Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дубинин В.В.Общие теоремы динамики

Дубинин В.В.Общие теоремы динамики (Общие теоремы динамики В.В. Дубинин, Г.И. Дубровина, А.Ю.Карпачев), страница 2

PDF-файл Дубинин В.В.Общие теоремы динамики (Общие теоремы динамики В.В. Дубинин, Г.И. Дубровина, А.Ю.Карпачев), страница 2 Теоретическая механика (7391): Книга - 3 семестрДубинин В.В.Общие теоремы динамики (Общие теоремы динамики В.В. Дубинин, Г.И. Дубровина, А.Ю.Карпачев) - PDF, страница 2 (7391) - СтудИзба2016-06-07СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Общие теоремы динамики В.В. Дубинин, Г.И. Дубровина, А.Ю.Карпачев", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "теоретическая механика" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 2 страницы из PDF

Кинетический момент для материальной точкии механической системыКинетическим моментом для материальной точки относительно полюса O (оси Oz) по определению называем момент относительно полюса (оси) вектора количества движения точки:ˉ О (mˉkˉO = Mv ) = rˉ × mˉv ; kz = Mz (mˉv) .11Для механической системыXXˉO =Krˉk × mk vˉk ; Kz =Mz (mk vˉk ),kkдля системы телKz =SXKzj .j=1Пример 8. Точка массой m имеет скорость vˉ, OA = b, углы α,β заданы.Определить кинетический момент точки A относительно осиOz (рис. 8).Рис. 8Решение.

Кинетический момент — момент количества движения точки A относительно оси Oz, т. е.qA ),kz = Mz (ˉvA = mˉv = qˉ. Разложим qˉA на составляющие:где qˉA = mˉqˉA = qˉz + qˉxy .Далее получимqz ) + Mz (ˉqxy ) = mv cos αb cos β,kz = Mz (ˉqz ) = 0.так как Mz (ˉПример 9. Определить кинетические моменты для механической системы, состоящей из материальных точек M1 , M2 , M3 ,относительно осей координат и точки O (рис. 9, а).12Рис.

9Принять: m1 = 1 кг; m2 = 2 кг; m3 = 3 кг; v1 = 3 м/с;v2 = 4 м/с; v3 = 5 м/с; OM1 = 1 м; OM2 = 2 м; OM3 = 3 м.Решение. Запишем кинетические моменты относительно осейкоординат:3XMx (ˉqk ) = Mx (ˉq1 ) + Mx (ˉq2 ) + Mx (ˉq3 ) ,Kx =k=1причемMx (ˉq2 ) = Mx (ˉq3 ) = 0; qˉ1 = m1 vˉ1 ; qˉ2 = m2 vˉ2 ; qˉ3 = m3 vˉ3— количества движения точек системы.Далее получим (рис. 9, б):Kx = Mx (ˉq1 ) = −m1 v1 ∙ OM1 ; Kx = −1 ∙ 3 ∙ 1 = −3 Н ∙ м ∙ c;q2 ) = −m2 v2 ∙ OM2 = −2 ∙ 4 ∙ 2 = −16 Н ∙ м ∙ c;Ky = My (ˉq3 ) = −m3 v3 ∙ OM3 = −3 ∙ 5 ∙ 3 = −45 Н ∙ м ∙ c;Kz = Mz (ˉqKO = Kx2 + Ky2 + Kz2 ; KO = 47, 85 Н ∙ м ∙ c.Пример 10.Точка M массой m совершает сложное движение: по пазу дискаS = S(t) — относительное и переносное вместе с диском, вращающимся вокруг оси Oz с угловой скоростью ω (рис.

10).Решение. Определим:q ) ; qˉ = mˉv = mˉve + mˉvr ;kz = Mz (ˉ13veτ = ωz ∙ OM— переносная скорость;vrS = Ṡ— относительная скорость точки M .Далее получимРис. 10kz = Mz (mˉve ) + Mz (mˉvr ) == m ∙ (OM )2 ω + mṠh = mhih2 + S 2 ω + Ṡh .Если для диска момент инерции относительно оси вращенияравен Jz , то кинетический момент диска относительно оси Oz:Kz = Jz ωz .Кинетический момент механической системы — материальнаяточка, диск равенhiKz = Jz ωz + m h2 + S 2 ωz + Ṡh , ωz = ω.Пример 11. Плоскость 2 параллельна плоскости Oxz. ТочкаM массой m здесь совершает сложное движение: S = S(t) —относительное, переносное — вместе с плоскостями 1, 2, которыеˉ (рис. 11).вращаются вокруг оси Oz с угловой скоростью ωРешение.

