKRATNOGO KORNQ 1 2 SOOTWETSTWU@]AQ SISTEMA IMEET WID8>>< x1 x2 x3x1 x2 x3>>: x1 x2 x3 :|TA SISTEMA \KWIWALENTNA L@BOMU IZ SWOIH URAWNENIJ wZQW WKA^ESTWE BAZISNOGO NEIZWESTNOGO x1 I PRISWOIW SWOBODNYM NEIZWESTNYM x2 x3 PROIZWOLXNYE ZNA^ENIQ a b SOOTWETSTWENNOPOLU^IM OB]EE REENIE x1 ;a ; b x2 a x3 b KOTOROEPREDSTAWIM W WIDEx1 x2 x3 a ; b; :|TO OZNA^AET ^TO WSQKIJ NENULEWOJ WEKTOR LEVA]IJ W PODPROSTRANSTWE POROVDAEMOM WEKTORAMI g1 ; I g2; BUDET SOBSTWENNYM WEKTOROM OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ wZAIMNO ORTOGONALXNYE SOBSTWENNYE.3det2223222= 03-1,(1) (7) = 0:,,=(= 1,= 7.),,-,= 1 2 3,.{1)== 1-2+ 2+ 2=02+ 2+ 2=02+ 2+ 2=0.-,=(() =(,1 1 0) +(,,=,,,= (,=1.=,1 0 1),1 0 1),-1 1 0)=-6.32lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAHWEKTORY OTWE^A@]IE SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ MOVNOPOLU^ITX PRIMENIW PROCESS ORTOGONALIZACII K LINEJNO NEZAWISIMYM WEKTORAM g1 g2 pOLOVIM f 1 g1 f 2 g1 g2 ; g1 g2 = g1 g1 ; 21 OTKUDA f 2 ; 12 ; 21 dLQ OPREDELENIQ KOORDINAT x1 x2 x3 SOBSTWENNOGO WEKTORA f 3 OTWE^A@]EGO PROSTOMU KORN@ 3REAEM SISTEMUURAWNENIJ8>>< ; x1 x2 x3; x1 ; x2 x3>>: x1 x2 ; x3 :wYBRAW W KA^ESTWE BAZISNYH NEIZWESTNYH x1 x2 WY^ERKNUWPERWOE URAWNENIE I PRISWOIW SWOBODNOMU NEIZWESTNOMU x3 PROIZWOLXNOE ZNA^ENIE c PRIDEM K SISTEME URAWNENIJ8< x1 ; x2 ;S: x1 x2 SS EDINSTWENNYM REENIEM x1 x2 c tAKIM OBRAZOM OB]EEREENIE ISHODNOJ SISTEMY IMEET WID,= 1,,-,=() (.=,) =,,+,1).= (2)=,-,= 7,4+2+2=024+2=02+24=0,,-,2+==2=(x1 x2 x3) ==.,c (1 1 1) ORTOGONALEN SOBSTWENNYMsOBSTWENNYJ WEKTOR f 3WEKTORAM f 1 f 2 KAK OTWE^A@]IM DRUGOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@sOBSTWENNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZIS feig POLU^AETSQ WREZULXTATE NORMIROWANIQ SOBSTWENNYH WEKTOROW f 1 f 2 f 3 eif i=jjf ijj i =,(1 1 1),-.:e1=,= 1 2 3,!!; p p e2 ; p ; p p e312120=161626==!p p p :1313136.lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWAH PROSTRANSTWAH33w \TOM BAZISE MATRICA OPERATORA A IMEET DIAGONALXNYJ WIDNA GLAWNOJ DIAGONALI STOQT ZNA^ENIQ 1 2 301BB0A = B@ 001001CC0C:A,,,:07wEKTOR e3 ORTONORMIROWANNOGO BAZISA feigMOVNO NAJTI KAK WEKTORNOE PROIZWEDENIE RANEE POSTROENNYHBAZISNYH WEKTOROW e3 e1 e2 PROWERXTEoPREDELENIE lINEJNYJ OPERATOR P IE ! IE W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IE