Для плоскости 1kz = Mz (mˉve ) + Mz (mˉvr ) = Mz (mˉve ) ,vr ) = 0, vˉr во время движения системы пересекаеттак как Mz (mˉось Oz,kz = m (O1 M1 )2 ωz = m (l − S cos α)2 ωz .Для плоскости 22kz = Mz (mˉve ) + Mz (mˉvr ) = m OM 0 ωz − mvrs cos αl =hi= m (l2 + (l − S cos α)2 )ωz − Ṡ cos αl , ωz = ω.14Рис. 111.4. Работа силПриведем примеры по определению работы сил.Пример 12. На груз действуют при движении две силы:Fˉ — сила упругости пружины и mˉg — сила тяжести; F = C λ,где C — жесткость и λ — деформация пружины (рис.

12).Решение. В положении равновесия груза−Fст + mg = 0,где Fст = C δст .Окончательно получим −С δcт + mg = 0.Обе силы — потенциальные (см. рис. 12).15Рис. 12Определим работу этих сил, когда груз переместится из начального положения до текущего с координатой x.Элементарная работа сил:dA (mˉg ) = mˉg dˉx = mgdx;x = C (x + δст ) cos πdx = −C (x + δст ) dx.dA Fˉ = Fˉ dˉПолная работа сил:A(mˉg) =ZAmˉg dˉx=A(Fˉ ) =A0=−Fˉ dˉx=−mgdx = mgx;0A0ZAZxZxC (x + δст )d (x + δст ) =02 xС x2С (x + δст ) =−− Cxδст .220Сумма работ обеих сил:A (mˉg ) + A(Fˉ ) = (mg − C δст ) x −16Cx2Cx2=−.22Потенциальная энергия для полейэтих сил:Cx2Π (mˉg ) + Π(Fˉ ) =2(в силу определения понятия потенциальной энергии).Пример 13. Определить полную работу силы тяжести при перемещенииРис.

13маятника от положения равновесия наугол ϕ (OA = l) (рис. 13).Решение. НайдемdA (mˉg ) = mˉg dSˉ = mg cos (90◦ + ϕ) ldϕ = −mgl sin ϕdϕ,dS = ldϕ;ZϕA (mˉg ) = −mgl sin ϕdϕ =0= −mgl (1 − cos ϕ) = −mgh (h = l (1 − cos ϕ)) .Пример 14. Определить работу ньютоновской силы притяжения точки M при паденииее на землю с высоты H, R — радиус Земли(рис.

14).Решение. Элементарная работа силы:KmM ˉKmMF =F=rˉ,r=R+H−y;0r2r2dA(Fˉ ) = Fˉ dˉy.Кроме того, F = mg при y = H, тогдаmgR2KmMgR2;F=;K=;Mr2R2ZHmgR2 Hdy2ˉ==A(F ) = mgRR + H − y 0(R + H − y)2011H2= mgR= mgR−.R R+HH +Rmg =Рис. 14172. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧКУРСОВЫХ ЗАДАНИЙВ данном разделе приводится разбор решений типовых задачкурсовых заданий для машиностроительных и приборостроительных специальностей [1—5]. В задачах рассматриваются движениясистем с одной и двумя степенями свободы.Основная задача студента — научиться определять движениемеханической системы и величины действующих в системе сил.2.1.

Задачи для систем с одной степенью свободыПриведем решение задач для систем с одной степенью свободы. В первом примере рассматривается задача о движении механизма и дается алгоритм решения такого типа задач.Рассмотрим решение типовой задачи о движении одностепенной механической системы и об определении реакций опор и внутренних сил.Угловые скорость и ускорение определяются с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, реакции — с помощьюуравнений движения тел.Применяемую методику решения задачи рекомендуется использовать в соответствующих задачах курсового задания.Задача 1.

Кулисный механизм находится в вертикальной плоскости; m1 , m2 , m3 — соответственно массы кривошипа 1, ползуна2 и кулисы 3 (рис. 15). К кривошипу приложена пара сил с моментом L = const, OA = l. В начальный момент механизм находилсяв покое, ϕ(0) = 0. Кривошип — однородный стержень.Определить угловые скорость и ускорение кривошипа, скорость кулисы, составляющую реакции шарнира YO и давлениеπползуна на кулису при ϕ1 = рад.2Принять: m1 = 1 кг; m2 = 0,5 кг; m3 = 3 кг; l = 0,2 м;L = 6 Н ∙ м.Решение. Для определения угловой скорости применим теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме(при действующих силах это возможно):X (e) X (i) A Fˉk+A Fˉk .T − T0 =k18kРис.

15Кинетическая энергия звеньев механизмаT = T1 + T2 + T3 ,где T1 , T2 , T3 — кинетические энергии вращения кривошипа 1,поступательных движений ползуна 2, кулисы 3:Jz ω2m1 l 2m1 l2 2ω , ωz = ϕ̇;, Jz =; T1 =2362m2 vAm2 l2 2, vA = l ϕ̇, T2 =T2 =ϕ̇ ,22где vA — скорость точки A (ползуна);T1 =T3 =2m3 vкулm3 l2 2 2ϕ̇ sin ϕ.=22Кроме того,vˉA = vˉe + vˉr ,19где vˉe = vˉкул ; vˉr — переносная и относительная скорости точки A,vˉкул — скорость кулисы.Точка A совершает сложное движение: абсолютное по окружности радиусом OA, относительное — вдоль кулисы, переносное— вместе с кулисой по вертикали:vey = vкулy = l ϕ̇ ∙ sin ϕ.Кинетическая энергия:ϕ̇2 l2 m1T =+ m2 + m3 ∙ sin2 ϕ ,23начальные условия задачи:при t = 0 ϕ = 0, ϕ̇ = 0,поэтому T0 = 0.Определим работу внешних!сил m1 gˉ, m2 gˉ, m3 gˉ и пары сил сX (i) A Fˉk=0 :моментом LXkk(e)A Fˉk= A (m1 gˉ) + A (m2 gˉ) + A (m3 gˉ) + A (L) .Элементарная работа сил:lldA (m1 gˉ) = m1 gˉdˉrC1 = m1 g cos (90◦ + ϕ) dϕ = −m1 g sin ϕdϕ;22rA = −m2 gl sin ϕdϕ;dA (m2 gˉ) = m2 gˉdˉy = m3 g(cos π)l sin ϕdϕ = −m3 gl sin ϕdϕ;dA (m3 gˉ) = m3 gˉdˉdA(L) = Ldϕ.Полная работа сил:lA (m1 gˉ) = −m1 g2Zϕ0lsin ϕdϕ = −m1 g (1 − cos ϕ);2A (m2 gˉ) = −m2 gl (1 − cos ϕ) ;ZϕA (m3 gˉ) = −m3 gl (1 − cos ϕ) ; A(L) = Ldϕ = Lϕ.020Окончательно получимmX (e) 1= Lϕ − glA Fˉk+ m2 + m3 (1 − cos ϕ) .2kПервый интеграл для нашей механической системы примет видm1ϕ̇2 l2+ m2 + m3 sin2 ϕ =3= 2Lϕ − gl (m1 + 2m2 + 2m3 ) (1 − cos ϕ) .Определим угловую скорость кривошипа 1 при ϕ = π/2 рад:r1 L ∙ π − glB,ϕ̇ =lAгде B = m1 + 2m2 + 2m3 ; A = m1 /3 + m2 + m3 ; ϕ̇ = 4,54 рад/с.Скорость кулисы равна: vкулy = l ϕ̇ sin ϕ, при ϕ1 = π/2 радполучим vкул = 0, 908 м/с.С помощью теоремы об изменении кинетической энергии вдифференциальной форме определим угловое ускорение кривошипа:X (e) X (i) dTW FˉkW Fˉk ,+=dtkkгде сумма мощностей внешних сил:X (e) W Fˉk= m1 gˉvˉC1 + m2 gˉvˉA + m3 gˉvˉC3 + Lωz =k= L ϕ̇ − lg ϕ̇ sin ϕm1+ m2 + m3 .2Для всех ϕ̇ окончательно имеемm1+ m2 + m3 sin2 ϕ + m3 l2 sin ϕ cos ϕ ϕ̇2 =l2 ϕ̈3m1+ m2 + m3 .= L − lg sin ϕ2Угловое ускорение кривошипа при ϕ = π/2 рад:εz = ϕ̈ =L − lgB2 , ε = −12, 01 рад/с2 .zl2 Aˉ.Определим величину реакции YˉO и N21Применим теорему об изменении кинетического момента относительно оси Oz (механическая система: кривошип — ползун):XdKz(e)Mz Fˉk ;=dtklJz ϕ̈ + m2 l ϕ̈l = −m1 g sin ϕ + N l sin ϕ − m2 gl sin ϕ + L.2Применим еще теорему об изменении количества движениядля системы кривошип — ползун:X (e)dQyFky ,=dtkгде Qy определяется из уравненияˉ = m1 vˉc + m2 vˉA ;Q1ml1+ m2 ;Qy = m1 ϕ̇ sin ϕ + m2 l ϕ̇ sin ϕ = l ϕ̇ sin ϕ22dQym1+ m2 ϕ̈ sin ϕ + ϕ̇2 cos ϕ ==l2dt= Y0 + N − m1 g − m2 g.Определим N , YO из последних двух уравнений при ϕ == π/2 рад:N = −22,2 H; YO = 34,5 H.Давление ползуна равно N , но имеет противоположное направление.В следующей задаче составляется дифференциальное уравнение движения, которое интегрируется при заданных начальныхусловиях, и таким образом определяется движение механическойсистемы, а затем — силы в системе [1—5].Задача 2.