NAZYWAETSQ ORTOGONALXNYM ESLI 8x y 2IE P x P y x yoPREDELENIE oPERATOR A;1 L ! L NAZYWAETSQ OBRATNYMK OPERATORU A L ! L ESLI A;1A AA;1 E GDE E L ! LEDINI^NYJ OPERATORtEOREMA w L@BOM FIKSIROWANNOM BAZISE PROSTRANSTWA LMATRICY OPERATOROW A I A;1 WZAIMNO OBRATNYpRIMER 42 pOKAZATX ^TO LINEJNYJ OPERATOR P IE ! IEW EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE IE QWLQETSQ ORTOGONALXNYM TOGDAI TOLXKO TOGDA KOGDA P P ;1rEENIE 8x y 2 IE RAWENSTWAx y P x P y x P P ySPRAWEDLIWY TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA y P P y 8y 2 IE^TO RAWNOSILXNO P P E E EDINI^NYJ OPERATOR ^TO WSWO@ O^EREDX \KWIWALENTNO P P ;1zAME^ANIE oTS@DA SLEDUET ^TO LINEJNYJ OPERATOR PIE ! IE QWLQETSQ ORTOGONALXNYM ESLI W NEKOTOROM ORTONORMIROWANNOM BAZISE EGO MATRICA P OBLADAET SWOJSTWOM P T P ;1zAME^ANIE.:= ] (!)..:-,() = ()..::,{==,:....,,=:..() = () = (),=,({,),=.=,.,:,-=.lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH6.34mATRICA P ORTOGONALXNOGO OPERATORA P IE ! IE OBLADAETSWOJSTWOM P T P ;1 W L@BOM ORTONORMIROWANNOM BAZISEoPREDELENIE mATRICA P DLQ KOTOROJ P T P ;1 NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJtEOREMA mATRICA P QWLQETSQ MATRICEJ PEREHODA OT ODNOGO ORTONORMIROWANNOGO BAZISA K DRUGOMU ORTONORMIROWANNOMUBAZISU TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA ONA ORTOGONALXNAQpRIMER 43 pOKAZATX ^TO ESLI P ORTOGONALXNAQ MATRICA TO j P jrEENIE pUSTX E EDINI^NAQ MATRICA TOGDA POSKOLXKU OPREDELITELX PROIZWEDENIQ MATRIC RAWEN PROIZWEDENI@ IHOPREDELITELEJ I OPREDELITELX MATRICY NE MENQETSQ PRI EETRANSPONIROWANII SPRAWEDLIWA CEPO^KA RAWENSTWEPP ;1PP TP PTP 2IZ KOTOROJ WYTEKAET TREBUEMOE UTWERVDENIEnA RASSMOTRENNYH SWOJSTWAH SAMOSOPRQVENNYH I ORTOGONALXNYH OPERATOROW OSNOWANA PROCEDURA PRIWEDENIQ SIMMETRI^ESKOJ MATRICY K DIAGONALXNOMU WIDU ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIEMtEOREMA eSLI A SIMMETRI^ESKAQ MATRICA TO SU]ESTWUET ORTOGONALXNAQ MATRICA P TAKAQ ^TO P T AP DIAGONALXNAQMATRICAdOKAZATELXSTWO sIMMETRI^ESKAQ MATRICA A MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK MATRICA SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA A WNEKOTOROM ORTONORMIROWANNOM BAZISE feig sAMOSOPRQVENNYJOPERATOR A IMEET SOBSTWENNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZIS fgigW KOTOROM EGO MATRICA A0 DIAGONALXNA I POSKOLXKU MATRICAPEREHODA P OT BAZISA feig K SOBSTWENNOMU BAZISU fgig ORTOGO:=..,=,-..-,.,det.,{-= 1..{,,-,1 = det= det() = det() = detdet= (det).---..{,,-{..-.,,-lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWAH PROSTRANSTWAH6.35NALXNAQ P ;1 P T MATRICA A0 SWQZANA S MATRICEJ A ZAKONOMPREOBRAZOWANIQA0 P ;1AP P T AP:pRIMER 44 pRIWESTI MATRICU(=),=.=0BB 3A = B@ 21CC3CA223223K DIAGONALXNOMU WIDU ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIEM uKAZATX SOOTWETSTWU@]U@ MATRICU PEREHODArEENIE rASSMATRIWAQ SIMMETRI^ESKU@ MATRICU A KAKMATRICU SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA A W NEKOTOROM ISHODNOMORTONORMIROWANNOM BAZISE NAHODIM WEKTORY EGO SOBSTWENNOGOORTONORMIROWANNOGO BAZISA SM PRIMER!!!e1 ; p p e2 ; p ; p p e3 p p p.-..,(1=210.41)1=216261=631133mATRICA P PEREHODA OT ISHODNOGO ORTONORMIROWANNOGO BAZISAK SOBSTWENNOMU ORTONORMIROWANNOMU BAZISU IMEET WID0 p111 1pp;;63CBB 1 211 CpppP B@ 2 ; 6 3 CA=p260p13fORMULA PRIWEDENIQ MATRICY A K DIAGONALXNOMU WIDU A0P T AP nA GLAWNOJ DIAGONALI MATRICY A0 STOQT KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ OPERATORA A NAJDENNYE W PRIMEREPOWTORQQSX STOLXKO RAZ KAKOWA IH KRATNOSTX:.-,41,=,0BB 10A = B@ 0001010CC0C:A7:7.36zADA^I TIPOWOGO RAS^ETA7zADA^I TIPOWOGO RAS^ETAzADA^A uBEDIWISX W LINEJNOSTI OPERATORA A IR3 ! IR3PEREWODQ]EGO WEKTOR x x1 x2 x3 W WEKTOR y Ax NAJTIMATRICU \TOGO OPERATORA W ORTONORMIROWANNOM BAZISE i j k1.:= ()=,,,1)2)3)4)5)6)7)8)9)yyyyyyyyy10)11)12)13)14)15)16)17)18)19)20)21)22)23)x1 ; x2 x1 x3 x1 ; x2 x3x a a x a a a x1 x3 x1 x2 x2 ; x3x a a x a a a x2 x1 ; x3 x2 x3x a a ; ;x a a a ; ;;x1 x2 x2 x3 x1 x2 x3x a a x a a a x1 ; x2 x3 x1 x2 x1 ; x3x a a x a a a x1 x2 x1 ; x2 x3 x2x a a ; ;x a a a ; ;x2 ; x3 x1 x2 x2 x3x a a ; x a a a ; x1 ; x2 x3 x1 x2 x3x a a ; ;= (2= ]= ()= (2+++= (1 2 3)= ]= ()= (1 2 3)+)= (3 2 1)= (3 2 1)= (4+= ]= ()yyyyyyyyyyyyyy= (+= ]= ())2 3= (= (1)2 3++2= ]= ()= (2+ 3]= ()= (]= ()= (32))= (1 5 7)2= (+1 3= (1 3= (1)7)+ 7)2 5)= (1+= (27)+ 32]+ 2= (1 5 7)5= +3= (3 7 5)+ 2= 1)= (3 7 5)= (= )2 5)+ 53 57)),.7.24)25)26)27)28)29)30)zADA^I TIPOWOGO RAS^ETAyyyyyyy37x a a a ; ;x1 ; x2 x2 x3 x1 x2 x3x a a x a a a x2 x3 x1 ; x2 x3 x1 x3x a a ; x a a a ; = ()= (5= ]= ()= (= (]= ()7)+ 7++)= (7 5 3)= (7 5 3)+ 7= 3 553= (7++ 5)3 1)= (73 1)zADA^A pRIWESTI SIMMETRI^ESKU@ MATRICU K DIAGONALXNOMU WIDU ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIEM uKAZATX SOOTWETSTWU@]U@ MATRICU PEREHODA0101;BBCCBBCCB@ ;CAB@CA2.-.-.81)445412)31013000 4 1 5 10 0 411;2;23;11BBCCBBCC3) B ;252 C4) B ;13;1C@A@A10 ;2 2 1 1 01 ;1 3BB 4 0 2 CCBB 0 2 2 CC5) B 0@ 4 4 CA 6) B@ 2 3 4 CA02 4 3102 4 313111;23BBCCBBCC7) B 151C8) B ;22;2C@A@A10 1 1 3 p 1 3 0;2 122;1;120CCBBCCBB2;1C9) B 010) B ;141 CA@A@p2;10;112p 1p10040;1;202CCBBCCBB p211 C12) B 04;1C11) B ;A@pA@01;12;1238zADA^I TIPOWOGO RAS^ETAp p 1001;222420BB pCCBBCCBCB13)@ p2 ;3 1 A 14) @ 2 4 0 CA0 2 1 ;3 100 0 31;2007;20BBBBCCp CCC315) B 0;116) B ;26;2C@A@Ap310 010 0 ;2 51BB 5 ;1 ;1 CCBB ;6 2 3 CC17) B ;15;1 CA 18) B@ 2 ;3 6 CA@360 ;1 ;1 15012BB 1 2 1 CCBB 4 ;2 ;4 CC19) B 2@ ;5 2 CA 20) B@ ;2 1 2 CA;40 2 4 101 2 1 14;5 2 CBB 2 ;1 ;2 CBC 22) BB ;5 4 2 CC21) B ;151 C@A@A;21222;8010122;8210BBCCBBCC23) B 2;710 C24) B 120 C@A@A0 ;8 10 ;140 0 0 1;5BB 2 ;1 0 CCBB 0 1 1 CC25) B ;111C@A 26) B@ 1 0 1 CA0 0 1 2101 1 01BB 5 ;2 4 CCBB 1 0 2 CC27) B ;282C@A 28) B@ 0 3 0 CA20 0 110 4 2 5 12;1;15;2;1CBBC 30) BBB ;1 2 ;1 CCC29) B ;22;2CA@A@7.; ;125; ;112lITERATURAkANATNIKOW a n kRI]ENKO a p lINEJNAQ ALGEBRA miZD mgtu IM n | bAUMANASsBORNIK ZADA^ PO LINEJNOJ ALGEBRE pOD RED s ksOBOLEWA m iZD mgtu IM n | bAUMANASiLXIN w a pOZNQK | g lINEJNAQ ALGEBRA m nAUKASbEKLEMIEW d w kURS ANALITI^ESKOJ GEOMETRII I LINEJNOJ ALGEBRY m nAUKASgOLOWINA l i lINEJNAQ ALGEBRA I NEKOTORYE EE PRILOVENIQ m nAUKAS1.....,...., 1998.
{ 3362..-./.-.:3...1984. { 296..,...-.:.:., 1991. { 155..-..:...,-, 1987. { 320.. -...4.5...:., 1985. { 392.-.40lITERATURAsODERVANIE1234567oPREDELENIE I PRIMERY LINEJNYH I NELINEJNYHOPERATOROW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :mATRICA LINEJNOGO OPERATORA : : : : : : : : : : :pREOBRAZOWANIE MATRICY LINEJNOGO OPERATORAPRI PEREHODE K NOWYM BAZISAM : : : : : : : : : : :dEJSTWIQ S LINEJNYMI OPERATORAMI : : : : : : :sOBSTWENNYE WEKTORY I SOBSTWENNYE ZNA^ENIQLINEJNOGO OPERATORA : : : : : : : : : : : : : : : :lINEJNYE OPERATORY W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAHzADA^I TIPOWOGO RAS^ETA : : : : : : : : : : : : : :lITERATURA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :4148121621293740.