Рейка 1 массой M находится в зацеплении с шестерней 2 (однородным диском) массой m и радиусом r (рис. 16).Момент пары сил сопротивления, возникающей при вращениишестерни вокруг оси Oz, равен Lz = −αωz , где α = const > 0;ωz — угловая скорость шестерни. К рейке прикреплена пружина жесткостью C, правый конец которой движется по законуS = S0 sin pt, где S0 = const; p — частота возмущения S; [S] = м;22Рис. 16[p] = c−1 ; [t] = c; t — время.

В начальный момент системанаходилась в покое.Найти уравнение вращения шестерни 2 и определить реакциив зацеплении A и опоре O в момент времени t∗ .Принять: r = 0,1 м; C = 100 Н/м; α = 0,4 H ∙ м ∙ c; M = 3 кг;m = 2 кг; p = 3 рад/с; S0 = 0,01 м.Решение. Используем теорему об изменении кинетическойэнергии системы:NN XX(e)(i)dA FˉkdA Fˉk .+dT =k=1k=1Кинетическая энергия системы:M v 2 Jz ω2+,T =22где v — скорость рейки, vx = ẋ; ω — угловая скорость шестерни,ẋmr2ωz = ϕ̇ = ; Jz =.r2На рис. 16 ϕ — обобщенная координата системы.Окончательно получимr2 ϕ̇2B ϕ̇2r2 (2M + m),T =(2M + m) =; B=242dT = B ϕ̇d ϕ̇.23Cумма элементарных работ внешних сил:NXk=1(e)dA Fˉk= −C (x − s) dx − α ϕ̇dϕ,где x = r ϕ и dx = rdϕ при учете начальных условий.Выражение дифференциальной формы теоремы об изменениикинетической энергии имеет видB ϕ̇d ϕ̇ = −С (x − s) dx − α ϕ̇dϕ = (−С (r ϕ − s) r − α ϕ̇) dϕ,откудаиB ϕ̇d ϕ̇= B ϕ̈ = −С (r ϕ − s) r − α ϕ̇dϕB ϕ̈ + α ϕ̇ + Cr2 ϕ = CrS0 sin pt;ϕ̈ + 2n ϕ̇ + K 2 ϕ = h sin pt,гдеCr2αCrS0; K2 =; h=.BBBРешение дифференциального уравнения имеет вид2n =ϕ = e−nt (C1 + C2 t) + aв sin(pt − ε),так как после расчетов установлено, чтоhK = n; aв = q(K 2 − p2 )2 + 4n2 p2; tg ε =2np.− p2K2Расчеты параметров дифференциального уравнения:K = n = 5 рад/с; h = 2, 5 рад/с2 .Начальные условия задачи:при t = 0 ϕ = 0; ϕ̇ = 0.Значения C1 , C2 определяются из ϕ = ϕ(t) и уравненияϕ̇ = −ne−nt (C1 + C2 t) + e−nt C2 + aв p cos (pt − ε) .Здесь aв = 0,0735 рад, ε = 1,08 рад; тогда C1 = 0,0648 рад,C2 = 0,22 рад/c.24Кинематическое уравнение вращательного движения шестерниимеет видϕ = e−nt (0, 0648 + 0, 22t) + 0, 0735 sin (3t − 1, 08) .Здесь ϕ — в рад; t — в с.Для определения реакций необходимо вычислить угловое ускорение шестерни ϕ̈ = ϕ̈(t).Угловое ускорение шестерни равно:ϕ̈ = e−nt n2 (C1 + C2 t) − 2C2 n − aв p2 sin (pt − ε) .Момент времени, для которого определяются реакции, найдемиз условияn (C1 + C2 t∗ ) = 2C2 , t∗ = 0, 1055 c.Для этого момента времениϕ̈ = 0,46 рад/с2 ; ϕ̇ = 0,0295 рад/с.Касательную составляющую реакции в точке A определим изуравнения вращения шестерни относительно оси Ozα ϕ̇mr ϕ̈+= 0, 164 H.2rСоставим уравнения движения центра масс шестерни:Jz ϕ̈ = F r − α ϕ̇; F =mẍ0 = X0 − F, mÿ0 = Y0 − mg − N,где N = F tg β, β = 20◦ .Так как ẍO = ÿO = 0 (точка O неподвижна), тоXO = F, YO = mg + F tg β;XO = 0,164 H, YO = 19,66 H.Следующий тип задач использован в работах [1—5].В механической системе имеется каток, характер качения которого исследуется по определенной методике.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее